Verteilen Sie drei Punkte in einer Ebene und messen Sie dann die Abstände zwischen jedem Paar. Aller Wahrscheinlichkeit nach werden Sie drei verschiedene Entfernungen finden. Wenn man die Punkte aber in einem gleichseitigen Dreieck anordnet, dann ist jeder Abstand gleich. In einer Ebene ist dies mit vier Punkten nicht möglich. Die kleinste Anzahl an Entfernungen, die Sie konstruieren können, ist 2 – die Kanten und Diagonalen eines Quadrats.

Wenn Sie jedoch einen der Punkte aus der Ebene anheben, um eine Pyramide zu erstellen, deren Seiten jeweils ein gleichseitiges Dreieck sind, erhalten Sie eine Menge von vier Punkten, die durch einen einzigen eindeutigen Abstand voneinander getrennt sind – die Länge einer Seite von das Dreieck.

Wenn Sie viele Punkte haben, werden diese Muster noch ausgeprägter. Hundert zufällig verstreute Punkte in einer Ebene definieren wahrscheinlich 4,950 unterschiedliche paarweise Abstände. Wenn Sie jedoch 100 Punkte in einem flachen, quadratischen Raster anordnen, wird jedes Punktpaar durch einen von nur 50 möglichen Abständen getrennt. Heben Sie die Punkte in ein dreidimensionales Raster an, und Sie können diese Zahl noch weiter reduzieren.

Die Beantwortung von Fragen zur Anzahl der Abstände zwischen Punkten mag wie eine esoterische Übung klingen. Aber in der jahrzehntelangen Suche nach der Lösung solcher Probleme haben Mathematiker Werkzeuge entwickelt, die eine breite Palette anderer Anwendungen haben, von der Zahlentheorie bis zur Physik.

„Als die Leute versuchten, das Problem zu lösen“, sagte er Pablo Shmerkin von der University of British Columbia „fingen sie an, Zusammenhänge zu entdecken, die überraschend und unerwartet waren.“

Die neueste Entwicklung erfolgte Ende letzten Jahres, als vier Mathematiker zusammenarbeiteten bewies eine neue Beziehung zwischen der Geometrie von Punktmengen und den Abständen zwischen ihnen.

Die Liste der verschiedenen Entfernungen, die durch eine Menge von Punkten bestimmt werden, wird als Entfernungsmenge bezeichnet. Zählen Sie, wie viele Zahlen sich in dieser Liste befinden, und Sie erhalten die Größe des Distanzsatzes. Im Jahr 1946 vermutete der produktive Mathematiker Paul Erdős, dass für eine große Anzahl von Punkten der festgelegte Abstand nicht kleiner sein kann als der Abstand, den man erhält, wenn man die Punkte in einem Raster anordnet. Obwohl das Problem auf den ersten Blick einfach war, erwies es sich als äußerst tiefgreifend und schwierig. Selbst in zwei Dimensionen wurde es noch nicht vollständig bewiesen, obwohl im Jahr 2010 zwei Mathematiker bin so nah dran dass es nun als effektiv geklärt gilt; es bleibt in höheren Dimensionen offen.

Inzwischen haben Mathematiker auch neue Versionen der Vermutung formuliert. Eine der wichtigsten davon entstand in a 1985 Papier by Kenneth Falconer, ein Mathematiker an der University of St. Andrews in Schottland. Falconer fragte sich, was man über die unterschiedlichen Abstände zwischen unendlich vielen Punkten sagen kann.

Wenn man unendlich viele Punkte hat, ist einfaches Zählen nicht mehr sinnvoll. Aber Mathematiker haben andere Möglichkeiten, Größe zu definieren. Falconers Vermutung postuliert eine Beziehung zwischen der Geometrie der Punktmenge – charakterisiert durch eine Zahl, die als fraktale Dimension bezeichnet wird – und der Größe der Distanzmenge, charakterisiert durch eine Zahl, die als Maß bezeichnet wird.

Die fraktale Dimension stimmt mit der gewöhnlichen Intuition über Dimensionen überein. Genau wie beim bekannteren Konzept der Dimension hat ein Liniensegment eine fraktale Dimension von 1, während ein Quadrat (mit ausgefülltem Innenraum) eine fraktale Dimension von 2 hat. Wenn jedoch eine Ansammlung von Punkten ein komplizierteres fraktales Muster bildet – Wie eine Kurve, in der immer wieder mikroskopische Drehungen und Wendungen auftauchen, egal wie weit man hineinzoomt – ihre fraktale Dimension ist möglicherweise keine ganze Zahl. Beispielsweise hat die unten gezeigte Koch-Schneeflockenkurve, die eine endlose Reihe immer kleinerer dreieckiger Unebenheiten aufweist, eine Dimension von etwa 1.26.

Im Allgemeinen hat eine unendliche Ansammlung von Punkten eine fraktale Dimension, die grob davon abhängt, wie verteilt sie ist. Wenn es über die Ebene verteilt ist, liegt seine fraktale Dimension nahe bei 2. Wenn es eher wie eine Linie aussieht, liegt seine fraktale Dimension nahe bei 1. Dieselben Arten von Strukturen können für Punktmengen im dreidimensionalen Raum definiert werden , oder in noch höheren Dimensionen.

Auf der anderen Seite von Falconers Vermutung steht das Maß für den eingestellten Abstand. Maß ist eine Art mathematische Verallgemeinerung des Längenbegriffs. Eine einzelne Zahl, die als Punkt auf einer Zahlengeraden dargestellt werden kann, hat das Maß Null. Aber auch unendliche Mengen können das Maß Null haben. Beispielsweise sind die ganzen Zahlen unter den reellen Zahlen so dünn verstreut, dass sie keine kollektive „Länge“ haben und somit eine Menge des Maßes Null bilden. Andererseits haben die reellen Zahlen zwischen beispielsweise 3/4 und 1 das Maß 1/4, weil das Intervall so lang ist.

Das Maß bietet eine Möglichkeit, die Größe der Menge unterschiedlicher Abstände zwischen unendlich vielen Punkten zu charakterisieren. Wenn die Anzahl der Entfernungen „klein“ ist, bedeutet dies, dass die festgelegte Entfernung das Maß Null hat: Es gibt viele duplizierte Entfernungen. Wenn die Distanzmenge hingegen ein Maß hat, das größer als Null ist, bedeutet das, dass es viele verschiedene Distanzen gibt.

In zwei Dimensionen bewies Falconer, dass jede Punktmenge mit einer fraktalen Dimension von mehr als 1.5 einen Abstandssatz mit einem Maß ungleich Null hat. Aber Mathematiker kamen schnell zu der Überzeugung, dass dies für alle Mengen mit einer fraktalen Dimension größer als 1 gilt. „Wir versuchen, diese 1/2-Lücke zu schließen“, sagte er Yumeng Ou von der University of Pennsylvania, einer der Co-Autoren des neuen Papiers. Darüber hinaus erstreckt sich Falconers Vermutung auf drei oder mehr Dimensionen: Für Punkte, die in a verstreut sind d-dimensionaler Raum besagt, dass die fraktale Dimension der Punkte größer ist als d / 2, dann muss das Maß des eingestellten Abstands größer als 0 sein.

Im Jahr 2018 hat Ou zusammen mit Kollegen zeigte, dass die Vermutung gilt in zwei Dimensionen für alle Mengen mit einer fraktalen Dimension größer als 5/4. Jetzt Ou – zusammen mit Xiumin Du der Northwestern University, Ruixiang Zhang der University of California, Berkeley, und Kevin Ren von der Princeton University – haben bewiesen, dass in höheren Dimensionen der Schwellenwert für die Sicherstellung eines Abstandssatzes mit einem Maß ungleich Null etwas kleiner ist als d/2 + 1/4. „Die Grenzen in höheren Dimensionen sind in dieser Arbeit zum ersten Mal überhaupt besser als in Dimension 2“, sagte Shmerkin. (In zwei Dimensionen ist die Schwelle genau d/2 + 1/4.)

Dieses neueste Ergebnis ist nur eines von vielen eine Welle der jüngsten Fortschritte on Falconers Vermutung. Der Beweis verfeinerte Techniken in der harmonischen Analyse – einem scheinbar weit entfernten Bereich der Mathematik, der sich mit der Darstellung beliebig komplizierter Funktionen durch einfache Wellen befasst –, um die Schranke zu stärken. Einige dieser Techniken wurden jedoch ursprünglich entwickelt, um genau dieses Problem anzugehen.

Diese Frage nach Abständen zwischen Punkten „diente als Spielplatz für einige der größten Ideen in der harmonischen Analyse“, sagte er Alex Iosevich der Universität Rochester.

Obwohl sie nur die Hälfte der Lücke geschlossen haben, die Falconer in seiner Arbeit von 1985 hinterlassen hat, sehen Mathematiker die jüngste Flut an Arbeiten als Beweis dafür, dass die vollständige Vermutung endlich in greifbare Nähe gerückt sein könnte. In der Zwischenzeit werden sie das Problem weiterhin als Testgelände für ihre ausgefeiltesten Tools nutzen.