تخيل أن شبكة من الأشكال السداسية، تشبه قرص العسل، تمتد أمامك. بعض الأشكال السداسية فارغة. والبعض الآخر مملوء بعمود يبلغ ارتفاعه 6 أقدام من الخرسانة الصلبة. والنتيجة هي متاهة من نوع ما. لأكثر من نصف قرن، طرح علماء الرياضيات أسئلة حول مثل هذه المتاهات التي يتم إنشاؤها عشوائيًا. ما حجم أكبر شبكة من المسارات التي تم مسحها؟ ما هي احتمالات وجود مسار من إحدى الحواف إلى مركز الشبكة والعودة مرة أخرى؟ كيف تتغير هذه الفرص عندما يتضخم حجم الشبكة، مما يضيف المزيد والمزيد من الأشكال السداسية إلى حوافها؟

من السهل الإجابة على هذه الأسئلة إذا كان هناك الكثير من المساحة الفارغة أو الكثير من الخرسانة. لنفترض أن كل شكل سداسي تم تعيين حالته بشكل عشوائي، بشكل مستقل عن جميع الأشكال السداسية الأخرى، مع احتمال ثابت عبر الشبكة بأكملها. يمكن أن يكون هناك، على سبيل المثال، احتمال بنسبة 1% أن يكون كل شكل سداسي فارغًا. تزدحم الخرسانة الشبكة، ولا تترك سوى جيوب صغيرة من الهواء بينهما، مما يجعل فرصة العثور على مسار إلى الحافة صفرًا فعليًا. من ناحية أخرى، إذا كان هناك احتمال بنسبة 99٪ أن يكون كل شكل سداسي فارغًا، فلن يكون هناك سوى رش رقيق من الجدران الخرسانية، وتتخللها مساحات مفتوحة - وليس الكثير من المتاهة. العثور على مسار من المركز إلى الحافة في هذه الحالة هو أمر شبه مؤكد.

بالنسبة للشبكات الكبيرة، هناك تغيير مفاجئ بشكل ملحوظ عندما يصل الاحتمال إلى 1/2. تمامًا كما يذوب الجليد إلى ماء سائل عند درجة الصفر المئوي تمامًا، يتغير طابع المتاهة بشكل جذري عند نقطة التحول هذه، والتي تسمى الاحتمالية الحرجة. أقل من الاحتمال الحرج، ستقع معظم الشبكة تحت الخرسانة، في حين أن المسارات الفارغة تنتهي دائمًا إلى طريق مسدود. وفوق الاحتمال الحرج، تُترك مساحات شاسعة فارغة، ومن المؤكد أن الجدران الخرسانية هي التي ستتلاشى. إذا توقفت عند الاحتمال الحرج تمامًا، فإن الخرسانة والفراغ سوف يوازنان بعضهما البعض، ولن يتمكن أي منهما من السيطرة على المتاهة.

وقال: "في النقطة الحرجة، ما يظهر هو درجة أعلى من التماثل". مايكل أيزنمان، عالم فيزياء رياضية في جامعة برينستون. "وهذا يفتح الباب أمام مجموعة ضخمة من الرياضيات." كما أن لديها تطبيقات عملية على كل شيء بدءًا من تصميم أقنعة الغاز وحتى تحليل كيفية انتشار الأمراض المعدية أو كيفية تسرب النفط عبر الصخور.

في باقة ورقة نشرت في الخريف الماضيأخيرًا، قام أربعة باحثين بحساب فرصة العثور على مسار للمتاهات عند الاحتمال الحرج البالغ 1/2.

سباق التسلح

كطالب دكتوراه في فرنسا في منتصف العقد الأول من القرن الحادي والعشرين، بيير نولين درس سيناريو الاحتمال الحرج بتفصيل كبير. فهو يعتقد أن المتاهة العشوائية هي "نموذج جميل حقًا، وربما أحد أبسط النماذج التي يمكنك اختراعها". قرب نهاية دراسات الدكتوراه التي أنهاها في عام 2008، أصبح نولين مفتونًا بسؤال صعب بشكل خاص حول كيفية تصرف الشبكة السداسية عند الاحتمال الحرج. لنفترض أنك قمت ببناء شبكة حول نقطة مركزية، بحيث تقارب الدائرة، وقمت ببناء متاهة بشكل عشوائي من هناك. أراد نولين استكشاف فرصة أن تتمكن من العثور على مسار مفتوح يصل من الحافة إلى المركز ويتراجع للخارج، دون أن يتراجع. يطلق علماء الرياضيات على هذا المسار اسم المسار أحادي اللون ذي الذراعين، لأن "الذراعين" الداخلي والخارجي يقعان على مسارات مفتوحة. (في بعض الأحيان يُعتقد بشكل متساوٍ أن مثل هذه الشبكات مصنوعة من لونين مختلفين، مثل الأزرق الفاتح والأزرق الداكن، بدلاً من الخلايا المفتوحة والمغلقة). إذا قمت بزيادة حجم المتاهة، فإن طول المسار المطلوب سوف ينمو أيضًا. وفرص العثور على مثل هذا المسار سوف تتضاءل أكثر فأكثر. ولكن ما مدى سرعة تضاؤل ​​الاحتمالات مع اتساع نطاق المتاهة بشكل تعسفي؟

تم الرد على الأسئلة ذات الصلة الأبسط منذ عقود. الحسابات من عام 1979 بواسطة مارسيل دن نجيس قدّر فرصة العثور على مسار أو ذراع واحد من الحافة إلى المركز. (قارن هذا مع متطلبات نولين بأن يكون هناك ذراع واحدة للداخل وذراع منفصلة للخارج.) توقع عمل Den Nijs أن فرصة العثور على ذراع واحدة في شبكة سداسية تتناسب مع $latex 1/n^{5/48}$ ، أين n هو عدد المربعات من المركز إلى الحافة، أو نصف قطر الشبكة. في 2002، جريجوري لولر, عوديد شرام و وينديلين فيرنر أخيرا ثبت أن التنبؤ بذراع واحدة كان صحيحا. ولقياس الاحتمال المتناقص بإيجاز مع نمو حجم الشبكة، يستخدم الباحثون الأس من المقام، 5/48، والذي يُعرف باسم الأس ذو الذراع الواحدة.

أراد نولين حساب الأس ذو الذراعين الأحادي اللون الأكثر مراوغة. المحاكاة العددية في عام 1999 أظهر أنه كان قريبًا جدًا من 0.3568، لكن علماء الرياضيات فشلوا في تحديد قيمته الدقيقة.

كان من الأسهل بكثير حساب ما يعرف بالأس متعدد الألوان ذو الذراعين، والذي يميز احتمالية أنه، بدءًا من المركز، لا يمكنك العثور على مسار "مفتوح" إلى المحيط فحسب، بل أيضًا مسار "مغلق" منفصل. (فكر في المسار المغلق باعتباره المسار الذي يجتاز قمم الجدران الخرسانية للمتاهة). في عام 2001، ستانيسلاف سميرنوف وفيرنر ثبت أن هذا الأس كان 1/4. (نظرًا لأن 1/4 أكبر بكثير من 5/48، فإن $latex 1/n^{1/4}$ يتقلص بسرعة أكبر من $latex 1/n^{5/48}$ مثل n ينمو. إذن، فإن احتمال وجود هيكل متعدد الألوان ثنائي الذراعين أقل بكثير من احتمال وجود ذراع واحدة، كما قد يتوقع المرء.)

وقد اعتمد هذا الحساب بشكل كبير على المعرفة حول شكل المجموعات في الرسم البياني. تخيل أن المتاهة ذات الاحتمالية الحرجة كبيرة للغاية، وتتكون من ملايين وملايين الأشكال السداسية. ابحث الآن عن مجموعة من الأشكال السداسية الفارغة وتتبع حافة المجموعة بقلم شاربي أسود سميك. ربما لن ينتج عن هذا نقطة مستديرة بسيطة. من أميال في الهواء، سترى منحنى متلألئًا يتضاعف باستمرار، ويبدو غالبًا كما لو كان على وشك عبور نفسه ولكنه لا يلتزم تمامًا.

هذا هو نوع من المنحنيات يسمى منحنى SLE، الذي قدمه شرام في عام 1999 ورقة 2000 التي أعادت تعريف المجال. يعلم عالم الرياضيات الذي يدرس فرص العثور على مسار واحد مفتوح ومسار مغلق أن هذين المسارين يجب أن يقعا داخل مجموعات أكبر من المواقع المفتوحة والمغلقة، والتي تلتقي في النهاية على طول منحنى SLE. ثم تُترجم الخصائص الرياضية لمنحنيات SLE إلى معلومات لا تقدر بثمن حول المسارات داخل المتاهة. ولكن إذا كان علماء الرياضيات يبحثون عن مسارات متعددة من نفس النوع، فإن منحنيات SLE تفقد الكثير من فعاليتها.

بحلول عام 2007، أنشأ نولين ومعاونه فنسنت بيفارا محاكاة عددية توضح أن الأس أحادي اللون ذو الذراعين كان حوالي 0.35. كان هذا قريبًا بشكل مثير للريبة من 17/48 - مجموع الأس ذو الذراع الواحدة، 5/48، والأس متعدد الألوان ذو الذراعين، 1/4 (أو 12/48). قال نولين: "إن 17/48 أمر مذهل حقًا". بدأ يشك في أن 17/48 هي الإجابة الصحيحة، مما يعني أن هناك رابطًا بسيطًا بين الأنواع المختلفة من الأسس. يمكنك فقط إضافتها معًا. قلنا: حسنًا، من الجيد جدًا أن تكون كاذبًا؛ يجب أن يكون صحيحا."

لفترة من الوقت، لم يأت أي شيء من تخمين نولين وبيفارا، على الرغم من أن نولين نشره على موقعه على الإنترنت ليعمل عليه الآخرون. وانتقل إلى هونغ كونغ في عام 2017 ليتولى منصب الأستاذية في جامعة مدينة هونغ كونغ، واستمر في العمل على حل هذه المشكلة. في عام 2018، طرح الأس في محادثة مع وي تشيان، الذي كان آنذاك باحثًا في مرحلة ما بعد الدكتوراه في جامعة كامبريدج في إنجلترا. كان تشيان يدرس الهندسة العشوائية في السياق المستمر وليس المنفصل، مع التركيز بشكل خاص على منحنيات SLE. كانت في خضم مشروع يستخدم SLE لحساب الأسس في نوع مختلف من النماذج العشوائية، وبدأت نولين تشك في أن خبرتها كانت ذات صلة بالأس أحادي اللون ثنائي الذراع أيضًا. وسرعان ما وجد الزوج معادلة تبدو بسيطة والتي سيعطي حلها الأس، لكن تلك المعادلة اعتمدت على كمية متوسطة لها علاقة بالمساحة المحاطة بمنحنى SLE عند حافة الشبكة. لم يتمكن نولين وتشيان من تحديد هذا الرقم.

وقال تشيان: "لقد أجريت الكثير من الحسابات، لكنني لم أتمكن بعد من حساب هذه الخاصية". "لم أنجح، لذا توقفت لبعض الوقت."

وأضاف نولين: "لم نذكر ذلك لأي شخص أبدًا لأننا لم نكن متأكدين مما إذا كان سيكون مفيدًا أم لا".

الأس العمود الفقري

يعد الأس ذو الذراعين أحادي اللون مثيرًا للاهتمام بشكل خاص لأنه يصف أيضًا "العمود الفقري" للشبكة: مجموعة الأشكال السداسية المرتبطة بذراعين متميزين يمتدان إلى ذراعين غير متداخلين: أحدهما إلى حافة المتاهة والآخر إلى مركزها. عندما يتم تلوين هذه المواقع، فإنها تشكل شبكة تصل عبر الشبكة بأكملها وتسمى العمود الفقري. عندما يقوم الباحثون بوضع نموذج لانتشار الأمراض أو التكوينات الصخرية المسامية، فإن العمود الفقري هو طريق سريع يمكن أن تتدفق عبره الميكروبات أو النفط. يكشف الأس الذي سعى إليه نولين وتشيان عن حجم العمود الفقري ويشار إليه باسم الأس العمود الفقري.

لم يكن نولين وتشيان الوحيدين بعد العمود الفقري. شين صن، الذي كان آنذاك في جامعة بنسلفانيا، كان يحاول أيضًا حساب الأس الأساسي. على مدى السنوات السابقة، اكتشف صن ومعاونوه، بما في ذلك نينا هولدن من جامعة نيويورك، طريقة لدراسة منحنيات SLE باستخدام الأسطح الفركتلية العشوائية. تحتوي هذه الأسطح المنحنية المترامية الأطراف على حواف صدفية تمتد إلى محلاق طويل. تقع بعض النقاط على بعد مسافة قصيرة من جيرانها، في حين أن البعض الآخر عبارة عن رحلة تستغرق أشهرًا. وفي أماكن معينة، تكون هذه التأثيرات متطرفة للغاية بحيث لا يمكن تصورها. قال هولدن: "ليس من الممكن في الواقع رسمها" بدقة تامة. "يجب عليك أن تمد السطح كثيرًا."

في صيف عام 2022، قام صن بتجنيد Zijie Zhuang، وهو طالب دراسات عليا في السنة الثانية، للانضمام إلى دراسة المتاهة العشوائية في الاحتمال الحرج. لقد أخذوا في الاعتبار متاهات عشوائية حيث تقع الأشكال السداسية على سطح كسري عشوائي، بدلاً من وضعها على مستوى مسطح. نظرًا لأن الصدفة تحدد مكان ومدى تمدد السطح وضغطه، فإن السطح له خصائص فريدة. (تجعل هذه الخصائص أيضًا مثل هذه الأسطح مفيدة للفيزيائيين الذين يدرسون نماذج الجاذبية الكمومية في كون ثنائي الأبعاد، ويطلقون عليها اسم: أسطح ليوفيل للجاذبية الكمية.) على سبيل المثال، إذا أخذت مقصًا إلى مثل هذا السطح، فإن أشكال نصفين لا يعتمدان على بعضهما البعض. وقال: "هذا النوع من الاستقلال يبسط الأمور بشكل كبير". سكوت شيفيلد من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. عندما تكون الأمور عشوائية، فإنك تعرف القليل عنها، ولكن هذا قد يعني معلومات أقل يجب أخذها بعين الاعتبار بشكل مضجر.

حاول صن وتشوانغ أولاً تحديد احتمالية وجود مسار مفتوح يربط دائرة صغيرة حول مركز الشبكة بدائرة محيطة أكبر. بعد أن أجابوا على هذا السؤال، اقترح صن خطوة للأمام في طموحهم: حساب احتمال وجود مسارين يربطان الدوائر المتداخلة، وهو ما كان سيمنحهم طريقة لحساب الأس الأساسي. ولكن سرعان ما واجهوا صعوبات. وكتب تشوانغ في رسالة بالبريد الإلكتروني: "لقد جربنا هذا النهج لعدة أشهر، ولكن يبدو أن الحساب لم يكن سهلاً للغاية".

وفي الوقت نفسه، على الرغم من أن نولين وتشيان لم ينجحا في إيجاد قيمة الأس، إلا أنهما أحرزا تقدمًا بطرق أخرى. أخذت تشيان إجازة من منصبها في المركز الوطني الفرنسي للبحث العلمي وانضمت إلى نولين كأستاذة في جامعة مدينة هونغ كونغ. (تزوجا أيضًا). وفي صيف عام 2021، عثرت على بعض الأوراق البحثية التي كتبها صن ومعاونوه والتي أثارت اهتمامها، لذلك مع رفع قيود السفر الوبائية، خططت لزيارة معهد الدراسات المتقدمة في برينستون في ديسمبر 2022. ، نيو جيرسي، حيث كان صن يقضي العام.

لقد أثبتت أنها زيارة مربحة. عندما وصفت تشيان المعادلة التي وجدتها هي ونولين، بدأت صن تعتقد أنها قد تكون قابلة للتطبيق مع أسلوبه وأسلوب تشوانغ في تراكب المتاهات على أسطح الجاذبية الكمومية في ليوفيل. قال صن: "إنها نوع من الصدفة". "شخص واحد لديه قفل، وشخص آخر لديه مفتاح."

كان Zhuang متشككًا بعض الشيء. وقال واصفاً الوضع في ذلك الوقت: "ليس لدينا توقعات، ولا نعرف حتى ما إذا كانت الصيغة ستحظى بحل جيد". قضى صن وتشوانغ الأشهر القليلة التالية في استخدام تقنيات ليوفيل للجاذبية الكمية - وهي المفتاح - لفتح الكمية المراوغة في معادلة نولين وتشيان من سنوات سابقة - القفل.

وبعد أربعة أشهر من العمل، فتح صن وتشوانغ القفل المجازي. أرسل صن بريدًا إلكترونيًا إلى تشوانغ وتشيان ونولين، يعلن فيه: "أخبار عظيمة: الصيغة الدقيقة للأس الأساسي". ووجد أن الإجابة كانت عبارة عن تعبير معقد إلى حد ما عن الجذور التربيعية ودالة الجيب المثلثية. لقد كان متوافقًا مع التقديرات السابقة، وهو تدفق لا نهاية له من الأرقام يبدأ بـ 0.3566668.

حول الأربعة عملهم إلى ورقة مكتوبة، مما أدى إلى تحسين الحجة حتى تم دمج أفكار نولين وتشيان من جهة، وسون وتشوانغ من جهة أخرى، لإنشاء دليل وصفه شيفيلد، الذي كان مستشار الدكتوراه لصن، بأنه "جميل". جوهرة." قال هولدن: "إن استراتيجية الإثبات هي بالتأكيد مفاجئة ومبتكرة للغاية، ولكن عندما تراها، فهي أيضًا شيء طبيعي نوعًا ما".

يعرب نولين عن أسفه لشكوكه في عام 2011 بأن الأس كان بالضبط 17/48. "لقد ضللنا الميدان لبعض الوقت. أنا لست فخورًا جدًا بذلك." يختلف الأس العمود الفقري بشكل لافت للنظر عن أبناء عمومته متعددي الألوان. ليس فقط أنه غير عقلاني، ولكنه أيضًا متعالي، مما يعني أنه مثل $latex pi$ و e، لا يمكن كتابتها كحل لمعادلة متعددة الحدود بسيطة.

وقال: "إن الدليل لا يفسر حقاً من أين أتت هذه الصيغة". "لقد عرضناها على الفيزيائيين، ونحن نتطلع حقًا إلى رؤيتهم."

لقد جذبت الطبيعة المتسامية للعمود الفقري انتباه الآخرين في هذا المجال. غريغوري هوبر من تشان زوكربيرج Biohub، الذي شارك في تأليف أ مقالة متابعة حول الأس العمود الفقري، قال إنه يعتقد أن النتيجة هي "اللمحة الأولى لقارة جديدة" في الميكانيكا الإحصائية. على الرغم من أن الجمع بين منحنيات SLE وجاذبية ليوفيل الكمومية أمر تقني للغاية، إلا أن الإجابة العددية الواضحة والبسيطة التي ظهرت، كما كتب، "بسيطة وأنيقة بشكل مدهش".