في عام 2008، توفي عالم الرياضيات أوديد شرام في حادث أثناء المشي في جبال كاسكيد على بعد حوالي 50 ميلاً شرق سياتل. وعلى الرغم من أنه كان يبلغ من العمر 46 عامًا فقط، إلا أنه قام ببناء مجالات جديدة تمامًا في الرياضيات.

قال: "لقد كان عالم رياضيات رائعاً". إيتاي بنياميني، عالم رياضيات في معهد وايزمان للعلوم وصديق شرام ومعاونه. "مبدع للغاية، أنيق للغاية، أصلي للغاية."

ولا تزال الأسئلة التي طرحها تدفع حدود نظرية الاحتمالات والفيزياء الإحصائية. تتعلق العديد من هذه الأسئلة بالبنى الرياضية التي تمر بمرحلة انتقالية، أي تغير مجهري مفاجئ، مثل ذوبان الجليد في الماء. كما أن المواد المختلفة لها نقاط انصهار مختلفة، فإن التحولات الطورية للهياكل الرياضية تختلف أيضًا.

توقع شرام أن المرحلة الانتقالية في عملية تسمى الترشيح يمكن تقديرها باستخدام نظرة قريبة فقط للنظام - تسمى المنظور المحلي - للعديد من الهياكل الرياضية المهمة. إن التكبير على طول الطريق والنظر إلى الأمر برمته لن يغير الحساب بشكل كبير. في السنوات الخمس عشرة الماضية، قام علماء الرياضيات بتفكيك أجزاء صغيرة من التخمين، لكن حتى الآن، لم يتمكنوا من حلها بشكل كامل.

في باقة تم نشر النسخة المسبقة في أكتوبر, توم هاتشكروفت من معهد كاليفورنيا للتكنولوجيا وطالب الدكتوراه فيليب إيسو أثبت تخمين مكانة شرام. يعتمد برهانهم على أفكار رئيسية من نظرية الاحتمالات ومجالات الرياضيات الأخرى، والتي جمعوها بطريقة ذكية.

"إنها ورقة رائعة. قال بنياميني: “إنه تراكم للعمل الطويل”.

مجموعات لا حصر لها

تشير كلمة "الترشيح" في الأصل إلى حركة السوائل عبر وسط مسامي، مثل تدفق الماء عبر القهوة المطحونة أو تسرب الزيت من خلال الشقوق الموجودة في الصخور.

في عام 1957، قام عالما الرياضيات سيمون رالف برودبنت وجون مايكل هامرسلي بتطوير نموذج رياضي لهذه العملية الفيزيائية. وفي العقود التي تلت ذلك، أصبح هذا النموذج موضوعًا للدراسة في حد ذاته. يدرس علماء الرياضيات الترشيح لأنه يحقق توازنًا مهمًا: الإعداد بسيط، لكنه يعرض ميزات معقدة ومحيرة.

وقال هاتشكروفت: "إنه نوع من النموذج الأساسي لعلماء الرياضيات". "يمكنك التفكير في الأشياء بصريًا. وهذا يجعل العمل معه أمرًا رائعًا حقًا."

يبدأ الترشيح بالرسم البياني، وهو عبارة عن مجموعة من القمم (النقاط) التي يمكن ربطها بواسطة الحواف (الخطوط). أحد أبسط الأمثلة هو الشبكة المربعة، حيث تصطف القمم لتشكل زوايا المربعات وحواف تربط بعضها.

قبل وقت قصير من وفاته، توقع شرام أن نظرية جريميت ومارستراند يمكن تعميمها. كان يعتقد أن عتبة الترشيح يتم تحديدها بالكامل من خلال المنظور المقرب أو "المجهري" لفئة كبيرة من الرسوم البيانية المعروفة باسم الرسوم البيانية المتعدية.

بنياميني في عام 2009 عساف نحمياس و يوفال بيريز ثبت تخمين شرام المحلي، كما هو معروف الآن، لنوع معين من الرسم البياني المتعدي الذي يشبه الشجرة. ومع ذلك، فقد افترض شرام أن هذا ينطبق على جميع الرسوم البيانية المتعدية (باستثناء الرسوم البيانية أحادية البعد).

في الرسم البياني المتعدي، تبدو جميع القمم متشابهة. الشبكة ثنائية الأبعاد هي أحد الأمثلة. إذا اخترت أي رأسين، يمكنك دائمًا العثور على التماثل الذي يحرك رأسًا واحدًا إلى الآخر.

تنطبق هذه العلاقة على أي رسم بياني متعدية. وبسبب هذه التماثلات، إذا قمت بتكبير الصورة ونظرت إلى أي رقعتين متساويتين في الحجم في الرسم البياني المتعدي، فسوف تبدوان متماثلتين. لهذا السبب، اعتقد شرام أن المنظور المقرب كان كافيًا للسماح لعلماء الرياضيات بحساب عتبة الترشيح لجميع الرسوم البيانية المتعدية.

يمكن أن تتخذ الرسوم البيانية المتعدية العديد من الأشكال والأشكال. يمكن أن تكون شبكة بسيطة، مكونة من مربعات أو مثلثات أو أشكال سداسية أو أي شكل آخر. أو يمكنهم تشكيل كائن أكثر تعقيدًا، مثل "شجرة ثلاثية منتظمة"، حيث تتصل نقطة مركزية واحدة بثلاثة رؤوس، ثم تتفرع كل قمة لتكوين نقطتين جديدتين إلى ما لا نهاية، ونرى الخطوات القليلة الأولى هنا:

ساهم تنوع الرسوم البيانية المتعدية في صعوبة إثبات حدسية شرام المحلية. في غضون 15 عامًا بين حدسية شرام وبرهان إيسو وهاتشكروفت، أثبتت مجموعات مختلفة من علماء الرياضيات التخمين الخاص بأنواع معينة من الرسوم البيانية، لكن أفكارهم لم تمتد أبدًا إلى الحالة العامة.

وقال هاتشكروفت: "إن مساحة جميع الأشكال الهندسية الممكنة واسعة جدًا، وهناك دائمًا أشياء غريبة كامنة".

توسيع العدسة

لم يكن إيسو وهاتشكروفت يبحثان في البداية عن حل لحدسية شرام المحلية، والتي تنطبق على الرسوم البيانية اللانهائية. كانوا بدلاً من ذلك يدرسون الترشيح على الرسوم البيانية المحدودة. لكن كانت لديهم فكرة حولت انتباههم فجأة إلى هذا التخمين.

وقال إيسو: "لقد توصلنا إلى هذه الأداة الجديدة، واعتقدنا أن هذا يبدو وكأنه نوع من الأشياء التي يمكن أن تكون مفيدة لمهاجمة المنطقة المحلية".

ولإثبات هذا التخمين، احتاجوا إلى إثبات أن المنظور المجهري يعطي لمحة دقيقة عن عتبة الترشيح. عند عرض جزء فقط من الرسم البياني ومراقبة مجموعة كبيرة متصلة، قد تفترض أن الرسم البياني يحتوي على مجموعة لا نهائية وبالتالي فهو أعلى من عتبة الترشيح. شرع إيسو وهاتشكروفت في إثبات ذلك.

لقد اعتمدوا على تقنية يمكن اعتبارها “توسيع العدسة”. ابدأ برأس واحد. ثم قم بالتصغير لعرض جميع القمم التي تبعد حافة واحدة فقط عن الرسم البياني الأصلي. على الشبكة المربعة، ستتمكن الآن من رؤية إجمالي خمس رؤوس. قم بتوسيع العدسة مرة أخرى لترى جميع القمم على مسافة حافتين، ثم مسافة ثلاثة حواف، وأربع حواف، وهكذا.

قام Easo وHutchcroft بتعيين القرص الذي يحدد عدد الروابط الموجودة بالقرب من المكان الذي رأوا فيه مجموعة كبيرة. ثم قاموا بتوسيع العدسة، وشاهدوا المزيد والمزيد من الحواف تتجمع في مجموعتهم الكبيرة. أثناء قيامهم بذلك، كان عليهم زيادة احتمالية وجود الروابط، مما يسهل إظهار أن الرسم البياني يحتوي على مكون كبير متصل. هذا هو عمل التوازن الدقيق. لقد احتاجوا إلى توسيع مجال الرؤية بسرعة كافية وإضافة روابط ببطء كافٍ للكشف عن الرسم البياني اللامتناهي الكامل دون تغيير موضع القرص بشكل كبير.

لقد تمكنوا من إظهار أن التجمعات الكبيرة تنمو بشكل أسرع من التجمعات الأصغر حجمًا، بحيث، على حد تعبير إيسو، "تنمو مجموعتك بشكل أسرع وأسرع كلما أصبحت أكبر فأكبر، تمامًا كما يحدث عندما تدحرج كرة الثلج".

بالنسبة للشبكة المربعة، فإن عدد القمم ينمو ببطء نسبيًا. إنه تقريبًا عرض العدسة المربعة. بعد 10 خطوات، ستجد حوالي 100 رأس. لكن الشجرة العادية ذات 3 تنمو بشكل أسرع بشكل كبير - ما يقرب من 2 مرفوعة إلى قوة عرض العدسة. بعد 10 خطوات، سترى ما يقرب من 1,024 رأسًا. يوضح الرسم التوضيحي أدناه كيف أن الشجرة ذات الثلاث صفوف المنتظمة أصبحت أكبر بكثير بعد سبع خطوات فقط، على الرغم من أن الشبكة المربعة تحتوي على عدد أكبر من القمم في البداية. بشكل عام، يمكن أن يكون للرسوم البيانية معدلات نمو مختلفة على مستويات مختلفة - فقد تبدأ بسرعة، ثم تتباطأ.

مرة أخرى في عام 2018، هاتشكروفت تستخدم فكرة مماثلة لإثبات التخمين المحلي للرسوم البيانية سريعة النمو مثل الشجرة المنتظمة 3. ولكنها لم تنجح مع الرسوم البيانية ذات النمو البطيء مثل الشبكة المربعة، أو مع الرسوم البيانية التي تنمو بسرعة متوسطة، ولا تلبي المعايير الرياضية للنمو السريع ولا المعايير الرياضية للنمو البطيء.

قال هاتشكروفت: "هذا هو المكان الذي تصبح فيه الأمور محبطة للغاية لمدة ثلاث سنوات تقريبًا".

الهيكل مقابل التوسع

بالنسبة للرسوم البيانية التي تمزج بين معدلات النمو بمقاييس مختلفة، يتعين عليك استخدام مجموعة متنوعة من التقنيات.

إحدى الحقائق المفيدة للغاية هي أنه، كما أوضح إيسو، "إذا بدا الرسم البياني بطيئًا في النمو على نطاق ما، فإنه يتعطل". وسوف تستمر في النمو ببطء على نطاقات أكبر. نظرًا لأن الرسوم البيانية بطيئة النمو لها بنية إضافية يحددها فرع من الرياضيات يسمى نظرية المجموعة، فقد كان من المعروف أيضًا أنه إذا قمت بالتصغير بدرجة كافية، فإن الرسوم البيانية بطيئة النمو تعرض هندسة مروضة رياضيًا.

في عام 2021، سيباستيان مارتينو من جامعة السوربون في باريس، بالتعاون مع دانييل كونتريراس و فنسنت تاسيون من ETH Zurich، كان قادرًا على استخدام هذه الخاصية إثبات حدسية شرام المحلية للرسوم البيانية التي تنمو ببطء في النهاية.

عند هذه النقطة، نجحت المجموعتان من علماء الرياضيات في معالجة التخمين من اتجاهين مختلفين: النمو السريع والنمو البطيء. لكن هذا ترك فجوات كبيرة. على سبيل المثال، هناك فئة متوسطة النمو لم تغطيها تقنية إيسو وهاتشكروفت أو برهان كونتريراس ومارتينو وتاسيون. وكانت المشكلة الأخرى هي أن الحجج لا تزال لا تنطبق على الرسوم البيانية ذات معدلات النمو المتغيرة - فقط تلك التي ظلت سريعة أو ظلت بطيئة. لكي يتم تطبيق حجة كونتريراس ومارتينو وتاسيون على الرسوم البيانية العشوائية، لم يكن كافيًا أن تبدو الهندسة في نهاية المطاف بسيطة عند التصغير، أوضح إيسو: "نحن بحاجة إلى أن تبدو بسيطة الآن، بالقرب من المقياس الحالي".

في مكان ضائع

الرسوم البيانية المتعدية للنمو المتوسط ​​غامضة للغاية. لم يعثر علماء الرياضيات مطلقًا على مثال للرسم البياني المتعدي الذي يقع نموه في هذا النطاق. من الممكن أنهم غير موجودين حتى. لكن علماء الرياضيات لم يثبتوا عدم وجودها، لذا فإن أي دليل كامل على تخمين شرام للمحلية يجب أن يتناولها. إضافة إلى التحدي، احتاج إيسو وهاتشكروفت إلى معالجة الرسوم البيانية التي قد يكون لها نمو متوسط ​​لفترة وجيزة فقط على مقياس طول معين، حتى لو كانت تنمو بشكل أسرع أو أبطأ عند التكبير أو التصغير.

أمضى إيسو وهاتشكروفت جزءًا كبيرًا من العام الماضي في العمل على توسيع نطاق نتائجهما بحيث تنطبق على الرسوم البيانية التي لم تكن مشمولة بأي من الطرق السابقة.

أولاً، قاموا بتعديل تقنية 2018 التي طبقها هاتشكروفت على الرسوم البيانية سريعة النمو للعمل على الرسوم البيانية التي تغير مستويات النمو على مستويات مختلفة. ثم تناولوا قضية النمو البطيء في ورقة من 27 صفحة لقد شاركوا في أغسطس الذي توسع في العمل على كونتريراس ومارتينو وتاسيون. وأخيرا، في طبعتهم الأولية لشهر أكتوبر/تشرين الأول، ابتكروا حجة أخرى باستخدام نظرية المشي العشوائي - الخطوط التي تهتز بشكل عشوائي عبر الفضاء - للتعامل مع حالة النمو المتوسط. ومع اكتمال عملية الانقسام الثلاثي، أثبتوا تخمين شرام للمحلية.

قال هاتشكروفت: "كان علينا أن نلقي بكل ما نعرفه على عاتق المشكلة".

يمنح الحل علماء الرياضيات رؤية أفضل لما يحدث فوق عتبة الترشيح، حيث تكون فرصة وجود مجموعة لا نهائية 100%، وتحتها، حيث تكون الفرصة 0%. لكن علماء الرياضيات ما زالوا في حيرة من أمرهم إزاء ما يحدث بالضبط عند عتبة معظم الرسوم البيانية، بما في ذلك الشبكة ثلاثية الأبعاد. قال: "ربما يكون هذا هو السؤال المفتوح الأكثر شهرة والأكثر أساسية في نظرية الترشيح". راسل ليونز من جامعة إنديانا.

تعد الشبكة ثنائية الأبعاد واحدة من الحالات القليلة التي أثبت فيها علماء الرياضيات ما يحدث بالضبط عند العتبة: لا تتشكل مجموعات لا نهائية. وبعد أن أثبت جريميت ومارستراند نسخة من التخمين المحلي للألواح الكبيرة، أظهر جريميت ومعاونوه أنه إذا قمت بتقطيع شبكة ثلاثية الأبعاد إلى نصفين أفقيًا، وإنشاء أرضية، وضبط القرص تمامًا على عتبة الترشيح، فلن تظهر مجموعات لا نهائية. تشير نتائجهم إلى أن الشبكة ثلاثية الأبعاد الكاملة، مثل نظيرتها ثنائية الأبعاد، قد لا تحتوي على مجموعة لا نهائية عند عتبة الترشيح.

في عام 1996، بنياميني وشرام تكهنت أن فرصة العثور على مجموعة لا نهائية عند العتبة هي صفر لجميع الرسوم البيانية المتعدية - تمامًا كما هو الحال بالنسبة للشبكة ثنائية الأبعاد أو الشبكة ثلاثية الأبعاد المقسمة إلى نصفين. والآن بعد أن تم تسوية التخمين المحلي، فإن فهم ما يحدث عند نقطة التحول قد يكون أقرب قليلاً.

تصحيح: 18 كانون الأول، 2023
يزداد عدد العقد الموجودة ضمن روابط n لعقدة البداية على الرسم البياني 3 العادي بمقدار 2 تقريبًاⁿ، ليس 3ⁿ كما ذكر هذا المقال في الأصل. تم تصحيح المقال.

كوانتا تجري سلسلة من الدراسات الاستقصائية لخدمة جمهورنا بشكل أفضل. خذ خاصتنا مسح قارئ الرياضيات وسيتم إدخالك للفوز مجانا كوانتا MERCH.