تحدث عمليات عشوائية في كل مكان حولنا. تمطر يومًا واحدًا ولكن ليس في اليوم التالي؛ الأسهم والسندات تكتسب وتفقد قيمتها؛ تتجمع الاختناقات المرورية وتختفي. نظرًا لأنها تحكمها عوامل عديدة تتفاعل مع بعضها البعض بطرق معقدة، فمن المستحيل التنبؤ بالسلوك الدقيق لهذه الأنظمة. وبدلاً من ذلك، فإننا نفكر فيها من حيث الاحتمالات، ونوصف النتائج بأنها محتملة أو نادرة.

اليوم، نظرية الاحتمالية الفرنسية ميشيل تلاجراند حصل على جائزة أبيل، وهي واحدة من أعلى الجوائز في الرياضيات، لتطوير فهم عميق ومتطور لمثل هذه العمليات. والجائزة التي قدمها ملك النرويج، على غرار جائزة نوبل، وتبلغ قيمتها 7.5 مليون كرونة نرويجية (حوالي 700,000 ألف دولار). وقال تلاجراند: عندما أُخبر بأنه فاز، "لقد أصبح ذهني فارغاً". "لم يكن نوع الرياضيات الذي أمارسه رائجًا على الإطلاق عندما بدأت. كان يعتبر الرياضيات أدنى. إن حصولي على هذه الجائزة هو دليل قاطع على أن الأمر ليس كذلك.

يتفق علماء الرياضيات الآخرون. وقال إن عمل تالاجراند "غير الطريقة التي أرى بها العالم". عساف ناؤور من جامعة برينستون. وأضاف اليوم هيلج هولدن"، رئيس لجنة جائزة أبيل، "لقد أصبح من الشائع جدًا وصف ونمذجة أحداث العالم الحقيقي من خلال عمليات عشوائية. يأتي صندوق أدوات تالاجراند على الفور.

ينظر تالاجراند إلى حياته على أنها سلسلة من الأحداث غير المتوقعة. بالكاد اجتاز المدرسة الابتدائية في ليون: على الرغم من أنه كان مهتمًا بالعلوم، إلا أنه لم يكن يحب الدراسة. عندما كان عمره 5 سنوات، فقد البصر في عينه اليمنى بعد انفصال الشبكية؛ في سن الخامسة عشرة، أصيب بثلاثة انفصال في الشبكية في عينه الأخرى، مما اضطره لقضاء شهر في المستشفى، معصوب العينين، خوفا من أن يصاب بالعمى. كان والده، أستاذ الرياضيات، يزوره كل يوم، ويشغل ذهنه بتعليمه الرياضيات. "هكذا تعلمت قوة التجريد،" تالاجراند كتب في 2019 بعد فوزه بجائزة Shaw، وهي جائزة رياضية كبرى أخرى تبلغ مكافأة قدرها 1.2 مليون دولار. (يستخدم تالاجراند بعضًا من هذه الأموال، إلى جانب مكاسبه في برنامج Abel، لتأسيس جائزة خاصة به، "تقديرًا لإنجازات الباحثين الشباب في المجالات التي كرست لها حياتي".)

لقد غاب عن المدرسة لمدة نصف عام أثناء تعافيه، لكنه كان مصدر إلهام لبدء التركيز على دراسته. برع في الرياضيات، وبعد تخرجه من الكلية عام 1974، تم تعيينه في المركز الوطني الفرنسي للبحث العلمي، وهو أكبر معهد بحثي في ​​أوروبا، حيث عمل حتى تقاعده عام 2017. وخلال تلك الفترة، حصل على الدكتوراه؛ وقع في حب زوجته المستقبلية، الإحصائي، من النظرة الأولى (عرض عليها الزواج بعد ثلاثة أيام من مقابلتها)؛ وتطور تدريجيًا اهتمامه بالاحتمالات، ونشر مئات الأوراق البحثية حول هذا الموضوع.

لم يكن ذلك محتوما. بدأ تالاجراند حياته المهنية بدراسة المساحات الهندسية عالية الأبعاد. وقال: "لمدة 10 سنوات، لم أكتشف ما أجيده". لكنه لا يندم على هذا الانعطاف. وقاده ذلك في النهاية إلى نظرية الاحتمالات، حيث قال: "كان لدي وجهة نظر أخرى... أعطتني طريقة للنظر إلى الأشياء بشكل مختلف". لقد مكنه من فحص العمليات العشوائية من خلال عدسة الهندسة عالية الأبعاد.

قال ناعور: “إنه يستخدم حدسه الهندسي لحل الأسئلة الاحتمالية البحتة”.

العملية العشوائية عبارة عن مجموعة من الأحداث التي تختلف نتائجها وفقًا للصدفة بطريقة يمكن نمذجتها - مثل تسلسل رمي العملة، أو مسارات الذرات في الغاز، أو إجمالي هطول الأمطار اليومي. يريد علماء الرياضيات فهم العلاقة بين النتائج الفردية والسلوك الكلي. كم مرة عليك أن تقلب العملة المعدنية لتعرف ما إذا كان ذلك عادلاً؟ هل سيفيض النهر على ضفافه؟

ركز تلاجراند على العمليات التي يتم توزيع نتائجها وفقًا لمنحنى على شكل جرس يسمى جاوسي. مثل هذه التوزيعات شائعة بطبيعتها ولها عدد من الخصائص الرياضية المرغوبة. لقد أراد أن يعرف ما يمكن قوله على وجه اليقين حول النتائج القصوى في هذه المواقف. لذا فقد أثبت مجموعة من المتباينات التي وضعت حدودًا عليا ودنيا ضيقة للنتائج المحتملة. وقال هولدن: "إن الحصول على تفاوت جيد هو قطعة فنية". وهذا الفن مفيد: إذ يمكن لأساليب تالاجراند أن تعطي تقديرًا مثاليًا، على سبيل المثال، لأعلى مستوى قد يرتفع إليه النهر في السنوات العشر المقبلة، أو حجم أقوى زلزال محتمل.

عندما نتعامل مع بيانات معقدة وعالية الأبعاد، قد يكون العثور على مثل هذه القيم القصوى أمرًا صعبًا.

لنفترض أنك تريد تقييم خطر فيضانات النهر، والذي سيعتمد على عوامل مثل هطول الأمطار والرياح ودرجة الحرارة. يمكنك نمذجة ارتفاع النهر كعملية عشوائية. قضى تالاجراند 15 عامًا في تطوير تقنية تسمى التسلسل العام والتي سمحت له بإنشاء مساحة هندسية عالية الأبعاد مرتبطة بهذه العملية العشوائية. وقال ناعور إن طريقته "تمنحك طريقة لقراءة الحد الأقصى من الهندسة".

هذه التقنية عامة جدًا وبالتالي قابلة للتطبيق على نطاق واسع. لنفترض أنك تريد تحليل مجموعة بيانات ضخمة وعالية الأبعاد تعتمد على آلاف المعلمات. لاستخلاص نتيجة ذات معنى، تحتاج إلى الحفاظ على أهم ميزات مجموعة البيانات مع وصفها من حيث عدد قليل من المعلمات فقط. (على سبيل المثال، هذه إحدى الطرق لتحليل ومقارنة الهياكل المعقدة للبروتينات المختلفة.) تحقق العديد من الأساليب الحديثة هذا التبسيط من خلال تطبيق عملية عشوائية تقوم بتعيين البيانات عالية الأبعاد إلى مساحة منخفضة الأبعاد . يمكن لعلماء الرياضيات استخدام طريقة تالاجراند التسلسلية العامة لتحديد الحد الأقصى لمقدار الخطأ الذي تقدمه هذه العملية، مما يسمح لهم بتحديد احتمالات عدم الحفاظ على بعض الميزات المهمة في مجموعة البيانات المبسطة.

لم يقتصر عمل تالاجراند على تحليل أفضل وأسوأ النتائج الممكنة لعملية عشوائية فحسب. كما درس أيضًا ما يحدث في الحالة المتوسطة.

في العديد من العمليات، يمكن للأحداث الفردية العشوائية، في مجملها، أن تؤدي إلى نتائج حتمية للغاية. إذا كانت القياسات مستقلة، فإن المجاميع تصبح قابلة للتنبؤ بها إلى حد كبير، حتى لو كان من المستحيل التنبؤ بكل حدث على حدة. على سبيل المثال، اقلب عملة معدنية عادلة. لا يمكنك قول أي شيء مقدمًا عما سيحدث. اقلبها 10 مرات، وستحصل على أربعة أو خمسة أو ستة رؤوس - قريبة من القيمة المتوقعة لخمسة رؤوس - حوالي 66% من الوقت. لكن اقلب العملة 1,000 مرة، وستحصل على ما بين 450 و550 صورة في 99.7% من الوقت، وهي نتيجة أكثر تركيزًا حول القيمة المتوقعة البالغة 500. وقال هولدن: "إنها حادة بشكل استثنائي حول المتوسط".

قال ناعور: “على الرغم من أن شيئًا ما يحتوي على قدر كبير من العشوائية، إلا أن العشوائية تلغي نفسها”. "ما بدا في البداية وكأنه فوضى رهيبة هو في الواقع منظم."

هذه الظاهرة، المعروفة بتركيز القياس، تحدث في عمليات عشوائية أكثر تعقيدًا أيضًا. توصل تالاجراند إلى مجموعة من حالات عدم المساواة التي تجعل من الممكن قياس هذا التركيز، وأثبت أنه ينشأ في العديد من السياقات المختلفة. كانت تقنياته بمثابة خروج عن العمل السابق في المنطقة. وكتب في مقالته المنشورة عام 2019 أن إثبات أول حالة من هذا النوع من عدم المساواة كان بمثابة "تجربة سحرية". لقد كان "في حالة من الابتهاج المستمر".

إنه فخور بشكل خاص بواحدة من حالات عدم المساواة في التركيز اللاحقة. وقال: "ليس من السهل الحصول على نتيجة تحاول التفكير في الكون، وفي الوقت نفسه تحتوي على دليل من صفحة واحدة يسهل شرحه". (ويتذكر بسعادة أنه استخدم ذات يوم خدمة سيارات الأجرة التي تعرف صاحبها على اسمه، بعد أن تعلم التفاوت خلال فصل الاحتمالات في كلية إدارة الأعمال. وقال: "كان ذلك غير عادي".)

مثل طريقة التسلسل العامة، تظهر عدم المساواة في التركيز عند تالاجراند في جميع أنحاء الرياضيات. قال ناعور: "إنه لأمر مدهش إلى أي مدى يصل الأمر". "إن عدم المساواة في تالاغراند هي البراغي التي تربط الأشياء ببعضها البعض."

خذ بعين الاعتبار مشكلة التحسين حيث يتعين عليك فرز العناصر ذات الأحجام المختلفة في صناديق - نموذج لتخصيص الموارد. عندما يكون لديك الكثير من العناصر، يكون من الصعب جدًا معرفة أصغر عدد من الصناديق التي ستحتاج إليها. لكن متباينات تالاجراند يمكن أن تخبرك بعدد الصناديق التي من المحتمل أن تحتاج إليها إذا كانت أحجام العناصر عشوائية.

تم استخدام طرق مماثلة لإثبات ظاهرة التركيز في التوافقيات والفيزياء وعلوم الكمبيوتر والإحصاء وغيرها من الإعدادات.

في الآونة الأخيرة، طبق تالاجراند فهمه للعمليات العشوائية لإثبات تخمين مهم حول النظارات المغزلية، وهي مواد مغناطيسية مضطربة تنشأ عن تفاعلات عشوائية ومتضاربة في كثير من الأحيان. كان تالاجراند محبطًا لأنه على الرغم من أن نظارات الدوران محددة جيدًا رياضيًا، إلا أن الفيزيائيين فهموها بشكل أفضل من علماء الرياضيات. وأضاف: "لقد كانت شوكة في أقدامنا". لقد أثبت نتيجة - حول ما يسمى بالطاقة الحرة للنظارات المغزلية - التي قدمت الأساس لنظرية أكثر رياضية.

طوال حياته المهنية، اتسمت أبحاث تالاجراند "بهذه القدرة على الرجوع إلى الوراء والعثور على المبادئ العامة التي يمكن إعادة استخدامها في كل مكان"، كما قال ناعور. "إنه يعيد النظر ويعيد النظر ويفكر في شيء ما من جميع أنواع وجهات النظر. وفي نهاية المطاف، يقدم رؤية تصبح بمثابة العمود الفقري الذي يستخدمه الجميع.

قال تالاجراند: "أحب أن أفهم الأشياء البسيطة جيدًا، لأن عقلي بطيء جدًا". "لذلك أفكر فيهم لفترة طويلة جدًا." وقال إنه مدفوع بالرغبة في "فهم شيء ما بعمق، بطريقة نقية، مما يجعل النظرية أسهل بكثير. ومن ثم يمكن للجيل القادم أن يبدأ من هناك ويحرز التقدم بشروطه الخاصة.

على مدار العقد الماضي، حقق ذلك من خلال تأليف كتب دراسية، ليس فقط عن العمليات العشوائية والنظارات الدورانية، ولكن أيضًا عن مجال لا يعمل فيه على الإطلاق، وهو نظرية المجال الكمي. لقد أراد أن يتعلم المزيد عن ذلك، لكنه أدرك أن جميع الكتب المدرسية التي يمكن أن يجدها كتبها ولصالح علماء الفيزياء، وليس علماء الرياضيات. لذلك كتب واحدة بنفسه. وقال: "بعد أن لم يعد بإمكانك اختراع الأشياء، يمكنك تفسيرها".