من المقرر إطلاق صاروخ فالكون هيفي في أكتوبر من كيب كانافيرال في فلوريدا، حاملاً مهمة يوروبا كليبر التابعة لناسا. وتهدف المهمة التي تبلغ تكلفتها 5 مليارات دولار إلى معرفة ما إذا كان أوروبا، رابع أكبر قمر لكوكب المشتري، يمكنه دعم الحياة. ولكن نظرًا لتعرض أوروبا للقصف المستمر من الإشعاع المكثف الناتج عن المجال المغناطيسي لكوكب المشتري، لا تستطيع مركبة كليبر الفضائية أن تدور حول القمر نفسه. وبدلاً من ذلك، سينزلق إلى مدار غريب الأطوار حول كوكب المشتري ويجمع البيانات عن طريق التأرجح بشكل متكرر حول أوروبا - 53 مرة في المجموع - قبل التراجع عن أسوأ الإشعاع. في كل مرة تدور فيها المركبة الفضائية حول كوكب المشتري، سيكون مسارها مختلفًا قليلاً، مما يضمن قدرتها على التقاط الصور وجمع البيانات من قطبي يوروبا إلى خط الاستواء.

للتخطيط لجولات معقدة مثل هذه، يستخدم مخططو المسار نماذج حاسوبية تحسب المسار بدقة خطوة بخطوة. يأخذ التخطيط في الاعتبار المئات من متطلبات المهمة، ويتم دعمه بعقود من البحث الرياضي في المدارات وكيفية دمجها في جولات معقدة. يقوم علماء الرياضيات الآن بتطوير أدوات يأملون في استخدامها لخلق فهم أكثر منهجية لكيفية ارتباط المدارات ببعضها البعض.

"ما لدينا هو الحسابات السابقة التي قمنا بها، والتي ترشدنا أثناء قيامنا بالحسابات الحالية. لكنها ليست صورة كاملة لجميع الخيارات المتاحة لدينا”. دانيال شيريس، مهندس طيران في جامعة كولورادو، بولدر.

وقال دايونج كوه، المهندس في مختبر الدفع النفاث التابع لناسا: "أعتقد أن هذا كان أكبر إحباط لي عندما كنت طالباً". "أعلم أن هذه المدارات موجودة، لكني لا أعرف السبب." ونظرًا لتكلفة وتعقيد البعثات إلى أقمار المشتري وزحل، فإن عدم معرفة سبب وجود المدارات في مكانها يمثل مشكلة. ماذا لو كان هناك مدار مختلف تمامًا يمكنه إنجاز المهمة بموارد أقل؟ وكما قال كوه: "هل وجدتهم جميعًا؟ هل من مزيد؟ لا أستطيع أن أقول ذلك.

بعد حصولها على درجة الدكتوراه من جامعة جنوب كاليفورنيا في عام 2016، أصبحت كوه مهتمة بكيفية تصنيف المدارات إلى عائلات. وتشكل مدارات المشتري البعيدة عن أوروبا مثل هذه العائلة؛ وكذلك الحال بالنسبة للمدارات القريبة من أوروبا. لكن العائلات الأخرى أقل وضوحا. على سبيل المثال، بالنسبة لأي جسمين، مثل كوكب المشتري وأوروبا، هناك نقطة وسيطة حيث تتوازن تأثيرات جاذبية الجسمين لإنشاء نقاط مستقرة. يمكن للمركبة الفضائية أن تدور حول هذه النقطة، على الرغم من عدم وجود شيء في مركز المدار. وتشكل هذه المدارات عائلة تسمى مدارات ليابونوف. أضف القليل من الطاقة إلى هذا المدار عن طريق إطلاق محرك المركبة الفضائية، وفي البداية ستبقى في نفس العائلة. لكن أضف ما يكفي، وستنتقل إلى عائلة أخرى، على سبيل المثال، عائلة تضم كوكب المشتري في مداراته. قد تحتاج بعض المجموعات المدارية إلى وقود أقل من غيرها، أو تظل في ضوء الشمس طوال الوقت، أو تتمتع بميزات أخرى مفيدة.

في عام 2021، صادف كوه ورقة بحثية تناقش كيفية التعامل مع المدارات الفوضوية من منظور الهندسة التناظرية، وهو مجال مجرد من الرياضيات بعيد كل البعد عن تفاصيل العالم الحقيقي الفوضوية. بدأت تشك في أن الهندسة التناظرية قد تحتوي على الأدوات التي تحتاجها لفهم المدارات بشكل أفضل، وتواصلت مع أوجوستين مورينو، مؤلف الورقة. كان مورينو آنذاك زميلًا لما بعد الدكتوراه في جامعة أوبسالا في السويد، وكان متفاجئًا وسعيدًا عندما سمع أن أحد الأشخاص في وكالة ناسا كان مهتمًا بعمله. وقال: "لقد كان الأمر غير متوقع، ولكنه كان أيضًا مثيرًا للاهتمام ومحفزًا نوعًا ما في نفس الوقت".

بدأ الاثنان العمل معًا، سعيًا لتطبيق تقنيات مورينو التجريدية على نظام المشتري-أوروبا وعلى زحل وقمره إنسيلادوس، والذي، مثل أوروبا، قد تكون له حياة في محيطه تحت الأرض. في العام الماضي، قاموا مع متعاونين آخرين بكتابة سلسلة من الأوراق البحثية التي إنشاء إطار For مدارات الفهرسة. في يناير/كانون الثاني، أكمل مورينو، الذي يعمل الآن أستاذا في جامعة هايدلبرغ، مسودة أولية حولت ورقة المسح الخاصة به إلى ورقة بحثية كتاب عن الموضوع. يريد من خلال الكتاب أن يجعل المجال التجريدي للهندسة التناظرية مفيدًا للمهندسين الذين يحاولون التخطيط للبعثات الفضائية. وإذا نجح، فسوف يعيد توحيد مجالات البحث التي تباعدت على مر القرون.

لا يوجد طريق ملكي إلى الهندسة

الهندسة التناظرية لها جذورها في الفيزياء. لنأخذ مثالا بسيطا، تخيل البندول. يمكن وصف حركتها بمعلمتين: الزاوية والسرعة. إذا كانت السرعة منخفضة بما فيه الكفاية، فسوف يتأرجح البندول ذهابًا وإيابًا. إذا كانت السرعة أعلى، فسوف تدور في دائرة. في البندول المثالي بدون احتكاك، بمجرد اختيار زاوية البداية والسرعة، يتم تحديد سلوك النظام طوال الوقت.

يمكنك إنشاء رسم بياني بالزاوية مثل x-المحور والسرعة كما y-محور. ولكن بما أن السفر بزاوية 360 درجة يعيدك إلى البداية، فيمكنك خياطة الخطوط الرأسية معًا x هي درجة الصفر وأين x هو 360 درجة. وهذا يجعل اسطوانة. لا تعكس الأسطوانة الواقع المادي بشكل مباشر، فهي لا تظهر المسارات التي يتتبعها البندول، بل تمثل كل نقطة عليها حالة معينة من البندول. تشكل الأسطوانة، جنبًا إلى جنب مع القوانين التي تحدد المسارات التي يمكن أن يتبعها البندول، مساحة متناظرة.

منذ أوائل القرن السابع عشر، عندما صاغ يوهانس كيبلر قوانينه، كان لدى الفيزيائيين وعلماء الرياضيات فهم قوي لكيفية وصف حركة جسمين يخضعان للجاذبية. اعتمادًا على مدى سرعة حركتها، تشكل مساراتها قطعًا ناقصًا أو قطعًا مكافئًا أو قطعًا زائدًا. تعد المساحات التوافقية المقابلة أكثر تعقيدًا من تلك الخاصة بالبندول، ولكنها لا تزال قابلة للتتبع. لكن تقديم كائن ثالث يجعل من المستحيل حساب الحلول التحليلية الدقيقة. ويصبح الأمر أكثر تعقيدًا فقط إذا أضفت المزيد من الأجسام إلى النموذج. وقال شيريس: "بدون هذه الرؤية التحليلية، فإنك دائمًا تقريبًا، على مستوى ما، تنطلق في الظلام".

تحتاج المركبة الفضائية التي يمكنها التحرك بحرية في أي اتجاه — من اليمين إلى اليسار، ومن الأعلى والأسفل، ومن الأمام إلى الخلف — إلى ثلاثة إحداثيات لوصف موقعها، وثلاثة إحداثيات أخرى لوصف سرعتها. وهذا يجعل مساحة سيمبلتيكية سداسية الأبعاد. لوصف حركة ثلاثة أجسام، مثل المشتري وأوروبا والمركبة الفضائية، تحتاج إلى 18 بعدًا: ستة أبعاد لكل جسم. لا يتم تعريف هندسة الفضاء بعدد أبعاده فحسب، بل أيضًا بالمنحنيات التي توضح كيفية تطور النظام الفيزيائي الموصوف بمرور الوقت.

عمل مورينو وكوه على نسخة "مقيدة" من مسألة الأجسام الثلاثة، حيث يكون أحد الأجسام (المركبة الفضائية) صغيرًا جدًا بحيث لا يكون له أي تأثير على الجسمين الآخرين (كوكب المشتري وأوروبا). ولتبسيط الأمور بشكل أكبر، افترض الباحثون أن مدار القمر كان دائريًا تمامًا. يمكنك أن تأخذ مداره الدائري كخلفية ثابتة للنظر في مسار المسبار الفضائي. الفضاء المتماثل يجب أن يأخذ في الاعتبار فقط موقع المركبة الفضائية وسرعتها، حيث يمكن وصف حركة المشتري وأوروبا بسهولة. لذا بدلًا من أن يكون الفضاء التناظري ذي 18 بُعدًا، يصبح الفضاء التناظري المقابل سداسي الأبعاد. عندما يشكل المسار في هذا الفضاء سداسي الأبعاد حلقة، فإنه يمثل مدارًا دوريًا للمركبة الفضائية عبر نظام الكوكب والقمر.

عندما اتصلت كوه بمورينو، كان لديها فضول بشأن الحالات التي تؤدي فيها إضافة القليل من الطاقة إلى انتقال مدار المركبة الفضائية من عائلة إلى أخرى. تسمى نقاط الالتقاء هذه بين عائلات المدارات بنقاط التشعب. في كثير من الأحيان سوف تجتمع العديد من العائلات في نقطة واحدة. وهذا يجعلها مفيدة بشكل خاص لمخططي المسار. قال شيريس: "إن فهم بنية التشعب يمنحك خريطة طريق حول المسارات المثيرة للاهتمام التي يجب عليك النظر إليها". أراد كوه أن يعرف كيفية تحديد نقاط التشعب والتنبؤ بها.

بعد الاستماع إلى كوه، قام مورينو بتجنيد عدد قليل من المقاييس الهندسية الأخرى: أورس فراونفيلدر جامعة أوغسبورغ، جنكيز أيدين جامعة هايدلبرغ، و أوتو فان كورت من جامعة سيول الوطنية. لقد درس فراونفيلدر وفان كويرت منذ فترة طويلة مسألة الأجسام الثلاثة باستخدام الهندسة التناظرية. حتى الكشف عائلة جديدة محتملة من المدارات. ولكن على الرغم من أن المهندسين الذين يخططون لبعثات المركبات الفضائية استخدموا عددًا لا يحصى من الأدوات الرياضية، إلا أنهم في العقود الأخيرة شعروا بالخوف من التجريد المتزايد للهندسة التناظرية.

طوال الأشهر التالية، تعرف المهندس وعلماء الرياضيات الأربعة ببطء على مجالات بعضهم البعض. قال مورينو: "يستغرق الأمر بعض الوقت عندما تقوم بعمل متعدد التخصصات، لتتغلب، على سبيل المثال، على حواجز اللغة". "ولكن بعد الانتهاء من العمل الصبور، يبدأ الأمر في سداده."

مجموعة الأدوات

قام الفريق بتجميع عدد من الأدوات التي يأملون أن تكون مفيدة لمخططي المهمة. إحدى الأدوات هي رقم يسمى مؤشر كونلي-زيندر الذي يمكن أن يساعد في تحديد متى ينتمي مداران إلى نفس العائلة. ولحسابه، يقوم الباحثون بفحص النقاط القريبة من المدار الذي يريدون دراسته، ولكن ليس عليه. تخيل، على سبيل المثال، أن مركبة فضائية تتبع مدارًا بيضاويًا حول كوكب المشتري، متأثرة بالجاذبية القادمة من أوروبا. إذا قمت بدفعه بعيدًا عن مساره، فإن مساره الجديد سوف يحاكي المدار الأصلي، ولكن بشكل فظ فقط. سوف يدور المسار الجديد حول المدار الأصلي، ويعود إلى نقطة مختلفة قليلاً بعد أن يدور حول كوكب المشتري. مؤشر كونلي-زيندر هو قياس لمدى التصاعد الذي يحدث.

من المثير للدهشة أن مؤشر كونلي زيندر لا يعتمد على تفاصيل كيفية دفع المركبة الفضائية، فهو رقم مرتبط بالمدار بأكمله. علاوة على ذلك، فهو نفسه بالنسبة لجميع المدارات في نفس العائلة. إذا قمت بحساب مؤشر كونلي-زيندر لمدارين، وحصلت على رقمين مختلفين، فيمكنك التأكد من أن المدارات تنتمي إلى عائلات مختلفة.

هناك أداة أخرى، تسمى رقم فلور، يمكنها التلميح إلى عائلات المدارات غير المكتشفة. لنفترض أن عدة عائلات تتصادم عند نقطة التشعب عندما تصل الطاقة إلى رقم معين، وتتفرع عدة عائلات أخرى من نقطة التشعب هذه عندما تكون الطاقة أعلى. يشكل هذا شبكة من العائلات التي يكون محورها المركزي هو التشعب.

يمكنك حساب رقم Floer المرتبط بنقطة التشعب هذه كدالة بسيطة لمؤشرات Conley-Zehnder المرتبطة بكل عائلة ذات صلة. يمكنك حساب هذه الدالة لكل من العائلات التي لديها طاقة أصغر قليلاً من نقطة التشعب وللعائلات التي تكون طاقتها أكبر. إذا كان رقما Floer مختلفين، فهذا دليل على وجود عائلات مخفية مرتبطة بنقطة التشعب الخاصة بك.

وقال مورينو: "ما نقوم به هو توفير الأدوات التي يختبر المهندسون خوارزمياتهم من خلالها". تم تصميم الأدوات الجديدة في المقام الأول لمساعدة المهندسين على فهم كيفية تناسب عائلات المدارات معًا وحثهم على البحث عن عائلات جديدة عند الضرورة؛ وليس المقصود منه أن يحل محل تقنيات تحديد المسار التي تم صقلها على مدى عقود.

وفي عام 2023، قدم مورينو العمل إلى مؤتمر نظمته “لجنة ميكانيكا رحلات الفضاء"، وكان على اتصال مع المهندسين الذين يبحثون في مسارات الفضاء، بما في ذلك البعض في مختبر الدفع النفاث ومختبر شيريس في بولدر. رحب شيريس باختلاط المجالات: لقد كان على علم منذ فترة طويلة بالنهج التناظري لحركة الكواكب، لكنه شعر بأنه غير متعمق في الرياضيات. وقال: "كان من المثير حقًا رؤية علماء الرياضيات وهم يحاولون نقل خبراتهم إلى الجانب الهندسي". تعمل مجموعة شيريس الآن على نظام أكثر تعقيدًا يتضمن أربع أجسام.

إد بيلبرونو، مستشار تخطيط المسار (والمحلل المداري السابق في مختبر الدفع النفاث) الذي عمل مع فراونفيلدر، يحذر من أن التطبيقات ليست مباشرة. "على الرغم من أن تقنية رياضية مثل الهندسة التناظرية يمكن أن تتوصل إلى مسارات رائعة حقًا، وتحصل على عدد كبير منها، فقد يكون عدد قليل جدًا جدًا، إن وجد، يلبي القيد" الذي قد تحتاج إليه مهمة حقيقية ، هو قال.

على الرغم من أن مسارات كليبر قد استقرت بالفعل إلى حد كبير، إلا أن مورينو يتطلع إلى الكوكب التالي: زحل. لقد قدم بالفعل بحثه إلى مخططي المهام في مختبر الدفع النفاث الذين يأملون في إرسال مركبة فضائية إلى قمر زحل إنسيلادوس. يأمل مورينو أن تصبح الهندسة التناظرية "جزءًا من مجموعة أدوات المهمة الفضائية القياسية".