جاء تغيير الخطط في رحلة برية. في يوم جميل من شهر إبريل الماضي، علماء الرياضيات راشيل جرينفيلد و سارة بيلوس انطلقوا من مؤسستهم الأصلية، معهد الدراسات المتقدمة في برينستون، نيوجيرسي، متجهين إلى روتشستر، نيويورك، حيث كان من المقرر أن يلقيا محادثات في اليوم التالي.

لقد ظلوا يكافحون منذ ما يقرب من عامين من أجل التوصل إلى تخمين مهم في التحليل التوافقي، وهو المجال الذي يدرس كيفية تفكيك الإشارات المعقدة إلى ترددات مكوناتها. مع متعاون ثالث. مارينا إليوبولوكانوا يدرسون نسخة من المشكلة التي يتم فيها تمثيل ترددات المكونات كنقاط في المستوى الذي ترتبط مسافاته عن بعضها البعض بالأعداد الصحيحة. كان الباحثون الثلاثة يحاولون إظهار أنه لا يمكن أن يكون هناك الكثير من هذه النقاط، ولكن حتى الآن، لم تكن جميع تقنياتهم كافية.

يبدو أنهم كانوا يدورون عجلاتهم. ثم خطرت ببال بيلوسي فكرة: ماذا لو تخلوا عن مشكلة التحليل التوافقي - مؤقتًا بالطبع - وحوّلوا انتباههم إلى مجموعات من النقاط التي تكون فيها المسافة بين أي نقطتين عددًا صحيحًا تمامًا؟ ما هي الهياكل المحتملة التي يمكن أن تحتوي عليها هذه المجموعات؟ لقد حاول علماء الرياضيات فهم مجموعات المسافات الصحيحة منذ العصور القديمة. على سبيل المثال، ثلاثية فيثاغورس (مثل 3 و4 و5) تمثل مثلثات قائمة جميع رؤوسها الثلاثة متباعدة بمسافات صحيحة.

وقالت بيلوس، التي تعمل الآن أستاذة في جامعة ميشيغان: "في السيارة، أعتقد أن راشيل كانت محاصرة معي، وقد طرحت الأمر". فكرة التعامل مع مسافة صحيحة تثير دهشة غرينفيلد.

وقبل أن يدركوا ذلك، لم يشرعوا في تغيير اتجاه واحد بل تغييرين.

وقالت بيلوسي: "لقد توقفنا في الواقع عن الاهتمام بالمكان الذي كنا نتجه إليه ولم نخرج من الطريق السريع". "كنا نسير في الاتجاه المعاكس من روتشستر لمدة ساعة تقريبًا قبل أن نلاحظ ذلك، لأننا كنا متحمسين جدًا للرياضيات."

في عام 1945، نورمان أنينغ وبول إردوس ثبت أن مجموعة لا حصر لها من النقاط في المستوى التي تفصل بينها مسافات صحيحة يجب أن تقع على خط مستقيم. بالنسبة لمجموعة محدودة من النقاط، تكون الاحتمالات أكثر تنوعًا قليلًا. قام علماء الرياضيات ببناء مجموعات كبيرة تقع إما على خط أو على دائرة، وأحيانًا تحتوي على ثلاث أو أربع نقاط إضافية تكون خارج السحب الرئيسي. (ليس من الضروري أن يكون للنقاط نفسها إحداثيات صحيحة، فالسؤال يدور حول المسافات بينها.)

لم يتوصل أحد إلى مجموعة كبيرة من النقاط بأي تكوين آخر، لكن لم يثبت أحد أن التكوينات الأخرى مستحيلة. وعلى مدى ما يقرب من 80 عامًا منذ نتيجة آنينج وإردوش، لم يشهد هذا الموضوع أي تقدم تقريبًا - حتى الآن.

غرينفيلد، إليوبولو وبيلوسي فعلوا ذلك ثبت أن جميع النقاط الموجودة في مسافة عددية كبيرة - ربما باستثناء مجموعة متفرقة من النقاط الخارجية - يجب أن تقع على خط أو دائرة واحدة. قال: "إذا كنت ترغب في الحصول على مجموعة كبيرة حيث تكون جميع المسافات الزوجية عبارة عن أعداد صحيحة، فإن الدوائر والخطوط هي اللاعبون الوحيدون". جوزيف سوليموزي من جامعة كولومبيا البريطانية. ووصف نتائجهم بأنها "حل رائع".

يستخدم النهج الجديد أفكارًا وتقنيات من ثلاثة مجالات متميزة في الرياضيات: التوافقيات ونظرية الأعداد والهندسة الجبرية. وقال إن هذا الجمع بين المجالات المختلفة "يمكن أن يكون بمثابة اختراق نفسي حقيقي". تيرينس تاو، عالم رياضيات في جامعة كاليفورنيا ، لوس أنجلوس.

أليكس يوسيفيتشيوافق على ذلك، من جامعة روتشستر. وقال: "لقد وضعوا أساسًا متينًا للغاية لمجموعة واسعة جدًا من المشكلات". "ليس هناك أدنى شك في ذهني أن هذا سيجد تطبيقات أعمق."

حدود البساطة

داخل المستوى، من السهل اختيار مجموعة لا نهائية من النقاط التي تفصل بينها مسافات صحيحة - فقط خذ الخط المفضل لديك، وتخيل خط أرقام متراكبًا عليه، واستخدم بعض أو كل النقاط المقابلة للأعداد الصحيحة. لكن هذه هي الطريقة الوحيدة لبناء مسافة عددية لا نهائية محددة في المستوى، كما أدرك آنينغ وإردوس في عام 1945. بمجرد أن يكون لديك ثلاث نقاط فقط ليست جميعها على نفس الخط، يصبح تكوينك مقيدًا للغاية لدرجة أنه من المستحيل لإضافة عدد لا نهائي من النقاط.

السبب يتلخص في الهندسة البسيطة. تخيل أنك تبدأ بالنقطتين A وB، اللتين تفصلهما مسافة صحيحة. إذا كنت تريد إضافة نقطة ثالثة، C، وهي مسافة صحيحة من كل من A وB ولكنها لا تقع على الخط الذي يمر بهما، فلن تعمل معظم النقاط في المستوى. النقاط الوحيدة القابلة للحياة تعيش على منحنيات خاصة تسمى القطع الزائدة التي تقطع بين A وB. إذا كانت المسافة بين A وB، على سبيل المثال، 4 وحدات، فهناك بالضبط أربع من هذه القطع الزائدة. (يتكون القطع الزائد عادةً من جزأين متميزين، لذلك على سبيل المثال، يشكل المنحنيان الأحمران في الشكل أدناه قطعًا زائدًا واحدًا.)

بمجرد اختيار C (وهو في هذا المثال 3 وحدات من A و5 وحدات من B)، لن يكون لديك أي خيارات لإضافة المزيد من النقاط. أي نقطة يمكنك إضافتها يجب أن تقع على أحد القطع الزائدة بين A وB، أو على الخط الذي يمر عبرهما. ولكن يجب أن تقع أيضًا على إحدى القطع الزائدة بين A وC، وواحدة من القطع الزائد بين B وC (أو الخطوط المقابلة) - بمعنى آخر، لا يمكن وضع نقطة جديدة إلا عند تقاطع ثلاثة قطع زائدة أو خطوط (على الرغم من لن تعمل كل نقطة تقاطع). لا يوجد سوى عدد محدود من هذه القطع الزائد والخطوط التي يمكن البدء بها، ويمكن أن يتقاطع قطعان زائدان (أو خطان) في أربع نقاط على الأكثر. لذا سينتهي بك الأمر مع عدد محدود من نقاط التقاطع للاختيار من بينها، ولا يمكنك بناء مجموعة لا نهائية.

عندما يتعلق الأمر بفهم الشكل الفعلي لمجموعة محدودة من نقاط المسافة الصحيحة، فإن أسلوب القطع الزائد يصبح غير عملي بسرعة. أثناء قيامك بإضافة نقاط، يتعين عليك التعامل مع الأعداد المتزايدة من القطع الزائد. على سبيل المثال، بحلول الوقت الذي تحتوي فيه مجموعتك على 10 نقاط فقط، فإن إضافة النقطة 11 ستؤدي إلى إنشاء 10 عائلات جديدة من القطع الزائدة - كل تلك الموجودة بين النقطة الجديدة وكل نقطة من النقاط الموجودة بالفعل في المجموعة. وقال غرينفيلد: "لا يمكنك إضافة العديد من النقاط، لأنك سوف تضيع في كل تلك القطع الزائد والتقاطعات".

لذلك بحث علماء الرياضيات عن مبادئ أكثر قابلية للإدارة لبناء مجموعات كبيرة من نقاط المسافات الصحيحة التي لا تقع على خط مستقيم. لكنهم لم يتمكنوا إلا من التوصل إلى نهج واحد: ضع نقاطك على دائرة. إذا كنت تريد مسافة صحيحة محددة بتريليون نقطة، على سبيل المثال، فهناك طرق للتوصل إلى تريليون نقطة على دائرة نصف قطرها 1 والتي تكون مسافاتها جميعها كسورًا. ثم يمكنك تضخيم الدائرة حتى تتحول جميع المسافات الكسرية إلى أرقام صحيحة. كلما زاد عدد النقاط التي تريدها في مجموعتك، زاد احتياجك إلى تضخيم الدائرة.

على مر السنين، لم يتوصل علماء الرياضيات إلا إلى أمثلة أكثر غرابة قليلاً. يمكنهم إنشاء مجموعات مسافات عددية كبيرة تقع فيها جميع النقاط باستثناء أربع نقاط على خط أو تقع جميع النقاط باستثناء ثلاث على دائرة. يشك العديد من علماء الرياضيات في أن هذه هي مجموعات المسافات الصحيحة الكبيرة الوحيدة التي لا تكون جميع النقاط فيها على خط أو دائرة. سيعرفون ذلك بالتأكيد إذا تمكنوا من إثبات شيء يسمى حدسية بومبيري-لانج. لكن علماء الرياضيات منقسمون حول ما إذا كان من المحتمل أن يكون هذا التخمين صحيحًا.

منذ عمل آنينج وإردوش في عام 1945، لم يحرز علماء الرياضيات تقدمًا كبيرًا في فهم مجموعات المسافات الصحيحة. بمرور الوقت، بدا أن مسألة مسافة الأعداد الصحيحة تنضم إلى مجموعة من المشكلات الأخرى في التوافقيات ونظرية الأعداد والهندسة التي يسهل ذكرها ولكن يبدو من المستحيل حلها. وقال تاو: "إنه مقياس لمدى الشفقة التي وصلت إليها الرياضيات لدينا".

بطريقة ما، كانت مشكلة المسافة الصحيحة ضحية لنجاحاتها المبكرة. يعد برهان القطع الزائد، ببساطته البارعة، رمزًا للفلسفة التي تبناها إردوس، عالم الرياضيات ذو التأثير الكبير الذي كثيرًا ما تحدث عن "الكتاب" - وهو مجلد متخيل يضم أكثر البراهين أناقة في الرياضيات. وقال يوسفيتش إن ثقافة البساطة التي روج لها إردوس أدت إلى "نتائج هائلة" في الهندسة التوافقية. لكنه يمكن أن يؤدي أيضًا إلى نقاط عمياء، في هذه الحالة، حول أهمية الاستعانة بمقاربات من الهندسة الجبرية.

قال يوسيفيتش: "لا أعتقد أنك ستجد نتيجة [في الهندسة الجبرية] تم إثباتها في الخمسين عامًا الماضية، ولكنها ليست معقدة للغاية من الناحية الفنية وغير فوضوية". "ومع ذلك، في بعض الأحيان يجب أن تكون الأمور بهذه الطريقة."

إذا نظرنا إلى الماضي، نجد أن مشكلة مسافة الأعداد الصحيحة كانت تنتظر علماء الرياضيات الذين كانوا على استعداد للنظر في منحنيات جامحة أكثر من القطع الزائد ثم الاعتماد على أدوات غامضة من الهندسة الجبرية ونظرية الأعداد لترويضها. قال يوسيفيتش: "لقد تطلب الأمر أشخاصًا يتمتعون بقدر كافٍ من المعرفة والاهتمام".

وقال إن معظم علماء الرياضيات يكتفون باستخدام بعض الأدوات في أحد أركان الرياضيات طوال حياتهم المهنية. لكن إيوسيفيتش قال إن جرينفيلد وإليوبولو وبيلوسي مستكشفون شجعان. "إنهم ينظرون إلى الرياضيات باعتبارها كلًا متماسكًا."

تعقيد المشكلة

في صيف عام 2021، قررت غرينفيلد أن الوقت قد حان لتجربة مشكلة من التحليل التوافقي كانت تفكر فيها منذ تخرجها. التحليل التوافقي الكلاسيكي، الذي يشكل الأساس لمعالجة الإشارات في العالم الحقيقي، يدور حول تحليل الإشارات إلى موجات جيبية ذات ترددات وأطوار مختلفة. تنجح هذه العملية لأنه من الممكن إنشاء قائمة لا نهائية من الموجات الجيبية التي، عند دمجها، تلتقط جميع ميزات أي إشارة، دون أي تكرار.

ومع ذلك، يرغب الباحثون في كثير من الأحيان في دراسة شيء أكثر تعقيدًا من الإشارة أحادية البعد. على سبيل المثال، قد يرغبون في تحليل إشارة على قرص في المستوى. لكن القرص لا يمكنه استضافة سوى مجموعة محدودة من الموجات الجيبية المتوافقة، وهو عدد قليل جدًا بحيث لا يمكنه التقاط سلوك جميع الإشارات الممكنة على القرص. ويصبح السؤال إذن: ما حجم هذه المجموعة المحدودة؟

في مثل هذه المجموعة، يمكن تمثيل ترددات الجيب كنقاط في المستوى تبدو كارهة للتجمع في خطوط ودوائر: لن تجد أبدًا ثلاث نقاط كلها قريبة من نفس الخط، أو أربع نقاط كلها قريبة من نفس الخط إلى نفس الدائرة. كان غرينفيلد يأمل في استخدام هذا النفور لإثبات أن هذه المجموعات من الترددات يمكن أن تحتوي على بضع نقاط فقط.

في اجتماع عام 2021 في جامعة بون، حضر غرينفيلد محاضرة حول "الطريقة المحددة"، وهي تقنية من نظرية الأعداد يمكن استخدامها لتقدير عدد النقاط الصحيحة من أنواع معينة يمكن أن تقع على المنحنيات. أدركت أن هذه الأداة قد تكون هي ما تحتاجه تمامًا. قام غرينفيلد بتجنيد إليوبولو وبيلوسي، اللذين كانا حاضرين أيضًا في الاجتماع. وقال جرينفيلد: "لقد بدأنا في تعلم هذه الطريقة معًا".

ولكن على الرغم من الجهود العديدة، يبدو أنهم لم يتمكنوا من تطويع الطريقة المحددة لتحقيق هدفهم، وبحلول ربيع عام 2023، كانوا يشعرون بالإحباط. كان يوسيفيتش قد دعا جرينفيلد وبيلوز للقيادة إلى روتشستر في زيارة. وقالت بيلوس: "لذلك كنا نفكر: حسنًا، سنذهب إلى روتشستر، والتحدث مع أليكس سيعيد إلينا النشاط". ولكن كما اتضح فيما بعد، فقد هبطوا في روتشستر وقد تم تنشيطهم بالفعل، وذلك بفضل مناقشة قوية حول مجموعات المسافة الصحيحة في منعطفهم غير المخطط له على طول نهر سسكويهانا في ولاية بنسلفانيا.

وصلوا بعد فوات الأوان لتناول العشاء المخطط له مع يوسفيتش، لكنهم وجدوه ينتظر في بهو الفندق ومعه أكياس من الوجبات الجاهزة. لقد سامحهم على تأخرهم، وكان أكثر من مسامح في صباح اليوم التالي، عندما أخبروه عن خطتهم للتعامل مع مجموعات المسافات الصحيحة. يتذكر بيلوسي قائلاً: "لقد كان متحمساً للغاية". "على المستوى العاطفي، كان هذا بمثابة دفعة كبيرة."

كما هو الحال مع نهج القطع الزائد، حاول جرينفيلد وإليوبولو وبيلوس التحكم في بنية مجموعات المسافة الصحيحة من خلال تحديد عائلات المنحنيات التي يجب أن تقع عليها النقاط. تبدأ طريقة القطع الزائد في التعقيد بمجرد أن يكون لديك أكثر من بضع نقاط، لكن غرينفيلد وإليوبولو وبيلوس اكتشفوا كيفية النظر في العديد من النقاط في نفس الوقت عن طريق نقل التكوين بأكمله إلى مساحة ذات أبعاد أعلى.

لمعرفة كيفية عمل ذلك، لنفترض أنك بدأت بنقطة "مرجعية" A في مجموعة المسافة الصحيحة. كل نقطة أخرى في المجموعة هي مسافة صحيحة من A. تعيش النقاط في مستوى، لكن يمكنك أن تصطدم بالمستوى في فضاء ثلاثي الأبعاد عن طريق إضافة إحداثي ثالث إلى كل نقطة، وقيمته هي المسافة من A. على سبيل المثال لنفترض أن A هي النقطة (1، 3). ثم تتحول النقطة (4، 7)، التي تبعد عن A بخمس وحدات، إلى النقطة (5، 4، 7) في فضاء ثلاثي الأبعاد. تقوم هذه العملية بتحويل المستوى إلى مخروط في فضاء ثلاثي الأبعاد يقع طرفه عند النقطة A، ويسمى الآن (5، 1، 3). تصبح نقاط المسافة الصحيحة نقاطًا في فضاء ثلاثي الأبعاد تقع على المخروط وأيضًا على شبكة معينة.

وبالمثل، إذا اخترت نقطتين مرجعيتين، A وB، فيمكنك تحويل النقاط في المستوى إلى نقاط في فضاء رباعي الأبعاد - ما عليك سوى إعطاء كل نقطة إحداثيين جديدين قيمتهما هي المسافة إلى A وB. هذه العملية تحول المستوى إلى سطح متعرج في الفضاء رباعي الأبعاد. يمكنك الاستمرار في إضافة المزيد من النقاط المرجعية بهذه الطريقة. مع كل نقطة مرجعية جديدة، يزداد البعد بمقدار واحد ويتم تعيين المستوى على سطح أكثر تذبذبًا (أو، كما يقول علماء الرياضيات، سطح ذو درجة أعلى).

مع وجود هذا الإطار، استخدم الباحثون طريقة التحديد من نظرية الأعداد. المحددات هي أرقام، ترتبط عادةً بالمصفوفات، والتي تلتقط مجموعة من الخصائص الهندسية لمجموعة من النقاط - على سبيل المثال، قد يقيس محدد معين مساحة المثلث الذي يتكون من ثلاث نقاط. توفر طريقة المحددات طريقة لاستخدام مثل هذه المحددات لتقدير عدد النقاط التي تقع في وقت واحد على سطح متذبذب وعلى شبكة شبكية، وهو الموقف الذي كان جرينفيلد وإليوبولو وبيلوز يتعاملون معه.

استخدم الباحثون خط عمل يعتمد على الطريقة المحددة لإظهار أنه عندما يصطدمون بمسافة صحيحة تصل إلى بعد مرتفع مناسب، يجب أن تقع جميع النقاط على عدد صغير من المنحنيات الخاصة. هذه المنحنيات، عندما لا تكون ظلالها في المستوى خطًا أو دائرة، لا يمكن أن تحتوي على العديد من نقاط الشبكة، وهي المرشحة الوحيدة للنقاط في مجموعة المسافة الصحيحة. وهذا يعني أن عدد النقاط في المجموعة التي يمكن أن تقع خارج الخط الرئيسي أو الدائرة محدد، وقد أظهر الباحثون أنه يجب أن يكون أصغر من دالة تنمو ببطء شديد لقطر المجموعة.

حدودها لا تصل إلى معيار التخمين "أربع نقاط خارج الخط أو ثلاث نقاط خارج الدائرة" الذي يعتقد العديد من علماء الرياضيات أنه صحيح بالنسبة لمجموعات المسافات الصحيحة الكبيرة. ومع ذلك، فإن النتيجة تظهر أن "جوهر التخمين صحيح"، كما قال جاكوب فوكس من جامعة ستانفورد. وقال علماء الرياضيات إن الدليل الكامل على هذا التخمين سيتطلب على الأرجح ضخًا آخر للأفكار الجديدة.

وقال يوسفيتش إن نظام التشفير عالي الأبعاد الذي وضعه الفريق "قوي للغاية". "لا توجد تطبيقات من حيث المبدأ فحسب، بل هناك تطبيقات أفكر فيها بالفعل."

أحد التطبيقات، كما يأمل غرينفيلد وإليوبولو وبيلوز، سيكون تطبيق مسألة التحليل التوافقي الأصلية، والتي يعود إليها الثلاثة الآن. وقال جرينفيلد إن نتائجهم على مجموعات المسافة الصحيحة "يمكن أن تكون نقطة انطلاق نحو ذلك".

وتوقع إيوسيفيتش أن توليف التوافقيات مع الهندسة الجبرية الذي بدأه الباحثون لن يتوقف عند مجموعات المسافة الصحيحة أو المشاكل المتحالفة معها في التحليل التوافقي. وقال: "أعتقد أن ما نراه هو اختراق مفاهيمي". "هذا يبعث برسالة إلى الأشخاص في كلا المجالين مفادها أن هذا التفاعل مثمر للغاية."

وقال تاو إنه يرسل أيضًا رسالة حول قيمة جعل المشكلة أكثر تعقيدًا في بعض الأحيان. وأشار إلى أن علماء الرياضيات يسعون عادة إلى العكس. "لكن هذا مثال حيث أن تعقيد المشكلة هو في الواقع الخطوة الصحيحة."

وقال إن التقدم غيّر طريقة تفكيره بشأن المنحنيات ذات الدرجة العالية. "في بعض الأحيان يمكن أن يكونوا أصدقائك وليسوا أعداءك."