نثر ثلاث نقاط في المستوى، ثم نقيس المسافات بين كل زوج منها. في جميع الاحتمالات، ستجد ثلاث مسافات مختلفة. لكن إذا رتبت النقاط في مثلث متساوي الأضلاع، فستكون كل المسافة متساوية. في الطائرة، من المستحيل القيام بذلك بأربع نقاط. أصغر عدد من المسافات التي يمكنك هندستها هو 2 — حواف المربع وأقطاره.

لكن إذا قمت برفع إحدى النقاط للأعلى عن المستوى لتكوين هرم، كل ضلع من أضلاعه مثلث متساوي الأضلاع، سيكون لديك مجموعة من أربع نقاط تفصل بينها مسافة فريدة واحدة - طول أحد أضلاع المثلث. المثلث.

إذا كان لديك الكثير من النقاط، فإن هذه الأنماط تصبح أكثر وضوحًا. من المرجح أن تحدد مائة نقطة متناثرة بشكل عشوائي في المستوى 4,950 مسافة زوجية متميزة. ولكن إذا قمت بترتيب 100 نقطة في شبكة مربعة مسطحة، فسيتم فصل أي زوج من النقاط بواحدة من 50 مسافة ممكنة فقط. ارفع النقاط إلى شبكة ثلاثية الأبعاد، ويمكنك تقليل هذا العدد بشكل أكبر.

قد تبدو الإجابة على الأسئلة المتعلقة بعدد المسافات بين النقاط بمثابة تمرين مقصور على فئة معينة. ولكن في سعيهم المستمر لعقود من الزمن لحل مثل هذه المشاكل، طور علماء الرياضيات أدوات لها نطاق واسع من التطبيقات الأخرى، من نظرية الأعداد إلى الفيزياء.

قال: "عندما حاول الناس حل المشكلة". بابلو شمركين من جامعة كولومبيا البريطانية، "بدأوا باكتشاف روابط كانت مفاجئة وغير متوقعة."

جاء التطور الأخير في أواخر العام الماضي، عندما تم التعاون بين أربعة علماء رياضيات أثبتت علاقة جديدة بين هندسة مجموعات النقاط والمسافات بينها.

تسمى قائمة المسافات المختلفة التي تحددها مجموعة من النقاط مجموعة المسافة الخاصة بها؛ قم بحساب عدد الأرقام الموجودة في تلك القائمة، وستحصل على حجم مجموعة المسافة. في عام 1946، توقع عالم الرياضيات غزير الإنتاج بول إردوس أنه بالنسبة لأعداد كبيرة من النقاط، لا يمكن أن تكون المسافة المحددة أصغر مما تحصل عليه عندما تقوم بترتيب النقاط في شبكة. المشكلة، رغم بساطتها في ظاهرها، تبين أنها عميقة وصعبة للغاية. حتى في البعدين، لم يتم إثبات ذلك بشكل كامل، على الرغم من أنه في عام 2010، اكتشف اثنان من علماء الرياضيات أصبحت قريبة جدا أنها تعتبر الآن محسومة فعليًا؛ يبقى مفتوحا في أبعاد أعلى.

وفي الوقت نفسه، قام علماء الرياضيات أيضًا بصياغة إصدارات جديدة من التخمين. واحدة من أهم هذه نشأت في أ ورقة 1985 by كينيث فالكونر, عالم رياضيات في جامعة سانت أندروز في اسكتلندا. وتساءل فالكونر عما يمكن قوله عن المسافات المميزة بين عدد لا حصر له من النقاط.

إذا كان لديك عدد لا نهائي من النقاط، فإن العد ببساطة لم يعد مفيدًا جدًا. لكن علماء الرياضيات لديهم طرق أخرى لتحديد الحجم. يفترض تخمين فالكونر وجود علاقة بين هندسة مجموعة النقاط - التي تتميز برقم يسمى البعد الكسري - وحجم المسافة المحددة، والتي تتميز برقم يسمى المقياس.

يتوافق البعد الكسري مع الحدس العادي حول الأبعاد. تمامًا كما هو الحال مع مفهوم البعد الأكثر شيوعًا، فإن القطعة الخطية لها بُعد كسري قدره 1، في حين أن المربع (مع ملء الجزء الداخلي منه) له بُعد كسري قدره 2. ولكن إذا شكلت مجموعة من النقاط نمطًا كسريًا أكثر تعقيدًا — مثل المنحنى الذي تستمر فيه التقلبات والانعطافات المجهرية في الظهور بغض النظر عن مدى تكبيره - قد لا يكون البعد الكسري له عددًا صحيحًا. على سبيل المثال، منحنى كوخ الثلجي الموضح أدناه، والذي يحتوي على سلسلة لا نهاية لها من النتوءات المثلثية الأصغر حجمًا، يبلغ بعده حوالي 1.26.

بشكل عام، مجموعة لا حصر لها من النقاط لها بعد كسري يعتمد تقريبًا على مدى تشتتها. إذا كان منتشرًا حول المستوى، فسيكون البعد الكسري له قريبًا من 2. وإذا كان يبدو أشبه بالخط، فسيكون البعد الكسري له قريبًا من 1. ويمكن تعريف نفس أنواع الهياكل لمجموعات من النقاط في الفضاء ثلاثي الأبعاد أو بأبعاد أعلى.

على الجانب الآخر من تخمين فالكونر يوجد قياس المسافة المحددة. القياس هو نوع من التعميم الرياضي لمفهوم الطول. العدد الفردي، الذي يمكن تمثيله كنقطة على خط الأعداد، قياسه صفر. لكن حتى المجموعات اللانهائية يمكن أن يكون قياسها صفرًا. على سبيل المثال، الأعداد الصحيحة متناثرة بشكل ضئيل للغاية بين الأعداد الحقيقية بحيث لا يكون لها "طول" جماعي، وبالتالي تشكل مجموعة قياس صفر. من ناحية أخرى، فإن الأعداد الحقيقية بين، على سبيل المثال، 3/4 و1 لها قياس 1/4، لأن هذا هو طول الفاصل الزمني.

يوفر هذا القياس طريقة لوصف حجم مجموعة المسافات المميزة بين عدد لا نهائي من النقاط. إذا كان عدد المسافات "صغيرًا"، فهذا يعني أن قياس المسافة المحددة سيكون صفرًا: هناك الكثير من المسافات المكررة. من ناحية أخرى، إذا كانت المسافة المحددة لها مقياس أكبر من الصفر، فهذا يعني أن هناك العديد من المسافات المختلفة.

في البعدين، أثبت فالكونر أن أي مجموعة من النقاط ذات البعد الكسري أكبر من 1.5 لها مسافة محددة بقياس غير صفري. لكن علماء الرياضيات سرعان ما توصلوا إلى الاعتقاد بأن هذا ينطبق على جميع المجموعات ذات البعد الكسري الأكبر من 1. وقال: "إننا نحاول حل فجوة النصف هذه". يومينج أوي من جامعة بنسلفانيا، أحد المؤلفين المشاركين في الورقة الجديدة. علاوة على ذلك، يمتد تخمين فالكونر إلى ثلاثة أبعاد أو أكثر: بالنسبة للنقاط المتناثرة في أ dالفضاء ذو ​​الأبعاد، ينص على أنه إذا كان البعد الكسري للنقطة أكبر من د / 2، فيجب أن يكون قياس المسافة المحددة أكبر من 0.

في عام 2018، أوو، جنبا إلى جنب مع الزملاء، وبينت أن التخمين يحمل بعدين لجميع المجموعات ذات البعد الكسري أكبر من 5/4. الآن أوو - جنبا إلى جنب مع شيومين دو جامعة نورث وسترن, رويشيانغ تشانغ من جامعة كاليفورنيا ، بيركلي ، و كيفن رين من جامعة برينستون - أثبت أنه في الأبعاد الأعلى، تكون عتبة ضمان المسافة المحددة بقياس غير صفري أصغر قليلاً من d/2 + 1/4. وقال شميركين: "إن الحدود في الأبعاد الأعلى، في هذه الورقة، ولأول مرة على الإطلاق، أفضل مما كانت عليه في البعد الثاني". (في البعدين، تكون العتبة على وجه التحديد d/2 + 1/4.)

هذه النتيجة الأخيرة هي واحدة فقط في موجة من التطورات الأخيرة on تخمين فالكونر. قام هذا البرهان بتحسين تقنيات التحليل التوافقي - وهي منطقة تبدو بعيدة من الرياضيات وتتعامل مع تمثيل الدوال المعقدة بشكل تعسفي من حيث الموجات البسيطة - لتعزيز الحد. ولكن تم تطوير بعض هذه التقنيات لأول مرة لمعالجة هذه المشكلة نفسها.

قال هذا السؤال حول المسافات بين النقاط "كان بمثابة ملعب لبعض أكبر الأفكار في التحليل التوافقي". أليكس يوسيفيتش من جامعة روتشستر.

على الرغم من أنهم سدوا فقط نصف الفجوة التي تركها فالكونر في ورقته البحثية عام 1985، إلا أن علماء الرياضيات يرون موجة العمل الأخيرة كدليل على أن التخمين الكامل قد يكون في النهاية في متناول اليد. وفي غضون ذلك، سيستمرون في استخدام المشكلة كأرضية اختبار لأدواتهم الأكثر تطورًا.