لقد استغرق الأمر وقتًا طويلاً حتى تقع كلير فوازين في حب الرياضيات.

هذا لا يعني أنها لم يعجبها هذا الموضوع على الإطلاق. نشأت في فرنسا، وهي الطفلة العاشرة من بين 10 طفلاً، واستمتعت بقضاء ساعات في حل مسائل الرياضيات مع والدها المهندس. بحلول الوقت الذي بلغت فيه 12 عامًا، كانت قد بدأت في قراءة كتاب الجبر المدرسي في المدرسة الثانوية بنفسها، وكانت مفتونة بالتعريفات والبراهين الموضحة في صفحاته. وقالت: "كان هناك كل هذا الهيكل". "الجبر هو في الحقيقة نظرية بنيات."

لكنها لم تنظر إلى الرياضيات باعتبارها دعوة مدى الحياة. لم تدرك مدى عمق وجمال هذا الأمر حتى سنوات دراستها الجامعية، وأنها كانت قادرة على تحقيق اكتشافات جديدة. حتى ذلك الحين، كانت تهتم بجدية بالعديد من الاهتمامات إلى جانب الرياضيات: الفلسفة والرسم والشعر. (ضحكت قائلة: "عندما كنت في العشرين من عمري، أعتقد أنني لم أمارس سوى الرياضيات والرسم. ربما كان ذلك مبالغًا فيه بعض الشيء". وبحلول أوائل العشرينات من عمرها، كانت الرياضيات قد استوعبت كل شيء آخر. لكن الرسم والشعر استمرا في التأثير عليها. إنها ترى الرياضيات كفن، وكوسيلة لتجاوز حدود اللغة والتلاعب بها.

وبعد عقود من الزمن، وبعد أن أصبح رائدًا في مجال الهندسة الجبرية، وجد فويسن الوقت مرة أخرى للرسم وصنع منحوتات من الطين. ومع ذلك، لا تزال الرياضيات تشغل معظم اهتمامها؛ إنها تفضل قضاء وقتها في استكشاف هذا "العالم المختلف" حيث "يبدو الأمر كما لو كنت تحلم".

فوازين هو باحث أول في المركز الوطني الفرنسي للبحث العلمي في باريس. هناك، تدرس الأصناف الجبرية، والتي يمكن اعتبارها أشكالًا محددة بمجموعات من المعادلات متعددة الحدود، بنفس الطريقة التي يتم بها تعريف الدائرة بواسطة كثيرات الحدود x² + y² = 1. إنها واحدة من أبرز الخبراء على مستوى العالم في نظرية هودج، وهي مجموعة أدوات يستخدمها علماء الرياضيات لدراسة الخصائص الرئيسية للأصناف الجبرية.

فازت فويسن بمجموعة من الجوائز عن عملها، بما في ذلك جائزة كلاي للأبحاث في عام 2008، وجائزة هاينز هوبف في عام 2015، وجائزة شو للرياضيات في عام 2017. وفي يناير، أصبحت أول امرأة تحصل على جائزة كرافورد في عام XNUMX. الرياضيات.

كوانتا تحدث مع Voisin عن الطبيعة الإبداعية للرياضيات. تم تكثيف المقابلة وتحريرها من أجل الوضوح.

لقد استمتعت بالرياضيات عندما كنت طفلاً، ولكنك لم تجد نفسك تتابعها. ولم لا؟

هناك سحر الدليل - العاطفة التي تشعر بها عندما تفهمها، عندما تدرك مدى قوتها ومدى قوتك. عندما كنت طفلاً، كان بإمكاني رؤية هذا بالفعل. ولقد استمتعت بالتركيز الذي تتطلبه الرياضيات. إنه شيء أجده، مع تقدمي في السن، أكثر أهمية في ممارسة الرياضيات. بقية العالم يختفي. عقلك كله موجود لدراسة مشكلة ما. إنها تجربة غير عادية، وهي مهمة جدًا بالنسبة لي - أن تجعل نفسك تغادر عالم الأشياء العملية، لتعيش في عالم مختلف. ربما هذا هو السبب الذي يجعل ابني يستمتع بلعب ألعاب الفيديو كثيرًا.

لكن ما جعلني أتأخر في دراسة الرياضيات، إلى حد ما، هو أنني لست مهتمًا بالألعاب على الإطلاق. انها ليست لي. وفي المدرسة الثانوية، بدت الرياضيات وكأنها لعبة. كان من الصعب بالنسبة لي أن آخذ الأمر على محمل الجد. لم أرى أعماق الرياضيات في البداية. حتى عندما بدأت في اكتشاف البراهين والنظريات المثيرة للاهتمام بعد المدرسة الثانوية، لم أعتقد في أي وقت من الأوقات أنني أستطيع اختراع شيء ما بنفسي، أو أنني أستطيع أن أجعله ملكي.

كنت بحاجة إلى شيء أعمق وأكثر جدية، شيء أستطيع أن أصنعه بنفسي.

قبل أن تجد ذلك في الرياضيات، أين كنت تبحث عنه؟

لقد استمتعت بالفلسفة وإصرارها على فكرة المفهوم. وأيضًا، حتى بلغت 22 عامًا تقريبًا، قضيت الكثير من الوقت في الرسم، وخاصة القطع التصويرية المستوحاة من الهندسة. وكنت مغرمًا جدًا بالشعر – أعمال مالارميه، وبودلير، ورينيه شار. كنت أعيش بالفعل في عالم مختلف. ولكن أعتقد أن هذا أمر طبيعي عندما تكون أصغر سناً.

لكن الرياضيات أصبحت أكثر أهمية. انها حقا تأخذ كل من عقلك. عندما لا تكون في مكتبك تعمل على مشكلة معينة، فإن عقلك لا يزال مشغولاً. لذلك، كلما مارست الرياضيات أكثر، قللت من الرسم. لقد بدأت الرسم مرة أخرى مؤخرًا فقط، بعد أن غادر أطفالي المنزل وأصبح لدي المزيد من الوقت.

ما الذي جعلك تقرر تخصيص معظم طاقتك الإبداعية للرياضيات في النهاية؟

أصبحت الرياضيات أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لي. كالماجستير والدكتوراه. أيها الطالب، اكتشفت أن رياضيات القرن العشرين كانت شيئًا عميقًا للغاية وغير عادي. لقد كان عالمًا من الأفكار والمفاهيم. وفي الهندسة الجبرية، كانت هناك الثورة الشهيرة التي قادها ألكسندر جروتينديك. وحتى قبل غروتينديك، كانت هناك نتائج مذهلة. لذلك فهو مجال حديث، به أفكار جميلة ولكنها أيضًا قوية للغاية. وكانت نظرية هودج، التي أدرسها، جزءًا من ذلك.

أصبح من الواضح أكثر فأكثر أن حياتي كانت هناك. بالطبع، كانت لدي حياة عائلية – زوج وخمسة أطفال – وواجبات وأنشطة أخرى. لكنني أدركت أنه باستخدام الرياضيات، يمكنني إنشاء شيء ما. يمكنني أن أكرّس حياتي لها، لأنها كانت جميلة جدًا، مذهلة جدًا، ومثيرة جدًا للاهتمام.

لقد كتبت من قبل عن كيف أن الرياضيات هي مسعى إبداعي.

أنا عالم رياضيات محترف، لذا فإن يومي العملي يتم تنظيمه رسميًا حول الرياضيات. أجلس على مكتب. أنا أعمل على جهاز كمبيوتر. لكن معظم نشاطي في الرياضيات لا يحدث خلال تلك الفترة. أنت بحاجة إلى فكرة جديدة، وتعريف جيد، وبيان تعتقد أنك ستتمكن من استغلاله. عندها فقط يمكن أن يبدأ عملك. وهذا لا يحدث عندما أكون على مكتبي. أحتاج أن أتبع رأيي، لأحافظ على تفكيري.

يبدو أن الرياضيات أمر شخصي للغاية بالنسبة لك. هل اكتشفت أي شيء عن نفسك في هذه العملية؟

أثناء ممارسة الرياضيات، في معظم الأوقات، عليّ أن أحارب نفسي، لأنني مضطرب للغاية، ولست منضبطًا جدًا، كما أنني أميل إلى الإصابة بالاكتئاب. لا أجد أن الأمر سهل. لكن ما اكتشفته هو أنه في بعض اللحظات - مثل الصباح أثناء تناول الإفطار، أو عندما أسير في شوارع باريس أو أفعل شيئًا طائشًا مثل التنظيف - يبدأ عقلي في العمل من تلقاء نفسه. أدرك أنني أفكر في الرياضيات دون أن أقصد ذلك. يبدو الأمر كما لو كنت تحلم. أبلغ من العمر 62 عامًا، وليس لدي طريقة حقيقية لممارسة الرياضيات بشكل جيد: ما زلت أنتظر بشكل أو بآخر اللحظة التي أحصل فيها على بعض الإلهام.

أنت تعمل مع كائنات مجردة للغاية، مع مساحات عالية الأبعاد، مع هياكل تلبي المعادلات المعقدة. كيف تفكر في مثل هذا العالم المجرد؟

الأمر ليس بهذه الصعوبة، في الواقع. التعريف الأكثر تجريدًا، بمجرد أن تتعرف عليه، لم يعد مجردًا. إنه مثل جبل جميل تراه جيدًا، لأن الهواء واضح جدًا وهناك ضوء يتيح لك رؤية كل التفاصيل. بالنسبة لنا، تبدو الأشياء الرياضية التي ندرسها ملموسة، لأننا نعرفها أفضل بكثير من أي شيء آخر.

بالطبع، هناك الكثير من الأشياء التي يجب إثباتها، وعندما تبدأ في تعلم شيء ما، قد تعاني بسبب التجريد. لكن عندما تستخدم نظرية - لأنك تفهم النظريات - فإنك في الواقع تشعر بأنك قريب جدًا من الأشياء المعنية، حتى لو كانت مجردة. ومن خلال التعرف على الأشياء والتلاعب بها واستخدامها في الحجج الرياضية، فإنها تصبح في النهاية صديقًا لك.

وهذا يتطلب أيضًا رؤيتهم من وجهات نظر مختلفة؟

لم أدرس الهندسة الجبرية في الأصل. عملت في الهندسة التحليلية والتفاضلية المعقدة. في الهندسة التحليلية، يمكنك دراسة فئة أكبر بكثير من الوظائف والأشكال التي يتم تعريفها محليًا بواسطة تلك الوظائف. ليس لديهم عادة معادلة عالمية، على عكس الهندسة الجبرية.

لم أهتم كثيرًا بوجهة النظر الجبرية في البداية. لكن كلما كبرت وعملت أكثر في هذا المجال، كلما رأيت ضرورة وجود هاتين اللغتين المختلفتين.

هناك نظرية مذهلة، تسمى GAGA، وهي مزحة إلى حد ما؛ تعني "الخرف" باللغة الفرنسية، ولكنها تعني أيضًا "الخرف". الهندسة الجبرية والهندسية التحليلية. تقول أنه يمكنك الانتقال من لغة إلى أخرى. يمكنك إجراء عملية حسابية في الهندسة التحليلية المعقدة إذا كان الأمر أسهل، ثم العودة إلى الهندسة الجبرية.

وفي أحيان أخرى، تمنحك الهندسة الجبرية إمكانية دراسة نسخة مختلفة من المشكلة التي يمكن أن تعطي نتائج غير عادية. لقد عملت على فهم الهندسة الجبرية ككل، بدلاً من التركيز فقط على الجانب الهندسي المعقد منها.

ومن المثير للاهتمام أن تفكر في هذه اللغات باعتبارها لغات رياضية مختلفة.

اللغة ضرورية. قبل الرياضيات، هناك لغة. هناك الكثير من المنطق موجود بالفعل داخل اللغة. لدينا كل هذه القواعد المنطقية في الرياضيات: محددات الكمية، وأعداد النفي، والأقواس للإشارة إلى الترتيب الصحيح للعمليات. ولكن من المهم أن ندرك أن كل هذه القواعد الحيوية لعلماء الرياضيات موجودة بالفعل في لغتنا اليومية.

يمكنك مقارنة نظرية رياضية بقصيدة. هو مكتوب بالكلمات. إنه نتاج اللغة. لدينا أشياءنا الرياضية فقط لأننا نستخدم اللغة، لأننا نستخدم الكلمات اليومية ونعطيها معنى محددًا. لذلك يمكنك مقارنة الشعر والرياضيات، حيث أن كلاهما يعتمد بشكل كامل على اللغة ولكنهما لا يزالان يخلقان شيئًا جديدًا.

لقد انجذبت إلى الرياضيات بسبب ثورة غروتينديك في الهندسة الجبرية. لقد ابتكر بشكل أساسي لغة جديدة للقيام بهذا النوع من الرياضيات.

حق.

هل هناك طرق قد تحتاج فيها اللغة الرياضية التي تستخدمها الآن إلى التغيير؟

يقوم علماء الرياضيات بإعادة صياغة لغتهم باستمرار. إنه أمر مؤسف، لأنه يجعل من الصعب قراءة الصحف القديمة. لكننا نعيد صياغة الرياضيات السابقة لأننا نفهمها بشكل أفضل. إنه يمنحنا طريقة أفضل لكتابة النظريات وإثباتها. كان هذا هو الحال مع غروتينديك، حيث طبق مجموعة الحزم في الهندسة. انها حقا مذهلة.

من المهم أن تتعرف على الشيء الذي تدرسه، لدرجة أنه بالنسبة لك يشبه اللغة الأم. عندما تبدأ النظرية في التشكل، يستغرق الأمر وقتًا لمعرفة التعريفات الصحيحة، وتبسيط كل شيء. أو ربما لا يزال الأمر معقدًا للغاية، لكننا أصبحنا أكثر دراية بالتعريفات والأشياء؛ يصبح استخدامها أكثر طبيعية.

إنه تطور مستمر. يتعين علينا باستمرار إعادة الكتابة والتبسيط، والتنظير حول ما هو مهم، وحول الأدوات التي يجب توفيرها.

هل اضطررت إلى إدخال تعريفات جديدة في عملك؟

أحيانا. في العمل الذي قمت به مع يانوس كولار، كانت هناك نقطة تحول حيث تمكنا أخيرًا من العثور على الرؤية الصحيحة للمشكلة – من خلال تعريف معين. لقد كانت هذه مشكلة كلاسيكية للغاية، وقد تعاملنا مع الأدوات الكلاسيكية، لكن برهاننا كان يعتمد حقًا على هذا التعريف الذي وضعناه.

وفي حالة أخرى، أوليفييه ديبار, دانييل هويبريشتس, إيمانويل ماكري وأثبتت أنها لطيفة نتيجة التصنيف حول كائنات تسمى متشعبات فرط كاهلر. وكانت نقطة البداية لهذا الدليل هي إدخال الثوابت، والتي أطلقنا عليها في الأصل "a."[يضحك.]

قد تقلل من أهمية التعريفات في الرياضيات، لكن لا ينبغي لك ذلك.

التعاريف واللغة ليست هي القوى التوجيهية الوحيدة في الرياضيات. وكذلك التخمينات، التي قد تكون صحيحة وقد لا تكون كذلك. على سبيل المثال، لقد قمت بالكثير من العمل على حدسية هودج، وهي مشكلة كلاي للألفية والتي يأتي حلها مع مكافأة 1 ملايين دولار.

لنفترض أن لديك مجموعة جبرية تريد فهمها. لذلك تذهب إلى الجانب الهندسي التحليلي المعقد وتعتبره بدلاً من ذلك ما يعرف بالمشعب المعقد. يمكنك التفكير في متشعب معقد من حيث شكله العالمي، أو طوبولوجيته. هناك كائن يسمى التماثل، والذي يمنحك الكثير من المعلومات الطوبولوجية حول المشعب. ولكن ليس من السهل تحديد ذلك.

الآن فكر في المتغيرات الفرعية الجبرية داخل التنوع الأصلي. سيكون لكل منها ثابت طوبولوجي، وبعض المعلومات الطوبولوجية المرتبطة به. أي جزء من تماثل المشعب المعقد يمكن الحصول عليه من خلال النظر إلى هذه الثوابت الطوبولوجية؟

يقدم تخمين هودج إجابة محددة. والجواب دقيق للغاية.

لذا فإن علماء الرياضيات ليسوا متأكدين مما إذا كانت حدسية هودج صحيحة أم خاطئة؟

أنت تريد أن تؤمن بحدسية هودج، لأنها بمثابة دليل في النظريات الرئيسية في الهندسة الجبرية.

قد ترغب حقًا في فهم الخصائص الرئيسية للمتنوعة الجبرية. وإذا كان تخمين هودج صحيحًا، فسيمنحك ذلك تحكمًا لا يصدق في هندسة تنوعك. ستحصل على معلومات مهمة جدًا حول بنية الأصناف.

هناك بعض الأسباب القوية للاعتقاد به. حالات معينة من تخمين هودج معروفة. وهناك العديد من البيانات العميقة حول التنوعات الجبرية التي تشير إلى صحة حدسية هودج.

ولكن كان هناك تقريبًا نقص كامل في التقدم نحو إثبات ذلك. لقد أثبتت أيضًا أنه لا توجد طريقة لتوسيع حدسية هودج إلى بيئة أخرى حيث يبدو الأمر طبيعيًا. لذلك كان ذلك بمثابة صدمة بعض الشيء.

بعد عقود من العمل كعالم رياضيات، هل تشعر أنك تمارس الرياضيات بشكل أعمق الآن؟

والآن بعد أن كبرت، أصبح لدي المزيد من الوقت لإنفاق طاقتي على الرياضيات، لأكون حاضرًا فيها حقًا. لدي أيضًا قدرة أفضل على الذهاب هنا وهناك. في الماضي، ربما لأنه كان لدي وقت أقل، كنت أقل قدرة على الحركة - على الرغم من أن كوني كثير الحركة، ومجرد لمس المشكلات دون الالتزام بها، ليس جيدًا أيضًا. الآن أنا أكثر خبرة، ويمكنني بناء صورتي الخاصة.

لديك صورة أفضل بكثير عما لا تعرفه، عن المشكلات المفتوحة. لديك رؤية تفصيلية لمجالك وحدوده. يجب أن تكون هناك بعض الجوانب الجيدة للتقدم في السن. ولا يزال هناك الكثير للقيام به.