حتى الآن هذا العام ، كوانتا قام بتأريخ ثلاثة تطورات رئيسية في نظرية رامزي ، وهي دراسة كيفية تجنب إنشاء أنماط رياضية. ال النتيجة الأولى ضع حدًا جديدًا لمدى حجم مجموعة الأعداد الصحيحة بدون احتواء ثلاثة أعداد متساوية ، مثل {2 ، 4 ، 6} أو {21 ، 31 ، 41}. ال ثان و ثلث بالمثل ، ضع حدودًا جديدة على حجم الشبكات بدون مجموعات من النقاط التي تكون إما متصلة أو معزولة عن بعضها البعض.

تتناول البراهين ما يحدث عندما تنمو الأرقام المعنية بشكل كبير بشكل لا نهائي. من المفارقات أن هذا قد يكون في بعض الأحيان أسهل من التعامل مع الكميات المزعجة في العالم الحقيقي.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك سؤالين حول كسر مقامه كبير حقًا. قد تسأل ما هو التوسع العشري ، على سبيل المثال ، 1/42503312127361. أو يمكنك أن تسأل ما إذا كان هذا الرقم سيقترب من الصفر مع نمو المقام. السؤال الأول هو سؤال محدد حول كمية في العالم الحقيقي ، ويصعب حسابه من الثاني الذي يسأل كيف الكمية 1 /n سوف يتغير "بشكل مقارب" كـ n ينمو. (يقترب أكثر فأكثر من 0).

"هذه مشكلة ابتليت بها كل نظرية رامزي ،" قال وليام جاسارخ، عالم كمبيوتر في جامعة ماريلاند. "تشتهر نظرية رامزي بنتائج مقاربة لطيفة جدًا." لكن تحليل الأرقام الأصغر من اللانهاية يتطلب أدوات رياضية مختلفة تمامًا.

درس جاسارخ أسئلة في نظرية رامزي تتضمن أعدادًا محدودة أكبر من أن تحل المشكلة بالقوة الغاشمة. في أحد المشاريع ، تولى نسخة محدودة من أول اختراقات هذا العام - ورقة في فبراير من قبل زاندر كيلي، وهو طالب دراسات عليا في جامعة إلينوي ، أوربانا شامبين ، و راغو ميكا من جامعة كاليفورنيا ، لوس أنجلوس. وجد كيلي وميكا حدًا أعلى جديدًا لعدد الأعداد الصحيحة بين 1 و N يمكنك وضعها في مجموعة مع تجنب التعاقب ثلاثي المدى ، أو أنماط الأرقام المتباعدة بشكل متساوٍ.

على الرغم من أن نتيجة كيلي وميكا تنطبق حتى لو N صغير نسبيًا ، فهو لا يعطي حدًا مفيدًا بشكل خاص في هذه الحالة. لقيم صغيرة جدًا لـ N، من الأفضل أن تتمسك بأساليب بسيطة جدًا. لو N هو ، على سبيل المثال ، 5 ، ما عليك سوى إلقاء نظرة على جميع مجموعات الأرقام الممكنة بين 1 و N، واختر أكبر عرض خالٍ من التقدم: {1 ، 2 ، 4 ، 5}.

لكن عدد الإجابات المختلفة الممكنة ينمو بسرعة كبيرة ويجعل من الصعب للغاية استخدام مثل هذه الإستراتيجية البسيطة. هناك أكثر من مليون مجموعة تتكون من أرقام بين 1 و 1. وهناك أكثر من 20⁶⁰ باستخدام الأرقام بين 1 و 200. إن العثور على أفضل مجموعة خالية من التقدم لهذه الحالات يتطلب جرعة كبيرة من قوة الحوسبة ، حتى مع استراتيجيات تحسين الكفاءة. قال "عليك أن تكون قادرًا على الضغط على الكثير من الأداء خارج الأشياء" جيمس غلين، عالم كمبيوتر في جامعة ييل. في عام 2008 ، جاسارش ، جلين و كلايد كروسكال من جامعة ماريلاند كتب برنامج للعثور على أكبر مجموعات خالية من التقدم حتى N من 187. (حصل العمل السابق على إجابات تصل إلى 150 ، بالإضافة إلى 157.) على الرغم من قائمة الحيل ، استغرق برنامجهم شهورًا حتى ينتهي ، كما قال جلين.

لتقليل العبء الحسابي ، استخدم الفريق اختبارات بسيطة منعت برنامجهم من متابعة عمليات البحث المسدودة وقسموا مجموعاتهم إلى أجزاء أصغر قاموا بتحليلها بشكل منفصل.

جرب جاسارش وجلين وكروسكال أيضًا عدة استراتيجيات أخرى. استندت إحدى الأفكار الواعدة إلى العشوائية. هناك طريقة بسيطة للتوصل إلى مجموعة خالية من التقدم وهي وضع 1 في مجموعتك ، ثم دائمًا إضافة الرقم التالي الذي لا يُنشئ تقدمًا حسابيًا. اتبع هذا الإجراء حتى تصل إلى الرقم 10 ، وستحصل على المجموعة {1 ، 2 ، 4 ، 5 ، 10}. لكن اتضح أن هذه ليست أفضل استراتيجية بشكل عام. "ماذا لو لم نبدأ من الساعة 1؟" قال Gasarch. "إذا بدأت في مكان عشوائي ، فأنت في الواقع تعمل بشكل أفضل." وأضاف أن الباحثين ليس لديهم فكرة عن سبب فائدة العشوائية.

يعد حساب الإصدارات المحدودة من نتيجتي نظرية رامزي الجديدتين أكثر إزعاجًا من تحديد حجم المجموعات الخالية من التقدم. تتعلق هذه النتائج بشبكات رياضية (تسمى الرسوم البيانية) تتكون من عقد متصلة بخطوط تسمى الحواف. رقم رامزي r(s, t) هو أصغر عدد من العقد يجب أن يكون في الرسم البياني قبل أن يصبح من المستحيل تجنب تضمين أي من مجموعة s العقد المتصلة أو t منفصلة. رقم رامزي هو مثل هذا الصداع لحساب ذلك حتى r(5 ، 5) غير معروف - ما بين 43 و 48.

في 1981، بريندان مكاي، وهو الآن عالم كمبيوتر في الجامعة الوطنية الأسترالية ، كتب برنامجًا برمجيًا يسمى nauty ، والذي كان يهدف إلى جعل حساب أرقام Ramsey أبسط. يضمن Nauty أن الباحثين لا يضيعون الوقت في فحص رسمين بيانيين تم قلبهما أو تدويرهما للتو. "إذا كان شخص ما في المنطقة ولا يستخدم nauty ، تنتهي اللعبة. قال ستانيسلاف رادزيسزوفسكي، عالم رياضيات في معهد روتشستر للتكنولوجيا. ومع ذلك ، فإن مقدار الحساب المتضمن يكاد يكون غير مفهوم. في عام 2013 ، Radziszowski و جان جويدجبور أثبت أن r(3 ، 10) هي 42 على الأكثر. قال Goedgebeur ، عالم الكمبيوتر في جامعة KU Leuven في بلجيكا: "لقد استغرق الأمر ، على ما أعتقد ، ما يقرب من 50 عامًا من وحدة المعالجة المركزية".

إذا لم تتمكن من حساب رقم Ramsey الدقيق ، فيمكنك محاولة تضييق قيمته باستخدام أمثلة. إذا وجدت رسمًا بيانيًا مكونًا من 45 عقدة بدون خمس عقد تم توصيلها جميعًا وبدون خمس عقد تم فصلها جميعًا ، فسيثبت ذلك أن r(5 ، 5) أكبر من 45. اعتاد علماء الرياضيات الذين يدرسون أرقام رامزي أن يعتقدوا أن العثور على تلك الأمثلة ، التي تسمى رسوم رمزي البيانية ، سيكون أمرًا بسيطًا ، كما قال رادزوفسكي. لكن الأمر لم يكن كذلك. قال: "كان هناك توقع بأن الإنشاءات الرياضية الرائعة والرائعة ستعطي أفضل الإنشاءات الممكنة ، ونحتاج فقط إلى مزيد من الأشخاص للعمل عليها". "أشعر أن الفوضى أكثر وأكثر."

العشوائية هي عقبة أمام الفهم وأداة مفيدة. جيفري إكسو، عالم الكمبيوتر في جامعة ولاية إنديانا ، أمضى سنوات في تحسين الأساليب العشوائية لإنشاء رسوم رمزي البيانية. في ورقة 2015 أعلن كل من Exoo و Milos Tatarevic عن العشرات من رسوم رمزي الرسومية الجديدة ذات الأرقام القياسية ، وقاموا بإنشاء رسوم بيانية عشوائية ثم قاموا بتعديلها تدريجيًا عن طريق حذف أو إضافة حواف قللت من عدد المجموعات غير المرغوب فيها حتى عثروا على رسم رمزي. قال Radziszowski إن تقنيات Exoo هي فن مثل أي شيء آخر. يطلبون منه أحيانًا الجمع بين طرق متعددة ، أو استخدام الحكم على نوع الرسوم البيانية التي يجب أن تبدأ بها. قال رادزوفسكي: "كثير ، كثير من الناس يحاولون ذلك ، لكنهم لا يستطيعون فعل ذلك".

قال Goedgebeur ، الذي لديه عملت على إنتاج أنواع أخرى من الرسوم البيانية ، مثل الرسوم البيانية التي تمثل المركبات الكيميائية. كتب في رسالة بريد إلكتروني: "ليس من المستبعد أن يتم أيضًا نقل هذه التقنيات وتعديلها للمساعدة في إنشاء فئات أخرى من الرسوم البيانية بكفاءة أكبر (والعكس صحيح)".

لكن بالنسبة إلى Radziszowski ، فإن سبب دراسة أرقام Ramsey الصغيرة أبسط بكثير. قال "لأنه مفتوح ، لأن لا أحد يعرف ما هو الجواب" ، قال. "الحالات التافهة التي نقوم بها يدويًا ؛ أكبر قليلاً ، فأنت بحاجة إلى جهاز كمبيوتر ، وأكبر قليلاً ، حتى الكمبيوتر ليس جيدًا بما فيه الكفاية. وهكذا يظهر التحدي ".