إن العديد من التطورات المعقدة في الرياضيات البحثية مدفوعة بالرغبة في فهم بعض أبسط الأسئلة حول الأرقام. كيف يتم توزيع الأعداد الأولية في الأعداد الصحيحة؟ هل توجد مكعبات كاملة (مثل 8 = 2³ أو 27 = 3³) يمكن كتابتها كمجموع مكعبين آخرين؟ بشكل عام ، قد يرغب علماء الرياضيات في حل معادلة. لكن غالبًا ما يكون من المستحيل القيام بذلك عن طريق تعديل المعادلة نفسها. بدلاً من ذلك ، يجد علماء الرياضيات طرقًا لربط الحلول بهياكل مجردة إلى حد كبير يشفر تعقيدها أسرارها.

على مدى العقود العديدة الماضية ، اتبع أحد أكثر خطوط البحث إثارة في الرياضيات هذا النموذج. لقد اشتمل على فهم العلاقة بين أنواع معينة من المعادلات متعددة الحدود تسمى المنحنيات الإهليلجية والمزيد من الأشياء الباطنية التي تسمى الأشكال المعيارية ، والتي برزت في الرياضيات في عام 1994 عندما استخدمها أندرو وايلز لإثبات نظرية فيرما الأخيرة ، من بين أكثر النتائج شهرة في القرن العشرين الرياضيات.

في يناير الماضي ، آنا كارياني من إمبريال كوليدج لندن وجامعة بون و جيمس نيوتن من جامعة أكسفورد فتح مسارًا جديدًا للبحث في هذا المجال عندما أثبتوا أن العلاقة التي أقامها ويلز بين المنحنيات الإهليلجية والأشكال المعيارية تنطبق أيضًا على بعض الكائنات الرياضية التي تسمى الحقول التربيعية التخيلية.

أثبت وايلز أن أنواعًا معينة من المنحنيات الإهليلجية معيارية - بمعنى أن هناك شكلًا معياريًا معينًا يتوافق مع كل منحنى - عندما يكون المتغيران والمعاملان المتضمنان في تعريف المنحنى عبارة عن أرقام منطقية ، وقيم يمكن كتابتها ككسور. بعد عمله ، سعى علماء الرياضيات إلى إنشاء نمطية في مجموعة متنوعة من السياقات. في عام 2001 ، أثبت أربعة علماء رياضيات أن جميع المنحنيات الناقصية مقياسية على الأرقام المنطقية (في حين أثبت ويلز ذلك لبعض المنحنيات فقط). في عام 2013 ، ثلاثة رياضيات بما في ذلك سمير السكسك من جامعة وارويك أثبت أن المنحنيات الناقصية هي أيضًا معيارية على الحقول التربيعية الحقيقية  (بمعنى أن المتغيرات والمعاملات مأخوذة من نظام رقمي يسمى حقل تربيعي حقيقي).

مع تقدم التقدم ، ظل هدف معين بعيد المنال: إثبات أن المنحنيات الناقصية معيارية فوق الحقول التربيعية التخيلية.

الحقول التربيعية هي نقطة انطلاق رياضية بين الأرقام المنطقية والأرقام الحقيقية ، والتي تشمل كل رقم عشري محتمل ، حتى تلك التي تحتوي على أنماط لا نهائية على يمين العلامة العشرية التي لا تتكرر أبدًا. (يتضمن هذا جميع الأرقام غير المنطقية ، مثل $ latex sqrt {2} $ أو $ latex pi $.)

تختار الحقول التربيعية عددًا صحيحًا - على سبيل المثال ، 5 - وتشمل جميع أرقام النموذج $ latex a + bsqrt {5} $ حيث a و b كلاهما أرقام منطقية. إذا كان الرقم الصحيح موجبًا ، فإن الحقل التربيعي الناتج هو مجموعة فرعية من الأرقام الحقيقية ، لذلك يُعرف باسم الحقل التربيعي الحقيقي.

ماذا عن المنحنيات الإهليلجية التي يتم تعريفها عبر الحقول التربيعية التخيلية - تلك التي يتم تكوينها بأخذ الجذر التربيعي لعدد سالب؟

هذه هي المشكلة التي عالجها كاراياني ونيوتن.

منذ مئات السنين ، حدد علماء الرياضيات الجذر التربيعي للأرقام السالبة بطريقة مباشرة: أعطوا اسمًا ، i، إلى الجذر التربيعي للعدد −1. إذن ، الجذر التربيعي لأي عدد سالب آخر هو فقط i ضرب الجذر التربيعي للعدد الموجب المقابل. إذن $ latex sqrt {-5} = isqrt {5} $. تلعب الأرقام الخيالية دورًا مهمًا في الرياضيات لأنه في العديد من المشكلات ، يسهل التعامل معها مقارنة بالأرقام الحقيقية.

لكن إثبات أن المنحنيات الإهليلجية معيارية فوق الحقول التربيعية التخيلية ظل بعيد المنال منذ فترة طويلة ، لأن تقنيات إثبات النموذجية على الحقول التربيعية الحقيقية لا تعمل.

حقق Caraiani و Newton نمطية - لجميع المنحنيات الإهليلجية على حوالي نصف جميع الحقول التربيعية الخيالية - من خلال اكتشاف كيفية تكييف عملية لإثبات النموذجية التي ابتكرها Wiles وآخرون مع منحنيات إهليلجية فوق الحقول الخيالية التربيعية.

"هذا هو المكان الذي جاء فيه العمل الجميل لكارياني ونيوتن. لقد قاموا بتحسين الخطوة الثانية لويلز ،" شاندراشيخار خير من جامعة كاليفورنيا ، لوس أنجلوس.

يعتبر العمل إنجازًا تقنيًا بحد ذاته ، ويفتح الباب لإحراز تقدم في بعض أهم الأسئلة في الرياضيات في البيئة التخيلية.

صانع الثقاب ، صانع الثقاب

اهتم علماء الرياضيات بحلول المعادلات متعددة الحدود - مجموعات من المتغيرات التي تم رفعها إلى قوى ثابتة - منذ الإغريق على الأقل. تأتي المعادلات في أصناف لا نهاية لها ، يتم تحقيقها عن طريق تعديل كمية المتغيرات ، ومعاملات تلك المتغيرات ، والقوى التي يتم رفعها إليها. لاتكس $ 3x ^ 5 + x ^ 4−9x ^ 3−4x ^ 2 + x − 7 = 0 $ مثال واحد فقط.

المنحنيات الإهليلجية هي معادلات متعددة الحدود تكون في المستوى الأمثل من الصلابة للتحقيق الرياضي. يوجد مرتبة (وتدرس على نطاق واسع) صيغة لإيجاد حلول للعديد من الحدود التربيعية في متغير واحد ، حيث تكون أعلى قوة هي 2 ، ولكن لا توجد صيغة كهذه لحلول كثيرة الحدود حيث تكون أعلى قوة هي 5 أو أعلى. إضافة المزيد من المتغيرات بشكل عام تجعل الأمور أكثر تعقيدًا أيضًا. لكن المنحنيات الإهليلجية ، التي لها متغيرين وأعلى قوتها 3 ، مثل $ latex (y ^ 2 = x ^ 3 + 1) $ ، تمثل تحديًا كافيًا لإلهام الاختراع ، دون أن تكون شديدة الصعوبة لدرجة أنها تشعر باليأس.

أحد الأسئلة الأساسية حول المنحنى الإهليلجي هو ما إذا كان هناك عدد محدود أو غير محدود من الأزواج المنطقية التي تحل ذلك. تحتوي بعض المنحنيات الناقصية على عدد كبير من الحلول المنطقية ، والبعض الآخر يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول ، والبعض الآخر لا يحتوي على أي حلول على الإطلاق.

قال كارياني: "لديهم هذا النوع من السلوك الوسيط المضحك".

إذا سلمت منحنى بيضاوي عشوائي ، فليس من الواضح على الفور الفئة التي يقع ضمنها. لكن من الممكن فك تشفيرها عن طريق إقرانها بكائن مطابق يسمى نموذج معياري ، تكشف خصائصه الإجابة.

امسكني نموذج معياري

النماذج المعيارية هي وظائف تمت دراستها في التحليل ، وهي شكل متقدم من أشكال حساب التفاضل والتكامل. هم متماثل جدا وغالبًا ما يمكن ترجمتها - نقلها إلى اليسار أو اليمين - دون فقدان مظهرها. بهذه الطريقة لديهم ميزات مشتركة مع وظائف أخرى شديدة التناظر ، مثل وظيفة الجيب ، على الرغم من أنها أقل وضوحًا في الكتابة أو التصور.

كل نموذج معياري يأتي مع معاملات. يمكنك كتابتها ، وإنتاج سلسلة من الأرقام. هذه الأرقام لها خصائص لطيفة للغاية ، ويبدو أنها بعيدة كل البعد عن العشوائية. لقد حيروا علماء الرياضيات بداية من أوائل القرن العشرين ، عندما بدأ العبقري الرياضي سرينيفاسان رامانوجان في إدراك أن الأنماط في معاملات الشكل المعياري تفسر من خلال حقيقة أن كل نموذج معياري مرتبط بنوع ثانٍ من الكائن يسمى تمثيل جالوا . أكد العمل في وقت لاحق الارتباط.

تحتوي المنحنيات الإهليلجية أيضًا على تمثيلات Galois ، وبعد عمل Ramanujan ، بدا من الممكن أن يتم إقحام تمثيلات Galois بين المنحنيات البيضاوية والأشكال المعيارية: ابدأ بواحد ، وحدد تمثيل Galois الخاص به ، وابحث عن الآخر.

"أنت تفكر نوعًا ما: المنحنيات الإهليلجية ، والكائنات من الهندسة ، وتمثيلات جالوا ، والأشكال المعيارية لها تمثيلات جالوا - هل هناك تطابق؟" قال سيكسك.

في أواخر الخمسينيات من القرن الماضي ، اقترح Yutaka Taniyama و Goro Shimura أن هناك تطابقًا مثاليًا 1950 إلى 1 بين بعض الأشكال المعيارية والمنحنيات الإهليلجية. في العقد التالي ، بنى روبرت لانجلاندز على هذه الفكرة في بناء بلده برنامج لانجلاندز الواسع، والتي أصبحت واحدة من أكثر برامج البحث بعيدة المدى والأكثر أهمية في الرياضيات.

إذا كانت مطابقة 1 إلى 1 صحيحة ، فإنها ستمنح علماء الرياضيات مجموعة قوية من الأدوات لفهم حلول المنحنيات الناقصية. على سبيل المثال ، هناك نوع من القيمة العددية المرتبطة بكل نموذج معياري. واحدة من أهم المشاكل المفتوحة في الرياضيات (إثبات أنها تأتي مع جائزة مليون دولار) - تخمين بيرش وسوينرتون - داير - يقترح أنه إذا كانت هذه القيمة صفرية ، فإن المنحنى الإهليلجي المرتبط بهذا الشكل المعياري له عدد لا نهائي من الحلول المنطقية ، وإذا لم يكن صفرًا ، فإن المنحنى الإهليلجي له عدد محدود من الحلول المنطقية.

ولكن قبل معالجة أي شيء من هذا القبيل ، يحتاج علماء الرياضيات إلى معرفة أن المراسلات صحيحة: أعطني منحنى بيضاوي الشكل ، ويمكنني أن أعطيك شكله المعياري المطابق. إثبات هذا هو ما فعله العديد من علماء الرياضيات ، من ويلز إلى كاراياني ونيوتن ، على مدى العقود القليلة الماضية.

انظر من خلال كتابك

قبل عمل وايلز ، نجح علماء الرياضيات في إثبات اتجاه واحد للمراسلات: في بعض الحالات يمكنهم البدء بشكل معياري والعثور على المنحنى البيضاوي المطابق. لكن الذهاب في الاتجاه الآخر - وهو ما يعنيه علماء الرياضيات عندما يتحدثون عن كون المنحنيات الناقصية معيارية - كان أكثر صعوبة ، وكان وايلز أول من حقق ذلك.

قال خير: "عرف الناس في وقت سابق كيفية الانتقال من شكل معياري إلى منحنى إهليلجي في ظل ظروف معينة ، ولكن هذا الاتجاه العكسي من الشكل الإهليلجي إلى النموذجي كان هو الدافع وراء ويلز".

أثبت وايلز قابليته للنمطية لبعض أنواع المنحنيات الناقص ذات المعاملات التي هي أرقام منطقية. كان هذا بحد ذاته كافياً لإثبات نظرية فيرما الأخيرة عن طريق التناقض. (أثبت وايلز أنه إذا كانت نظرية فيرما الأخيرة خاطئة ، فهذا يعني أن وجود منحنى إهليلجي كان العمل السابق قد أنشأه لا يمكن أن يوجد. لذلك ، يجب أن تكون نظرية فيرما الأخيرة صحيحة.)

عندما وسع علماء الرياضيات عمل وايلز على المنحنيات الإهليلجية ، اتبعوا نفس الطريقة التي استخدمها لإثبات نتيجته الأولية.

بعد النجاحات في تعميم النتيجة على الأعداد المنطقية والحقول التربيعية الحقيقية ، كان الامتداد التالي الواضح هو الحقول التخيلية التربيعية.

قال كارياني: "هناك شيئان فقط يمكن أن يحدثا: المجال إما حقيقي أو خيالي". "تم فهم القضية الحقيقية بالفعل ، لذلك من الطبيعي الذهاب إلى الحالة الخيالية."

الحقول التربيعية التخيلية لها نفس الخصائص الحسابية الأساسية مثل الأعداد المنطقية والحقيقية ، لكن طريقة وايلز لا يمكن زرعها هناك بنفس السهولة. هناك العديد من الأسباب التي تجعل الأشكال المعيارية على الحقول الخيالية التربيعية أقل تماثلًا بكثير مما هي عليه في الأسس المنطقية وعلى الحقول التربيعية الحقيقية ، ولكن على وجه الخصوص. هذا النقص النسبي في التناظر يجعل من الصعب تحديد تمثيلات Galois الخاصة بهم ، والتي هي المفتاح لإنشاء تطابق مع منحنى ناقص.

قال خير إنه لسنوات بعد إثبات Wiles 'Fermat ، "كانت حالة الحقول الوهمية التربيعية تتجاوز ما كان ممكنًا". ولكن خلال العقد الماضي ، مهدت سلسلة من التطورات الطريق لعمل كارياني ونيوتن.

أحضر لي حلقة (أو أفضل من ذلك ، حقل)

كانت الخطوة الأولى في طريقة ويلز هي إنشاء تطابق تقريبي بين المنحنيات الناقصية والأشكال المعيارية. الاثنان متصلان عبر تمثيلات Galois المشفرة في سلسلة من الأرقام التي تنشأ بشكل فريد على جانبي الاقتران.

في النهاية ، تريد أن تُظهر أن الأرقام التي تحدد تمثيلات Galois تتطابق تمامًا ، ولكن في هذه الخطوة الأولى ، يكفي إظهار أنها تختلف من خلال بعض هامش الخطأ الثابت. على سبيل المثال ، يمكنك إثبات تطابق سلسلة من الأرقام إذا كان بإمكانك إضافة أو طرح مضاعفات 3 للانتقال من كل رقم إلى الرقم المقابل له. في ضوء ذلك ، تتطابق (4 ، 7 ، 2) مع (1 ، 4 ، 5) أو مع (7 ، 10 ، 8) ، ولكن ليس مع (2 ، 8 ، 3). يمكنك أيضًا القول أنها تتطابق إذا كانت تختلف في مضاعفات 5 أو 11 أو أي عدد أولي (لأسباب فنية ولكنها مهمة ، يجب أن يكون هامش الخطأ دائمًا أوليًا). أ 2019 ورقة by باتريك ألين، خير و جاك ثورن قدم هذا النوع من موطئ قدم بشأن المشكلة.

قال نيوتن: "لقد أثبتوا النظريات التي تمنحك نقطة ما للبدء".

في نفس الوقت تقريبًا الذي كانت فيه ورقة عام 2019 قيد التنفيذ ، كانت مجموعة من 10 علماء رياضيات تعمل على اتخاذ خطوات إضافية لعمل طريقة وايلز في الحقول التخيلية التربيعية. بدأ التعاون خلال أسبوع قضاه في معهد الدراسات المتقدمة وشمل ألين وثورن - المؤلفان المشاركان لورقة 2019 - بالإضافة إلى كاراياني ونيوتن.

كان الهدف الأول للمجموعة هو إثبات أن تمثيلات جالوا القادمة من أشكال معيارية تمتلك نوعًا معينًا من الاتساق الداخلي. هذه الخاصية - وهي شرط أساسي لمطابقتها مع تمثيلات Galois القادمة من المنحنيات الناقصية - تسمى التوافق المحلي والعالمي.

التعاون من 10 أشخاص تمكنت من القيام بذلك في بعض الحالات الخاصة ، ولكن ليس معظمها. مع انتهاء التعاون ، قرر Caraiani و Newton مواصلة العمل معًا لمعرفة ما إذا كان بإمكانهما فعل المزيد.

قال كارياني: "كنا في لندن في نفس الوقت ، وتمتعنا بالتحدث مع بعضنا البعض حول الأشياء التي ظهرت في هذا المشروع المؤلف من 10 مؤلفين". "كنا نعرف ما هي النقاط الشائكة ، وما هي العوائق التي تحول دون المضي قدمًا."

ليلة بعد ليلة في الظلام 

بعد فترة وجيزة من بدء العمل بمفردهما ، توصل كارياني ونيوتن إلى استراتيجية لتجاوز العمل الذي بدأوه مع المجموعة الأكبر. لا يبدو الأمر خاطئًا بشكل واضح ، لكن لم يكن لديهم أيضًا أي فكرة عما إذا كان سيعمل حقًا.

قال نيوتن: "لقد بدأنا بهذه الفكرة المتفائلة بأن الأمور ستنجح ، وأنه يمكننا إثبات شيء أقوى قليلاً من هذه الورقة المكونة من 10 مؤلفين ، وفي النهاية فعلنا ذلك".

عمل Caraiani و Newton على هذه الفكرة لمدة عامين ، وبحلول نهاية عام 2021 ، كان تفاؤلهم قد أتى بثماره: لقد قاموا بتحسين نتيجة التوافق المحلي العالمي التي قدمها فريق المؤلفين العشرة. يصفون كيف في قسم تقني طويل يشتمل على النصف الأول من ورقتهم النهائية ، والتي تزيد عن 10 صفحة.

قال Caraiani: "علمنا أنه بمجرد أن تكون لدينا هذه القطعة الفنية في مكانها ، فإن النموذجية سيكون ساريًا".

كانت الخطوة الأولى في طريقة وايلز هي إنشاء نوع من الوحدات النمطية التقريبية. كانت الخطوة الثانية نتيجة التوافق المحلي العالمي. كانت الخطوة الثالثة هي معرفة أن عددًا صغيرًا على الأقل من المنحنيات معيارية والاستفادة منها لإثبات أن العديد من المنحنيات معيارية. كانت هذه الخطوة ممكنة بسبب ما يسمى نظرية الرفع المعيارية.

قال نيوتن: "إنها تسمح لك بنشر النموذجية حولها". "إذا كنت تعرف نمطية شيء ما ، فإن هذا الرفع [للأشياء] يسمح لك بإنقاذ نمطية الكثير من الأشياء الأخرى. أنت نوع من نشر هذه الخاصية النمطية بطريقة لطيفة ".

مباراة لا مثيل لها

سمح تطبيق نظرية الرفع لكارياني ونيوتن بإثبات نمطية عدد لا نهائي من المنحنيات الإهليلجية ، ولكن لا تزال هناك بعض حالات الزاوية التي لم يتمكنوا من الحصول عليها. كانت هذه حفنة من عائلات المنحنيات الناقصية ذات الخصائص الفريدة التي جعلتها غير قابلة للوصول إلى نظرية الرفع.

ولكن نظرًا لوجود عدد قليل جدًا منهم ، يمكن لكارياني ونيوتن مهاجمتهم يدويًا - حساب تمثيلات جالوا واحدة تلو الأخرى لمحاولة إقامة مباراة.

قال كارياني: "لقد استمتعنا نوعًا ما بحساب الكثير والكثير من النقاط على بعض المنحنيات".

كان الجهد ناجحًا ، إلى حد ما. نجح Caraiani و Newton أخيرًا في إثبات أن جميع المنحنيات الإهليلجية مقياسية على حوالي نصف الحقول التربيعية التخيلية ، بما في ذلك تلك الحقول التي تشكلت من خلال الجمع بين الأرقام المنطقية مع الجذر التربيعي لـ −1 أو 2 أو −3 أو 5. بالنسبة للحقول التربيعية الخيالية الأخرى ، فقد تمكنوا من إثبات نمطية للعديد من المنحنيات الإهليلجية ، ولكن ليس كلها. (تظل نمطية المتقاعدين سؤالًا مفتوحًا.)

توفر نتيجتهم أساسًا للتحقيق في بعض الأسئلة الأساسية نفسها حول المنحنيات الإهليلجية على المجالات التربيعية الخيالية التي يتابعها علماء الرياضيات على المنطقيين والحقائق. يتضمن هذا النسخة التخيلية لنظرية فيرما الأخيرة - على الرغم من أنه يجب وضع أساس إضافي قبل أن يكون ذلك ودودًا - والنسخة الخيالية من تخمين بيرش وسوينرتون-داير.

ولكن إذا أحرز علماء الرياضيات تقدمًا في أي من المكانين ، فلن تكون كارياني جزءًا منه - على الأقل ليس في الوقت الحالي. بعد سنوات من العمل على نمطية المنحنيات الإهليلجية ، أصبحت مستعدة لتجربة شيء آخر.

قالت: "إذا حصلت على نتيجة في اتجاه واحد ، فأنا لا أحب دائمًا الاستمرار في العمل في هذا الاتجاه فقط". "لذا قمت الآن بتحويل اهتماماتي إلى شيء له نكهة هندسية أكثر قليلاً."

تصحيح: 6 تموز، 2023
ذكرت هذه المقالة في الأصل أنه لا توجد صيغة عامة لحلول المعادلة متعددة الحدود التي يكون أعلى أس لها هو 4 أو أعلى. الرقم الصحيح هو 5. تم تصحيح المقال.