في منتصف الثمانينيات، مثل مشغلات الكاسيت Walkman والقمصان المصبوغة، كانت الصورة الظلية لمجموعة Mandelbrot التي تشبه الحشرات موجودة في كل مكان.

قام الطلاب بلصقها على جدران غرف النوم في جميع أنحاء العالم. تلقى علماء الرياضيات مئات الرسائل، وطلبات متلهفة للحصول على مطبوعات للمجموعة. (رداً على ذلك، قام بعضهم بإنتاج كتالوجات، مكتملة بقوائم الأسعار، بينما قام آخرون بتجميع ميزاتها الأكثر إثارة للانتباه في كتب). العلمي الأميركي. على غلافه، تتكشف مجموعة ماندلبروت في محلاق ناري، وحدودها مشتعلة؛ كان بداخله تعليمات برمجية دقيقة، توضح بالتفصيل كيف يمكن للقراء إنشاء الصورة المميزة لأنفسهم.

بحلول ذلك الوقت، كانت هذه المحلاق قد وسعت نطاقها إلى ما هو أبعد من الرياضيات، إلى زوايا تبدو غير مرتبطة بالحياة اليومية. في غضون السنوات القليلة التالية، أصبحت مجموعة ماندلبرو مصدر إلهام لأحدث لوحات ديفيد هوكني وأحدث المؤلفات الموسيقية للعديد من الموسيقيين - مقطوعات تشبه الفوغي بأسلوب باخ. سيظهر في صفحات روايات جون أبدايك، ويرشد كيف قام الناقد الأدبي هيو كينر بتحليل شعر عزرا باوند. سيصبح موضوع الهلوسة المخدرة وموضوع فيلم وثائقي شهير رواه عالم الخيال العلمي العظيم آرثر سي كلارك.

مجموعة ماندلبروت عبارة عن شكل خاص ذو مخطط فركتالي. استخدم جهاز كمبيوتر لتكبير الحدود المتعرجة للمجموعة، وسوف تواجه وديانًا من فرس البحر ومواكب للأفيال والمجرات الحلزونية والخيوط الشبيهة بالخلايا العصبية. بغض النظر عن مدى عمق الاستكشاف، سترى دائمًا نسخًا قريبة من المجموعة الأصلية - سلسلة لا نهائية ومذهلة من التشابه الذاتي.

كان هذا التشابه الذاتي عنصرًا أساسيًا في كتاب جيمس جليك الأكثر مبيعًا فوضىمما عزز مكانة مجموعة ماندلبروت في الثقافة الشعبية. كتب جليك: "لقد كان يحمل عالمًا من الأفكار". "فلسفة فنية حديثة، مبرر للدور الجديد للتجريب في الرياضيات، وطريقة لعرض الأنظمة المعقدة أمام جمهور كبير."

أصبحت مجموعة ماندلبروت رمزًا. لقد مثلت الحاجة إلى لغة رياضية جديدة، وطريقة أفضل لوصف الطبيعة الكسورية للعالم من حولنا. لقد أوضح كيف يمكن للتعقيد العميق أن ينشأ من أبسط القواعد، مثل الحياة نفسها إلى حد كبير. ("إنها بالتالي رسالة أمل حقيقية"). جون هوباردقال أحد علماء الرياضيات الأوائل الذين درسوا المجموعة، في مقطع فيديو عام 1989، "إنه من الممكن حقًا فهم علم الأحياء بنفس الطريقة التي يمكن بها فهم هذه الصور.") في مجموعة ماندلبروت، عاش النظام والفوضى في وئام؛ ويمكن التوفيق بين الحتمية والإرادة الحرة. يتذكر أحد علماء الرياضيات تعثره عبر المجموعة عندما كان مراهقًا ورؤيتها على أنها استعارة للحدود المعقدة بين الحقيقة والباطل.

كانت مجموعة ماندلبروت موجودة في كل مكان، حتى اختفت.

وفي غضون عقد من الزمن، بدا أنها اختفت. وانتقل علماء الرياضيات إلى مواضيع أخرى، وانتقل الجمهور إلى رموز أخرى. واليوم، بعد مرور 40 عامًا فقط على اكتشافه، أصبح الفراكتل عبارة مبتذلة ومبتذلة.

لكن حفنة من علماء الرياضيات رفضوا التخلي عن ذلك. لقد كرسوا حياتهم لكشف أسرار مجموعة ماندلبروت. الآن، يعتقدون أنهم أخيرًا على وشك فهم الأمر حقًا.

قصتهم هي قصة استكشاف وتجريب - وكيف تشكل التكنولوجيا الطريقة التي نفكر بها، والأسئلة التي نطرحها حول العالم.

صائدو الجوائز

في أكتوبر 2023، اجتمع 20 عالم رياضيات من جميع أنحاء العالم في مبنى من الطوب على ما كان في السابق قاعدة أبحاث عسكرية دنماركية. تم بناء القاعدة في أواخر القرن التاسع عشر في وسط الغابة، وتم وضعها بعيدًا على مضيق بحري على الساحل الشمالي الغربي للجزيرة الأكثر اكتظاظًا بالسكان في الدنمارك. طوربيد قديم يحرس المدخل. وزينت الجدران صور بالأبيض والأسود، تصور ضباط البحرية بالزي الرسمي، والقوارب مصطفة على الرصيف، واختبارات الغواصات الجارية. لمدة ثلاثة أيام، بينما كانت الرياح العاتية تدفع المياه خارج النوافذ إلى قبعات بيضاء مزبدة، جلست المجموعة من خلال سلسلة من المحادثات، معظمها من قبل اثنين من علماء الرياضيات من جامعة ستوني بروك في نيويورك: ميشا ليوبيتش و ديما دودكو.

كان من بين جمهور ورشة العمل بعض المستكشفين الأكثر جرأة في مجموعة ماندلبروت. بالقرب من الجبهة جلس ميتسوهيرو شيشيكورا من جامعة كيوتو، الذي أثبت في التسعينيات أن حدود المجموعة معقدة قدر الإمكان. كان عدد قليل من المقاعد هيرويوكي إينو، الذي طور جنبًا إلى جنب مع شيشيكورا تقنيات مهمة لدراسة منطقة بارزة بشكل خاص في مجموعة ماندلبروت. في الصف الأخير كان وولف يونج، مبتكر برنامج ماندل، وهو برنامج يستخدمه علماء الرياضيات للتحقيق بشكل تفاعلي في مجموعة ماندلبروت. وكان حاضرا أيضا أرنو شريتات جامعة تولوز، كارستن بيترسن من جامعة روسكيلد (الذي نظم ورشة العمل)، والعديد من الآخرين الذين قدموا مساهمات كبيرة في فهم علماء الرياضيات لمجموعة ماندلبروت.

وعلى السبورة البيضاء وقف ليوبيتش، الخبير العالمي الأول في هذا الموضوع، ودودكو، أحد أقرب معاونيه. جنبا إلى جنب مع علماء الرياضيات جيريمي كان و أليكس كابيامبالقد كانوا يعملون على إثبات تخمين طويل الأمد حول البنية الهندسية لمجموعة ماندلبروت. هذا التخمين، المعروف باسم MLC، هو العقبة الأخيرة في السعي المستمر منذ عقود لتوصيف الفركتلات، لترويض بريتها المتشابكة.

من خلال بناء وشحذ مجموعة قوية من الأدوات، صارع علماء الرياضيات السيطرة على هندسة «كل شيء تقريبًا في مجموعة ماندلبروت»، كما قال. كارولين ديفيز من جامعة إنديانا – باستثناء عدد قليل من الحالات المتبقية. "ميشا وديما وجيريمي وأليكس يشبهون صائدي الجوائز، ويحاولون تعقب هؤلاء الأخيرين."

كان ليوبيتش ودودكو في الدنمارك لإطلاع علماء الرياضيات الآخرين على التقدم الأخير نحو إثبات MLC، والتقنيات التي طوروها للقيام بذلك. على مدار العشرين عامًا الماضية، اجتمع الباحثون هنا لحضور ورش عمل مخصصة لتفكيك النتائج والأساليب في مجال التحليل المعقد، والدراسة الرياضية لأنواع الأعداد والوظائف المستخدمة لإنشاء مجموعة ماندلبروت.

لقد كان إعدادًا غير عادي: تناول علماء الرياضيات جميع وجباتهم معًا، وتحدثوا وضحكوا وهم يتناولون البيرة في الساعات الأولى من الصباح. وعندما قرروا أخيرًا النوم، لجأوا إلى أسرة بطابقين أو أسرة أطفال في غرف صغيرة تقاسموها في الطابق الثاني من المنشأة. (عند وصولنا، طُلب منا أن نلتقط ملاءات وأغطية وسائد من كومة ونأخذها إلى الطابق العلوي لترتيب أسرتنا). وفي بعض السنوات، تحدى رواد المؤتمر بالسباحة في المياه المتجمدة؛ في كثير من الأحيان، يتجولون عبر الغابة. لكن في الأغلب، ليس هناك ما يمكنك فعله سوى الرياضيات.

أخبرني أحد الحاضرين أن ورشة العمل تجتذب عادةً الكثير من علماء الرياضيات الشباب. لكن لم يكن هذا هو الحال هذه المرة - ربما لأنه كان في منتصف الفصل الدراسي، أو، كما توقع، بسبب مدى صعوبة الموضوع. واعترف أنه في تلك اللحظة، شعر ببعض الخوف بشأن احتمال إلقاء محاضرة أمام العديد من عظماء هذا المجال.

ولكن بما أن معظم علماء الرياضيات في المجال الأوسع للتحليل المعقد لم يعودوا يعملون على مجموعة ماندلبروت بشكل مباشر، فلماذا نخصص ورشة عمل كاملة لـ MLC؟

مجموعة ماندلبروت هي أكثر من مجرد كسورية، وليس فقط بالمعنى المجازي. إنه بمثابة نوع من الكتالوج الرئيسي للأنظمة الديناميكية - لجميع الطرق المختلفة التي قد تتحرك بها نقطة ما عبر الفضاء وفقًا لقاعدة بسيطة. لفهم هذا الكتالوج الرئيسي، يجب على المرء اجتياز العديد من المناظر الطبيعية الرياضية المختلفة. لا ترتبط مجموعة ماندلبروت ارتباطًا وثيقًا بالديناميكيات فحسب، بل ترتبط أيضًا بنظرية الأعداد والطوبولوجيا والهندسة الجبرية ونظرية المجموعات وحتى الفيزياء. قال: "إنه يتفاعل مع بقية الرياضيات بطريقة جميلة". سابياساتشي موخيرجي معهد تاتا للبحوث الأساسية في الهند.

لإحراز تقدم في MLC، كان على علماء الرياضيات تطوير مجموعة متطورة من التقنيات - ما يسميه شيريتات "فلسفة قوية". لقد حظيت هذه الأدوات باهتمام كبير. وهي تشكل اليوم ركيزة أساسية في دراسة الأنظمة الديناميكية على نطاق أوسع. لقد تبين أنها حاسمة في حل مجموعة من المشاكل الأخرى - المشاكل التي لا علاقة لها بمجموعة ماندلبروت. وقد قاموا بتحويل حركة MLC من سؤال متخصص إلى واحد من أعمق وأهم التخمينات المفتوحة في هذا المجال.

ليوبيتش، عالم الرياضيات الذي يمكن القول إنه المسؤول الأكبر عن صياغة هذه "الفلسفة" في شكلها الحالي، يقف شامخًا ومستقيمًا، ويتحدث بهدوء. عندما يقترب منه علماء رياضيات آخرون في ورشة العمل لمناقشة مفهوم ما أو طرح سؤال، فإنه يغلق عينيه ويستمع بانتباه، ويعقد حواجبه الكثيفة. يجيب بعناية، بلكنة روسية.

لكنه سريع أيضًا في إطلاق الضحك بصوتٍ عالٍ ودافئ، وإلقاء النكات الساخرة. إنه كريم بوقته ونصائحه. قال موخرجي، أحد باحثي ما بعد الدكتوراه السابقين لدى ليوبيتش، والمتعاون الدائم معه: «لقد قام بالفعل برعاية عدد لا بأس به من أجيال قليلة من علماء الرياضيات». وكما يقول، فإن أي شخص مهتم بدراسة الديناميكيات المعقدة يقضي بعض الوقت في ستوني بروك للتعلم من ليوبيتش. وقال موخرجي: "لدى ميشا هذه الرؤية حول كيفية المضي قدمًا في مشروع معين، أو ما الذي يجب أن ننظر إليه بعد ذلك". "لديه هذه الصورة العظيمة في ذهنه. وهو سعيد بمشاركة ذلك مع الناس."

ولأول مرة، يشعر ليوبيتش أنه قادر على رؤية تلك الصورة الكبيرة في مجملها.

المقاتلون الجائزة

بدأت مجموعة ماندلبروت بالجائزة.

في عام 1915، بدافع من التقدم الأخير في دراسة الوظائف، أعلنت الأكاديمية الفرنسية للعلوم عن مسابقة: في غضون ثلاث سنوات، ستقدم جائزة كبرى قدرها 3,000 فرنك للعمل على عملية التكرار - وهي العملية نفسها التي من شأنها أن قم بإنشاء مجموعة ماندلبروت لاحقًا.

التكرار هو التطبيق المتكرر للقاعدة. قم بتوصيل رقم في دالة، ثم استخدم الإخراج كمدخلك التالي. استمر في فعل ذلك، ولاحظ ما يحدث مع مرور الوقت. مع استمرارك في تكرار وظيفتك، قد ترتفع الأرقام التي تحصل عليها بسرعة نحو اللانهاية. أو قد تنجذب نحو رقم واحد محدد، مثل تحرك برادة الحديد نحو المغناطيس. أو ينتهي بهم الأمر بالقفز بين نفس الرقمين، أو الثلاثة، أو الألف، في مدار مستقر لا يمكنهم الهروب منه أبدًا. أو القفز من رقم إلى آخر دون قافية أو سبب، متبعًا مسارًا فوضويًا لا يمكن التنبؤ به.

كان لدى الأكاديمية الفرنسية، وعلماء الرياضيات على نطاق أوسع، سبب آخر للاهتمام بالتكرار. لعبت هذه العملية دورًا مهمًا في دراسة الأنظمة الديناميكية - أنظمة مثل دوران الكواكب حول الشمس أو تدفق تيار مضطرب، وهي أنظمة تتغير بمرور الوقت وفقًا لمجموعة محددة من القواعد.

ألهمت الجائزة اثنين من علماء الرياضيات لتطوير مجال دراسي جديد تمامًا.

الأول كان بيير فاتو، الذي ربما كان في حياة أخرى رجلًا بحريًا (تقليد عائلي)، لولا حالته الصحية السيئة. وبدلاً من ذلك واصل مسيرته المهنية في الرياضيات وعلم الفلك، وبحلول عام 1915 كان قد أثبت بالفعل العديد من النتائج الرئيسية في التحليل. ثم كان هناك جاستون جوليا، عالم الرياضيات الشاب الواعد المولود في الجزائر التي كانت تحت الاحتلال الفرنسي، والذي انقطعت دراسته بسبب الحرب العالمية الأولى وتجنيده في الجيش الفرنسي. في سن الثانية والعشرين، بعد تعرضه لإصابة خطيرة بعد وقت قصير من بدء خدمته - كان يرتدي حزامًا جلديًا على وجهه لبقية حياته، بعد أن عجز الأطباء عن إصلاح الضرر - عاد إلى الرياضيات، وقام ببعض من العمل الذي سيقدمه لجائزة الأوسكار من سرير المستشفى.

حفزت الجائزة فاتو وجوليا على دراسة ما يحدث عند تكرار الوظائف. لقد عملوا بشكل مستقل، لكن انتهى بهم الأمر إلى تحقيق اكتشافات مشابهة جدًا. كان هناك الكثير من التداخل في نتائجهم، حتى الآن، ليس من الواضح دائمًا كيفية تخصيص الفضل. (كانت جوليا أكثر انفتاحًا، وبالتالي حظيت باهتمام أكبر. وانتهى به الأمر بالفوز بالجائزة؛ ولم تتقدم فاتو حتى بطلب للحصول على الجائزة). ونتيجة لهذا العمل، يُعتبر الاثنان الآن مؤسسي مجال الديناميكيات المعقدة.

"معقد"، لأن فاتو وجوليا قاما بتكرار دوال الأعداد المركبة - الأعداد التي تجمع بين رقم حقيقي مألوف وما يسمى بالرقم التخيلي (مضاعف للعددين). i، الرمز الذي يستخدمه علماء الرياضيات للإشارة إلى الجذر التربيعي لـ −1). بينما يمكن تمثيل الأعداد الحقيقية كنقاط على خط ما، فإن الأعداد المركبة يمكن تمثيلها كنقاط على مستوى، كما يلي:

وجدت فاتو وجوليا أن تكرار حتى الوظائف المعقدة البسيطة (ليست مفارقة في عالم الرياضيات!) يمكن أن يؤدي إلى سلوك غني ومعقد، اعتمادًا على نقطة البداية. وبدأوا في توثيق هذه السلوكيات، وتمثيلها هندسيًا.

ولكن بعد ذلك تلاشى عملهم في الغموض لمدة نصف قرن. "لم يعرف الناس حتى ما الذي يبحثون عنه. لقد كانوا محدودين بشأن الأسئلة التي يجب طرحها”. ارتور افيلاأو المعلم أستاذ بجامعة زيوريخ.

لقد تغير هذا عندما وصلت رسومات الكمبيوتر إلى مرحلة النضج في السبعينيات.

بحلول ذلك الوقت، كان عالم الرياضيات بينوا ماندلبرو قد اكتسب شهرة باعتباره هاويًا أكاديميًا. لقد انخرط في العديد من المجالات المختلفة، من الاقتصاد إلى علم الفلك، كل ذلك أثناء عمله في مركز أبحاث IBM شمال مدينة نيويورك. وعندما تم تعيينه زميلًا لشركة IBM في عام 1974، كان يتمتع بمزيد من الحرية لمتابعة مشاريع مستقلة. قرر استخدام القوة الحاسوبية الكبيرة للمركز لإخراج الديناميكيات المعقدة من حالة السبات.

في البداية، استخدم ماندلبروت أجهزة الكمبيوتر لتوليد أنواع الأشكال التي درستها فاتو وجوليا. قامت الصور بتشفير معلومات حول متى ستهرب نقطة البداية، عند تكرارها، إلى اللانهاية، ومتى تصبح محاصرة في نمط آخر. كانت رسومات فاتو وجوليا قبل 60 عامًا تبدو وكأنها مجموعات من الدوائر والمثلثات، لكن الصور المولدة بالكمبيوتر التي صنعها ماندلبروت بدت وكأنها تنانين وفراشات وأرانب وكاتدرائيات ورؤوس قرنبيط، بل وأحيانًا سحب متفرقة من الغبار. وبحلول ذلك الوقت، كان ماندلبروت قد صاغ بالفعل كلمة «فركتل» للإشارة إلى الأشكال التي تبدو متشابهة عند مقاييس مختلفة؛ أثارت الكلمة فكرة وجود نوع جديد من الهندسة - شيء مجزأ أو كسري أو مكسور.

كانت الصور التي ظهرت على شاشة جهاز الكمبيوتر الخاص به - المعروفة اليوم باسم مجموعات جوليا - من أجمل وأعقد الأمثلة على الفركتلات التي شاهدها ماندلبرو على الإطلاق.

ركز عمل فاتو وجوليا على هندسة وديناميكيات كل مجموعة من هذه المجموعات (والوظائف المقابلة لها) بشكل فردي. لكن أجهزة الكمبيوتر أعطت ماندلبروت طريقة للتفكير في مجموعة كاملة من الوظائف في وقت واحد. يمكنه تشفيرها جميعًا في الصورة التي ستحمل اسمه، على الرغم من أن ما إذا كان هو أول من اكتشفها يظل موضع جدل.

تتعامل مجموعة ماندلبروت مع أبسط المعادلات التي لا تزال تقدم شيئًا مثيرًا للاهتمام عند تكرارها. هذه هي الدوال التربيعية للنموذج f(z) = z² + c. إصلاح قيمة c — يمكن أن يكون أي عدد مركب. إذا كررت المعادلة بدءًا من z = 0 وتجد أن الأعداد التي تولدها تظل صغيرة (أو محدودة كما يقول علماء الرياضيات)، إذن c موجود في مجموعة ماندلبروت. من ناحية أخرى، إذا قمت بالتكرار ووجدت أن أرقامك في النهاية تبدأ في النمو نحو اللانهاية، إذن c ليس في مجموعة ماندلبروت.

من السهل إظهار قيم c بالقرب من الصفر في المجموعة. ومن السهل بالمثل إظهار تلك القيم الكبيرة لـ c ليست كذلك. لكن الأعداد المركبة ترقى إلى مستوى اسمها: فحدود المجموعة معقدة بشكل رائع. لا يوجد سبب واضح للتغيير c بكميات صغيرة يجب أن تجعلك تستمر في عبور الحدود، ولكن عندما تقوم بتكبيرها، تظهر كميات لا حصر لها من التفاصيل.

علاوة على ذلك، فإن مجموعة ماندلبروت تعمل كخريطة لمجموعات جوليا، كما يمكن رؤيته في الشكل التفاعلي أدناه. اختر قيمة c في مجموعة ماندلبروت. سيتم توصيل مجموعة جوليا المقابلة. ولكن إذا تركت مجموعة ماندلبروت، فسيتم قطع الغبار عن مجموعة جوليا المقابلة.