في فيلم ديزني عام 1959 دونالد في ماثماجيك لاند، دونالد داك، مستوحى من أوصاف الراوي لهندسة البلياردو، يضرب الكرة بقوة، مما أدى إلى ارتدادها حول الطاولة قبل أن تصل أخيرًا إلى الكرات المقصودة. يسأل دونالد: "كيف تحب ذلك بالنسبة للرياضيات؟"

نظرًا لأن طاولات البلياردو المستطيلة لها أربعة جدران تلتقي بزوايا قائمة، فإن مسارات البلياردو مثل مسارات دونالد يمكن التنبؤ بها وفهمها جيدًا - حتى لو كان من الصعب تنفيذها عمليًا. ومع ذلك، لا يزال علماء الرياضيات الباحثون غير قادرين على الإجابة على الأسئلة الأساسية حول المسارات المحتملة لكرات البلياردو على الطاولات في شكل مضلعات أخرى (أشكال ذات جوانب مسطحة). حتى المثلثات، وهي أبسط المضلعات، لا تزال تحمل أسرارًا.

هل من الممكن دائمًا ضرب الكرة بحيث تعود إلى نقطة البداية وتتحرك في نفس الاتجاه، مما يؤدي إلى خلق ما يسمى بالمدار الدوري؟ لا أحد يعرف. بالنسبة للأشكال الأخرى الأكثر تعقيدًا، من غير المعروف ما إذا كان من الممكن ضرب الكرة من أي نقطة على الطاولة إلى أي نقطة أخرى على الطاولة.

على الرغم من أن هذه الأسئلة تبدو وكأنها تتلاءم بشكل مريح مع حدود الهندسة كما يتم تدريسها في المدرسة الثانوية، إلا أن محاولات حلها تطلبت من بعض أبرز علماء الرياضيات في العالم جلب أفكار من مجالات مختلفة بما في ذلك الأنظمة الديناميكية والطوبولوجيا والهندسة التفاضلية. كما هو الحال مع أي مشكلة رياضية عظيمة، فإن العمل على هذه المشاكل قد خلق رياضيات جديدة وغذى المعرفة المتقدمة في تلك المجالات الأخرى. ومع ذلك، على الرغم من كل هذا الجهد، والبصيرة التي جلبتها أجهزة الكمبيوتر الحديثة، فإن هذه المشاكل التي تبدو بسيطة تقاوم الحل بعناد.

إليك ما تعلمه علماء الرياضيات عن لعبة البلياردو منذ تسديدة دونالد داك المتشابكة بشكل ملحمي.

يفترضون عادة أن كرة البلياردو الخاصة بهم هي نقطة صغيرة بلا أبعاد، وأنها ترتد عن الجدران بتناظر مثالي، وتغادر بنفس الزاوية التي تصل إليها، كما هو موضح أدناه.

بدون احتكاك، تتحرك الكرة إلى أجل غير مسمى ما لم تصل إلى زاوية، مما يوقف الكرة مثل الجيب. السبب وراء صعوبة تحليل لعبة البلياردو رياضيًا هو أن تسديدتين متطابقتين تقريبًا تهبطان على جانبي الزاوية يمكن أن يكون لهما مسارات متباينة بشكل كبير.

الطريقة الرئيسية لتحليل لعبة البلياردو المضلعة لا تتمثل في التفكير في الكرة باعتبارها ترتد عن حافة الطاولة، ولكن بدلاً من ذلك تخيل أنه في كل مرة تصطدم فيها الكرة بالحائط، فإنها تستمر في الانتقال إلى نسخة جديدة من الطاولة التي تنقلب فوقها. الحافة، مما ينتج صورة معكوسة. هذه العملية (كما هو موضح أدناه)، والتي تسمى فتح مسار البلياردو، تسمح للكرة بالاستمرار في مسار خط مستقيم. ومن خلال طي الطاولات المتخيلة مرة أخرى على جيرانها، يمكنك استعادة المسار الفعلي للكرة. هذه الخدعة الرياضية تجعل من الممكن إثبات أشياء حول المسار والتي قد يكون من الصعب رؤيتها.

على سبيل المثال، يمكن استخدامه لإظهار سبب احتواء الجداول المستطيلة البسيطة على عدد لا نهائي من المسارات الدورية عبر كل نقطة. تنطبق حجة مماثلة على أي مستطيل، ولكن من أجل التماسك، تخيل طاولة يبلغ عرضها ضعف طولها.

لنفترض أنك تريد العثور على مدار دوري يعبر الجدول n مرات في الاتجاه الطويل و m مرات في الاتجاه القصير. نظرًا لأن كل صورة معكوسة للمستطيل تتوافق مع ارتداد الكرة عن الحائط، لكي تعود الكرة إلى نقطة البداية وهي تتحرك في نفس الاتجاه، يجب أن يعبر مسارها الطاولة عددًا زوجيًا من المرات في كلا الاتجاهين. لذا m و n يجب أن يكون متساويا. ارسم شبكة من المستطيلات المتطابقة، بحيث يُنظر إلى كل منها كصورة معكوسة لجيرانه. ارسم قطعة خطية من نقطة في الجدول الأصلي إلى النقطة المماثلة في النسخة n الجداول بعيدا في الاتجاه الطويل و m الجداول بعيدا في الاتجاه القصير. اضبط النقطة الأصلية قليلًا إذا كان المسار يمر عبر زاوية. وهنا مثال حيث n = 2 و m = 6. عند طيه للأعلى، ينتج المسار مسارًا دوريًا، كما هو موضح في المستطيل الأخضر.

عدم المساواة المثلثية

تعتبر لعبة البلياردو في المثلثات، التي لا تحتوي على هندسة المستطيلات ذات الزاوية القائمة، أكثر تعقيدًا. كما قد تتذكر من الهندسة في المدرسة الثانوية، هناك عدة أنواع من المثلثات: المثلثات الحادة، حيث تكون الزوايا الداخلية الثلاث أقل من 90 درجة؛ المثلثات القائمة، والتي لها زاوية 90 درجة؛ والمثلثات المنفرجة التي لها زاوية واحدة تزيد عن 90 درجة.

طاولات البلياردو على شكل مثلثات حادة وقائمة لها مسارات دورية. لكن لا أحد يعرف ما إذا كان الأمر نفسه ينطبق على المثلثات المنفرجة.

للعثور على مسار دوري في مثلث حاد الزوايا، ارسم خطًا متعامدًا من كل قمة إلى الجانب المقابل، كما هو موضح على اليسار أدناه. قم بتوصيل النقاط التي تحدث فيها الزوايا القائمة لتكوين مثلث، كما هو موضح على اليمين.

هذا المثلث المنقوش هو مسار بلياردو دوري يسمى مدار فاجنانو، سمي على اسم جيوفاني فاجنانو، الذي أظهر في عام 1775 أن هذا المثلث له أصغر محيط من بين جميع المثلثات المنقوشة.

في أوائل التسعينيات، فريد هولت في جامعة واشنطن و غريغوري جالبيرين ومعاونيه في جامعة موسكو الحكومية بشكل مستقل أظهرت أن كل مثلث قائم له مدارات دورية. إحدى الطرق البسيطة لإظهار ذلك هي عكس المثلث حول ساق واحدة ثم الأخرى، كما هو موضح أدناه.

ابدأ بمسار يكون بزاوية قائمة على الوتر (الضلع الطويل للمثلث). الوتر وانعكاسه الثاني متوازيان، لذا فإن القطعة المستقيمة المتعامدة التي تصل بينهما تتوافق مع مسار سوف يرتد ذهابًا وإيابًا إلى الأبد: تغادر الكرة الوتر بزاوية قائمة، وترتد عن كلا الساقين، وتعود إلى الوتر عند اليمين زاوية، ثم يتتبع مساره.

لكن المثلثات المنفرجة تظل لغزا. في ورقتهم البحثية عام 1992، توصل جالبيرين ومعاونوه إلى مجموعة متنوعة من الأساليب لعكس المثلثات المنفرجة بطريقة تتيح لك إنشاء مدارات دورية، لكن هذه الأساليب لم تنجح إلا في بعض الحالات الخاصة. ثم، في عام 2008، ريتشارد شوارتز في جامعة براون أظهرت أن جميع المثلثات المنفرجة لها زوايا 100 درجة أو أقل تحتوي على مسار دوري. تضمن أسلوبه تقسيم المشكلة إلى حالات متعددة والتحقق من كل حالة باستخدام الرياضيات التقليدية ومساعدة الكمبيوتر. في عام 2018، جاكوب جاربر، بويان مارينوف، كينيث مور وجورج توكارسكي في جامعة ألبرتا امتدت هذه العتبة إلى 112.3 درجة. (توكارسكي ومارينوف قضى أكثر من عقد من الزمان السعي لتحقيق هذا الهدف.)

منعطف طوبولوجي

وقد تم استخدام نهج آخر لإظهار أنه إذا كانت جميع الزوايا عقلانية - أي يمكن التعبير عنها على شكل كسور - فإن المثلثات المنفرجة ذات الزوايا الأكبر يجب أن يكون لها مسارات دورية. بدلاً من مجرد نسخ مضلع على مستوى مسطح، يقوم هذا النهج بتعيين نسخ من المضلعات على الأسطح الطوبولوجية، على شكل كعكة بها ثقب واحد أو أكثر.

إذا عكست مستطيلًا على جانبه القصير، ثم عكست كلا المستطيلين على جانبهما الأطول، فصنعت أربعة نسخ من المستطيل الأصلي، ثم ألصقت الجزء العلوي والسفلي معًا واليسار واليمين معًا، ستكون قد صنعت كعكة دونات، أو الحيد، كما هو مبين أدناه. مسارات البلياردو على الطاولة تتوافق مع المسارات الموجودة على الحيد، والعكس صحيح.

في مقال تاريخي عام 1986، هوارد ماسور استخدم هذه التقنية لإظهار أن جميع الجداول متعددة الأضلاع ذات الزوايا المنطقية لها مدارات دورية. لم ينجح نهجه مع المثلثات المنفرجة فحسب، بل أيضًا مع الأشكال الأكثر تعقيدًا: على سبيل المثال، الجداول غير المنتظمة ذات 100 ضلع، أو المضلعات التي تتعرج جدرانها وتخلق زوايا وزوايا، لها مدارات دورية، طالما أن الزوايا عقلانية.

ومن اللافت للنظر إلى حد ما، أن وجود مدار دوري واحد في مضلع يعني وجود عدد لا نهائي من الأضلاع؛ سيؤدي تغيير المسار قليلاً إلى إنتاج مجموعة من المسارات الدورية المترابطة.

مشكلة الإضاءة

تثير الأشكال ذات الزوايا والأركان سؤالاً ذا صلة. بدلاً من السؤال عن المسارات التي تعود إلى نقطة بدايتها، تتساءل هذه المشكلة عما إذا كانت المسارات يمكنها زيارة كل نقطة على جدول معين. وهذا ما يسمى بمشكلة الإضاءة لأنه يمكننا التفكير فيها من خلال تخيل شعاع ليزر ينعكس على الجدران ذات المرايا التي تحيط بطاولة البلياردو. نحن نتساءل عما إذا كان بإمكانك دائمًا، في ضوء نقطتين على طاولة معينة، تسليط شعاع ليزر (مثالي على شكل شعاع ضوئي رفيع للغاية) من نقطة إلى أخرى. وبعبارة أخرى، إذا وضعنا مصباحًا كهربائيًا، يضيء في كل الاتجاهات في وقت واحد، في نقطة ما على الطاولة، فهل سيضيء الغرفة بأكملها؟

كان هناك خطان رئيسيان للبحث في المشكلة: العثور على الأشكال التي لا يمكن إضاءتها وإثبات أن فئات كبيرة من الأشكال يمكن إضاءتها. في حين أن العثور على الأشكال الغريبة التي لا يمكن إضاءتها يمكن أن يتم من خلال تطبيق ذكي للرياضيات البسيطة، فإن إثبات أن الكثير من الأشكال يمكن إضاءتها لم يكن ممكنًا إلا من خلال استخدام الآلات الرياضية الثقيلة.

في 1958، روجر بينروس، عالم الرياضيات الذي فاز بجائزة 2020 جائزة نوبل في الفيزياء، تم العثور على جدول منحني لا تستطيع فيه أي نقطة في منطقة ما إضاءة أي نقطة في منطقة أخرى. لعقود من الزمن، لم يتمكن أحد من التوصل إلى مضلع له نفس الخاصية. لكن في عام 1995، استخدم توكارسكي حقيقة بسيطة حول المثلثات لإنشاء مضلع ذو 26 ضلعًا بنقطتين لا يمكن الوصول إليهما بشكل متبادل، كما هو موضح أدناه. أي أن شعاع الليزر الذي يتم إطلاقه من نقطة ما، بغض النظر عن اتجاهه، لا يمكن أن يصل إلى النقطة الأخرى.

كانت الفكرة الرئيسية التي استخدمها توكارسكي عند بناء طاولته الخاصة هي أنه إذا بدأ شعاع الليزر عند إحدى الزوايا الحادة في مثلث 45 درجة - 45 درجة - 90 درجة، فلن يتمكن أبدًا من العودة إلى تلك الزاوية.

تتكون طاولته المسننة من 29 مثلثًا من هذا القبيل، وقد تم ترتيبها للاستفادة بذكاء من هذه الحقيقة. في عام 2019 أميت ووليكيثم قام طالب دراسات عليا في جامعة تل أبيب بتطبيق نفس التقنية على إنتاج الشكل مع 22 جانبًا (كما هو موضح أدناه)، والذي أثبت أنه أصغر عدد ممكن من الجوانب لشكل يحتوي على نقطتين داخليتين لا يضيء كل منهما الآخر.

كان إثبات النتائج في الاتجاه الآخر أصعب بكثير. وفي عام 2014، أصبحت مريم ميرزاخاني، عالمة الرياضيات في جامعة ستانفورد، أول امرأة الفوز بميدالية فيلدز، وهي الجائزة المرموقة في الرياضيات، لعملها على المساحات المعيارية لأسطح ريمان - وهو نوع من تعميم الكعك الذي استخدمه ماسور لإظهار أن جميع الجداول متعددة الأضلاع ذات الزوايا المنطقية لها مدارات دورية. في عام 2016، صموئيل ليليفري جامعة باريس ساكلاي, تييري مونتيل المركز الوطني الفرنسي للبحث العلمي و باراك فايس وقام باحثو جامعة تل أبيب بتطبيق عدد من نتائج ميرزاخاني لإظهار أن أي نقطة في المضلع العقلاني تضيء جميع النقاط باستثناء عدد محدود منها. قد تكون هناك بقع داكنة معزولة (كما في أمثلة توكارسكي ووليكي) ولكن لا توجد مناطق مظلمة كما هو الحال في مثال بنروز، الذي يحتوي على جدران منحنية بدلاً من الجدران المستقيمة. في مقالة وولكي لعام 2019لقد عزز هذه النتيجة من خلال إثبات أنه لا يوجد سوى عدد محدود من أزواج النقاط غير القابلة للإضاءة.

للأسف، توفي ميرزاخاني عام 2017 عن عمر 40 عامًا، بعد صراع مع مرض السرطان. بدا عملها بعيدًا عن اللقطات الخادعة في قاعات البلياردو. ومع ذلك، فإن تحليل مسارات لعبة البلياردو يوضح كيف يمكن حتى للرياضيات الأكثر تجريدًا أن تتصل بالعالم الذي نعيش فيه.