لنفترض أنك في حفلة مع تسعة أشخاص آخرين وأن الجميع يصافحون الجميع مرة واحدة بالضبط. كم عدد المصافحات التي تحدث؟

هذه هي "مشكلة المصافحة"، وهي واحدة من المشاكل المفضلة لدي. كمعلم رياضيات، أحب ذلك لأن هناك العديد من الطرق المختلفة التي يمكنك من خلالها الوصول إلى الحل، ويوضح تنوع تلك الاستراتيجيات وترابطها بشكل جميل قوة التفكير الإبداعي في الرياضيات.

أحد الحلول كالتالي: ابدأ بمصافحة كل شخص لأي شخص آخر. عشرة أشخاص، مع تسع مصافحات لكل منهم، ينتجون 9 × 10 = 90 مصافحة إجمالية. لكن هذا يحسب كل مصافحة مرتين - مرة واحدة من وجهة نظر كل شاكر - وبالتالي فإن العدد الفعلي للمصافحات هو $latex frac{90}{2} = 45$. حجة العد بسيطة وجميلة للفوز!

هناك أيضًا طريقة مختلفة تمامًا لحل المشكلة. تخيل أن الضيوف يصلون واحدًا تلو الآخر، وعندما يصلون إلى هناك، يصافحون جميع الحاضرين. الشخص الأول ليس لديه يد ليصافحها، لذلك في حفلة من شخص واحد لا يوجد إجمالي مصافحات. الآن يصل الشخص الثاني ويصافح الشخص الأول. وهذا يضيف مصافحة واحدة إلى الإجمالي، لذلك في حفلة مكونة من شخصين، يكون هناك 0 + 1 = 1 إجمالي المصافحات. عندما يصل الشخص الثالث ويصافح الضيفين الأولين، فإن ذلك يضيف مصافحتين إلى المجموع. يضيف وصول الشخص الرابع ثلاث مصافحات إلى المجموع، وهكذا.

تصمم هذه الإستراتيجية تسلسل المصافحات بشكل متكرر، مما يعني أن كل مصطلح في التسلسل يتم تعريفه بالنسبة إلى المصطلحات التي تأتي قبله. ربما تكون على دراية بتسلسل فيبوناتشي، وهو التسلسل العودي الأكثر شهرة على الإطلاق. يبدأ بالأرقام 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، ويستمر مع كل حد لاحق يساوي مجموع الحدين السابقين.

كما سنرى أدناه، العودية هي إطار مرن وقوي للتفكير في مجموعة واسعة من الأفكار الرياضية. وعلى الرغم من أن العلماء الهنود القدامى مثل هيماشاندرا يُنسب إليهم الفضل في معرفة هذا النوع من التسلسلات منذ عام 1150، إلا أنهم ما زالوا يقدمون تحديات مثيرة للاهتمام لعلماء الرياضيات اليوم.

دعونا نرى كيف يساعد التفكير بشكل متكرر في حل مشكلة المصافحة. إذا تركنا $latex a_n$ يساوي عدد المصافحات عند n-شخص، يمكننا تمثيل هذه العلاقة التكرارية بالصيغة التالية:

$لاتكس a_n = a_{n-1} + n–1$

يخبرنا هذا أن عدد المصافحات عند n-حفلة الشخص ($latex a_n$) تساوي عدد المصافحات عند (n - 1)-حفلة شخص ($لاتكس a_{n-1}$) زائد n - مصافحة واحدة أخرى، تجسد فكرة أنه عندما يصل شخص جديد فإنه يضيف عددًا معينًا من المصافحات الجديدة إلى تلك التي تمت بالفعل.

في نسختنا الخاصة من مشكلة المصافحة، نريد معرفة $latex a_{10}$، عدد المصافحات في حفلة مكونة من 10 أشخاص، حتى نجد أننا نستخدم العلاقة العودية

$لاتكس a_{10} = a_9 + 9$

للعثور على قيمة $latex a_{10}$، نحتاج فقط إلى معرفة قيمة $latex a_9$ وإضافة 9 إليها. كيف يمكننا العثور على قيمة $latex a_9$؟ باستخدام العودية، بطبيعة الحال!

$لاتكس a_9 = a_8 + 8$

الآن، لإيجاد قيمة $latex a_8$، نحتاج إلى إيجاد قيمة $latex a_7$، الأمر الذي يتطلب معرفة $latex a_6$، وهكذا. في هذه المرحلة، قد تشعر بالقلق من أن هذا سيستمر إلى الأبد في نوع من الانحدار اللانهائي، ولكن بمجرد أن نصل إلى $latex a_1$، نكون قد انتهينا، لأننا نعلم أنه لا يوجد أي مصافحات إجمالية في حفلة من شخص واحد.

$لاتكس a_1 = 0$

هذه القيمة الأولية أو "البذرة" هي سمة أساسية للتسلسل العودي. إنه يضمن أن عملية التراجع هذه من خلال التسلسل باستخدام العلاقة العودية ستنتهي. بمجرد أن تصل إلى القيمة الأولية، يتوقف التراجع، ويمكنك بعد ذلك المضي قدمًا عبر القائمة للحصول على القيمة التي تريدها.

$لاتكس a_1 = 0$

$لاتكس a_2 = a_1 + 1 = 0 + 1 = 1$

$لاتكس a_3 = a_2 + 2 = 1 + 2 = 3$

$لاتكس a_4 = a_3 + 3 = 3 + 3 = 6$

$أقراص مضغوطة لاتكس$

$لاتكس a_{10} = a_9 + 9 = 36 + 9 = 45$

ومن خلال دراسة القائمة، نرى أن هناك 45 مصافحة إجمالية في حفلة مكونة من 10 أشخاص، وهو ما يتوافق مع حساباتنا الأولية. إذا كنتم مثل طلابي، فقد تتساءلون لماذا نحتاج إلى طريقة أخرى لحل هذه المشكلة في حين أننا نعرف الإجابة بالفعل، خاصة وأن هذا النهج الثاني يبدو أنه يستغرق وقتًا أطول.

إنه سؤال جيد. إحدى الإجابات هي أن النهج العودي يمنحنا وجهة نظر مختلفة تمامًا عما يحدث في هذه المشكلة، ووجهات النظر المختلفة مفيدة في الرياضيات، كما هو الحال في كل شيء. إنها تمنحنا فرصًا مختلفة لفهم المفاهيم وتسمح لنا باستخدام أدوات مختلفة، مما قد يساعدنا عندما نكون في مأزق.

على وجه الخصوص، العودية مفيدة لأنها موجودة في كل مكان في الرياضيات. فهو ينشأ، على سبيل المثال، في العلاقات الخطية التي يتعلمها الجميع في صف الرياضيات - تلك التي تتميز بمعدل ثابت من التغيير ويتم تمثيلها بخطوط في المستوى. دالة خطية مثل $latex f(x) = 3x + 5$ يمكن اعتبارها صيغة متكررة:

$لاتكس a_0 = 5$

$لاتكس a_n = a_{n-1} + 3$

على الرغم من أن الطريقة الأكثر وضوحًا للتفكير في $latex f(2)$ هي أن $latex f(2) = 3 مرات 2 + 5 = 11$، إلا أن هناك طريقة أخرى وهي أن $latex a_2 = a_1 + 3 = a_0 + 3 + 3 = 11 دولار. إن النمذجة المتكررة للخاصية الأساسية للدوال الخطية - معدل التغير الثابت - تعطينا طريقة أخرى للتفكير في هذه العلاقة. ويمكن فعل الشيء نفسه مع الدوال الأسية التي تتميز بالتغيير المضاعف المستمر.

التفكير العودي يعمل خارج تسلسل الأرقام أيضًا. إذا سبق لك أن قمت بحل نظام من المعادلات، فمن المحتمل أنك قمت بتطبيق نهج عودي. لحل النظام

$لاتكس 2x + y = 10$

$لاتكس 3x – ص = 5$

يمكنك أولاً جمع المعادلتين معًا للتخلص من y المتغير، والذي ينتج عنه المعادلة $latex 5x = 15$. قم بحل هذا للحصول على $latex x =$ 3، واستبدله للعثور على $latex y = 4$، وبذلك تكون قد انتهيت. يستخدم هذا الأسلوب خوارزمية عودية، حيث يتم بناء حل النظام من الحل إلى أنظمة أصغر ذات صلة. على سبيل المثال، لحل نظام 3 × 3، عليك حذف متغير واحد لتحويله إلى نظام 2 × 2، ثم مرة أخرى لتحويله إلى نظام 1 × 1. تشبه هذه المعادلة المفردة سهلة الحل القيمة الأساسية لهذه العملية العودية. إنه يشير إلى نهاية التراجع، ومن هناك يمكنك العودة إلى سلسلة المعادلات، تمامًا كما هو الحال في التسلسل العودي.

حتى أن هناك تقنيات إثبات عودية. على سبيل المثال، الصيغة الشهيرة في الهندسة هي صيغة مجموع زوايا المضلع، والتي تنص على أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع nالمضلع ذو الجوانب هو $latex (n-2) مضروبًا في 180^{circ}$. إحدى الطرق لإثبات هذه النتيجة هي البدء بـ n-gon وتخيل ماذا سيحدث إذا قمت بإزالة المثلث.

تؤدي إزالة المثلث إلى تحويل n-ذهب إلى (n − 1)-gon، كما أنه يزيل 180 درجة من قياس الزاوية الداخلية. هذه علاقة عودية: مجموع الزوايا الداخلية لـ n-gon أكبر بمقدار 180 درجة من مجموع الزوايا الداخلية لـ (n - 1)-غون. لتحديد النتيجة العامة، استمر في إزالة المثلثات حتى تصل إلى القيمة الأولية، وهو ما يحدث في هذه الحالة عندما تقوم بإزالة جميع المثلثات باستثناء ثلاثة n-رؤوس غون. عند هذه النقطة، تم تصغير المضلع الأولي إلى مثلث، من المعروف أن مجموع زواياه الداخلية يساوي 180 درجة. الآن عد إلى الأعلى، وأضف 180 درجة في كل خطوة، وستحصل على الصيغة.

وبالعودة إلى مجموعتنا، فإن مشكلة المصافحة نفسها توضح لنا ما هو ممكن عندما نفكر بشكل إبداعي ثم نربط وجهات النظر المتعددة والمختلفة للمشكلة معًا. إذا لعبنا بالنموذج العودي لتسلسل المصافحات لدينا:

$لاتكس a_1 = 0$

$لاتكس a_n = a_{n-1} + n – 1$

يظهر نمط جميل:

$لاتكس a_2 = a_1 + 1 = 0 + 1$

$لاتكس a_3 = a_2 + 2 = 0 + 1 + 2$

$لاتكس a_4 = a_3 + 3 = 0 + 1 + 2 + 3$

$أقراص مضغوطة لاتكس$

$لاتكس a_n = a_{n-1} + (n-1) = 0 + 1 + 2 + 3 + cdots + (n-1)$

لدينا الآن طريقة جديدة وعامة للتفكير في المشكلة: عدد المصافحات في كل مرة n-شخص الطرف يساوي مجموع الأول n - 1 أعداد صحيحة موجبة.

فكر في العودة إلى نهجنا الأصلي. في n-حفلة شخصية، حيث يقوم كل شخص بمصافحة الآخر n - 1 شخص. يحسب المنتج $latex n (n-1)$ كل مصافحة مرتين، وبالتالي فإن إجمالي عدد المصافحات هو $latex frac{n(n-1)}{2}$. ولكن بما أن طرقنا المختلفة تحسب نفس الشيء، فلا بد أن تؤدي إلى نفس النتيجة. وهذا يعني على وجه الخصوص:

$لاتكس 1 + 2 + 3 + أقراص مضغوطة + (n-1) = فارك{n(n-1)}{2}$

من خلال ربط طرق مختلفة لمشكلة المصافحة، نحصل على صيغة مغلقة لمجموع الأول n - 1 أعداد صحيحة موجبة. لكننا حصلنا على المزيد: التعبير $latex frac{n(n-1)}{2}$ يتضمن كسرًا، ولكن لأنه يساوي مجموع الأعداد الصحيحة، فإنه أيضًا يجب أن يكون عددًا صحيحًا. وهذا يثبت حقيقة بسيطة من نظرية الأعداد: لكل عدد صحيح n، $latex frac{n(n-1)}{2}$ هو عدد صحيح.

يستمر هذا النوع من الحجج في دعم الرياضيات الحديثة. وكمثال على ذلك، الباحثون في أوائل العقد الأول من القرن الحادي والعشرين أثبتت بعض النتائج المدهشة حول التسلسلات العودية المعروفة باسم متواليات سوموس من خلال إظهار أنها أيضًا تحسب شيئًا ما. من خلال قوة الروابط الإبداعية، اكتشف علماء الرياضيات مرة أخرى أين يمكنهم الذهاب من خلال فهم المكان الذي كانوا فيه.

تمارين

1. ابحث عن صيغة مغلقة للتسلسل الذي تم تعريفه بشكل متكرر كـ
$لاتكس a_1 = 1$
$لاتكس a_n = a_{n-1} + 2n – 1$

2. في نهاية العمود، تم عرض التعبير $latex frac{n(n-1)}{2}$ على أنه عدد صحيح على الرغم من أن التعبير يتضمن كسرًا، لأن $latex frac{n(n-1) )}{2}$ هو نتيجة حساب شيء ما. هناك أيضًا حجة نظرية الأعداد التي توضح أن هذا التعبير يجب أن يكون عددًا صحيحًا. ما هذا؟

3. ابحث عن المصطلحات القليلة الأولى للتسلسل العودي
$لاتكس a_1 = 1$
$latex a_n = frac{1}{1+a_{n-1}}$

4. ابحث عن المصطلحات القليلة الأولى للتسلسل العودي
$لاتكس a_1 = 1$
$لاتكس a_2 = 1$
$لاتكس a_n = a_{n-1} – a_{n-2}$