في صباح أحد أيام شهر أكتوبر مؤخرًا، وقف روب كيربي أمام غرفة مليئة بعلماء الرياضيات وطلب منهم ألا يشعروا بأنهم مقيدون بالطريقة التي كان يفعل بها الأشياء في الماضي.

طوال نصف القرن الماضي كيربيكان، 85 عامًا، شخصية محورية في الطوبولوجيا منخفضة الأبعاد، وهي دراسة الأشكال القابلة للتشوه. بالإضافة إلى مساهماته البحثية المهمة، نشر في عام 1978 كتابًا بعنوان: الاصدار الاول مما أصبح يعرف باسم "قائمة كيربي" - وهي مجموعة من 80 مشكلة مفتوحة ساعدت في وضع جدول أعمال البحث في هذا المجال على مدى العقود القليلة المقبلة. وبعد عقدين من الزمن، في عام 1997، نشر كتابًا ثانيًا له نفس التأثير نسخة من القائمة.

اجتمع العشرات من علماء الرياضيات الذين كان كيربي يخاطبهم في المعهد الأمريكي للرياضيات (AIM) في باسادينا لإنشاء نسخة ثالثة من القائمة. لا يعني ذلك أن جميع المشاكل الواردة في القوائم السابقة قد تم حلها - فمعظمها لم يتم حله - ولكن العديد منها أصبحت قديمة الطراز. في حين أن الرياضيات أبدية، إلا أن هذا المجال يمارسه البشر الذين يتبعون البدع، ولم تعد العديد من الأسئلة القديمة تعتبر مثيرة للاهتمام بعد الآن.

"نعتقد أن بعض الحقول الفرعية مرموقة والبعض الآخر لا يهتم بها أحد." قال ماجي ميلر من جامعة تكساس، أوستن، وهو واحد من 14 محررًا في القائمة.

المؤتمر من تصميم دانيال روبرمان من جامعة برانديز، الذي كان طالبًا في كيربي في أوائل الثمانينيات، و إينانش بايكور من جامعة ماساتشوستس، والذي كان زميلًا لما بعد الدكتوراه في عهد روبرمان. لقد أرادوا أن تتكون القائمة من مشاكل صعبة ومهمة.

وقال ميلر: "يجب أن تكون المشكلة مثيرة للاهتمام بدرجة كافية بحيث أنه إذا تم التوصل إلى حل لها، فسيكون لديها القدرة على تغيير المجال". وأضاف بايكور: «ربما يمكن حل نسبة صغيرة خلال العامين أو الثلاثة أعوام المقبلة».

لقد تغيرت الطرق التي يقرر بها علماء الرياضيات ما هو مهم خلال نصف قرن منذ أن نشر كيربي قائمته الأولى. حتى لو كانت صحة أو زيف التخمينات الفردية مسألة حقيقة موضوعية، فإن تصنيف أهميتها هو عملية اجتماعية ذاتية. وتبدو هذه العملية مختلفة تمامًا في عالم اليوم المترابط عالميًا عما كانت عليه في السبعينيات. وقصة القائمة الجديدة هي قصة تلك التغييرات.

بداية القائمة

بدأت مسيرة كيربي المهنية بقائمة المشاكل. في عام 1963، عندما كان طالب دراسات عليا في جامعة شيكاغو، حضر مؤتمرا في سياتل حيث كان عالم الرياضيات جون ميلنور قدم قائمة بأهم سبع مشاكل مفتوحة في الطوبولوجيا. كانت المشكلة الأخيرة هي تخمين الحلقة، الذي ينص على أن الفراغات بين كرتين محددتين بشكل مناسب تأخذ دائمًا شكل الحلقة، وهي المنطقة الواقعة بين دائرتين متحدة المركز.

وينطبق هذا على الدوائر والكرات العادية ثلاثية الأبعاد، ولكن في الأبعاد الأعلى - التي تتضمن أزواجًا من المجالات المكونة من خمسة أو ستة أو أي عدد من الأبعاد - تحدث أشياء مفاجئة. في عام 1969، عندما كان كيربي أستاذًا مساعدًا في جامعة كاليفورنيا، لوس أنجلوس، أثبت أن هذا صحيح بالنسبة للأبعاد الخمسة وما فوق في ظل بعض القيود (يجب أن تكون الكرات سلسة بمعنى رياضي معين).

وبناءً على هذه النتيجة، قامت جامعة كاليفورنيا بترقيته مباشرة إلى رتبة أستاذ ومضاعفة راتبه. وبعد ذلك بعامين، فاز بالجائزة المرموقة جائزة أوزوالد فيبلين في الهندسة. يعزو كيربي هذا النجاح في بداية حياته المهنية جزئيًا إلى وجود قائمة ميلنور، والتي زودته بمجموعة متنوعة من المشاريع للاختيار من بينها أكثر مما كان سيحصل عليه من الأشخاص المحيطين به مباشرة في مدرسة الدراسات العليا.

وقال: "بالنسبة لأولئك الذين يحبون العمل على حل المشكلات ولا يريدون بالضرورة أن يفعلوا ما يطلب منهم مستشارهم أن يفعلوه، فإن قائمة المشكلات تعتبر ذات قيمة".

بدأ كيربي بتجميع قائمة المسائل الأولى له في أغسطس 1976 في مؤتمر جمعية الرياضيات الأمريكية في جامعة ستانفورد. قام ببناء القائمة على مدار العامين التاليين، من خلال المكالمات الهاتفية والرسائل والمحادثات غير الرسمية مع علماء الرياضيات في المؤتمرات التي حضرها، ونشرها كمقال صحفي موسع في عام 1978.

وكما يقول ميلر: "لقد اتصل بكل شخص يعرفه عبر الهاتف".

وتضمنت القائمة حوالي 80 مشكلة مقسمة إلى خمسة فصول. تناولت الفصول الأربعة الأولى العقد أحادية البعد، والأسطح ثنائية الأبعاد، والمشعبات ثلاثية ورباعية الأبعاد (مساحات مثل سطح الكرة التي تبدو مسطحة محليًا ولكن يمكن أن يكون لها بنية عالمية أكثر تعقيدًا). أما الفصل الخامس فكان للمسائل المتنوعة. على الرغم من أن كيربي أجرى مشاورات واسعة النطاق لجمع القائمة معًا، إلا أن المنتج النهائي كان من إنتاجه دون أدنى شك.

قال كيربي: "كنت أكثر شمولاً من الحصري"، لكنه أضاف: "كنت إلى حد كبير الحكم النهائي".

القائمة الثانية

كانت أواخر السبعينيات وقتًا ميمونًا لإنشاء قائمة مشكلات في الطوبولوجيا. كان الحقل صغيرًا في بداية العقد، ثم انفجر على مدى السنوات العشر التالية. في عام 1970 مايكل فريدمان حل نسخة رباعية الأبعاد من حدسية بوانكاريه في دليل ضخم من شأنه أن يستغرق سنوات لهضم. (يسأل التخمين ما إذا كانت الأجسام الرياضية التي تشبه الكرات يجب أن تكون في الواقع مجالات. والإجابة، كما أثبت فريدمان، هي نعم). وبعد مرور عام، نشر ويليام ثورستون تخمين الهندسة، الذي يصنف بعض الهياكل الطوبولوجية إلى فئات هندسية. جلب هذا التخمين الأدوات من التحليل (شكل متقدم من حساب التفاضل والتكامل) إلى الطوبولوجيا بشكل مباشر. في نفس العام سيمون دونالدسون قدم الهندسة التفاضلية (التي تجمع بين حساب التفاضل والتكامل والهندسة) في الميدان من خلال عمله على المتشعبات رباعية الأبعاد.

"من الصعب وصف مدى سرعة التقدم. وقال روبرمان: “لقد كانت واحدة من تلك الفترات العظيمة في الرياضيات، مع ثورة تلو الأخرى”.

ونتيجة لكل هذا النشاط، أصبحت قائمة كيربي قديمة تقريبًا في غضون بضع سنوات. لكن بناء قوائم المشاكل لم يكن مهنة كيربي الرئيسية. لم يقرر إصلاح القائمة إلا بعد انعقاد مؤتمر في جامعة جورجيا في صيف عام 1993.

بدأ كيربي في جمع المشكلات في المؤتمر وواصل العمل عبر البريد الإلكتروني، والذي لم يكن شائع الاستخدام عندما قام بتجميع القائمة الأولى. ونتيجة لذلك، امتدت القائمة. احتوت القائمة النهائية على 415 مشكلة وتم نشرها ككتاب في عام 1997. وبمجرد بدء القائمة الثالثة، أصبح الجهد الثاني بأثر رجعي يُعرف باسم K2، كما في الإصدار الثاني من قائمة كيربي، وأيضًا كإشارة إلى القائمة الثانية. -أعلى جبل في العالم. ساعد التنسيق الموسع في ترسيخ الإصدار الثاني من القائمة كمعيار وبطاقة أداء. حل مشكلة كيربي يلفت انتباه علماء الرياضيات الشباب.

قال: "إذا كنت تكتب خطاب توصية لشخص ما وقام بحل مشكلة كيربي، فإنك تذكر ذلك في رسالتك". جون بالدوين، عالم رياضيات في كلية بوسطن شارك في ورشة العمل ويساعد في تحرير القائمة.

أرونيما رايقالت، قائدة مجموعة في معهد ماكس بلانك للرياضيات في بون بألمانيا والتي حضرت ورشة العمل، إن أحد أول الأشياء التي قام بها مستشار الدكتوراه الخاص بها بعد اجتيازها امتحاناتها المؤهلة في عام 2011 هو منحها نسخة من قائمة K2، " للتعرف على المشكلات الكبيرة التي يهتم بها الناس.

وبطبيعة الحال، فإن القرارات المتعلقة بما هو مهم تتأثر بمن في الغرفة الذي يتخذ تلك القرارات. تعكس قوائم كيربي فلسفة تربوية انبثقت من وجهة نظر كيربي العالمية الاجتماعية والسياسية. يصف نفسه بأنه ليبرالي كلاسيكي ويستشهد بالفيلسوف البريطاني جون ستيوارت ميل في القرن التاسع عشر باعتباره تأثيرًا مهمًا على تفكيره.

وقال: "إن الليبراليين الكلاسيكيين يؤمنون حقاً بالحرية، وحرية التعبير، واليد الخفيفة من الحكومة، لذا فهذه وجهة نظري نوعاً ما". "بطريقة ما تتماشى مع عدم إخبار طلابي بما يجب عليهم فعله. إنه يمنحهم الحرية إلى حد ما”.

يغرس كيربي هذه المعتقدات في طريقة تفكيره وحديثه عن مجتمع الرياضيات. في عام 2021، شارك مع أكثر من 1,000 متخصص في الرياضيات والعلوم في كاليفورنيا في التوقيع على اتفاقية رسالة مفتوحة انتقاد اقتراح الدولة باعتماد منهج جديد للرياضيات من الروضة وحتى الصف الثاني عشر من شأنه أن يجعل اعتبارات العدالة الاجتماعية أكثر أهمية في الطريقة التي تدرس بها الدولة المادة. لقد تم قبول اقتراح كاليفورنيا انتقادات كبيرة في مجتمع الرياضيات من أجل، من بين أمور أخرى، الحد من توافر الدورات المتقدمة، والتقليل من التركيز على دورات ما قبل حساب التفاضل والتكامل لصالح "علم البيانات".

كان كيربي تاريخيًا متشككًا في وجود تحيزات هيكلية في الرياضيات، بما في ذلك ما يتعلق بعدم التوازن بين الجنسين في هذا المجال. في السبعينيات، كان حوالي 1970% من علماء الرياضيات من النساء؛ اليوم ما يقرب من 10٪، وفقا ل تقرير 2020 من قبل مجلس العلوم الدولي.

In مقال كتبه في التسعينيات، والذي تم تقديمه للنشر في إشعارات جمعية الرياضيات الأمريكية ولكن لم يتم نشرها أبدًا، أوضح كيربي أن هذه الأرقام الكئيبة لم تكن نتيجة لأي تحيز في هذا المجال. وكتب كيربي: "من وجهة نظري، فإن العدد الأقل من النساء في الرياضيات لا يرجع إلى التمييز من قبل الرجال ولا إلى أي دونية متأصلة لدى النساء، بل يرجع إلى حقيقة بسيطة مفادها أن عدد الرجال الذين يختارون دخول الرياضيات أكثر من النساء".

بالنسبة للعديد من علماء الرياضيات، فإن حقيقة أن عددًا قليلاً من النساء يدخلن هذا المجال ليست سوى حقيقة بسيطة. "تشير الأدلة إلى وجود تأثير ردود الفعل هنا: نظرًا لوجود عدد قليل جدًا من الأساتذة الإناث، لا تستطيع الطالبات رؤية مسار وظيفي واضح من خلال الرياضيات، لذلك يقررن عدم متابعة الدكتوراه." كتب أربع عالمات رياضيات بارزات في عام 2022 في ملحق تايمز للتعليم العالي. وعلى حد تعبير تقرير مجلس العلوم الدولي، بعد تحليل مجموعة بيانات تتألف من مئات الآلاف من الأوراق الرياضية المنشورة، "لابد أن عوامل بنيوية ونظامية مختلفة أثرت على الحياة المهنية لعالمات الرياضيات بطرق مختلفة عن تلك التي أثرت على الرجال".

وجهات نظر كيربي معروفة جيدًا في مجتمع الطوبولوجيا منخفضة الأبعاد. سألت كيربي إذا كان يعتقد أن ذلك يجعل من الصعب على النساء المشاركة في أماكن مثل المؤتمر الأخير حيث كان له دور بارز. قال إنه لا يعرف لأنه، باستثناء عالم رياضيات واحد، لم يطرح أحد عليه الأمر من قبل.

وقال راي، الذي يشغل منصب مسؤول المساواة بين الجنسين في معهد ماكس بلانك، "لا أعتقد أن ذلك شكل الطريقة التي شعر بها المؤتمر. أعتقد أن ذلك يشكل كيفية النظر إليه في مجال الرياضيات، لكنني أعتقد بشكل عام أننا نفصل الرياضيات عن عالم الرياضيات.

جهد مجتمعي

تمامًا كما حدث بعد K1، تقدمت الطوبولوجيا منخفضة الأبعاد بسرعة بعد إصدار K2. كان أحد التطورات الرئيسية هو وضع نظرية سايبرغ-فيتن، التي استخدمت أفكارًا من الفيزياء للتمييز بين المتشعبات رباعية الأبعاد. وبحلول أواخر العقد الأول من القرن الحادي والعشرين، كانت قائمة كيربي جاهزة للتحديث مرة أخرى.

وقال بايكور: "الأمر هو أن المجال أصبح أكبر بكثير منذ التسعينيات، وأصبح ضخماً".

هذه المرة جاء الدافع لإنشاء قائمة جديدة من روبرمان وبايكور. لقد بدأوا في جمع المشكلات في عام 2013 تقريبًا. ولكن بين التزاماتهم الأخرى والوباء، لم يتمكنوا حتى أكتوبر 2023 من جمع مجموعة من علماء الطوبولوجيا للقاء شخصيًا. لقد أرادوا أن تكون النسخة الثالثة من القائمة بمثابة جهد جماعي.

قال راي: "كانت القائمة الأولية رائعة، وأنا سعيد جدًا بوجودها، ولكن هذا التنسيق الجديد يستحق الثناء لأنه جعله أكثر انفتاحًا بعض الشيء".

وفي أواخر عام 2022، انضم كيربي إلى بايكور وروبرمان كمنظم مشارك للمؤتمر. لقد قاموا بدعوة خبراء من المجالات الرئيسية للطوبولوجيا منخفضة الأبعاد - بما يتوافق مع نفس الهيكل المكون من خمسة فصول الذي استخدمه كيربي في الإصدارات السابقة من القائمة - لكنهم حاولوا تجنب دعوة العديد من المتخصصين بحيث لا يوجد أي شيء مشترك بين أي شخص وأي شخص آخر.

قام بايكور وروبرمان بمعظم أعمال التنظيم بينما تولى كيربي دورًا أكبر.

"إنه مثل طفل روب، كما تعلمون، فهو المسؤول عاطفياً. قال ميلر: “لكن داني وإينانتش تعاملا مع جميع الأمور اللوجستية”.

في يوم الاثنين الموافق 30 أكتوبر، بدأت المجموعة العمل على قائمة K3 (كما تم استدعاؤها لأسباب واضحة وأيضًا في إشارة إلى أسطح K3، وهي كائنات مهمة في الطوبولوجيا).

تعكس القائمة الطرق التي نمت بها الطوبولوجيا منخفضة الأبعاد منذ K2. في أوائل التسعينيات، أدى عمل أندرياس فلور إلى ظهور طرق جديدة لفرز المتشعبات ثلاثية الأبعاد. وبحلول نهاية ذلك العقد، ازدهرت هذه الأساليب لتشمل مجالًا كاملاً للدراسة، وهو تماثل هيجارد فلور، ويوجد الآن في هذا المجال عدد من الأساليب المختلفة لتمييز المتشعبات. يجب أن تكون جميع هذه الأساليب متسقة مع بعضها البعض، ولكن ليس من المعروف على وجه اليقين أنها كذلك، وسوف تتضمن K1990 أسئلة تهدف إلى تسوية الأمر.

أقام كيربي معسكرًا في قاعة المحاضرات الرئيسية حيث يتجمع علماء الرياضيات كل صباح، متجنبين في الغالب جلسات العصف الذهني. صباح الثلاثاء ديف غاباي ألقى بروفسور من جامعة برينستون محاضرة للمجموعة بأكملها حول الروابط بين حدسية شوينفليز وحدسية بوانكاريه، ويمكن القول إنهما أهم مسألتين مفتوحتين في الطوبولوجيا السلسة رباعية الأبعاد.

إن حدسية شوينفليز لها نكهة مشابهة لحدسية الحلقة التي عمل عليها كيربي في الستينيات. ويتنبأ بأنه إذا كان هناك كرتان تختلفان في بعد واحد (مثل دائرة مقابل سطح الكرة)، وقمت بدمج البعد الأدنى (الدائرة) في البعد الأعلى (سطح الكرة)، فإن الأول دائمًا ما يتم تقطيع الأخيرة إلى ما يعادل كرتين. من الواضح أن هذا صحيح عندما تحفر دائرة على الكرة الأرضية (كما لو كنت تشكل خط الاستواء)، ولكن كما هو الحال مع تخمين الحلقة، يكون الأمر أقل وضوحًا في الأبعاد الأعلى.

بعد ذلك وجد كيربي غاباي، وتحدثا لساعات حول مضامين حديث غاباي. وفي أوقات أخرى خلال الأسبوع، أمضى كيربي وقتًا في إرسال بريد إلكتروني إلى شبكته الواسعة في مجتمع الرياضيات للمساهمة في القائمة.

وقال روبرمان: "في بعض النواحي كان الأمر مشابهاً إلى حد ما لما فعله في القوائم السابقة". "لم يكن يميل إلى الدخول إلى الغرف كثيرًا. [كان] يرسل بريدًا إلكترونيًا إلى الأشخاص قائلاً: "قال أحد الأشخاص في ورشة العمل هذا، ما رأيك في ذلك؟"

غرفة الحرب

في اليومين الأخيرين من المؤتمر، طلب بايكور وروبرمان من الحضور كتابة المسائل التي قاموا بتجميعها. بدا الأمر وكأنه غرفة حرب، حيث سارع علماء الرياضيات إلى كتابة ملخصات للمسائل التي توصلوا إليها قبل عودتهم إلى الوطن.

قال ميلر: "لقد شعرت حقًا كما لو كنت في الكلية، وكان لديك واجب منزلي مستحق في اليوم التالي، وكان جميع من في الفصل في غرفة، وكانت الساعة الثانية صباحًا".

كانت الوثيقة المشتركة التي كان علماء الرياضيات يجمعون فيها القائمة فارغة تقريبًا صباح يوم الخميس، ولكنها نمت بسرعة مع تحرير العشرات من علماء الرياضيات في وقت واحد. وبحلول يوم الجمعة، كانت قائمة المشاكل قد تجاوزت 250 صفحة. كانت تجربة الإعصار لا يمكن التعرف عليها تقريبًا مقارنة بجهود كيربي السابقة.

"لقد جعلني ذلك أشعر بالتقدم في السن، حيث أنني عندما كنت في مرحلة الروضة الثانية، قمت بذلك على مدار فترة تتراوح بين عامين وثلاثة أعوام. وقال كيربي: "كنت أجلس مع شخص ما ونكتب المشكلة معًا". "مع K2، لم أشارك إلا في عدد متواضع من المشاكل."

ويأمل بايكور وروبرمان في نشر قائمة تضم حوالي 400 مشكلة بحلول نهاية العام، بعد المراجعات والإضافات من علماء الطوبولوجيا الذين لم يكونوا حاضرين في اجتماع باسادينا. لا يزال بايكور وروبرمان والمحررون الآخرون يناقشون عدد مرات تحديث القائمة. يمكنهم إطالة العمر الافتراضي لـ K3 من خلال الحفاظ على الإصدار الحالي عبر الإنترنت، لكنهم يرون عيوبًا في القيام بذلك. قال بايكور إن القائمتين الأوليين “كانتا وثائق تاريخية، وكان من المفيد للغاية رؤية كيف كانوا ينظرون إلى الأشياء في السبعينيات والتسعينيات، وكيف كانوا يفكرون في الرياضيات. كنت أرغب في الحصول على وثيقة معاصرة مماثلة.