簡介
德國數學家馬丁·艾希勒據說說過：“數學中有五種基本運算。” “加法、減法、乘法、除法和模形式。”
當然，這個笑話的一部分是，其中一個與其他的不一樣。 模組化形式是更複雜和神秘的函數，學生通常直到研究生院才會遇到它們。 但「他們沒有應用的數學領域可能比有應用的數學領域要少，」說 唐扎吉爾，德國波昂馬克斯普朗克數學研究所的數學家。 每週都有新論文將其範圍擴展到數論、幾何、組合學、拓樸、密碼學甚至弦理論。
它們通常被描述為滿足對稱性的函數，這些對稱性是如此引人注目和複雜，以至於它們不應該是可能的。 這些對稱性所帶來的特性使得模組化形式變得非常強大。 這使得他們成為 1994 年具有里程碑意義的費馬大定理證明中的關鍵人物。 這就是讓他們成為中心的原因 關於球體堆積的最新工作。 現在，這使得它們對於「萬物數學理論」的持續發展至關重要。 朗蘭茲綱領.
但它們是什麼？
無限對稱
要理解模組化形式，首先考慮更熟悉的對稱性會有所幫助。
一般來說，當某種形狀發生某種變形使其保持不變時，我們就認為該形狀具有對稱性。
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函數也可以表現出對稱性。 考慮由方程式 $latex f(x) = x^2$ 定義的拋物線。 它滿足一個對稱性：它可以反映在 y-軸。 例如，$latex f(3) = f(−3) = 9$。 更一般地說，如果將任何輸入 $latex x$ 移到 $latex -x$，則 $latex x^2$ 輸出相同的值。
無數函數滿足這種對稱性。 這裡僅僅是少數：
最後一個例子是三角學中的餘弦函數。 它表現出反射對稱性，但也具有其他對稱性。 如果你移動 $latex x$ 透過 $latex 2pi$ 的整數倍，該函數始終傳回相同的值 - 這意味著有無限多個轉換可以使函數保持不變。
這種額外的對稱性使得餘弦等函數非常有用。 「許多基礎物理學都是從理解三角函數的全部意義開始的，」說 小野健，維吉尼亞大學數學家。
「模形式有點像三角函數，但有類固醇，」他補充道。 它們滿足無限多個“隱藏”對稱性。
複雜的宇宙
當函數根據實數（可以表示為傳統小數的值）定義時，它們只能做這麼多事情。 因此，數學家經常轉向複數，可以將其視為成對的實數。 任何複數都用兩個值來描述 - 一個「實數」分量和一個「虛數」分量，即實數乘以 -1 的平方根（數學家將其寫為 $latex i$）。
因此，任何複數都可以表示為二維平面中的點。
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複數函數很難視覺化，因此數學家經常求助於顏色。 例如，您可以為複雜平面著色，使其看起來像彩虹輪。 每個點的顏色對應於其在極座標中的角度。 在中心的右側，角度為 0 度的點會變成紅色。 在 90 度或垂直向上時，點呈亮綠色。 等等。 最後，等高線標示了大小或幅度的變化，就像在地形圖上一樣。
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現在您可以使用它作為參考圖來說明複雜的函數。 平面上的點位置代表輸入，您將根據參考圖為該點指派顏色。 例如，考慮函數 $latex f(z) = z^2$。 當$latex z = 1 + i$時，$latex f(z) = 2i$，因為$latex (1 + i)^2 = 2i$。 由於 $latex 2i$ 在參考圖上的顏色為亮綠色，因此在新圖表上，您會將點 $latex 1 + i$ 塗為亮綠色。
簡介
$latex f(z) = z^2$ 的圖形遍歷顏色兩次，因為將複數平方使其角度加倍。 它還具有更多的輪廓線，因為輸出的尺寸增長得更快。
更一般地說，當您反映透過中心（或原點）繪製的對角線上的點時，圖形看起來是相同的。
這是複值函數的一種對稱性。 模組化形式表現出令人眼花撩亂的各種對稱性。 但要理解這些顏色和輪廓線所代表的實際功能可能很困難。
基本領域
為此，嘗試簡化我們看待這些複雜函數的方式會有所幫助。
由於模組化形式的對稱性，您可以僅基於位於平面上稱為基本域的區域的一小部分輸入來計算整個函數。 該區域看起來像一條從水平軸向上延伸的條帶，其底部切有一個半圓形孔。
如果您知道該函數在那裡的行為方式，您就會知道它在其他地方的作用。
就是這樣：
簡介
兩種變換將基本域複製到右側和左側，以及沿水平軸的一系列不斷縮小的半圓。 這些副本填滿了複平面的整個上半部。
模組化形式以非常特殊的方式將副本相互關聯。 這就是它的對稱性發揮作用的地方。
如果您可以透過第一種轉換（透過向左或向右移動一個單位）從一個副本中的點移動到另一個副本中的點，那麼模組化形式將為這兩個點分配相同的值。 正如餘弦函數的值以 $latex 2pi$ 為間隔重複一樣，模形式以單位間隔為週期。
同時，您可以透過第二種類型的變換從一個副本中的點到另一個副本中的點 - 透過在以原點為中心的半徑為 1 的圓的邊界上反射。 在這種情況下，模組化形式不一定會為這些點分配相同的值。 然而，這兩點的值以規則的方式相互關聯，這也導致了對稱性。
您可以以無限多種方式組合這些變換，這為您提供了模形式必須滿足的無限多種對稱條件。
「這聽起來不一定很令人興奮，」說 約翰沃伊特，達特茅斯學院的數學家。 “我的意思是，分割上半平面並在不同的地方放置數字——誰在乎呢？”
“但它們非常基本，”他補充道。 出現這種情況是有原因的。
受控空間
在 1920 世紀 30 年代和 XNUMX 年代，德國數學家 Erich Hecke 圍繞著模形式發展了更深入的理論。 至關重要的是，他意識到它們存在於某些空間中——具有特定尺寸和其他屬性的空間。 他想出瞭如何具體描述這些空間並使用它們將不同的模組化形式相互連結。
這種認識推動了 20 世紀和 21 世紀數學的發展。
要理解如何實現，首先考慮一個老問題：有多少種方法可以將給定的整數寫成四個平方和？ 例如，只有一種寫法，而寫 1 的方法有 24 種，寫 2 的方法有 32 種，寫 3 的方法有 1 種。要研究這個數列——8、24、32、XNUMX 等等——數學家將其編碼為無限和，稱為生成函數：
$乳膠1 + 8q + {{24q}^2} + {{32q}^3} + {{24q}^4} + {{48q}^5} + …$
不一定有辦法知道 $latex q^{174}$ 的係數應該是多少 - 這正是他們試圖回答的問題。 但透過將序列轉換為生成函數，數學家可以應用微積分和其他領域的工具來推斷有關它的資訊。 例如，他們可能能夠想出一種近似任何係數值的方法。
但事實證明，如果生成函數是模形式，您可以做得更好：您可以掌握每個係數的精確公式。
「如果你知道它是模組化形式，那麼你就知道一切，」說 簡·布魯尼爾 德國達姆施塔特工業大學。
這是因為模組化形式的無限多個對稱性不僅看起來很漂亮——「它們非常受限制，」說 拉里·羅倫 范德比爾特大學的博士稱，它們可以成為「自動證明事物之間的一致性和同一性的工具」。
數學家和物理學家經常將感興趣的問題編碼為生成函數。 他們可能想要計算特殊曲線上的點數，或某些物理系統中的狀態數。 「如果我們幸運的話，那麼它就是一種模組化形式，」說 克勞蒂亞·阿爾菲斯·諾依曼，德國比勒費爾德大學數學家。 這可能很難證明，但如果你能證明的話，那麼“模形式的理論非常豐富，它為你提供了大量研究這些[級數]係數的可能性。”
積木
任何模組化形式都會看起來非常複雜。 一些最簡單的——被用作其他模組化形式的構建塊——被稱為愛森斯坦系列。
您可以將愛森斯坦級數視為函數的無限和。 要確定每個函數，請使用無限二維網格上的點：
簡介
當您新增與原點附近網格中的四個點相關的函數時，您可以看到不同的對稱性如何開始出現。
簡介
如果你把網格的無限多個函數全部求和，你就會得到一個艾森斯坦級數，這可以說是最容易寫下來的模組化形式。 這些圖案反映了形狀的定義對稱性——向左和向右無限重複，並以更接近水平軸的更複雜的方式進行變換。
簡介
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也許最著名的是 1994 年費馬大定理的證明取決於模形式。 這個定理被廣泛認為是數論中最重要的問題之一，它指出不存在三個非零整數 a, b 和 c 當 $latex n$ 是大於 2 的整數時，滿足方程式 $latex {a^n} + {b^n} = {c^n}$。數學家 Andrew Wiles 通過假設相反的情況證明了這一點：a方程式的解確實存在──然後使用模形式來表示這樣的假設必定會導致矛盾。
首先，他使用假設的解決方案建立了一個稱為橢圓曲線的數學物件。 然後他表明，你總是可以將獨特的模組化形式與這樣的曲線連結起來。 然而，模組化形式的理論表明，在這種情況下，該模組化形式不可能存在。 「這好得令人難以置信，」沃伊特說。 這反過來意味著假設的解決方案不存在——從而證實了費馬大定理。
這不僅解決了一個存在數百年之久的問題，而且還解決了這個問題。 它還提供了對橢圓曲線的更好理解，橢圓曲線很難直接研究（並且在密碼學和糾錯碼中發揮重要作用）。
該證明也闡明了幾何與數論之間的橋樑。 這座橋後來被拓寬到 朗蘭茲綱領，這兩個領域之間更廣泛的聯繫，也是當代數學的核心研究工作之一的主題。 模組化形式也已在其他領域推廣，其潛在應用才剛開始被認識到。
它們繼續出現在數學和物理領域，有時甚至相當神秘。 「我看了一篇關於黑洞的論文，」說 史蒂夫庫德拉 多倫多大學的教授，「我發現模組化形式是我的朋友。 但我不知道他們為什麼會在那裡。”
“不知何故，”他補充道，“模組化形式捕捉到了世界上一些最基本的對稱性。”
