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数学家证明融化的冰保持光滑

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将冰块放入一杯水中。 你可能可以想象它开始融化的方式。 你也知道,不管它是什么形状,你永远不会看到它融化成雪花一样的东西,到处都是锋利的边缘和细小的尖端。

数学家用方程来模拟这个熔化过程。 这些方程式运作良好,但需要 130 年的时间来证明它们符合关于现实的明显事实。 现在,在一个 三月发表的论文, 阿莱西奥·菲加利若阿金·塞拉 苏黎世联邦理工学院和 泽维尔·罗斯-奥顿 巴塞罗那大学的研究人员已经确定方程确实符合直觉。 模型中的雪花可能并非不可能,但它们极为罕见且完全转瞬即逝。

“这些结果为该领域开辟了新的视角,”说 玛丽亚·科伦坡 瑞士洛桑联邦理工学院。 “以前对这种现象没有如此深入和准确的了解。”

冰如何在水中融化的问题被称为 Stefan 问题,以物理学家 Josef Stefan 的名字命名。 构成 它在 1889 年。这是“自由边界”问题的最重要的例子,数学家考虑了像热扩散这样的过程如何使边界移动。 在这种情况下,边界在冰和水之间。

多年来,数学家一直试图了解这些不断演变的边界的复杂模型。 为了取得进展,这项新工作从之前对不同类型物理系统的研究中汲取灵感:肥皂膜。 它建立在它们的基础上,证明沿着冰和水之间不断变化的边界,很少形成尖点或边缘等尖锐点,即使它们形成,它们也会立即消失。

这些尖锐的点被称为奇点,事实证明,它们在数学的自由边界中和在物理世界中一样短暂。

融化的沙漏

再次考虑一杯水中的冰块。 这两种物质由相同的水分子组成,但水处于两个不同的相:固体和液体。 两相交汇处存在边界。 但是当水的热量转移到冰中时,冰融化了,边界移动了。 最终,冰——以及随之而来的边界——消失了。

直觉可能会告诉我们,这个熔化边界总是保持平滑。 毕竟,当您从一杯水中取出一块冰时,您不会被锋利的边缘割伤。 但是稍加想象,很容易想象出现尖点的场景。

取一块沙漏形状的冰块并将其浸没。 随着冰块融化,沙漏的腰部变得越来越细,直到液体一直吃下去。 在这种情况发生的那一刻,曾经光滑的腰部变成了两个尖尖的尖端或奇点。

“这是自然表现出奇点的问题之一,”说 朱塞佩·明吉奥内 帕尔马大学的。 “这是物理现实告诉你的。

然而现实也告诉我们,奇点是可控的。 我们知道尖头不应该持续很长时间,因为温水会迅速将它们融化。 也许如果你从一个完全由沙漏构成的巨大冰块开始,可能会形成雪花。 但它仍然不会持续超过一瞬间。

1889 年,Stefan 对这个问题进行了数学研究,拼出了两个描述冰融化的方程。 一种描述了热量从温水中扩散到冷冰中,这使冰收缩,同时导致水区域膨胀。 随着融化过程的进行,第二个方程跟踪冰和水之间不断变化的界面。 (事实上​​,这些方程还可以描述冰冷到导致周围水结冰的情况——但在目前的工作中,研究人员忽略了这种可能性。)

“重要的是要了解两个阶段决定从一个阶段切换到另一个阶段的位置,”科伦坡说。

近 100 年,直到 1970 年代,数学家才证明这些方程具有坚实的基础。 给定一些初始条件——对水的初始温度和冰的初始形状的描述——可以无限期地运行模型来准确描述温度(或称为累积温度的密切相关量)如何随时间变化。

但是他们没有发现任何东西可以阻止模型得出不可思议的奇怪场景。 例如,这些方程可以描述形成尖峰森林的冰水边界,或者完全静止的锋利雪花。 换句话说,他们不能排除模型可能输出无意义的可能性。 Stefan 问题变成了一个问题,表明这些情况下的奇点实际上得到了很好的控制。

否则,这将意味着融冰模型是一个巨大的失败——一个已经欺骗了几代数学家,相信它比实际更坚固的模型。

肥皂灵感

在数学家开始理解冰融化方程之前的十年里,他们在肥皂膜的数学上取得了巨大的进步。

如果将两个金属丝环浸入肥皂溶液中,然后将它们分开,则会在它们之间形成肥皂膜。 表面张力会尽可能拉紧薄膜,使其形成一种称为悬链线的形状——一种凹陷的圆柱体。 这种形状的形成是因为它以最少的表面积桥接了两个环,使其成为数学家所说的一个例子 最小表面.

肥皂膜由它们自己独特的一组方程建模。 到 1960 年代,数学家在理解它们方面取得了进展,但他们不知道他们的解决方案有多奇怪。 就像在 Stefan 问题中一样,解决方案可能非常奇怪,它描述了具有无数奇点的肥皂膜,这些奇点与我们期望的光滑膜完全不同。

1961 年和 1962 年,Ennio De Giorgi、Wendell Fleming 和其他人发明了一个优雅的过程来确定奇点的情况是否像人们担心的那样糟糕。

假设你有一个肥皂膜方程的解,它描述了两个边界表面之间的膜的形状,比如两个环的集合。 专注于胶片表面上的任意点。 这个点附近的几何形状是什么样的? 在我们对它一无所知之前,它可能具有任何可以想象的特征——从尖锐的尖端到光滑的山丘。 数学家设计了一种放大点的方法,就好像他们有一个无限放大的显微镜。 他们证明,当你放大时,你看到的只是一个平面。

“总是。 就是这样,”罗斯-奥顿说。

这种平坦度意味着该点附近的几何形状不可能是奇异的。 如果该点位于尖端,数学家会看到更像楔子的东西,而不是平面。 由于他们随机选择了点,他们可以得出结论,当您近距离观察时,电影上的所有点都必须看起来像一个光滑的平面。 他们的工作确立了整部电影必须流畅——不受奇点的困扰。

数学家们想用同样的方法来处理斯特凡问题,但他们很快意识到,有了冰,事情就没有那么简单了。 与看起来总是光滑的肥皂膜不同,融化的冰确实表现出奇点。 当肥皂膜保持原状时,冰和水之间的界限总是在运动。 这提出了另一位数学家稍后将解决的额外挑战。

从电影到冰

1977 年,Luis Caffarelli 为 Stefan 问题重新发明了数学放大镜。 他没有放大肥皂片,而是想出了如何放大冰和水之间的边界。

“这是他伟大的直觉,”Mingione 说。 “他能够将这些方法从 de Giorgi 的最小表面理论转移到这个更一般的环境中。”

当数学家放大肥皂膜方程的解时,他们看到的只是平坦度。 但是当 Caffarelli 放大冰和水之间的冰冻边界时,他有时会看到完全不同的东西:冰冻点几乎完全被温暖的水包围。 这些点对应于冰冷的尖峰——奇点——它们因融化边界的撤退而陷入困境。

卡法雷利证明了融冰数学中存在奇点。 他还设计了一种估计有多少的方法。 在冰奇点的确切位置,温度始终为零摄氏度,因为奇点是由冰构成的。 这是一个简单的事实。 但值得注意的是,卡法雷利发现,当你远离奇点时,温度会以一种清晰的模式升高:如果你从奇点移动一个单位的距离并进入水中,温度会升高大约一个单位的温度。 如果您将两个单位移开,温度将升高约 XNUMX。

这称为抛物线关系,因为如果您将温度绘制为距离的函数,您会得到近似抛物线的形状。 但是因为空间是三维的,你可以在远离奇点的三个不同方向上绘制温度,而不仅仅是一个。 因此,温度看起来像一个三维抛物线,一种称为抛物面的形状。

总而言之,卡法雷利的洞察力提供了一种清晰的方法来确定冰水边界上的奇点。 奇点被定义为温度为零摄氏度的点,抛物面描述奇点处和周围的温度。 因此,任何抛物面为零的地方都有一个奇点。

那么抛物面可以等于零的地方有多少呢? 想象一个由一系列并排堆叠的抛物线组成的抛物面。 像这样的抛物面可以在整条线上取最小值——零值。 这意味着卡法雷利观察到的每个奇点实际上可能是一条线的大小,一条无限细的冰边,而不仅仅是一个冰点。 由于许多线可以组合在一起形成一个表面,他的工作留下了一组奇点可以填充整个边界表面的可能性。 如果这是真的,那就意味着斯特凡问题中的奇点完全失控了。

“这对模型来说将是一场灾难。 完全混乱,”菲加利说,谁 获得菲尔兹奖,数学最高荣誉,2018年。

然而,卡法雷利的结果只是最坏的情况。 它确定了潜在奇点的最大大小,但没有说明奇点在方程中实际出现的频率或持续时间。 到 2019 年,Figalli、Ros-Oton 和 Serra 想出了一个非凡的方法来了解更多信息。

不完美的图案

为了解决 Stefan 问题,Figalli、Ros-Oton 和 Serra 需要证明方程中出现的奇点是可控的:奇点数量不多,而且不会持续很长时间。 为此,他们需要全面了解可能形成的所有不同类型的奇点。

卡法雷利在理解冰融化时奇点如何发展方面取得了进展,但他不知道如何解决这个过程的一个特征。 他认识到奇点周围的水温遵循抛物线模式。 他还认识到,它并没有完全遵循这种模式——完美的抛物面与实际的水温外观之间存在很小的偏差。

Figalli、Ros-Oton 和 Serra 将显微镜移到这种与抛物面图案的偏差上。 当他们放大这个小缺陷时——边界外散发出一股凉意——他们发现它有自己的模式,从而产生了不同类型的奇点。

“它们超越了抛物线标度,”说 桑德罗莎莎 米兰理工大学的。 “这太棒了。”

他们能够证明所有这些新型奇点都迅速消失了——就像它们在自然界中一样——除了两个特别神秘的奇点。 他们的最后一个挑战是证明这两种类型一旦出现就会消失,从而排除像雪花这样的东西可能会持续存在的可能性。

消失的尖头

第一种奇点出现在 2000 年之前。一位名叫 Frederick Almgren 的数学家在一篇关于肥皂膜的令人生畏的 1,000 页论文中对此进行了研究,该论文仅由他的妻子让·泰勒(另一位肥皂膜专家)发表。他死了。

虽然数学家已经证明肥皂膜在三个维度上总是光滑的,但阿尔姆格伦证明了在四个维度上,会出现一种新的“分支”奇点,使肥皂膜以奇怪的方式变得锋利。 这些奇点非常抽象,不可能整齐地形象化。 然而 Figalli、Ros-Oton 和 Serra 意识到,沿着冰和水之间的融化边界形成了非常相似的奇点。

“这种联系有点神秘,”塞拉说。 “有时在数学中,事情会以意想不到的方式发展。”

他们使用 Almgren 的工作表明,这些分支奇点之一周围的冰必须具有圆锥形图案,与您继续放大时看起来相同。 与温度的抛物面图案不同,这意味着奇点可能存在于整条线上,圆锥形图案只能在一个点上有一个尖锐的奇点。 利用这一事实,他们表明这些奇点在空间和时间上是孤立的。 一旦它们形成,它们就消失了。

第二种奇点更加神秘。 为了了解它,想象一下将一片薄冰浸入水中。 它会收缩,收缩,然后突然消失。 但就在那一刻之前,它会形成一个片状的奇点,一个像剃刀一样锋利的二维墙壁。

在某些点上,研究人员设法放大以找到一个类似的场景:两个冰面朝该点坍塌,就好像它位于薄冰层内。 这些点不完全是奇点,而是奇点即将形成的位置。 问题是这些点附近的两条战线是否同时坍塌。 如果发生这种情况,一个片状奇点在消失之前只会形成一个完美的时刻。 最后,他们证明了这实际上是场景在方程式中的表现。

“这在某种程度上证实了直觉,”说 丹妮拉·德席尔瓦 巴纳德学院。

已经证明奇异的分支和片状奇点都很罕见,研究人员可以做出一般性声明,即 Stefan 问题的所有奇点都是罕见的。

“如果你随机选择一个时间,那么看到奇点的概率为零,”罗斯-奥顿说。

数学家们表示,这项工作的技术细节需要时间来消化。 但他们相信,这些结果将为解决许多其他问题奠定基础。 Stefan 问题是边界移动的整个数学子领域的基础示例。 但至于斯特凡问题本身,以及冰块如何在水中融化的数学?

“这是关闭的,”萨尔萨说。

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资料来源:https://www.quantamagazine.org/mathematicians-prove-melting-ice-stays-smooth-20211006/

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