Ni Oṣu Kẹwa, Rocket Falcon Heavy ti ṣeto lati ṣe ifilọlẹ lati Cape Canaveral ni Florida, ti n gbe iṣẹ apinfunni Europa Clipper NASA ti NASA. Iṣẹ apinfunni $5 bilionu ti ṣe apẹrẹ lati rii boya Yuroopu, oṣupa kẹrin ti Jupiter, le ṣe atilẹyin igbesi aye. Ṣùgbọ́n nítorí pé Ìtọ́nisọ́nà gbígbóná janjan tí pápá ìdarí Júpítérì dá sílẹ̀ nígbà gbogbo ní ilẹ̀ Yúróòpù, òfuurufú Clipper kò lè yípo òṣùpá fúnra rẹ̀. Dipo, yoo rọra sinu orbit eccentric ni ayika Jupiter ati ṣajọ data nipa gbigbe leralera nipasẹ Yuroopu - awọn akoko 53 lapapọ - ṣaaju ki o to pada sẹhin kuro ninu itankalẹ ti o buru julọ. Ni gbogbo igba ti ọkọ ofurufu ba yi Jupiter lọ, ọna rẹ yoo yatọ diẹ diẹ, ni idaniloju pe o le ya awọn aworan ati pe o le ṣajọ data lati awọn ọpa Europa si equator rẹ.

Lati gbero awọn irin-ajo oniyipo bii eyi, awọn oluṣeto itọpa lo awọn awoṣe kọnputa ti o ṣe iṣiro itọpa naa ni ipele kan ni akoko kan. Eto naa gba awọn ọgọọgọrun awọn ibeere iṣẹ apinfunni sinu akọọlẹ, ati pe o ni atilẹyin nipasẹ awọn ewadun ti iwadii mathematiki sinu awọn orbits ati bii o ṣe le darapọ mọ wọn sinu awọn irin-ajo idiju. Awọn onimo iṣiro ti n ṣe agbekalẹ awọn irinṣẹ bayi eyiti wọn nireti pe a le lo lati ṣẹda oye eleto diẹ sii ti bii awọn orbits ṣe ni ibatan si ara wọn.

“Ohun ti a ni ni awọn iṣiro iṣaaju ti a ti ṣe, ti o ṣe itọsọna wa bi a ṣe n ṣe awọn iṣiro lọwọlọwọ. Ṣugbọn kii ṣe aworan pipe ti gbogbo awọn aṣayan ti a ni,” sọ Daniel Scheeres, ẹlẹrọ aerospace ni University of Colorado, Boulder.

“Mo ro pe iyẹn ni ibanujẹ nla mi nigbati mo jẹ ọmọ ile-iwe,” Dayung Koh, ẹlẹrọ kan ni Ile-iṣẹ Jet Propulsion Laboratory ti NASA sọ. "Mo mọ pe awọn orbits wọnyi wa nibẹ, ṣugbọn emi ko mọ idi." Fi fun inawo ati idiju ti awọn iṣẹ apinfunni si awọn oṣupa Jupiter ati Saturn, lai mọ idi ti awọn orbits wa nibiti wọn wa jẹ iṣoro kan. Kini ti orbit ti o yatọ patapata ti o le gba iṣẹ naa pẹlu awọn orisun diẹ? Gẹgẹbi Koh ti sọ: “Ṣe Mo rii gbogbo wọn? Njẹ diẹ sii? Nko le so bee.”

Lẹhin gbigba oye dokita rẹ lati Ile-ẹkọ giga ti Gusu California ni ọdun 2016, Koh dagba nifẹ si bii a ṣe le ṣe atokọ orbits sinu awọn idile. Jovian orbits ti o jina lati Europa dagba iru ebi; nitorina awọn orbits sunmo si Yuroopu. Ṣugbọn awọn idile miiran ko han gbangba. Fun apẹẹrẹ, fun eyikeyi awọn ara meji, bii Jupiter ati Europa, aaye agbedemeji wa nibiti awọn ipa ipa agbara awọn ara mejeeji ṣe iwọntunwọnsi lati ṣẹda awọn aaye iduroṣinṣin. Ọkọ ofurufu le yipo aaye yii, botilẹjẹpe ko si nkankan ni aarin ti orbit. Awọn orbits wọnyi jẹ idile ti a npe ni Lyapunov orbits. Ṣafikun agbara diẹ si iru orbit kan nipa titu ẹrọ ọkọ ofurufu, ati ni akọkọ iwọ yoo duro ni idile kanna. Ṣugbọn ṣafikun to, ati pe iwọ yoo rekọja sinu idile miiran - sọ, ọkan ti o pẹlu Jupiter ninu awọn orbits rẹ. Diẹ ninu awọn idile orbit le nilo epo ti o dinku ju awọn miiran lọ, wa ni imọlẹ oorun ni gbogbo igba, tabi ni awọn ẹya iwulo miiran.

Ni ọdun 2021, Koh wa iwe kan ti o jiroro bi o ṣe le koju pẹlu awọn orbits rudurudu lati irisi ti jiometirika symplectic, aaye afọwọṣe ti mathimatiki ti o jinna ni gbogbogbo si awọn alaye aye-aye idoti. O bẹrẹ lati fura pe geometry symplectic le ni awọn irinṣẹ ti o nilo lati ni oye awọn orbits daradara, ati pe o kan si Agustin Moreno, onkowe ti iwe. Moreno, lẹhinna ẹlẹgbẹ postdoctoral ni Ile-ẹkọ giga Uppsala ni Sweden, yà ati inu-didun lati gbọ pe ẹnikan ni NASA nifẹ si iṣẹ rẹ. “O jẹ airotẹlẹ, ṣugbọn o tun jẹ iyanilenu pupọ ati iru iwuri ni akoko kanna,” o sọ.

Àwọn méjèèjì bẹ̀rẹ̀ sí ṣiṣẹ́ pọ̀, wọ́n ń wá ọ̀nà láti lo àwọn ọgbọ́n ìfọ̀rọ̀wérọ̀ Moreno sí ètò Jupiter-Europa àti sí Saturn àti òṣùpá rẹ̀ Enceladus, èyí tí, bí Europa, lè ní ìyè nínú òkun abẹ́ ilẹ̀ rẹ̀. Ni ọdun ti o ti kọja, pẹlu awọn alabaṣiṣẹpọ miiran, wọn ti kọ lẹsẹsẹ awọn iwe pe ṣẹda ilana fun katalogi orbits. Ni Oṣu Kini, Moreno, ni bayi olukọ ọjọgbọn ni Ile-ẹkọ giga Heidelberg, pari iwe-akọọlẹ kutukutu ti o sọ iwe iwadi rẹ di a iwe lori koko. Pẹlu iwe naa, o fẹ lati jẹ ki aaye áljẹbrà ti geometry symplectic wulo fun awọn onimọ-ẹrọ ti o ngbiyanju lati gbero awọn iṣẹ apinfunni aaye. Bí ó bá ṣàṣeyọrí, òun yóò tún pa dà pa pọ̀ mọ́ àwọn pápá ìwádìí tí ó ti gbòde kan ní ọ̀pọ̀ ọ̀rúndún.

Ko si Royal Road to Geometry

Symplectic geometry ni awọn gbongbo rẹ ni fisiksi. Lati mu apẹẹrẹ ti o rọrun, fojuinu pendulum kan. Iṣipopada rẹ le ṣe apejuwe nipasẹ awọn aye meji: igun ati iyara. Ti iyara ba lọ silẹ to, pendulum yoo ma yiyi pada ati siwaju. Ti iyara ba ga julọ, yoo yiyi ni ayika kan. Ninu iwe pendulum ti o dara laisi ija, ni kete ti o ti yan igun ibẹrẹ ati iyara, ihuwasi eto naa jẹ ipinnu fun gbogbo akoko.

O le ṣẹda a awonya pẹlu awọn igun bi awọn x-ipo ati iyara bi awọn y-ipo. Ṣugbọn niwọn igba ti irin-ajo awọn iwọn 360 ti mu ọ pada si ibẹrẹ, o le ran awọn laini inaro papọ nibiti x jẹ odo iwọn ati ibi ti x jẹ 360 iwọn. Eleyi mu ki a silinda. Silinda naa ko ṣe afihan otitọ ti ara taara - kii ṣe afihan awọn ipa-ọna ti pendulum tọpa - dipo, aaye kọọkan lori rẹ duro fun ipo kan pato ti pendulum. Silinda, pẹlu awọn ofin ti o pinnu awọn ipa-ọna pendulum le tẹle, ṣe aaye alapọlọpọ.

Láti ìbẹ̀rẹ̀ ọ̀rúndún kẹtàdínlógún, nígbà tí Johannes Kepler gbé àwọn òfin rẹ̀ kalẹ̀, àwọn onímọ̀ físíìsì àti àwọn onímọ̀ ìṣirò ti ní òye tó fìdí múlẹ̀ lórí bí wọ́n ṣe lè ṣàpèjúwe ìṣípòpadà ti ara méjì tí wọ́n wà lábẹ́ agbára òòfà. Ti o da lori bi wọn ṣe yara to, awọn ọna wọn jẹ ellipse, parabola tabi hyperbola. Awọn alafo symplectic ti o baamu jẹ idiju diẹ sii ju ọkan fun pendulum kan, ṣugbọn tun ṣee ṣe. Ṣugbọn iṣafihan ohun kẹta jẹ ki o jẹ deede, awọn ojutu itupalẹ ko ṣee ṣe lati ṣe iṣiro. Ati pe o nikan ni idiju diẹ sii ti o ba ṣafikun awọn ara diẹ sii si awoṣe. “Laisi oye atupale yẹn, o fẹrẹ nigbagbogbo, ni ipele kan, titu sinu okunkun,” Scheeres sọ.

Ọkọ ofurufu ti o le gbe larọwọto ni eyikeyi itọsọna - ọtun si osi, oke ati isalẹ, ati iwaju si ẹhin - nilo awọn ipoidojuko mẹta lati ṣe apejuwe ipo rẹ, ati mẹta diẹ sii lati ṣe apejuwe iyara rẹ. Iyẹn jẹ ki aaye amuyẹfun onisẹpo mẹfa. Lati ṣe apejuwe išipopada ti awọn ara mẹta, bii Jupiter, Europa ati ọkọ ofurufu, o nilo awọn iwọn 18: mẹfa fun ara kan. Awọn geometry ti aaye naa jẹ asọye kii ṣe nipasẹ nọmba awọn iwọn ti o ni, ṣugbọn tun nipasẹ awọn iyipo ti o fihan bi eto ti ara ti n ṣapejuwe wa lori akoko.

Moreno ati Koh ṣiṣẹ lori ẹya “ihamọ” ti iṣoro-ara mẹta nibiti ọkan ninu awọn ara (ọkọ ofurufu) kere pupọ pe ko ni ipa lori awọn meji miiran (Jupiter ati Europa). Lati jẹ ki awọn nkan rọrun siwaju sii, awọn oniwadi ro pe yipo oṣupa jẹ iyipo pipe. O le gba orbit ipin rẹ gẹgẹbi ipilẹ ti o duro lodi si eyiti o le ronu ipa-ọna iwadii aaye naa. Aaye apewọn nikan ni lati ṣe akọọlẹ fun ipo ọkọ ofurufu ati iyara, niwọn igba ti Jupiter ati iṣipopada Yuroopu le ṣe alaye ni irọrun. Nitorinaa dipo jijẹ onisẹpo 18, aaye apewọn ti o baamu jẹ onisẹpo mẹfa. Nígbà tí ọ̀nà kan nínú àyè oníwọ̀n mẹ́fà yìí bá ṣẹ̀dá yípo kan, ó dúró fún yípo ọkọ̀ òfuurufú lẹ́ẹ̀kọ̀ọ̀kan nípasẹ̀ ètò òṣùpá-pílánẹ́ẹ̀tì.

Nigbati Koh kan si Moreno, o ni iyanilenu nipa awọn ọran nibiti fifi agbara kekere kan kun fa iyipo ọkọ ofurufu lati fo lati idile kan si ekeji. Awọn aaye ipade wọnyi laarin awọn idile ti awọn orbits ni a pe ni awọn aaye bifurcation. Nigbagbogbo ọpọlọpọ awọn idile yoo pade ni aaye kan. Eyi jẹ ki wọn wulo paapaa si awọn oluṣeto itọpa. “Lílóye ìtòlẹ́sẹẹsẹ bifurcation n fun ọ ni maapu ọna kan si ibo ni awọn itọpa ti o nifẹ si ti o yẹ ki o wo,” Scheeres sọ. Koh fẹ lati mọ bi o ṣe le ṣe idanimọ ati asọtẹlẹ awọn aaye bifurcation.

Lẹhin ti o gbọ lati Koh, Moreno ṣe iforukọsilẹ awọn geometeri diẹ miiran: Urs Frauenfelder Ile-ẹkọ giga ti Augsburg, Cengiz Aydin ti Heidelberg University, ati Otto van Koert Ile-ẹkọ giga ti Orilẹ-ede Seoul. Frauenfelder ati van Koert ti pẹ ti kẹkọọ iṣoro-ara mẹta nipa lilo geometry symplectic, ani uncovering kan ti o pọju titun ebi ti orbits. Ṣugbọn botilẹjẹpe awọn onimọ-ẹrọ ti n gbero awọn iṣẹ apinfunni aaye ti lo ọpọlọpọ awọn irinṣẹ mathematiki, ni awọn ewadun aipẹ wọn ti ni irẹwẹsi nipasẹ arosọ ti o pọ si ti geometry symplectic.

Láàárín àwọn oṣù tó tẹ̀ lé e, onímọ̀ ẹ̀rọ àtàwọn oníṣirò mẹ́rin náà kẹ́kọ̀ọ́ díẹ̀díẹ̀ nípa pápá ara wọn. “O gba igba diẹ nigbati o ba n ṣe iṣẹ alamọdaju si, jẹ ki a sọ, bori awọn idena ede,” Moreno sọ. “Ṣugbọn lẹhin ti o ti ṣe iṣẹ alaisan, o bẹrẹ isanwo.”

Ohun elo Irinṣẹ

Ẹgbẹ naa ṣajọpọ awọn irinṣẹ pupọ eyiti wọn nireti pe yoo wulo fun awọn oluṣeto iṣẹ apinfunni. Ọkan ninu awọn irinṣẹ ni nọmba kan ti a npe ni atọka Conley-Zehnder ti o le ṣe iranlọwọ lati mọ nigbati awọn orbits meji jẹ ti idile kanna. Lati ṣe iṣiro rẹ, awọn oniwadi ṣe ayẹwo awọn aaye ti o sunmọ - ṣugbọn kii ṣe lori - orbit ti wọn fẹ lati ṣe iwadi. Fojuinu, fun apẹẹrẹ, pe ọkọ ofurufu kan n tẹle iyipo elliptical ni ayika Jupiter, ti agbara walẹ lati Yuroopu ni ipa. Ti o ba yọ kuro ni ọna rẹ, itọpa tuntun rẹ yoo ṣe afarawe orbit atilẹba, ṣugbọn lainidi nikan. Ona tuntun yoo yi yika orbit atilẹba, yoo pada si aaye ti o yatọ diẹ lẹhin ti o yika Jupiter. Atọka Conley-Zehnder jẹ wiwọn kan ti iye spiraling ti n lọ.

Iyalenu, itọka Conley-Zehnder ko dale lori awọn pato ti bi o ṣe npa ọkọ ofurufu naa - o jẹ nọmba ti o ni nkan ṣe pẹlu gbogbo orbit. Kini diẹ sii, o jẹ kanna fun gbogbo awọn orbits ni idile kanna. Ti o ba ṣe iṣiro itọka Conley-Zehnder fun awọn orbits meji, ati pe o gba awọn nọmba oriṣiriṣi meji, o le rii daju pe awọn orbits wa lati oriṣiriṣi idile.

Ọpa miiran, ti a npe ni nọmba Floer, le tọka si awọn idile ti a ko ṣe awari ti awọn orbits. Jẹ́ ká sọ pé ọ̀pọ̀lọpọ̀ ìdílé kọ́kọ́ kọlu ara wọn ní ibi méjì nígbà tí agbára bá dé nọ́ńbà pàtó kan, tí ọ̀pọ̀ àwọn ìdílé sì tún máa ń jáde kúrò ní ibi ìdábùú yẹn nígbà tí agbára náà bá ga. Eyi jẹ oju opo wẹẹbu kan ti awọn idile ti ibudo aarin jẹ bifurcation.

O le ṣe iṣiro nọmba Floer ti o ni nkan ṣe pẹlu aaye bifurcation yii gẹgẹbi iṣẹ ti o rọrun ti awọn atọka Conley-Zehnder ti o ni nkan ṣe pẹlu idile kọọkan ti o yẹ. O le ṣe iṣiro iṣẹ yii mejeeji fun gbogbo awọn idile ti o ni agbara diẹ kere ju aaye bifurcation ati fun awọn idile ti agbara wọn tobi. Ti awọn nọmba Floer meji ba yatọ, iyẹn jẹ olobo pe awọn idile ti o farapamọ wa ti o sopọ mọ aaye bifurcation rẹ.

“Ohun ti a n ṣe ni ipese awọn irinṣẹ lodi si eyiti awọn onimọ-ẹrọ ṣe idanwo awọn algoridimu wọn,” Moreno sọ. Awọn irinṣẹ tuntun ni a ṣe ni akọkọ lati ṣe iranlọwọ fun awọn onimọ-ẹrọ lati loye bi awọn idile ti awọn orbits ṣe baamu papọ ati lati ṣe itara wọn lati wa awọn idile tuntun nibiti o ti ni atilẹyin; ko tumọ si lati paarọ fun awọn ilana wiwa-itọpa ti o ti jẹ honed fun awọn ewadun.

Ni 2023, Moreno ṣe afihan iṣẹ naa si apejọ kan ti a ṣeto nipasẹ “Space ofurufu Mechanics igbimo,” ati pe o ti kan si awọn onimọ-ẹrọ ti o ṣe iwadii awọn itọpa aaye, pẹlu diẹ ninu JPL ati laabu Scheeres ni Boulder. Scheeres tewogba awọn intermingling ti awọn aaye: O si ti gun mọ nipa awọn symplectic ona si Planetary išipopada, sugbon ro jade ninu rẹ ijinle mathematiki. "O jẹ igbadun gaan lati rii awọn mathimatiki n gbiyanju lati mu imọ-jinlẹ wọn wa si ẹgbẹ imọ-ẹrọ,” o sọ. Ẹgbẹ Scheeres ti n ṣiṣẹ ni bayi lori eto eka diẹ sii ti o kan awọn ara mẹrin.

Ed Belbruno, Oludamoran igbero itọpa (ati oluyanju orbital JPL tẹlẹ) ti o ti ṣiṣẹ pẹlu Frauenfelder, ṣe akiyesi pe awọn ohun elo kii ṣe taara. “Biotilẹjẹpe ilana mathematiki kan bii geometry symplectic le wa pẹlu awọn itọpa eyiti o dara gaan, ati pe o pa gbogbo wọn, o le jẹ pupọ, pupọ diẹ, ti eyikeyi, ni itẹlọrun idiwọ” ti iṣẹ apinfunni gidi le nilo. , o sọ.

Botilẹjẹpe awọn itọpa Clipper ti yanju tẹlẹ, Moreno n wa aye ti o tẹle: Saturn. O ti ṣafihan iwadi rẹ tẹlẹ si awọn oluṣeto apinfunni ni JPL ti o nireti lati fi ọkọ ofurufu ranṣẹ si oṣupa Saturn Enceladus. Moreno nireti pe jiometirika apẹẹrẹ yoo “di apakan ti ohun elo iṣẹ apinfunni aaye boṣewa.”