Logo Zephyrnet

Toán học mới về nếp nhăn

Ngày:

Vài phút sau buổi nói chuyện năm 2018 tại Đại học Michigan, Ian thuốc lá nhặt một mảnh giấy lớn và vò nó thành một quả bóng hỗn loạn dường như vô trật tự. Anh giơ nó lên cho khán giả xem, bóp cho thật đều rồi lại trải ra.

“Tôi nhận được rất nhiều nếp gấp xuất hiện và đó chính là câu đố,” anh nói. “Điều gì chọn mẫu này từ mẫu khác, có trật tự hơn?”

Sau đó, anh ta giơ mảnh giấy lớn thứ hai lên - tờ giấy này được gấp sẵn thành hình bình hành origami nổi tiếng được gọi là Miura-ori - và ép phẳng nó. Ông nói, lực ông sử dụng trên mỗi tờ giấy là như nhau, nhưng kết quả không thể khác hơn được. Miura-ori được chia gọn gàng thành các vùng hình học; quả bóng nhàu nát là một mớ hỗn độn những đường lởm chởm.

“Bạn có cảm giác rằng cái này,” anh nói, chỉ vào sự sắp xếp rải rác của các nếp gấp trên tờ giấy nhàu nát, “chỉ là một phiên bản lộn xộn ngẫu nhiên của cái này.” Anh ta chỉ vào Miura-ori gọn gàng, ngăn nắp. “Nhưng chúng tôi chưa xác định được liệu điều đó có đúng hay không.”

Việc tạo ra kết nối đó không đòi hỏi gì hơn ngoài việc thiết lập các quy tắc toán học phổ quát của các mẫu đàn hồi. Tobasco đã nghiên cứu vấn đề này trong nhiều năm, nghiên cứu các phương trình mô tả vật liệu đàn hồi mỏng – vật liệu phản ứng với sự biến dạng bằng cách cố gắng đàn hồi trở lại hình dạng ban đầu. Chọc một quả bóng đủ mạnh và các nếp nhăn xuyên tâm sẽ hình thành theo kiểu ngôi sao; bỏ ngón tay của bạn ra và chúng sẽ mịn trở lại. Bóp một quả bóng giấy đã nhàu nát và nó sẽ nở ra khi bạn thả ra (mặc dù nó không hoàn toàn hết nhàu nát). Các kỹ sư và nhà vật lý đã nghiên cứu làm thế nào những mô hình này xuất hiện trong những trường hợp nhất định, nhưng đối với một nhà toán học, những kết quả thực tế đó gợi ra một câu hỏi cơ bản hơn: Nói chung, liệu có thể hiểu được điều gì chọn một mô hình này thay vì một mô hình khác?

Vào tháng 2021 năm XNUMX, Tobasco đã xuất bản một tờ giấy đã trả lời câu hỏi đó một cách khẳng định - ít nhất là trong trường hợp một tấm mềm, cong, đàn hồi được ép thành phẳng (một tình huống đưa ra một cách rõ ràng để khám phá câu hỏi). Các phương trình của ông dự đoán các nếp nhăn dường như ngẫu nhiên chứa các miền “có trật tự”, có kiểu lặp lại và có thể nhận dạng được. Và anh ấy đã đồng viết một bài báo, được xuất bản vào tháng trước, cho thấy một lý thuyết vật lý mới, dựa trên nền tảng toán học chặt chẽ, có thể dự đoán các mô hình trong các tình huống thực tế.

Đáng chú ý, công trình của Tobasco gợi ý rằng nếp nhăn, dưới nhiều hình thức khác nhau, có thể được coi là lời giải cho một bài toán hình học. “Đó là một phần phân tích toán học tuyệt vời,” nói Stefan Mueller của Trung tâm Toán học Hausdorff của Đại học Bonn ở Đức.

Lần đầu tiên nó trình bày một cách khéo léo các quy tắc toán học - và một cách hiểu mới - đằng sau hiện tượng phổ biến này. “Vai trò của toán học ở đây không phải là chứng minh một phỏng đoán mà các nhà vật lý đã đưa ra,” ông nói. Robert Kohn, một nhà toán học tại Viện Courant của Đại học New York, và là cố vấn trường sau đại học của Tobasco, “mà là để đưa ra một lý thuyết mà trước đây không có sự hiểu biết có hệ thống”.

Trải dài

Mục tiêu của việc phát triển lý thuyết về nếp nhăn và mô hình đàn hồi là mục tiêu cũ. Năm 1894, trong một bài đánh giá ở Thiên nhiên, nhà toán học George Greenhill đã chỉ ra sự khác biệt giữa các nhà lý thuyết (“Chúng ta phải nghĩ gì?”) và những ứng dụng hữu ích mà họ có thể tìm ra (“Chúng ta phải làm gì?”).

Trong thế kỷ 19 và 20, các nhà khoa học phần lớn đã đạt được tiến bộ trong lĩnh vực này, nghiên cứu các vấn đề liên quan đến nếp nhăn trên các vật thể cụ thể đang bị biến dạng. Những ví dụ ban đầu bao gồm vấn đề rèn các tấm kim loại cong, nhẵn cho tàu đi biển và cố gắng kết nối sự hình thành của các ngọn núi với sự nóng lên của lớp vỏ Trái đất.

Gần đây hơn, các nhà toán học và vật lý học đã mở rộng nỗ lực kết nối lý thuyết và quan sát với một loạt các tình huống nhăn, hình học và vật liệu. Nhà toán học cho biết: “Điều này đã diễn ra trong khoảng 10 năm qua, khi chúng tôi thực hiện các thí nghiệm trước tiên và sau đó cố gắng tìm ra lý thuyết để hiểu chúng”. Dominic Vella của Đại học Oxford. “Chỉ gần đây chúng ta mới bắt đầu có sự hiểu biết đúng đắn.”

Đã có những cột mốc thú vị. Năm 2015, Pedro Reis, kỹ sư cơ khí tại Viện Công nghệ Massachusetts, mô tả các định luật vật lý cho các mẫu hình học hình thành trên các quả bóng silicon xì hơi. Công trình của ông đã kết nối những nếp nhăn đó với độ dày của lớp bên trong và bên ngoài của vật liệu đàn hồi. Reis cũng lưu ý rằng các nếp nhăn, thay vì bị coi là khiếm khuyết, có thể mang đến cơ hội thiết kế các hành vi cơ học mới. Sau đó vào năm 2017, Vella dẫn đầu phân tích về sự mất ổn định nếp nhăn của một màng đàn hồi mỏng dưới áp lực, mô tả số lượng nếp nhăn thay đổi như thế nào theo độ sâu của vết chọc ban đầu và các chi tiết cụ thể khác.

Nhưng những phát triển này vẫn chỉ giải quyết được phần nào của vấn đề. Để hiểu biết toán học tổng quát hơn về cách hình thành nếp nhăn, cần có một cách tiếp cận khác. Tobasco sẽ là người đưa nó về phía trước.

Theo đuổi sự tò mò

Khi còn trẻ, Tobasco đã nghĩ mình sẽ theo học ngành kỹ thuật hàng không vũ trụ. Anh tốt nghiệp Đại học Michigan năm 2011 với bằng cử nhân trong lĩnh vực này, nhưng vào thời điểm đó, anh đã bị cuốn hút vào việc suy nghĩ sâu sắc về lý luận toán học và hệ thống vật lý. Anh ấy có bằng tiến sĩ toán học, nhưng anh ấy đổ lỗi cho Joey Paulsen, một nhà vật lý hiện đang làm việc tại Đại học Syracuse, vì đã đặt anh ấy vào con đường cụ thể của các nếp nhăn.

Trước đó trong sự nghiệp của Paulsen, khi nghiên cứu tính chất của các vật liệu khác thường, ông đã học cách chế tạo và phân tích màng polyme siêu mỏng bằng kỹ thuật gọi là phủ quay. Đầu tiên, anh ấy tạo ra một chất lỏng đặc biệt có chứa một lượng nhỏ polyme hòa tan; sau đó anh ấy sẽ đặt vật liệu lên một đĩa quay. Phần lớn chất lỏng sẽ bay hơi, trong khi polyme lan rộng đến một độ dày đồng đều trước khi đông đặc lại. Sau khi có phòng thí nghiệm riêng tại Syracuse, Paulsen đã học cách điều chỉnh lớp phủ quay để tạo ra các màng cong - giống như mai rùa siêu mỏng.

Một ngày nọ, anh ấy đặt một số tấm phim cong này lên trên mặt nước tĩnh lặng và chụp ảnh cách chúng lắng xuống trên bề mặt. “Đó hoàn toàn là do sự tò mò,” anh nói. Những hình ảnh lọt vào mắt xanh của Tobasco trong cuộc gặp thân mật với Paulsen năm 2017.

Tobasco, hiện là trợ lý giáo sư tại Đại học Illinois, Chicago, cho biết: “Họ cho thấy rằng bạn có thể có những kiểu nếp nhăn ngẫu nhiên này - khi bạn thực hiện thí nghiệm hai lần, bạn sẽ có hai kiểu nếp nhăn khác nhau”. “Tôi muốn xem liệu tôi có thể nghĩ ra cách nào đó [để dự đoán những kiểu mẫu đó] từ độ đàn hồi kết hợp với hình dạng của vỏ hay không. Và mô hình sẽ không thay đổi từ lớp vỏ này sang lớp vỏ khác.”

Các kiểu nhăn là những cấu hình có ít năng lượng nhất có thể. Nghĩa là, khi màng mỏng lắng xuống một bề mặt phẳng, nó sẽ biến hình cho đến khi tìm thấy sự sắp xếp của các nếp nhăn, dù có rối loạn hay không, mà cần ít năng lượng nhất để duy trì. “Bạn có thể sắp xếp các mẫu theo lượng năng lượng được lưu trữ khi [mẫu] biểu hiện,” Tobasco nói.

Được dẫn dắt bởi nguyên tắc chỉ đạo đó, ông đã tách ra một số đặc điểm của màng được chứng minh là những đặc điểm chọn hình mẫu của nó, bao gồm cả thước đo hình dạng của nó được gọi là độ cong Gaussian của nó. Một bề mặt có độ cong Gauss dương sẽ uốn cong ra khỏi chính nó, giống như mặt ngoài của một quả bóng. Ngược lại, các bề mặt cong âm có hình yên ngựa, giống như con chip Pringles: Nếu bạn đi theo một hướng thì bạn sẽ đi lên, nhưng nếu bạn đi theo một hướng khác thì bạn sẽ đi xuống.

Tobasco nhận thấy rằng các vùng có độ cong Gauss dương tạo ra một kiểu sắp xếp của các miền có trật tự và mất trật tự, còn các vùng có độ cong âm tạo ra một kiểu sắp xếp khác. “Hình học chi tiết không quá quan trọng,” Vella nói. “Nó thực sự chỉ phụ thuộc vào dấu của độ cong Gaussian.”

Họ đã nghi ngờ rằng độ cong Gauss có vai trò quan trọng đối với nếp nhăn, nhưng Vella nói rằng thật ngạc nhiên khi các miền xác định phụ thuộc rất nhiều vào dấu. Hơn nữa, lý thuyết của Tobasco còn áp dụng cho nhiều loại vật liệu đàn hồi, không chỉ các dạng của Paulsen. “Đó là một cấu trúc hình học đẹp mắt cho thấy nơi các nếp nhăn sẽ xuất hiện,” Vella nói. “Nhưng hiểu được điều đó đến từ đâu thực sự sâu sắc và đáng ngạc nhiên.”

Paulsen đồng ý. “Điều mà lý thuyết của Ian làm rất hay là cung cấp cho bạn toàn bộ khuôn mẫu cùng một lúc.”

Nếp nhăn ngoài đời thực              

Vào đầu năm 2018, Tobasco gần như đã hoàn thành lý thuyết của mình - nhưng mặc dù nó hoạt động trên giấy tờ nhưng anh không thể chắc chắn rằng nó có chính xác trong thế giới thực hay không. Tobasco đã liên hệ với Paulsen và hỏi liệu anh ấy có muốn hợp tác hay không. Paulsen nói: “Có thứ gì đó đã phát huy tác dụng ngay lập tức. “Với một số dự đoán của Ian, được đặt trên các bức ảnh thử nghiệm, chúng ta có thể thấy ngay rằng chúng xếp hàng.”

Tại Hội nghị Toán học Công nghiệp và Ứng dụng năm đó về các khía cạnh toán học của Khoa học Vật liệu, Tobasco đã được giới thiệu về Eleni Katifori, một nhà vật lý tại Đại học Pennsylvania, người đang khám phá vấn đề về kiểu nếp nhăn trong vỏ bọc hạn chế và xây dựng cơ sở dữ liệu kết quả. Đó là một khoảnh khắc tình cờ. “Chúng tôi có thể thấy các miền [trong mô phỏng] mà công trình của Ian đã giải thích,” cô nói. Trận đấu thật kỳ lạ. Ngay cả trong những cuộc thảo luận đầu tiên của họ, rõ ràng là lý thuyết của Tobasco, những hình ảnh thực nghiệm của Paulsen và mô phỏng của Katifori đều mô tả những hiện tượng giống nhau. “Ngay cả ở giai đoạn đầu, khi chúng tôi chưa có điều gì cụ thể, chúng tôi vẫn có thể thấy được mối liên hệ.”

Sự phấn khích ban đầu đó nhanh chóng làm nảy sinh sự hoài nghi. Nó có vẻ gần như quá tốt để trở thành sự thật. “Anh ấy là một nhà toán học và làm cho tất cả những thứ này trở nên không thứ nguyên,” Paulsen nói, đề cập đến việc ý tưởng của Tobasco về độ cong có thể được mở rộng vượt xa các vật liệu phẳng hai chiều như thế nào. “Chúng ta có thực sự đang xem xét cùng một hệ thống không? Nó đồng ý, nhưng nó có nên đồng ý không?”

Trong hai năm tiếp theo, ba nhà nghiên cứu đã phân tích các chi tiết, cho thấy lý thuyết của Tobasco thực sự đã dự đoán - chính xác - sự sắp xếp của các nếp nhăn mà Paulsen đã thấy trong các thí nghiệm của mình và Katifori đã tìm thấy trong các mô hình máy tính của cô ấy. Vào ngày 25 tháng XNUMX, họ đã xuất bản một bài báo trên Vật lý tự nhiên hiển thị làm thế nào cả ba cách tiếp cận đều hội tụ trên cùng một sự sắp xếp hình học đơn giản của các nếp nhăn. Đáng chú ý, họ phát hiện ra rằng các mô hình này rơi vào các nhóm tam giác cân gọn gàng, phân định các lĩnh vực trật tự và hỗn loạn. Ngoài ra, các kết quả không chỉ giới hạn ở sự trừu tượng toán học của các vật liệu mỏng không tưởng mà còn đề cập đến nhiều bậc độ lớn.

Công việc của họ cũng gợi ý những cơ hội để mở rộng lý thuyết và ứng dụng của nó. Katifori cho biết với tư cách là một nhà vật lý, cô quan tâm đến việc khai thác các dự đoán để thiết kế các vật liệu mới. “Tôi muốn hiểu cách bạn có thể thiết kế các bề mặt để chúng thực sự tự sắp xếp các kiểu nếp nhăn thành thứ mà bạn muốn.”

Một câu hỏi mở khác là lý thuyết này có thể được áp dụng tổng thể như thế nào cho các loại bề mặt cong khác nhau. “Nó rất tập trung vào các tình huống trong đó [độ cong Gaussian] là dương hoặc âm, nhưng có rất nhiều tình huống với một số vùng dương và một số vùng âm,” Vella nói.

Paulsen đồng ý rằng đây là một khả năng thú vị, và Tobasco cho biết ông đang tích cực làm việc trong lĩnh vực này và xem xét các hình dạng vỏ khác - chẳng hạn như những loại có lỗ.

Nhưng Paulsen cho biết lý thuyết này, ngay cả ở thời điểm hiện tại, vẫn rất hay và đáng ngạc nhiên. “Nếu tôi đưa cho bạn một cái vỏ, một hình dạng ranh giới và bộ quy tắc đơn giản mà lý thuyết của Ian dự đoán, thì bạn có thể lấy một chiếc la bàn và thước kẻ và về cơ bản là vẽ các nếp nhăn,” ông nói. “Nó sẽ không phải xảy ra theo cách đó. Nó có thể hoàn toàn khủng khiếp.”

tại chỗ_img

Tin tức mới nhất

tại chỗ_img