Các nhà toán học và khoa học máy tính đã có một năm thú vị với những đột phá trong lý thuyết tập hợp, cấu trúc liên kết và trí tuệ nhân tạo, bên cạnh việc bảo tồn những kiến ​​thức đang phai mờ và ôn lại những câu hỏi cũ. Họ đã đạt được tiến bộ mới về các câu hỏi cơ bản trong lĩnh vực này, tôn vinh những mối liên hệ trải rộng trên các lĩnh vực toán học xa xôi và nhận thấy mối liên hệ giữa toán học và các ngành khác ngày càng phát triển. Nhưng nhiều kết quả chỉ là câu trả lời một phần, và một số con đường khám phá đầy hứa hẹn hóa ra lại là ngõ cụt, để lại công việc cho các thế hệ tương lai (và hiện tại).

Các nhà tôpô, những người đã có một năm bận rộn, đã chứng kiến ​​sự ra mắt của một cuốn sách vào mùa thu năm nay, trong đó trình bày một cách toàn diện một công trình quan trọng đã 40 năm tuổi đang có nguy cơ bị thất lạc. Một công cụ hình học được tạo ra cách đây 11 năm đã có sức sống mới trong một bối cảnh toán học khác, kết nối các lĩnh vực nghiên cứu khác nhau. Và công trình mới về lý thuyết tập hợp đã đưa các nhà toán học đến gần hơn với việc hiểu được bản chất của vô cực và thực sự có bao nhiêu số thực. Đây chỉ là một trong nhiều câu hỏi toán học kéo dài hàng thập kỷ đã nhận được câu trả lời - thuộc loại nào đó - trong năm nay.

Nhưng toán học không tồn tại trong chân không. Mùa hè này, Quanta đề cập đến nhu cầu ngày càng tăng về sự hiểu biết toán học về lý thuyết trường lượng tử, một trong những khái niệm thành công nhất trong vật lý. Tương tự, máy tính ngày càng trở thành công cụ không thể thiếu đối với các nhà toán học, những người sử dụng chúng không chỉ để thực hiện các phép tính mà còn để giải các bài toán không thể giải được và thậm chí xác minh các bằng chứng phức tạp. Và khi máy móc giải quyết vấn đề ngày càng tốt hơn, năm nay cũng chứng kiến ​​những tiến bộ mới trong việc tìm hiểu lý do tại sao chúng lại có thể giải quyết vấn đề tốt đến vậy.

Thật hấp dẫn khi nghĩ rằng một bằng chứng toán học, một khi được phát hiện, sẽ tồn tại mãi mãi. Nhưng một kết quả topo quan trọng từ năm 1981 có nguy cơ bị quên lãng, vì một số ít nhà toán học còn lại hiểu được nó đã già đi và rời bỏ lĩnh vực này. Bằng chứng của Michael Freedman về giả thuyết Poincaré bốn chiều cho thấy rằng một số hình dạng nhất định tương tự theo một số cách (hoặc “tương đương đồng luân”) với hình cầu bốn chiều cũng phải giống với nó theo những cách khác, khiến chúng trở thành “đồng hình”. (Các nhà tôpô có cách riêng của họ xác định khi nào hai hình dạng giống nhau hoặc tương tự nhau.) May mắn thay, một cuốn sách mới có tên Định lý nhúng đĩa thành lập trong gần 500 trang logic không thể tránh khỏi trong cách tiếp cận đáng ngạc nhiên của Freedman và xác lập chắc chắn phát hiện này trong kinh điển toán học.

Một kết quả quan trọng khác gần đây trong cấu trúc liên kết liên quan đến giả thuyết Smale, trong đó hỏi liệu các đối xứng cơ bản của hình cầu bốn chiều về cơ bản có phải là tất cả các đối xứng mà nó có hay không. Tadayuki Watanabe đã chứng minh rằng câu trả lời là không - có nhiều loại đối xứng hơn - và khi làm như vậy, anh ấy đã bắt đầu cuộc tìm kiếm chúng, với những kết quả mới xuất hiện gần đây vào tháng 9. Ngoài ra, hai nhà toán học đã phát triển “Floer Morava K-học thuyết,” một khung kết hợp hình học đối xứng và cấu trúc liên kết; công trình thiết lập một bộ công cụ mới để tiếp cận các vấn đề trong các lĩnh vực đó và gần như vượt qua, chứng minh một phiên bản mới của một vấn đề đã tồn tại hàng thập kỷ được gọi là giả thuyết Arnold. Quanta cũng khám phá nguồn gốc của cấu trúc liên kết với một cột vào tháng Giêng và một người giải thích tận tâm chủ đề tương đồng liên quan.

Cho dù chúng giúp các nhà toán học làm toán hay hỗ trợ phân tích dữ liệu khoa học, mạng lưới thần kinh sâu, một dạng trí tuệ nhân tạo được xây dựng trên các lớp tế bào thần kinh nhân tạo, ngày càng trở nên phức tạp và mạnh mẽ. Chúng cũng vẫn còn bí ẩn: Lý thuyết học máy truyền thống cho biết số lượng tham số khổng lồ của chúng sẽ dẫn đến việc trang bị quá mức và không có khả năng khái quát hóa, nhưng rõ ràng có điều gì đó khác đang xảy ra. Hóa ra là các mô hình học máy cũ hơn và được hiểu rõ hơn, được gọi là máy nhân, tương đương về mặt toán học đến các phiên bản lý tưởng hóa của các mạng thần kinh này, đề xuất những cách mới để hiểu — và tận dụng — các hộp đen kỹ thuật số.

Nhưng cũng có những thất bại. Các loại AI liên quan được gọi là mạng nơ-ron tích chập đang gặp rất nhiều khó khăn phân biệt đồ vật giống nhau và khác nhau, và rất có thể họ sẽ luôn như vậy. Tương tự như vậy, nghiên cứu gần đây đã chỉ ra rằng giảm độ dốc - một thuật toán hữu ích để huấn luyện mạng lưới thần kinh và thực hiện các tác vụ tính toán khác - là một vấn đề cơ bản khó khăn, nghĩa là một số nhiệm vụ có thể mãi mãi nằm ngoài tầm với của nó. Điện toán lượng tử, bất chấp những hứa hẹn của nó, cũng phải chịu một bước thụt lùi lớn vào tháng 3 khi một bài báo lớn mô tả cách tạo ra các qubit tôpô chống lỗi đã bị rút lại, buộc các nhà khoa học từng hy vọng phải nhận ra rằng một cỗ máy như vậy có thể là không thể. (Scott Aaronson nhấn mạnh, trong một cột và video, tại sao máy tính lượng tử lại khó làm việc và thậm chí khó nói đến vậy.)

Có bao nhiêu số thực tồn tại? Đó là một câu hỏi đầy thách thức — và chưa được giải quyết — trong hơn một thế kỷ, nhưng năm nay đã chứng kiến những phát triển quan trọng hướng tới câu trả lời. David Asperó và Ralf Schindler đã công bố một bằng chứng vào tháng 2 kết hợp hai tiên đề đối lập nhau trước đây: Một biến thể của một trong số chúng, được gọi là cực đại của Martin, kéo theo tiên đề kia, có tên (*) (phát âm là “ngôi sao”). Kết quả có nghĩa là cả hai tiên đề đều có nhiều khả năng đúng hơn, từ đó gợi ý rằng số lượng số thực lớn hơn suy nghĩ ban đầu, tương ứng với số đếm $latexboldsymbol{aleph__{1}$ thay vì số nhỏ hơn (tuy nhiên vẫn vô hạn) $latexboldsymbol{aleph__{0}$. Điều này sẽ vi phạm giả thuyết liên tục, trong đó nêu rằng không có kích thước vô cực nào tồn tại giữa $latexboldsymbol{aleph__{XNUMX}$, tương ứng với tập hợp tất cả các số tự nhiên và dãy số thực. Nhưng không phải ai cũng đồng ý, kể cả Hugh Woodin, người sáng tạo ban đầu của (*), người đã đăng công trình mới cho thấy giả thuyết liên tục xét cho cùng là đúng.

Đây không phải là vấn đề duy nhất kéo dài hàng thập kỷ được xem xét lại bằng các giải pháp hiện đại. Năm 1900, David Hilbert đưa ra 23 câu hỏi quan trọng chưa được giải quyết, và năm nay chứng kiến ​​các nhà toán học đăng những câu trả lời không đầy đủ cho bài toán thứ 12, về các khối xây dựng của một số hệ thống số nhất định, và ngày 13, về giải các đa thức bậc bảy. Tháng Hai cũng thấy thông báo rằng suy đoán đơn vị là sai, nghĩa là nghịch đảo phép nhân thực sự tồn tại trong những cấu trúc phức tạp hơn các nhà toán học nghĩ. Và vào tháng 1, Alex Kontorovich đã khám phá ra vấn đề có lẽ là lớn nhất chưa được giải quyết trong toán học, giả thuyết Riemann, trong một bài luận và video.

Thông thường, một tiến bộ toán học vĩ đại không chỉ trả lời một câu hỏi lớn mà còn cung cấp một con đường khám phá mới để thử giải quyết các vấn đề khác. Laurent Fargues và Jean-Marc Fontaine đã tạo ra một vật thể hình học mới vào khoảng năm 2010 để hỗ trợ cho nghiên cứu của họ. Nhưng khi kết hợp với ý tưởng của Peter Scholze về không gian hoàn hảo, đường cong Fargues-Fontaine có ý nghĩa mở rộng, kết nối sâu hơn lý thuyết số và hình học như một phần của chương trình Langlands đã tồn tại hàng thập kỷ. Scholze nói: “Đó là một loại lỗ sâu đục giữa hai thế giới khác nhau.

Những suy ngẫm khác về chương trình Langlands bao gồm một cuộc phỏng vấn với Ana Caraiani, công việc của ông đã giúp củng cố và cải thiện các kết nối tương tự giữa các lĩnh vực toán học khác nhau và kiểm tra nhóm Galois về sự đối xứng ở trung tâm của giả thuyết Langlands ban đầu.

Các hệ thống trong thế giới thực nổi tiếng là phức tạp và các phương trình vi phân từng phần (PDE) giúp các nhà nghiên cứu mô tả và hiểu chúng. Nhưng PDE cũng nổi tiếng là khó giải quyết. Hai loại mạng thần kinh mới - DeepONet và toán tử thần kinh Fourier - đã xuất hiện để làm cho công việc này dễ dàng hơn. Cả hai đều có khả năng tính gần đúng các toán tử, có thể biến đổi các hàm thành các hàm khác, cho phép các mạng ánh xạ một cách hiệu quả một không gian vô hạn vào một không gian vô hạn chiều khác. Các hệ thống mới giải các phương trình hiện có nhanh hơn các phương pháp thông thường và chúng cũng có thể giúp cung cấp PDE cho các hệ thống trước đây quá phức tạp để lập mô hình.

Trên thực tế, năm nay máy tính đã tỏ ra hữu ích cho các nhà toán học theo nhiều cách khác nhau. Trong tháng Một, Quanta đã báo cáo về các thuật toán mới cho máy tính lượng tử cho phép chúng xử lý các hệ thống phi tuyến, trong đó các tương tác có thể tự ảnh hưởng đến chúng, trước tiên bằng cách xấp xỉ chúng như đơn giản hơn, tuyến tính. Máy tính cũng tiếp tục thúc đẩy nghiên cứu toán học khi một nhóm các nhà toán học sử dụng phần cứng và thuật toán hiện đại để chứng minh rằng có không còn các loại tứ diện đặc biệt hơn những gì được phát hiện cách đây 26 năm, và - đáng kinh ngạc hơn - khi một trợ lý chứng minh kỹ thuật số tên là Lean xác minh tính đúng đắn của một bằng chứng hiện đại khó hiểu.

Vật lý và toán học luôn chồng chéo, truyền cảm hứng và phát triển lẫn nhau. Khái niệm lý thuyết trường lượng tử, một khái niệm hấp dẫn mà các nhà vật lý sử dụng để mô tả các khuôn khổ liên quan đến trường lượng tử, đã cực kỳ thành công, nhưng nó vẫn dựa trên nền tảng toán học không chắc chắn. Đưa sự chặt chẽ về mặt toán học vào lý thuyết trường lượng tử sẽ giúp các nhà vật lý làm việc và mở rộng khuôn khổ đó, nhưng nó cũng sẽ mang lại cho các nhà toán học một bộ công cụ và cấu trúc mới để sử dụng. Trong loạt bài gồm bốn phần, Quanta kiểm tra những vấn đề chính hiện đang cản trở các nhà toán học, khám phá một câu chuyện thành công ở quy mô nhỏ hơn trong hai chiều, thảo luận về các khả năng với Chuyên gia QFT Nathan Seibergvà giải thích trong một video về QFT nổi bật nhất: mô hình chuẩn.