Logo Zephyrnet

Chứng minh Toán học 'Monumental' giải quyết vấn đề ba bong bóng và hơn thế nữa

Ngày:

Khi nói đến hình dạng của các cụm bong bóng, các nhà toán học đã chơi trò bắt kịp trực giác vật lý của chúng ta trong nhiều thiên niên kỷ. Các cụm bong bóng xà phòng trong tự nhiên dường như ngay lập tức chuyển sang trạng thái năng lượng thấp nhất, trạng thái giảm thiểu tổng diện tích bề mặt của các bức tường của chúng (bao gồm cả các bức tường giữa các bong bóng). Nhưng kiểm tra xem bong bóng xà phòng có làm đúng nhiệm vụ này hay không - hay chỉ dự đoán các cụm bong bóng lớn trông như thế nào - là một trong những bài toán khó nhất trong hình học. Các nhà toán học phải mất đến cuối thế kỷ 19 để chứng minh rằng hình cầu là bong bóng đơn tốt nhất, mặc dù nhà toán học Hy Lạp Zenodorus đã khẳng định điều này hơn 2,000 năm trước đó.

Bài toán bong bóng đủ đơn giản để nêu rõ: Bạn bắt đầu với một danh sách các con số cho các thể tích, sau đó hỏi cách bao bọc các thể tích không khí đó một cách riêng biệt bằng cách sử dụng diện tích bề mặt ít nhất. Nhưng để giải quyết vấn đề này, các nhà toán học phải xem xét một loạt các hình dạng khác nhau có thể có cho các bức tường bong bóng. Và nếu nhiệm vụ là bao gồm, chẳng hạn, năm tập, chúng tôi thậm chí không có điều kiện hạn chế sự chú ý của mình vào các cụm năm bong bóng - có lẽ cách tốt nhất để giảm thiểu diện tích bề mặt là tách một trong các tập thành nhiều bong bóng.

Ngay cả trong cài đặt đơn giản hơn của mặt phẳng hai chiều (nơi bạn đang cố gắng bao quanh một bộ sưu tập các khu vực trong khi thu nhỏ chu vi), không ai biết cách tốt nhất để bao bọc, ví dụ, chín hoặc 10 khu vực. Khi số lượng bong bóng tăng lên, "nhanh chóng, bạn thậm chí không thể thực sự có được bất kỳ phỏng đoán chính đáng nào", nói Emanuel Milman của Technion ở Haifa, Israel.

Nhưng hơn một phần tư thế kỷ trước, John Sullivan, hiện thuộc Đại học Kỹ thuật Berlin, nhận ra rằng trong một số trường hợp, có phỏng đoán hướng dẫn được có. Bài toán bong bóng có ý nghĩa trong bất kỳ thứ nguyên nào và Sullivan nhận thấy rằng miễn là số lượng tập bạn đang cố gắng bao gồm nhiều nhất là một thứ lớn hơn thứ nguyên, thì có một cách cụ thể để bao bọc các tập, theo một nghĩa nào đó, đẹp hơn bất kỳ loại nào khác - một loại bóng của một cụm bong bóng đối xứng hoàn hảo trên một hình cầu. Ông phỏng đoán, cụm bóng tối này nên là cụm giảm thiểu diện tích bề mặt.

Trong thập kỷ sau đó, các nhà toán học đã viết một loạt bài báo đột phá chứng minh phỏng đoán của Sullivan khi bạn chỉ cố gắng gói gọn hai tập. Ở đây, giải pháp là bong bóng đôi quen thuộc mà bạn có thể đã thổi trong công viên vào một ngày nắng đẹp, được làm bằng hai miếng hình cầu với một bức tường phẳng hoặc hình cầu giữa chúng (tùy thuộc vào việc hai bong bóng có thể tích giống nhau hay khác nhau).

Nhưng chứng minh phỏng đoán của Sullivan trong ba tập, nhà toán học Frank Morgan của trường cao đẳng Williams suy đoán vào năm 2007, "có thể mất một trăm năm nữa."

Bây giờ, các nhà toán học đã không phải chờ đợi lâu như vậy - và đã nhận được nhiều hơn một giải pháp cho bài toán bong bóng ba. Trong một giấy được đăng trực tuyến vào tháng XNUMX, Milman và Joe Neeman, thuộc Đại học Texas, Austin, đã chứng minh phỏng đoán của Sullivan về bong bóng ba kích thước từ ba trở lên và bong bóng bốn bong bóng ở kích thước bốn trở lên, với một bài báo tiếp theo về bong bóng gấp năm kích thước năm trở lên đang được nghiên cứu.

Và khi nói đến sáu bong bóng trở lên, Milman và Neeman đã chỉ ra rằng cụm tốt nhất phải có nhiều thuộc tính chính của ứng cử viên của Sullivan, có khả năng bắt đầu các nhà toán học trên con đường chứng minh phỏng đoán cho những trường hợp này. “Ấn tượng của tôi là họ đã nắm được cấu trúc cốt yếu đằng sau phỏng đoán của Sullivan,” nói Francesco Maggi của Đại học Texas, Austin.

Định lý trung tâm của Milman và Neeman là "hoành tráng", Morgan viết trong một email. "Đó là một thành tựu tuyệt vời với rất nhiều ý tưởng mới."

Bong bóng bóng

Kinh nghiệm của chúng tôi với bong bóng xà phòng thực tế cung cấp trực giác hấp dẫn về các cụm bong bóng tối ưu sẽ trông như thế nào, ít nhất là khi nói đến các cụm nhỏ. Các bong bóng ba hoặc bốn mà chúng ta thổi qua các cây đũa xà phòng dường như có thành hình cầu (và đôi khi là phẳng) và có xu hướng tạo thành các khối chặt chẽ hơn là một chuỗi dài các bong bóng.

Nhưng không dễ dàng như vậy để chứng minh rằng đây thực sự là các tính năng của các cụm bong bóng tối ưu. Ví dụ, các nhà toán học không biết liệu các bức tường trong một cụm bong bóng cực tiểu luôn là hình cầu hay phẳng - họ chỉ biết rằng các bức tường có "độ cong trung bình không đổi", có nghĩa là độ cong trung bình không đổi từ điểm này đến điểm khác. Hình cầu và các bề mặt phẳng có đặc tính này, nhưng nhiều bề mặt khác cũng vậy, chẳng hạn như hình trụ và các hình lượn sóng được gọi là unduloids. Các bề mặt có độ cong trung bình không đổi là “một vườn thú hoàn chỉnh,” Milman nói.

Nhưng vào những năm 1990, Sullivan nhận ra rằng khi số lượng tập bạn muốn gửi kèm nhiều nhất là một tập lớn hơn thứ nguyên, thì có một cụm ứng cử viên dường như vượt trội hơn phần còn lại - một (và chỉ một) cụm có các tính năng mà chúng ta có xu hướng để nhìn thấy trong các cụm nhỏ bọt xà phòng thật.

Để có cảm nhận về cách một ứng cử viên như vậy được xây dựng, hãy sử dụng phương pháp tiếp cận của Sullivan để tạo ra một cụm ba bong bóng trong mặt phẳng phẳng (vì vậy “bong bóng” của chúng ta sẽ là các vùng trong mặt phẳng chứ không phải là các vật thể ba chiều). Chúng ta bắt đầu bằng cách chọn bốn điểm trên một hình cầu có cùng khoảng cách với nhau. Bây giờ, hãy tưởng tượng rằng mỗi điểm trong số bốn điểm này là trung tâm của một bong bóng nhỏ, chỉ sống trên bề mặt của hình cầu (sao cho mỗi bong bóng là một đĩa nhỏ). Thổi phồng bốn bong bóng trên quả cầu cho đến khi chúng bắt đầu va vào nhau, sau đó tiếp tục thổi phồng cho đến khi chúng lấp đầy toàn bộ bề mặt. Chúng tôi kết thúc với một cụm đối xứng của bốn bong bóng làm cho hình cầu trông giống như một tứ diện căng phồng.

Tiếp theo, chúng ta đặt quả cầu này lên trên một mặt phẳng phẳng vô hạn, như thể quả cầu là một quả cầu đang nằm yên trên một mặt sàn vô tận. Hãy tưởng tượng rằng quả bóng trong suốt và có một chiếc đèn lồng ở cực bắc. Các bức tường của bốn bong bóng sẽ chiếu bóng xuống sàn, tạo thành các bức tường của một cụm bong bóng ở đó. Trong số bốn bong bóng trên hình cầu, ba bong bóng sẽ chiếu xuống các bong bóng bóng trên sàn nhà; bong bóng thứ tư (bong bóng chứa cực bắc) sẽ chiếu xuống tầng rộng vô hạn bên ngoài cụm ba bong bóng bóng.

Cụm ba bong bóng cụ thể mà chúng ta nhận được phụ thuộc vào cách chúng ta tình cờ định vị quả cầu khi chúng ta đặt nó xuống sàn. Nếu chúng ta quay quả cầu để một điểm khác di chuyển đến đèn lồng ở cực bắc, chúng ta thường nhận được một bóng khác và ba bong bóng trên sàn sẽ có các khu vực khác nhau. Các nhà toán học có chứng minh rằng đối với bất kỳ ba số nào bạn chọn cho các khu vực, về cơ bản chỉ có một cách duy nhất để định vị hình cầu để ba bong bóng đổ bóng sẽ có chính xác các khu vực đó.

Chúng tôi có thể tự do thực hiện quá trình này ở bất kỳ chiều nào (mặc dù bóng có chiều cao hơn khó hình dung hơn). Nhưng có một giới hạn về số lượng bong bóng mà chúng ta có thể có trong cụm bóng của mình. Trong ví dụ trên, chúng tôi không thể tạo ra một cụm bốn bong bóng trong máy bay. Điều đó sẽ yêu cầu bắt đầu với năm điểm trên hình cầu có cùng khoảng cách với nhau - nhưng không thể đặt nhiều điểm cách đều như vậy trên một hình cầu (mặc dù bạn có thể làm điều đó với các hình cầu có chiều cao hơn). Quy trình của Sullivan chỉ hoạt động để tạo ra các cụm có tối đa ba bong bóng trong không gian hai chiều, bốn bong bóng trong không gian ba chiều, năm bong bóng trong không gian bốn chiều, v.v. Bên ngoài các phạm vi tham số đó, các cụm bong bóng kiểu Sullivan không tồn tại.

Nhưng bên trong các tham số đó, quy trình của Sullivan cho chúng ta các cụm bong bóng trong các thiết lập vượt xa những gì trực giác vật lý của chúng ta có thể hiểu được. Maggi nói: “Không thể hình dung được đâu là bong bóng 15 trong [không gian 23 chiều]. "Làm thế nào mà bạn thậm chí mơ ước được mô tả một đối tượng như vậy?"

Tuy nhiên, các ứng cử viên bong bóng của Sullivan thừa hưởng từ các tổ tiên hình cầu của họ một bộ sưu tập các đặc tính độc đáo gợi nhớ đến các bong bóng mà chúng ta thấy trong tự nhiên. Các bức tường của chúng đều là hình cầu hoặc phẳng, và bất cứ nơi nào ba bức tường gặp nhau, chúng tạo thành góc 120 độ, như trong hình chữ Y đối xứng. Mỗi tập bạn đang cố gắng đóng gói nằm trong một vùng duy nhất, thay vì được chia thành nhiều vùng. Và mọi bong bóng tiếp xúc với nhau (và cả bên ngoài), tạo thành một cụm chặt chẽ. Các nhà toán học đã chỉ ra rằng bong bóng của Sullivan là cụm duy nhất thỏa mãn tất cả các tính chất này.

Khi Sullivan đưa ra giả thuyết rằng đây phải là những cụm giảm thiểu diện tích bề mặt, thì về cơ bản ông ta đang nói, “Hãy giả sử vẻ đẹp,” Maggi nói.

Nhưng các nhà nghiên cứu bong bóng có lý do chính đáng để cảnh giác khi cho rằng chỉ vì một giải pháp được đề xuất là đẹp, nó là đúng. Maggi nói: “Có những vấn đề rất nổi tiếng… nơi bạn mong đợi sự đối xứng cho các bộ thu nhỏ, và sự đối xứng đã thất bại một cách ngoạn mục.

Ví dụ, có một vấn đề liên quan chặt chẽ đến việc lấp đầy không gian vô hạn bằng các bong bóng có thể tích bằng nhau theo cách giảm thiểu diện tích bề mặt. Năm 1887, nhà toán học và vật lý người Anh Lord Kelvin gợi ý rằng giải pháp có thể là một cấu trúc giống như tổ ong tao nhã. Trong hơn một thế kỷ, nhiều nhà toán học tin rằng đây là câu trả lời khả dĩ - cho đến năm 1993, khi một cặp nhà vật lý xác định một tốt hơn, mặc dù ít đối xứng hơn, tùy chọn. Maggi nói: “Toán học có đầy đủ… những ví dụ mà loại điều kỳ lạ này xảy ra.

Một nghệ thuật đen tối

Khi Sullivan công bố phỏng đoán của mình vào năm 1995, phần bong bóng kép của nó đã trôi nổi trong một thế kỷ. Các nhà toán học đã giải quyết Sự cố bong bóng kép 2D hai năm trước đó và trong thập kỷ sau đó, họ đã giải quyết nó trong không gian ba chiều và sau đó trong cao hơn kích thước. Nhưng khi nói đến trường hợp phỏng đoán tiếp theo của Sullivan - ba bong bóng - họ có thể chứng minh phỏng đoán chỉ trong mặt phẳng hai chiều, nơi giao diện giữa các bong bóng đặc biệt đơn giản.

Sau đó, vào năm 2018, Milman và Neeman đã chứng minh một phiên bản tương tự của phỏng đoán của Sullivan trong một bối cảnh được gọi là vấn đề bong bóng Gaussian. Trong thiết lập này, bạn có thể coi mọi điểm trong không gian đều có giá trị tiền tệ: Điểm gốc là điểm đắt nhất, và bạn càng đi xa điểm xuất phát, đất càng rẻ, tạo thành một đường cong hình chuông. Mục đích là tạo ra các thùng chứa với giá được chọn trước (thay vì khối lượng được chọn trước), theo cách giảm thiểu chi phí cho ranh giới của thùng (thay vì diện tích bề mặt của ranh giới). Bài toán bong bóng Gaussian này có các ứng dụng trong khoa học máy tính để làm tròn các sơ đồ và các câu hỏi về độ nhạy tiếng ồn.

Milman và Neeman đã gửi bằng chứng đến Biên niên sử của Toán học, được cho là tạp chí uy tín nhất về toán học (nơi sau này nó được chấp nhận). Nhưng cặp đôi không có ý định gọi nó là một ngày. Phương pháp của họ cũng có vẻ hứa hẹn cho bài toán bong bóng cổ điển.

Họ tung ra các ý tưởng qua lại trong vài năm. “Chúng tôi đã có một tài liệu 200 trang ghi chú,” Milman nói. Lúc đầu, có vẻ như họ đang tiến bộ. “Nhưng sau đó nhanh chóng nó biến thành, 'Chúng tôi đã thử theo hướng này - không. Chúng tôi đã thử theo hướng [đó] - không. '”Để bảo vệ sự cá cược của họ, cả hai nhà toán học cũng theo đuổi các dự án khác.

Sau đó vào mùa thu năm ngoái, Milman đến nghỉ phép và quyết định đến thăm Neeman để cả hai có thể tập trung vào vấn đề bong bóng. Milman nói: “Trong kỳ nghỉ, đây là thời điểm thích hợp để thử những thứ có rủi ro cao, mang lại lợi nhuận cao.

Trong vài tháng đầu tiên, họ chẳng đi đến đâu. Cuối cùng, họ quyết định giao cho mình một nhiệm vụ dễ dàng hơn một chút so với phỏng đoán đầy đủ của Sullivan. Nếu bạn cung cấp cho bong bóng của mình thêm một chiều của phòng thở, bạn sẽ nhận được một phần thưởng: Cụm bong bóng tốt nhất sẽ có gương đối xứng qua mặt phẳng trung tâm.

Phỏng đoán của Sullivan là về ba bong bóng ở chiều hai trở lên, bốn bong bóng ở chiều ba trở lên, v.v. Để có được sự đối xứng tiền thưởng, Milman và Neeman đã hạn chế sự chú ý của họ đối với bong bóng ba trong chiều ba và lên, bong bóng bốn trong chiều bốn trở lên, v.v. “Chỉ khi chúng tôi từ bỏ việc có được đầy đủ các thông số thì chúng tôi mới thực sự đạt được tiến bộ,” Neeman nói.

Với sự đối xứng gương này theo ý của họ, Milman và Neeman đã đưa ra một lập luận nhiễu loạn liên quan đến việc thổi phồng một nửa của cụm bong bóng nằm phía trên gương và làm xẹp nửa cụm bong bóng nằm bên dưới nó. Sự xáo trộn này sẽ không thay đổi thể tích của bong bóng, nhưng nó có thể thay đổi diện tích bề mặt của chúng. Milman và Neeman đã chỉ ra rằng nếu cụm bong bóng tối ưu có bất kỳ bức tường nào không phải là hình cầu hoặc phẳng, sẽ có một cách để chọn nhiễu loạn này để nó làm giảm diện tích bề mặt của cụm - một điều mâu thuẫn, vì cụm tối ưu đã có ít bề mặt nhất. khu vực có thể.

Sử dụng nhiễu loạn để nghiên cứu bong bóng không phải là một ý tưởng mới, nhưng việc tìm ra nhiễu loạn nào sẽ phát hiện ra các đặc điểm quan trọng của một cụm bong bóng là “một chút nghệ thuật đen tối,” Neeman nói.

Với nhận thức sâu sắc, “một khi bạn nhìn thấy [sự xáo trộn của Milman và Neeman], họ trông khá tự nhiên,” nói Joel Hass của Đại học California, Davis.

Nhưng nhận ra những xáo trộn là tự nhiên sẽ dễ dàng hơn nhiều so với việc tìm hiểu chúng ngay từ đầu, Maggi nói. “Cho đến nay, nó không phải là thứ mà bạn có thể nói,“ Cuối cùng thì mọi người cũng đã tìm thấy nó, ”anh nói. "Nó thực sự là thiên tài ở một cấp độ rất đáng chú ý."

Milman và Neeman đã có thể sử dụng sự nhiễu loạn của họ để chỉ ra rằng cụm bong bóng tối ưu phải thỏa mãn tất cả các đặc điểm cốt lõi của các cụm của Sullivan, có lẽ ngoại trừ một: quy định rằng mọi bong bóng phải chạm vào nhau. Yêu cầu cuối cùng này buộc Milman và Neeman phải vật lộn với tất cả các cách bong bóng có thể kết nối thành một cụm. Khi nói đến chỉ ba hoặc bốn bong bóng, không có quá nhiều khả năng để xem xét. Nhưng khi bạn tăng số lượng bong bóng, số lượng các kiểu kết nối có thể có khác nhau sẽ tăng lên, thậm chí còn nhanh hơn theo cấp số nhân.

Milman và Neeman ban đầu hy vọng tìm ra một nguyên tắc bao quát có thể bao quát tất cả những trường hợp này. Nhưng sau khi dành vài tháng để “phá vỡ đầu của chúng tôi,” Milman nói, họ quyết định tự hài lòng với cách tiếp cận đặc biệt hơn cho phép họ xử lý bong bóng gấp ba và gấp bốn. Họ cũng đã công bố một bằng chứng chưa được công bố rằng bong bóng ngũ cấp của Sullivan là tối ưu, mặc dù họ vẫn chưa xác định rằng đó là cụm tối ưu duy nhất.

Công việc của Milman và Neeman là “một cách tiếp cận hoàn toàn mới chứ không phải là một phần mở rộng của các phương pháp trước đó,” Morgan viết trong một email. Maggi dự đoán rằng cách tiếp cận này có thể còn được đẩy xa hơn nữa - có thể đến các cụm có hơn năm bong bóng, hoặc đối với các trường hợp phỏng đoán của Sullivan không có đối xứng gương.

Không ai mong đợi sự tiến bộ hơn nữa sẽ đến một cách dễ dàng; nhưng điều đó chưa bao giờ làm Milman và Neeman nản lòng. “Từ kinh nghiệm của tôi,” Milman nói, “tất cả những điều quan trọng mà tôi đủ may mắn có thể làm được, chỉ cần không bỏ cuộc”.

tại chỗ_img

Tin tức mới nhất

tại chỗ_img