2,000 yıldan fazla bir süre önce Yunan matematikçi Eratosthenes, asal sayıları bulmak için bugün matematikte yankılanmaya devam eden bir yöntem buldu. Onun fikri, asal olmayan sayıları kademeli olarak "eleyerek" belirli bir noktaya kadar tüm asal sayıları belirlemekti. Eleği, 2'nin tüm katlarının (2'nin kendisi hariç) ve ardından 3'ün katlarının (3'ün kendisi hariç) üzerini çizerek başlar. Bir sonraki sayı olan 4'ün üzeri zaten çizilmiştir, dolayısıyla bir sonraki adım 5'in katlarının üzerini çizmek ve bu şekilde devam etmektir. Hayatta kalan tek sayılar, tek bölenleri 1 ve kendileri olan asal sayılardır.

Eratosthenes tüm asal sayılara odaklanmıştı, ancak her türlü özel özelliğe sahip asal sayıları bulmak için onun süzgecindeki varyasyonları kullanabilirsiniz. 2 ve 11 veya 13 ve 599 gibi yalnızca 601 ayrı olan "ikiz asal sayıları" mı bulmak istiyorsunuz? Bunun için bir elek var. 1 veya 17 gibi tam karelerden 257'den büyük asal sayıları mı bulmak istiyorsunuz? Bunun için de bir elek var.

Modern elekler, Fermat'ın Son Teoreminden, sonsuz sayıda ikiz asal sayı çifti olduğunu söyleyen, hala kanıtlanmamış ikiz asal sayı varsayımına kadar uzanan problemlerde sayı teorisindeki en büyük ilerlemelerin çoğunu ateşledi. Macar matematikçi Paul Erdős'in 1965'te elek yöntemlerinin "sayılar teorisinde belki de en güçlü temel aracımız" olduğunu yazmıştı.

Ancak bu güç, matematikçilerin asal sayıların sayı doğrusu boyunca nasıl dağıldığı konusundaki sınırlı anlayışları nedeniyle sınırlanıyor. 100 gibi küçük bir sayıya kadar elekten geçirmek kolaydır. Ancak matematikçiler sayılar büyüdüğünde eleklerin davranışını anlamak isterler. Son derece büyük bir durma noktasına kadar süzgeçten geçen tüm sayıları listelemeyi umut edemezler. Bunun yerine o listede kaç sayı olduğunu tahmin etmeye çalışıyorlar.

Eratosthenes kalburu için bu tahmin, tam sayıların ne sıklıkla 2'ye, 3'e veya 5'e vb. bölünebildiğine bağlıdır; elde edilmesi nispeten kolay bir bilgidir. Ancak ikiz asal sayılar gibi daha karmaşık elekler için, en önemli bilgi genellikle asal sayıların farklı sayılara bölündüğünde geride bıraktığı kalanlarla ilgilidir. Örneğin, asal sayılar ne sıklıkla 1'e bölündüğünde 3 kalanını verir? Veya 8'e bölündüğünde 15'in kalanını mı?

Sayı doğrusunda ilerledikçe bu kalanlar istatistiksel olarak öngörülebilir kalıplara yerleşir. 1896'da Belçikalı matematikçi Charles-Jean de la Vallée Poussin, kalanların kademeli olarak eşitlendiğini kanıtladı; örneğin, asal sayıları, 1'e bölündüğünde kalanın 2 veya 3 olmasına bağlı olarak iki gruptan birine bırakırsanız, iki kova sonunda kabaca aynı sayıda asal sayıları tutacaktır. Ancak eleme yöntemlerinin tüm potansiyelini ortaya çıkarmak için matematikçilerin yalnızca kovaların sonunda eşitlendiğini değil, aynı zamanda bunu ne kadar çabuk yaptıklarını da bilmeleri gerekiyor.

Bunun zorlayıcı olduğu kanıtlandı. 1960'larda ve 1980'lerde yaşanan bir ilerleme patlamasından sonra, yeni gelişmeler çoğunlukla azaldı. 2013 yılında Yitang Zhang'ın bir makale yayınlamasıyla dikkate değer bir istisna meydana geldi. simgesel yapı kanıtı birbirine sonlu bir sınırdan daha yakın olan sonsuz sayıda asal sayı çiftinin var olduğu. Ancak 80'lerde geliştirilen çalışmaların ana gövdesinde, otuz yıldan fazla bir süre boyunca esasen hiçbir ilerleme görülmedi.

Şimdi konu bir rönesansın tadını çıkarıyor; dizi of üç kâğıtlar Oxford matematikçisi tarafından yazılmıştır James Maynard 2020'de (iki yıl önce) Fields Madalyası'na layık görüldümatematiğin en büyük onuru). Maynard, birincil kalanların kovalara ne kadar hızlı eşit şekilde dağıtıldığını (bazen belirli elek türlerine atıfta bulunarak) yakalayan "dağılım düzeyi" adı verilen bir sayıyı analiz etti. Yaygın olarak kullanılan birçok elek için dağılım seviyesinin en az 0.6 olduğunu ve 0.57'lerdeki 1980'lik önceki rekoru geride bıraktığını gösterdi.

Maynard'ın çalışması ve onun teşvik ettiği takip eden çalışmalar, "analitik sayılar teorisine yeni bir soluk getiriyor" dedi. John Friedland 1980'lerdeki gelişmelerde büyük rol oynayan Toronto Üniversitesi'nden Dr. “Bu gerçek bir canlanma.”

Geçtiğimiz birkaç ayda Maynard'ın üç yüksek lisans öğrencisi var yazılı kâğıtlar Maynard'ın ve Zhang'ın sonuçlarının genişletilmesi; bu kağıtlardan biri, Jared Duker Lichtman (şimdi Stanford Üniversitesi'nde doktora sonrası araştırmacı olarak), Maynard'ın dağılım seviyesini yaklaşık 0.617'ye yükseltti. Lichtman daha sonra bu artışı, belirli bir durma noktasına kadar ikiz asal sayıların iyileştirilmiş üst sınırlarını ve "Goldbach temsillerinin" (iki asal sayının toplamı olarak çift sayıların temsilleri) sayısını hesaplamak için kullandı.

"Bu gençler şu anda gerçekten gündemde olan konuyu takip ediyorlar" dedi Andrew Granville Montreal Üniversitesi'nden.

Sayı teorisinin dışında kalanlar için 0.6'dan 0.617'ye bir artış önemsiz görünebilir. Ancak eleme teorisinde Granville şunu söyledi: "Bazen bu küçük kazançlar yıkıcı sonuçlar doğurabilir."

Dahil Etme ve Hariç Tutma

Bir eleğin belirli bir durma noktasına kadar kaç sayıyı kaldırdığını tahmin etmek Nmatematikçiler dahil etme/dışlama adı verilen bir şeye dayanan bir yaklaşım kullanırlar. Bunun nasıl çalıştığını görmek için Eratosthenes'in süzgecini düşünün. Bu eleme, 2'nin tüm katlarını kaldırarak başlar; bu, XNUMX'ye kadar olan sayıların yaklaşık yarısı kadardır. N. Daha sonra elek, 3'ün tüm katlarını - yani sayıların yaklaşık 1/3'ünü - kaldırır. N. Yani şu ana kadar sayıların yaklaşık 1/2 + 1/3'ünü kaldırdığınızı düşünebilirsiniz. N.

Ancak bu bir fazla sayımdır, çünkü hem 2'nin hem de 3'ün (6'nın katları) katları olan sayıları çift saydınız. Bunlar tüm sayıların yaklaşık 1/6'sıdır. N, yani bunları iki kez saymayı düzeltmek için 1/6'yı çıkarmanız gerekir, böylece çıkardığınız şeyin toplamını 1/2 + 1/3 − 1/6'ya getirirsiniz.

Daha sonra 5'in katlarına geçebilirsiniz; bu sayıya 1/5 ekleyecektir, ancak hem 1'ye hem de 10'e veya her ikisine de 1'e bölünebilen fazla sayma sayılarını düzeltmek için 15/2 ve 5/3'i çıkarmanız gerekir. ve 5. O zaman bile işiniz henüz bitmedi - 2, 3 ve 5'e bölünebilen sayıları yanlışlıkla iki kez düzelttiniz, bu yüzden bunu düzeltmek için sayımınıza 1/30 ekleyerek toplam toplamı getirmeniz gerekiyor 1/2 + 1/3 - 1/6 + 1/5 - 1/10 - 1/15 + 1/30'a kadar.

Bu süreç devam ettikçe toplam, giderek daha büyük paydalara sahip kesirleri de içerecek şekilde daha fazla terim kazanır. “Yaklaşık 1/2” ve “yaklaşık 1/3” gibi yaklaşıklıklardaki küçük hataların çok fazla birikmesini önlemek için sayı teorisyenleri genellikle toplama ve çıkarma işlemini tüm elekten geçmeden durdururlar ve bununla yetinirler. Kesin bir cevap yerine üst ve alt sınırlar.

Teorik olarak benzer bir süreç, ikiz asal sayılar gibi daha süslü asal kümeler için de çalışmalıdır. Ancak konu ikiz asal sayılara gelince, asal kalanların kümelere ne kadar eşit şekilde dağıtıldığını bilmediğiniz sürece dahil etme/hariç tutma işe yaramaz.

Bunu görmek için çift prime eleğin nasıl çalışabileceğini düşünün. 'ye kadar olan tüm asal sayıları bulmak için Eratosthenes süzgecini kullanarak başlayabilirsiniz. N. Ardından, ikiz asal çiftin parçası olmayan her asal sayıyı ortadan kaldıran ikinci bir eleme turu yapın. Bunu yapmanın bir yolu, solundaki iki nokta asal değilse (ya da sağa iki noktaya bakabilirsiniz; her iki elek de işe yarayacaktır) bir asal sayıyı elemektir. Sol taraftaki süzgeci kullanarak, 13 de asal olduğu için 11 gibi asal sayıları tutacaksınız, ancak 23 asal olmadığı için 21 gibi asal sayıların üzerini çizeceksiniz.

Bu elemeyi, önce asal sayılar kümesini sayı doğrusunda iki nokta sola kaydırmak, ardından kaydırılan kümedeki asal olmayan sayıların (21 gibi) üzerini çizmek olarak düşünebilirsiniz. Kaydırılan grupta, 3'ün katlarının üzerini çizeceksiniz, ardından 5'in katlarının üzerini çizeceksiniz ve bu böyle devam edecek. (Kaydırılan kümedeki sayıların tümü tek olduğundan, ilki dışında 2'nin katları konusunda endişelenmenize gerek yok.)

Daha sonra, kaç sayının üzerini çizdiğinizi tahmin etmek için dahil etme/hariç tutma gelir. Eratosthenes süzgecinde 3'ün katlarının üzerini çizmek tüm sayıların yaklaşık 1/3'ünü ortadan kaldırır. Ancak daha küçük kaydırılmış asal sayılar kümesinde, 3'ün katlarının üzerini çizdiğimizde kaçının düşeceğini tahmin etmek daha zordur.

Herhangi bir numara k kaydırılmış kümede bir asal sayının 2 eksiği vardır. Yani eğer k 3'ün katıysa buna karşılık gelen asal sayıdır, k + 2, 2'e bölündüğünde 3 kalanı verir. Asal sayıların 1'e bölündüğünde ya 2 ya da 3 kalanı olur (3'ün kendisi hariç), dolayısıyla asal sayıların yarısının XNUMX'e kadar olduğunu tahmin edebilirsiniz. N kalan 1 ve yarının kalan kısmı 2. Bu, eleğin bu adımında kaydırılan kümedeki sayıların yaklaşık yarısının üzerini çizdiğiniz anlamına gelir (Eratosthenes'in eleğindeki gibi 1/3 yerine). Yani dahil etme/hariç tutma toplamınıza 1/2 terim yazarsınız.

De la Vallée Poussin sayesinde, 1'e böldüğünüzde tüm asal sayıların yarısının 2 kalana sahip olduğunu ve yarısının da 3 kalana sahip olduğunu biliyoruz. Ancak dahil etme/hariç tutma işlemini yapmak için geri kalan kovaların dengeli olduğunu bilmek yeterli değildir. eninde sonunda biter — şunu bilmeniz gerekir ki dengelenirler N. Aksi takdirde dahil etme/hariç tutma toplamındaki “1/2”ye güvenemezsiniz. Belki de matematikçiler bir asırdan fazla bir süredir asal sayıların dağılımının dahil etme/hariç tutma toplamımız için gereken bazı sayıları zayıflatan garip tuhaflıklara sahip olduğundan endişeleniyorlardı.

"Dağıtım teoremleriniz yoksa eleğinizi bitirdiğinizde ne olacağını anlayamazsınız" dedi Terence tao Kaliforniya Üniversitesi, Los Angeles.

Temel Bir Yol Noktası

Kovaların ne kadar hızlı eşitlenmeye başladığına dair bir tahmin, sayı teorisyenlerinin elinde, sayı teorisindeki en ünlü çözülmemiş problem olan genelleştirilmiş Riemann hipotezi biçiminde mevcuttu. Bu hipotez eğer doğruysa, çok büyük bir sayıya kadar tüm asal sayılara baktığımızda şunu ima edebiliriz: N, daha sonra asal kalanlar, yaklaşık kareköküne kadar herhangi bir bölen için gruplara eşit olarak dağıtılır. N. Örneğin, 1 trilyondan küçük asal sayılara bakıyorsanız, bunları 120'ye, 7,352'ye veya 945,328'e (yaklaşık 1 milyonun altındaki herhangi bir bölen) böldüğünüzde bunların kalan bölmelere eşit şekilde dağıtılmasını beklersiniz ( 1 trilyonun karekökü). Matematikçiler, genelleştirilmiş Riemann hipotezinin, asal sayıların dağılım düzeyinin en az 1/2 olduğunu öngördüğünü söylüyor, çünkü karekökü yazmanın başka bir yolu var. N gibidir N^1/2.

Eğer bu hipotez doğruysa, bu, 1 trilyona kadar elediğinizde, önce 2'nin, sonra 3'ün ve sonra 5'in katlarının üzerini çizebileceğiniz ve dahil etme/hariç tutma toplamı yaklaşık 1'den büyük bölenleri içermeye başlayana kadar devam edebileceğiniz anlamına gelir. milyon — bu noktanın ötesinde toplamınızdaki terimleri hesaplayamazsınız. 1900'lerin ortalarında sayı teorisyenleri şu formdaki birçok eleme teoremini kanıtladılar: "Eğer genelleştirilmiş Riemann hipotezi doğruysa, o zaman..."

Ancak bu sonuçların çoğu aslında genelleştirilmiş Riemann hipotezinin tam gücüne ihtiyaç duymuyordu; asal sayıların her bir bölen yerine hemen hemen her bölen için gruplara iyi bir şekilde dağıtıldığını bilmek yeterli olurdu. 1960'ların ortalarında, Enrico Bombieri ve Askold Vinogradov ayrı ayrı yönetilen tam da şunu kanıtlamak için: Eğer kovaların neredeyse her bölen için eşitlendiğini bilmekle yetiniyorsak, asal sayılar en az 1/2'lik bir dağılım düzeyine sahiptir.

Hala yaygın olarak kullanılan Bombieri-Vinogradov teoremi, daha önce kanıtlanmamış genelleştirilmiş Riemann hipotezine dayanan sonuçların çoğunu anında kanıtladı. Tao, "Bu bir nevi dağıtım teoremlerinin altın standardıdır" dedi.

Ancak matematikçiler uzun süredir, asal sayıların gerçek dağılım düzeyinin çok daha yüksek olduğundan şüpheleniyorlardı ve sayısal kanıtlar da bunu gösteriyor. 1960'ların sonlarında, Peter Elliott ve Heini Halberstam conjectured asal sayıların dağılım düzeyinin 1'in sadece bir ton altında olduğunu - başka bir deyişle, eğer çok büyük bir sayıya kadar olan asal sayılara bakıyorsanız, büyüklükleri çok yakın olan bölenler için bile bunların kümelere eşit şekilde dağıtılması gerekir. . Ve bu büyük bölenler, dahil etme/hariç tutma işlemi yaptığınızda önemlidir, çünkü fazla sayımları düzeltirken ortaya çıkarlar. Yani matematikçiler Elliott ve Halberstam'ın tahmin ettiği dağılım düzeyine ne kadar yaklaşabilirlerse, dahil etme/hariç tutma toplamında o kadar fazla terim hesaplayabilirler. Tao, Elliott-Halberstam varsayımını kanıtlamanın "rüya" olduğunu söyledi.

Ancak bugüne kadar hiç kimse Bombieri-Vinogradov teoreminin ulaştığı genellik derecesinde 1/2 düzeyindeki dağılımı geçemedi. Matematikçiler bu engele asal sayılar için "karekök engeli" adını verdiler. Lichtman, bu engelin "asal sayıları anlamamızda temel bir tür geçiş noktası" olduğunu söyledi.

Yeni Dünya Rekorları

Ancak birçok eleme probleminde, asal sayıların kovalara nasıl bölündüğüne dair eksik bilgiyle bile ilerleme kaydedebilirsiniz. İkiz asal sayılar problemini ele alalım: Sol tarafındaki iki nokta 3'e, 5'e veya 7'ye bölünebiliyorsa bir asal sayıyı elemek, asal sayının 2'e, 3'e veya 5'ye bölündüğünde 7 kalanının olup olmadığını sormakla aynıdır. başka bir deyişle, asal sayının bu bölenlerden herhangi biri için "2" kümesine düşüp düşmediği. Dolayısıyla, bu bölenler için asal sayıların tüm kümelere eşit şekilde dağıtılıp dağıtılmadığını bilmenize gerek yok; yalnızca her "2" kümesinin beklediğimiz sayıda asal sayıyı içerip içermediğini bilmeniz yeterli.

1980'lerde matematikçiler belirli bir gruba odaklanan dağıtım teoremlerinin nasıl kanıtlanacağını bulmaya başladı. Bu çalışma bir sonuçla sonuçlandı 1986 kağıt Bombieri, Friedlander ve Henryk Iwaniec bu da dağıtım seviyesini tek kovalar için 4/7'ye (yaklaşık 0.57) kadar çıkardı; tüm elekler için değil ama geniş bir sınıf için.

Bombieri-Vinogradov teoreminde olduğu gibi, 1980'lerde geliştirilen fikirler bütünü birçok uygulama alanı buldu. En önemlisi, bir Kocaman sıçrama matematikçilerin Fermat'ın Son Teoremini anlamalarında denklemin şöyle olduğunu söylüyor: aⁿ + bⁿ = cⁿ herhangi bir üs için doğal sayı çözümü yoktur n 2'den yüksek. (Bu daha sonra 1994'te dağıtım teoremlerine dayanmayan teknikler kullanılarak kanıtlandı.) Ancak 1980'lerin heyecanından sonra, asal sayıların dağılım düzeyinde birkaç on yıl boyunca çok az ilerleme oldu.

Daha sonra 2013 yılında Zhang, Bombieri, Friedlander ve Iwaniec'ten farklı bir yönde karekök bariyerini nasıl aşacağını buldu. Yalnızca "düzgün" sayılarla (büyük asal çarpanları olmayan) eleme yaptığınız bir bağlamda, Bombieri ve Vinogradov'un 1980/1 düzeyindeki dağılımları üzerinde en küçük iyileştirmeleri yapmak için 2'lerin başından kalma eski, modası geçmiş yöntemleri araştırdı. . Bu küçük gelişme Zhang'ın uzun süredir devam eden varsayımı kanıtlamak sayı doğrusu boyunca ilerledikçe birbirine sabit sınırlardan daha yakın olan asal sayı çiftleriyle karşılaşmaya devam edeceksiniz. (Daha sonra Maynard ve Tao'nun her biri ayrı ayrı ortaya çıktı Bu teoremin bir başka kanıtı, iyileştirilmiş bir dağıtım seviyesi yerine geliştirilmiş bir elek kullanılmasıdır.)

Zhang'ın sonucu, cebirsel geometri dünyasında yaşayan Riemann hipotezinin bir versiyonuna dayanıyordu. Bu arada Bombieri, Friedlander ve Iwaniec'in çalışmaları, Maynard'ın otomorfik formlar olarak adlandırılan ve Riemann hipotezinin kendi versiyonuna sahip nesnelerle "biraz büyülü bağlantı" dediği şeye dayanıyordu. Otomorfik formlar, Tao'ya göre "yüksek güçlü sayıların sonu teorisine" ait olan oldukça simetrik nesnelerdir.

Birkaç yıl önce Maynard, içgörülerini birleştirerek bu iki yöntemden daha fazla verim elde etmenin mümkün olması gerektiğine ikna oldu. Maynard, Granville'in "güç gösterisi" olarak adlandırdığı 2020'deki üç makalelik serisinde, Bombieri, Friedlander ve Iwaniec'in çalıştığından biraz daha dar bir bağlamda dağıtım seviyesini 3/5'e veya 0.6'ya kadar çıkarmayı başardı. .

Şimdi Maynard'ın öğrencileri bu teknikleri daha da ileriye taşıyor. Lichtman yakın zamanda anladım Maynard'ın dağılım düzeyinin yaklaşık 0.617'ye nasıl genişletileceği. Daha sonra bu artışı, iki asal sayının toplamı olarak çift sayıların hem ikiz asal sayıları hem de Goldbach temsillerini kullanarak yeni üst sınırlara dönüştürdü. İkincisi için, klasik Bombieri-Vinogradov teoremindeki 1/2'nin ötesinde bir dağılım düzeyi ilk kez kullanılabiliyor.

Maynard'ın öğrencilerinden bir diğeri, Alexandru Pascadi, vardır 0.617 rakamıyla eşleşti asal sayıların değil düzgün sayıların dağılım düzeyi için. Asal sayılar gibi, düzgün sayılar da sayı teorisinin her yerinde karşımıza çıkar ve bunların dağılım düzeyleri ile asal sayıların dağılım düzeylerine ilişkin sonuçlar sıklıkla el ele gider.

Bu sırada üçüncü bir öğrenci, Julia Stadlmann, vardır dağıtım seviyesini yükseltti Zhang'ın incelediği ortamda bölenlerin (bölünen sayılar yerine) düzgün sayılar olduğu asal sayılar. Zhang karekök bariyerini az farkla aştı bu kapsamda 0.5017 dağıtım seviyesine ulaşılması ve ardından Polymath projesi adı verilen çevrimiçi bir işbirliği bu sayıyı yükseltti 0.5233'e kadar; Stadlmann şimdi bunu 0.525'e yükseltti.

Tao, diğer matematikçilerin analitik sayı teorisyenleriyle küçük sayısal ilerlemelere olan takıntıları nedeniyle dalga geçtiğini söyledi. Ancak bu küçük gelişmelerin söz konusu rakamların ötesinde bir anlamı var. "Bu, 100 metre koşusu veya buna benzer bir şey, [burada] 3.96 saniyeden 3.95 saniyeye kadar tıraş oluyorsunuz" dedi. Her yeni dünya rekoru "yöntemlerinizin ne kadar ilerlediğinin bir göstergesidir."

Genel olarak, "teknikler daha net ve daha birleşik hale geliyor" dedi. "Bir sorunda ilerleme kaydettikten sonra onu başka bir soruna nasıl uyarlayacağınız açıklığa kavuşuyor."

Granville, bu yeni gelişmeler için henüz bomba gibi bir uygulama olmadığını ancak yeni çalışmanın "düşünme şeklimizi kesinlikle değiştirdiğini" söyledi. "Bu sadece çiviyi daha sert çakmak değil, aslında daha gelişmiş bir çekiç almaktır."

Kuantum izleyicilerimize daha iyi hizmet verebilmek için bir dizi anket yürütüyor. Bizimkini al matematik okuyucu anketi ve ücretsiz kazanmak için girileceksiniz Kuantum ek ürün.