Claire Voisin'in matematiğe aşık olması uzun zaman aldı.

Bu onun bu konudan hoşlanmadığı anlamına gelmiyor. Fransa'da büyürken (10 çocuktan 12'uncusu), mühendis olan babasıyla matematik problemleri çözerek saatler geçirmekten keyif alıyordu. 12 yaşına geldiğinde, kendi başına bir lise cebir ders kitabını okumaya başlamıştı; sayfalarında özetlenen tanımlar ve kanıtlardan büyülenmişti. "Bütün bu yapı vardı" dedi. “Cebir aslında bir yapı teorisidir.”

Ancak matematiği ömür boyu sürecek bir meslek olarak görmüyordu. Üniversite yıllarına kadar bunun ne kadar derin ve güzel olabileceğini ve yeni keşifler yapma becerisine sahip olduğunu fark etti. O zamana kadar matematiğin yanı sıra felsefe, resim ve şiir gibi birçok ilgi alanıyla ciddi olarak ilgilendi. (“20 yaşımdayken sanırım sadece matematik ve resim yapıyordum. Bu belki biraz aşırıydı” diye güldü.) 20'li yaşlarının başında matematik diğer her şeyi kapsamıştı. Ancak resim ve şiir onu etkilemeye devam etti. Matematiği bir sanat olarak ve dilin sınırlarını zorlamanın ve onlarla oynamanın bir yolu olarak görüyor.

Onlarca yıl sonra, cebirsel geometri alanında lider olduktan sonra, Voisin yeniden resim yapmak ve kilden heykeller yapmak için zaman buldu. Yine de matematik onun ilgisinin çoğunu meşgul etmeye devam ediyor; zamanını "sanki rüya görüyormuş gibi" olduğu bu "farklı dünyayı" keşfederek geçirmeyi tercih ediyor.

Voisin, Paris'teki Fransız Ulusal Bilimsel Araştırma Merkezi'nde kıdemli araştırmacıdır. Orada, polinom denklem kümeleri tarafından tanımlanan şekiller olarak düşünülebilecek cebirsel çeşitleri, bir dairenin polinom tarafından tanımlanma biçimini inceliyor. x² + y² = 1. Matematikçilerin cebirsel çeşitlerin temel özelliklerini incelemek için kullandıkları bir araç seti olan Hodge teorisinde dünyanın önde gelen uzmanlarından biridir.

Voisin, çalışmaları nedeniyle 2008'de Clay Araştırma Ödülü, 2015'te Heinz Hopf Ödülü ve 2017'de matematik alanında Shaw Ödülü de dahil olmak üzere çok sayıda ödül kazandı. Ocak ayında Crafoord Ödülü'ne layık görülen ilk kadın oldu. Matematik.

Kuantum Voisin ile matematiğin yaratıcı doğası hakkında konuştuk. Röportaj, netlik sağlamak amacıyla kısaltıldı ve düzenlendi.

Çocukken matematiğin tadını çıkardınız ama kendinizi onun peşinde koşarken görmediniz. Neden?

Kanıtın büyüsü vardır; onu anladığınızda, onun ne kadar güçlü olduğunu ve sizi ne kadar güçlü kıldığını fark ettiğinizde hissettiğiniz duygu. Çocukken bunu zaten görebiliyordum. Ve matematiğin gerektirdiği konsantrasyondan keyif aldım. Bu, yaşlandıkça matematik pratiğinde giderek daha merkezi bulduğum bir şey. Dünyanın geri kalanı yok oluyor. Beyninin tamamı bir problemi incelemek için var. Bu benim için çok önemli olan olağanüstü bir deneyim; kendinizi pratik şeylerin dünyasından çıkarıp farklı bir dünyada yaşamaya ikna etmek. Belki de oğlumun video oyunları oynamayı bu kadar sevmesinin nedeni budur.

Ama bir bakıma beni matematiğe geç bırakan şey, oyunlarla kesinlikle ilgilenmiyor olmamdır. Benim için değil. Ve lisede matematik bir oyun gibi geliyordu. Bunu ciddiye almak benim için zordu. İlk başta matematiğin derinliğini göremedim. Liseden sonra çok ilginç ispatlar ve teoremler keşfetmeye başladığımda bile hiçbir zaman kendimin bir şey icat edebileceğimi, onu kendime ait yapabileceğimi düşünmedim.

Daha derin, daha ciddi bir şeye, benim yapabileceğim bir şeye ihtiyacım vardı.

Bunu matematikte bulmadan önce nerede aradınız?

Felsefeden ve onun kavram kavramı üzerindeki ısrarından keyif aldım. Ayrıca 22 yaşıma kadar, özellikle geometriden ilham alan figüratif parçaları boyamaya çok zaman ayırdım. Ve Mallarmé'nin, Baudelaire'in, René Char'ın şiirlerinden çok hoşlanıyordum. Zaten farklı bir dünyada yaşıyordum. Ama bence gençken bu normaldir.

Ancak matematik giderek daha önemli hale geldi. Gerçekten beyninizin tamamını alıyor. Belirli bir sorun üzerinde masanızda çalışmadığınızda zihniniz hala meşguldür. Yani matematik yaptıkça daha az resim yaptım. Yakın zamanda yeniden resim yapmaya başladım, artık çocuklarımın hepsi evden ayrıldı ve benim daha çok zamanım var.

Sonunda yaratıcı enerjinizin çoğunu matematiğe ayırmaya karar vermenize ne sebep oldu?

Matematik benim için giderek daha ilgi çekici olmaya başladı. Yüksek lisans ve doktora olarak. Öğrenci olarak 20. yüzyılın matematiğinin çok derin ve olağanüstü bir şey olduğunu keşfettim. Fikirlerin ve kavramların dünyasıydı. Cebirsel geometride Alexander Grothendieck'in önderlik ettiği ünlü devrim yaşandı. Grothendieck'ten önce bile inanılmaz sonuçlar elde edildi. Yani bu, güzel ama aynı zamanda son derece güçlü fikirlerin olduğu yeni bir alan. Üzerinde çalıştığım Hodge teorisi bunun bir parçasıydı.

Hayatımın orada olduğu giderek daha net hale geldi. Elbette bir aile hayatım (bir kocam ve beş çocuğum) ve başka görevlerim ve faaliyetlerim vardı. Ama matematikle bir şeyler yaratabileceğimi fark ettim. Hayatımı buna adayabilirdim çünkü çok güzeldi, çok muhteşemdi, çok ilginçti.

Daha önce matematiğin ne kadar yaratıcı bir çaba olduğunu yazmıştınız.

Ben profesyonel bir matematikçiyim, dolayısıyla çalışma günüm resmi olarak matematik etrafında organize ediliyor. Bir masada oturuyorum; Bilgisayarda çalışıyorum. Ancak matematik faaliyetlerimin çoğu bu süre zarfında gerçekleşmiyor. Yeni bir fikre, iyi bir tanıma, yararlanabileceğinizi düşündüğünüz bir ifadeye ihtiyacınız var. Ancak o zaman işiniz başlayabilir. Ve bu, masamdayken olmuyor. Kendimi düşünmeye devam etmek için aklımı takip etmem gerekiyor.

Görünüşe göre matematik sizin için son derece kişisel. Bu süreçte kendinize dair bir şeyler keşfettiniz mi?

Matematik yaparken çoğu zaman kendimle mücadele etmek zorunda kalıyorum çünkü çok düzensizim, pek disiplinli değilim ve ayrıca depresyona girme eğilimindeyim. Bunu kolay bulmuyorum. Ancak şunu keşfettim ki, bazı anlarda (mesela sabah kahvaltısındayken, Paris sokaklarında yürürken ya da temizlik gibi anlamsız bir şey yaparken) beynim kendi kendine çalışmaya başlıyor. Niyet etmeden matematik hakkında düşündüğümü fark ediyorum. Sanki rüya görüyorsun. 62 yaşındayım ve iyi matematik yapmak için gerçek bir yöntemim yok: Hala az çok ilham alacağım anı bekliyorum.

Çok soyut nesnelerle, yüksek boyutlu uzaylarla, karmaşık denklemleri karşılayan yapılarla çalışıyorsunuz. Böyle soyut bir dünya hakkında ne düşünüyorsunuz?

Aslında o kadar da zor değil. En soyut tanım, bir kere alıştığınızda artık soyut değildir. Sanki çok iyi gördüğünüz güzel bir dağ gibi, çünkü havası çok açık ve tüm detayları görebilmenizi sağlayan ışık var. Bizim için incelediğimiz matematiksel nesneler somut görünür çünkü onları her şeyden çok daha iyi biliriz.

Elbette kanıtlanacak çok şey var ve bir şeyi öğrenmeye başladığınızda soyutlamadan dolayı sıkıntı çekebilirsiniz. Ancak bir teori kullandığınızda -çünkü teoremleri anlıyorsunuz- soyut olsalar bile, aslında kendinizi söz konusu nesnelere çok yakın hissedersiniz. Nesneleri öğrenerek, onları manipüle ederek ve matematiksel tartışmalarda kullanarak, sonunda onlar sizin dostunuz olur.

Peki bu aynı zamanda onlara farklı bakış açılarından bakmayı da gerektiriyor?

Başlangıçta cebirsel geometri çalışmadım. Karmaşık analitik ve diferansiyel geometri üzerinde çalıştım. Analitik geometride, çok daha geniş bir fonksiyon sınıfını ve bu fonksiyonlar tarafından yerel olarak tanımlanan şekilleri incelersiniz. Cebirsel geometriden farklı olarak genellikle küresel bir denklemleri yoktur.

İlk başta cebirsel bakış açısına çok fazla dikkat etmedim. Ama yaşım ilerledikçe ve bu alanda çalıştıkça bu iki farklı dile sahip olmanın gerekliliğini daha çok görüyorum.

GAGA adında inanılmaz bir teorem var, biraz şaka gibi; Fransızca'da "bunak" anlamına geliyor ama aynı zamanda şu anlama da geliyor: geometri algébrique ve geometri analitik. Bir dilden diğerine geçebileceğinizi söylüyor. Daha kolaysa karmaşık analitik geometride bir hesaplama yapabilir, ardından cebirsel geometriye geri dönebilirsiniz.

Diğer zamanlarda cebirsel geometri size bir problemin olağanüstü sonuçlar verebilecek farklı bir versiyonunu inceleme olanağı verir. Cebirsel geometrinin sadece karmaşık geometri tarafına odaklanmak yerine, bir bütün olarak anlamaya çalıştım.

Bunları farklı matematik dilleri olarak düşünmeniz ilginç.

Dil esastır. Matematikten önce dil vardır. Pek çok mantık zaten dilin içindedir. Matematikte tüm bu mantıksal kurallara sahibiz: niceleyiciler, olumsuzlamalar, işlemlerin doğru sırasını belirtmek için parantezler. Ancak matematikçiler için hayati önem taşıyan tüm bu kuralların zaten günlük dilimizde olduğunun farkına varmak önemlidir.

Bir matematik teoremini bir şiire benzetebilirsiniz. Kelimelerle yazılmıştır. Dilin bir ürünüdür. Matematiksel nesnelerimize yalnızca dili kullandığımız için, gündelik sözcükleri kullandığımız ve onlara belirli bir anlam verdiğimiz için sahibiz. Yani şiiri ve matematiği karşılaştırabilirsiniz; ikisi de tamamen dile dayanır ama yine de yeni bir şeyler yaratırlar.

Grothendieck'in cebirsel geometrideki devrimi nedeniyle matematiğe ilgi duydunuz. Aslında bu tür bir matematik yapmak için yeni bir dil yarattı.

Sağ.

Şu anda kullandığınız matematik dilinin hâlâ değişmesi gerekebilecek yolları var mı?

Matematikçiler sürekli olarak dillerini yeniden işlerler. Yazık, çünkü eski makalelerin okunmasını oldukça zorlaştırıyor. Ama geçmişi daha iyi anladığımız için matematiği yeniden çalışıyoruz. Bize teoremleri yazmanın ve kanıtlamanın daha iyi bir yolunu verir. Demet kohomolojisini geometriye uygulayan Grothendieck'in durumu da buydu. Gerçekten muhteşem.

Çalıştığınız nesneye, sizin için ana dil gibi olacak kadar aşina olmanız önemlidir. Bir teori oluşmaya başladığında doğru tanımları bulmak ve her şeyi basitleştirmek zaman alır. Ya da belki hala çok karmaşık ama tanımlara ve nesnelere çok daha aşina oluyoruz; bunları kullanmak daha doğal hale gelir.

Bu sürekli bir evrimdir. Neyin önemli olduğu ve hangi araçların kullanıma sunulacağı konusunda teori oluşturmak için sürekli olarak yeniden yazmamız ve basitleştirmemiz gerekiyor.

Çalışmalarınıza yeni tanımlar eklemek zorunda kaldınız mı?

Bazen. İçinde yaptığım iş ile János KollárSonunda soruna yönelik doğru bakış açısını belirli bir tanım aracılığıyla bulabildiğimiz bir dönüm noktası oldu. Bu çok klasik bir problemdi ve klasik araçlarla çalıştık ama kanıtımız aslında kurduğumuz bu tanıma dayanıyordu.

Başka bir durumda, Olivier Debarre, Daniel Huybrechts, Emanuele Macri ve güzel olduğumu kanıtladım sınıflandırma sonucu hiper-Kähler manifoldları adı verilen nesneler hakkında. Ve bu kanıtın başlangıç ​​noktası, başlangıçta "" olarak adlandırdığımız bir değişmezin tanıtılmasıydı.a.”[gülüyor.]

Matematikteki tanımların önemini hafife alabilirsiniz ama bunu yapmamalısınız.

Tanımlar ve dil matematiğe yön veren tek güç değildir. Doğru olabilecek ya da olmayabilecek varsayımlar da öyle. Örneğin, çözümü şu şekilde gelen bir Clay milenyum problemi olan Hodge varsayımı üzerinde çok fazla çalışma yaptınız: 1 milyon dolar ödül.

Anlamak istediğiniz cebirsel bir çeşitliliğiniz olduğunu varsayalım. Yani karmaşık-analitik geometri tarafına gidersiniz ve onu karmaşık manifold olarak bilinen şey olarak düşünürsünüz. Karmaşık bir manifoldu küresel şekli veya topolojisi açısından düşünebilirsiniz. Homoloji adı verilen ve size manifold hakkında birçok topolojik bilgi veren bir nesne vardır. Ancak bunu tanımlamak o kadar kolay değil.

Şimdi orijinal çeşidinizin içindeki cebirsel alt çeşitleri düşünün. Her birinin topolojik değişmezi, kendisiyle ilişkili belirli topolojik bilgileri olacaktır. Bu topolojik değişmezlere bakarak karmaşık manifoldun homolojisinin hangi kısmı elde edilebilir?

Hodge varsayımı spesifik bir cevap veriyor. Ve cevap çok incelikli.

Yani matematikçiler Hodge varsayımının doğru mu yoksa yanlış mı olacağından emin değiller mi?

Hodge varsayımına inanmak istiyorsunuz çünkü bu, cebirsel geometrideki temel teoriler için bir rehberdir.

Bir cebirsel çeşitliliğin temel özelliklerini gerçekten anlamak istersiniz. Ve eğer Hodge varsayımı doğruysa, bu size türünüzün geometrisi üzerinde inanılmaz bir kontrol sağlayacaktır. Çeşitlerin yapısı hakkında çok önemli bilgiler edinirsiniz.

Buna inanmak için bazı güçlü nedenler var. Hodge varsayımının özel durumları bilinmektedir. Ve cebirsel çeşitler hakkında Hodge varsayımının doğru olduğunu ima eden pek çok derin ifade vardır.

Ancak bunu kanıtlamaya yönelik neredeyse tam bir ilerleme eksikliği var. Ayrıca Hodge varsayımını doğal görüneceği başka bir ortama genişletmenin hiçbir yolu olmadığını da kanıtladım. Bu biraz şok ediciydi.

Onlarca yıl matematikçi olarak çalıştıktan sonra, artık matematiği daha da derinlemesine yaptığınızı hissediyor musunuz?

Artık yaşım ilerlediği için enerjimi matematiğe harcamak, matematikte gerçekten var olmak için çok daha fazla zamanım var. Ayrıca oraya buraya gitme konusunda daha iyi bir yeteneğim var. Geçmişte, belki de daha az zamanım olduğundan, daha az hareket kabiliyetim vardı; ancak çok hareketli olmak, sorunlara takılıp kalmadan sadece onlara dokunmak da iyi değil. Artık daha deneyimliyim ve kendi resmimi oluşturabilirim.

Bilmediklerinize ve açık sorunlara dair çok daha iyi bir resme sahipsiniz. Tarlanızın ve sınırlarının ayrıntılı bir görünümüne sahip olursunuz. Yaşlanmanın bazı iyi yanları da olmalı. Ve hala yapacak çok şey var.