2008 yılında matematikçi Oded Schramm, Seattle'ın yaklaşık 50 kilometre doğusundaki Cascade dağlarında bir yürüyüş kazasında öldü. Henüz 46 yaşında olmasına rağmen matematiğin tamamen yeni alanlarını oluşturmuştu.

"Harika bir matematikçiydi" dedi İtalyan BenjaminiWeizmann Bilim Enstitüsü'nde matematikçi ve Schramm'ın arkadaşı ve işbirlikçisi. “Son derece yaratıcı, son derece zarif, son derece orijinal.”

Sorduğu sorular hala olasılık teorisinin ve istatistiksel fiziğin sınırlarını zorluyor. Bu soruların çoğu, buzun suya erimesi gibi ani bir makroskobik değişim olan faz geçişine sahip matematiksel yapılarla ilgilidir. Farklı malzemelerin erime noktaları farklı olduğu gibi matematiksel yapıların faz geçişleri de farklılık gösterir.

Schramm, süzülme adı verilen bir süreçteki faz geçişinin, birçok önemli matematiksel yapı için yalnızca sistemin yakından görünümü (yerel perspektif adı verilen) kullanılarak tahmin edilebileceğini varsaydı. Tamamen uzaklaştırmak ve her şeye bakmak hesaplamayı önemli ölçüde değiştirmeyecektir. Geçtiğimiz 15 yılda matematikçiler varsayımın küçük parçalarını parçaladılar, ancak şimdiye kadar bunu tamamen çözemediler.

İçinde Ekim ayında yayınlanan ön baskı, Tom Hutchcroft Kaliforniya Teknoloji Enstitüsü'nden ve doktora öğrencisi Philip Easo Schramm'ın yerellik varsayımını kanıtladı. Kanıtları, olasılık teorisi ve matematiğin diğer alanlarından gelen ve akıllıca bir araya getirdikleri ana fikirlere dayanıyor.

“Olağanüstü bir makale. Bu uzun bir çalışmanın birikimidir" dedi Benjamini.

Sonsuz Kümeler

"Süzme" kelimesi başlangıçta sıvının, kahve telvelerinden akan su veya kayadaki çatlaklardan sızan yağ gibi gözenekli bir ortam boyunca hareketini ifade ediyordu.

1957'de matematikçiler Simon Ralph Broadbent ve John Michael Hammersley bu fiziksel sürecin matematiksel bir modelini geliştirdiler. O günden bu yana geçen on yıllarda bu model başlı başına bir çalışma nesnesi haline geldi. Matematikçiler süzülmeyi inceliyor çünkü önemli bir denge kuruyor: Kurulum basit ama karmaşık ve kafa karıştırıcı özellikler sergiliyor.

Hutchcroft, "Bu, matematikçiler için bir nevi kanonik bir model" dedi. “Her şeyi görsel olarak düşünebilirsiniz. Bu da onunla çalışmayı gerçekten güzel kılıyor."

Süzme, kenarlarla (çizgilerle) bağlanabilen köşelerin (noktaların) bir koleksiyonu olan bir grafikle başlar. En basit örneklerden biri, köşelerin karelerin köşelerini ve bazılarını birbirine bağlayan kenarları oluşturacak şekilde sıralandığı bir kare ızgaradır.

Ölümünden kısa bir süre önce Schramm, Grimmett ve Marstrand teoreminin genelleştirilebileceğini tahmin etti. Geçişli grafikler olarak bilinen geniş bir grafik sınıfı için süzülme eşiğinin tamamen yakın plan veya "mikroskobik" perspektif tarafından belirlendiğini düşünüyordu.

2009 yılında Benjamini, Asaf Nachmias ve yuval peres kanıtladı Schramm'ın, artık bilindiği gibi, ağaca benzeyen belirli bir geçişli grafik türü için yerellik varsayımı. Ancak Schramm, bunun tüm geçişli grafikler için (tek boyutlu grafikler hariç) geçerli olacağını varsaydı.

Geçişli bir grafikte tüm köşeler benzer görünür. İki boyutlu bir ızgara bir örnektir. Herhangi iki köşeyi seçerseniz her zaman bir köşeyi diğerine hareket ettiren bir simetri bulabilirsiniz.

Bu ilişki herhangi bir geçişli grafik için geçerlidir. Bu simetriler nedeniyle, yakınlaştırıp geçişli bir grafiğin eşit boyutlu herhangi iki parçasına bakarsanız, bunlar aynı görünecektir. Bu nedenle Schramm, yakın plan perspektifinin matematikçilerin tüm geçişli grafikler için süzülme eşiğini hesaplamalarına izin vermek için yeterli olduğuna inanıyordu.

Geçişli grafikler birçok şekil ve formda olabilir. Karelerden, üçgenlerden, altıgenlerden veya başka şekillerden oluşan basit bir ızgara olabilirler. Veya bir merkezi noktanın üç köşeye bağlandığı ve her bir köşenin daha sonra iki yeni köşeyi sonsuza kadar oluşturmak üzere dallandığı "3 düzenli ağaç" gibi daha karmaşık bir nesne oluşturabilirler; bunun ilk birkaç adımı burada görülmektedir:

Geçişli grafiklerin çeşitliliği, Schramm'ın yerellik varsayımını kanıtlamanın zorluğuna katkıda bulundu. Schramm'ın varsayımı ile Easo ve Hutchcroft'un kanıtı arasındaki 15 yıl içinde, çeşitli matematikçi grupları belirli grafik türleri için varsayımı kanıtladı, ancak fikirleri hiçbir zaman genel durumu kapsamadı.

Hutchcroft, "Olası tüm geometrilerin alanı çok geniş ve her zaman gizlenen tuhaf şeyler var" dedi.

Lensi Genişletme

Easo ve Hutchcroft başlangıçta Schramm'ın sonsuz grafikler için geçerli olan yerellik varsayımına bir çözüm aramıyorlardı. Bunun yerine sonlu grafikler üzerinde süzülme üzerinde çalışıyorlardı. Ama birdenbire dikkatlerini bu varsayıma çeviren bir fikirleri vardı.

Easo, "Bu yeni aracı geliştirdik ve şunu düşündük ki, bu, bölgeye saldırmaya yardımcı olabilecek türden bir şey gibi görünüyor" dedi.

Varsayımı kanıtlamak için mikroskobik perspektifin süzülme eşiğinin doğru bir anlık görüntüsünü verdiğini göstermeleri gerekiyordu. Bir grafiğin sadece bir kısmını görüntülediğinizde ve bağlantılı büyük bir kümeyi gözlemlediğinizde, grafiğin sonsuz bir kümeye sahip olduğunu ve dolayısıyla süzülme eşiğinin üzerinde olduğunu varsayabilirsiniz. Easo ve Hutchcroft bunu kanıtlamak için yola çıktı.

“Merceğin genişletilmesi” olarak düşünülebilecek bir tekniğe güvendiler. Tek bir tepe noktasından başlayın. Daha sonra orijinal grafikte yalnızca bir kenar uzakta olan tüm köşe noktalarını görüntülemek için uzaklaştırın. Artık kare ızgarada toplam beş köşe görebileceksiniz. İki kenar mesafesindeki tüm köşeleri ve ardından üç kenar, dört kenar vb. mesafeyi görmek için merceği yeniden genişletin.

Easo ve Hutchcroft, büyük bir küme gördükleri yere yakın kaç bağlantı olduğunu belirleyen kadranı kurdu. Daha sonra merceği genişleterek giderek daha fazla kenarın büyük kümelerinde toplandığını izlediler. Bunu yaparken, bağlantıların mevcut olma olasılığını artırmak zorunda kaldılar; bu da grafiğin büyük bir bağlantılı bileşene sahip olduğunu göstermeyi kolaylaştırdı. Bu hassas bir dengeleme eylemidir. Kadranın konumunu önemli ölçüde değiştirmeden, sonsuz grafiğin tamamını ortaya çıkarmak için görüş alanını yeterince hızlı bir şekilde genişletmeleri ve bağlantıları yeterince yavaş bir şekilde eklemeleri gerekiyordu.

Büyük kümelerin küçük olanlardan daha hızlı büyüdüğünü gösterebildiler; böylece Easo'nun ifadesiyle, "kümeniz büyüdükçe daha da hızlı büyüyor, tıpkı kartopu yuvarladığınız zamanki gibi."

Kare ızgara için köşe sayısı nispeten yavaş artar. Yaklaşık olarak merceğinizin genişliğinin karesidir. 10 adımdan sonra yaklaşık 100 köşe bulacaksınız. Ancak 3 normal ağaç katlanarak daha hızlı büyür - kabaca lens genişliğinizin gücüne göre 2 artış. 10 adımdan sonra yaklaşık 1,024 köşe göreceksiniz. Aşağıdaki çizim, kare ızgaranın ilk başta daha fazla köşesi olmasına rağmen, 3 normal ağacın yalnızca yedi adımdan sonra nasıl çok daha büyük olduğunu göstermektedir. Genel olarak grafikler farklı ölçeklerde farklı büyüme oranlarına sahip olabilir; hızlı başlayıp sonra yavaşlayabilirler.

2018'de Hutchcroft benzer bir fikir kullandı 3 düzenli ağaç gibi hızlı büyüyen grafikler için yerellik varsayımını kanıtlamak. Ancak kare ızgara gibi yavaş büyüyen grafiklerde veya orta hızda büyüyen, ne hızlı büyümenin matematiksel kriterlerini ne de yavaş büyümenin matematiksel kriterlerini karşılayan grafikler için işe yaramadı.

Hutchcroft, "İşlerin üç yıl boyunca gerçekten sinir bozucu olduğu yer burası" dedi.

Yapıya Karşı Genişleme

Farklı ölçeklerdeki büyüme oranlarını birleştiren grafikler için çeşitli teknikler kullanmanız gerekir.

Çok yararlı bir gerçek şu ki, Easo'nun açıkladığı gibi, "eğer bir grafik belirli bir ölçekte yavaş büyüyorsa, o zaman takılıp kalır." Daha büyük ölçeklerde yavaş yavaş büyümeye devam edecek. Yavaş büyüme grafikleri, grup teorisi adı verilen bir matematik dalı tarafından belirlenen ek yapıya sahip olduğundan, yeterince uzaklaştırdığınızda, yavaş büyüme grafiklerinin matematiksel olarak uysal bir geometri gösterdiği de biliniyordu.

2021'de Paris'teki Sorbonne Üniversitesi'nden Sébastien Martineau, Daniel Contreras ve Vincent Tassiyonu ETH Zürih, bu özelliği şu amaçlarla kullanabildi: Schramm'ın yerellik varsayımını kanıtlayın sonunda yavaş yavaş büyüyen grafikler için.

Bu noktada, iki grup matematikçi varsayımı farklı yönlerden başarıyla ele almıştı: hızlı büyüme ve yavaş büyüme. Ancak bu büyük boşluklar bıraktı. Birincisi, Easo ve Hutchcroft'un tekniğinin veya Contreras, Martineau ve Tassion'un kanıtlarının kapsamadığı bir orta büyüme kategorisi var. Diğer bir sorun ise argümanların hâlâ değişen büyüme oranlarına sahip grafikler için geçerli olmamasıydı; yalnızca hızlı veya yavaş kalan grafikler için geçerliydi. Easo şöyle açıkladı: Contreras, Martineau ve Tassion argümanının rastgele grafiklere uygulanması için, geometrinin uzaklaştırdığınızda sonunda uysal görünmesi yeterli değildi, diye açıkladı Easo: "Şimdi, mevcut ölçeğe yakın bir şekilde uysal görünmesine ihtiyacımız var."

Hiçbir Yerin Ortası

Ara büyümenin geçişli grafikleri çok gizemlidir. Matematikçiler hiçbir zaman büyümesi bu aralığa düşen geçişli bir grafik örneği bulamadılar. Onların var olmaması bile mümkündür. Ancak matematikçiler bunların var olmadığını kanıtlayamadı, bu nedenle Schramm'ın yerellik varsayımına ilişkin tam bir kanıtın onları ele alması gerekiyor. Zorluğa ek olarak, Easo ve Hutchcroft'un, yakınlaştırdığınızda veya uzaklaştırdığınızda daha hızlı veya daha yavaş büyüseler bile, belirli bir uzunluk ölçeğinde yalnızca kısa süreliğine orta düzeyde büyüme gösterebilecek grafikleri ele almaları gerekiyordu.

Easo ve Hutchcroft geçen yılın çoğunu, sonuçlarını daha önceki yöntemlerin hiçbirinin kapsamadığı grafiklere uygulayacak şekilde genişletmek için çalışarak geçirdiler.

İlk olarak, farklı ölçeklerde büyüme seviyelerini değiştiren grafikler üzerinde çalışmak için Hutchcroft'un hızlı büyüyen grafiklere uyguladığı 2018 tekniğini değiştirdiler. Daha sonra yavaş büyüme vakasını ele aldılar. 27 sayfalık bir kağıt Ağustos ayında Contreras, Martineau ve Tassion üzerindeki çalışmaların genişletildiğini paylaştılar. Son olarak, Ekim ön baskılarında, ara büyüme durumunu ele almak için rastgele yürüyüşler teorisini (uzayda rastgele hareket eden çizgiler) kullanarak başka bir argüman geliştirdiler. Üçlemenin tamamlanmasıyla Schramm'ın yerellik varsayımını kanıtlamış oldular.

Hutchcroft, "Bildiğimiz her şeyi problemin üzerine atmak zorundaydık" dedi.

Çözüm, matematikçilere, sonsuz kümelenme şansının %100 olduğu süzülme eşiğinin üstünde ve şansın %0 olduğu eşik değerinin altında neler olduğuna dair daha iyi bir fikir veriyor. Ancak matematikçiler, üç boyutlu ızgara da dahil olmak üzere çoğu grafiğin eşiğinde tam olarak ne olduğu karşısında hala şaşkın durumdalar. "Bu muhtemelen süzülme teorisindeki en ünlü, en temel açık sorudur" dedi Russel Lyons Indiana Üniversitesi'nden.

İki boyutlu ızgara, matematikçilerin eşikte tam olarak ne olduğunu kanıtladığı birkaç durumdan biridir: Sonsuz kümeler oluşmaz. Grimmett ve Marstrand, büyük levhalar için yerellik varsayımının bir versiyonunu kanıtladıktan sonra, Grimmett ve işbirlikçileri, 3 boyutlu bir ızgarayı yatay olarak ikiye bölerseniz, bir zemin oluşturursanız ve kadranı tam olarak süzülme eşiğine ayarlarsanız, sonsuz kümelerin ortaya çıkmadığını gösterdiler. Sonuçları, tam üç boyutlu ızgaranın, iki boyutlu muadili gibi, süzülme eşiğinde sonsuz bir kümeye sahip olmayabileceğini ima ediyor.

1996 yılında Benjamini ve Schramm conjectured tam eşikte sonsuz bir küme bulma şansı tüm geçişli grafikler için sıfırdır - tıpkı 2B ızgara veya ikiye bölünmüş 3B ızgara için olduğu gibi. Artık yerellik varsayımı çözümlendiğine göre, tam geçiş noktasında ne olduğunun anlaşılması biraz daha yakın olabilir.

Düzeltme: 18 Aralık 2023
3-düzenli bir grafikte bir başlangıç ​​düğümünün n bağlantısı içindeki düğümlerin sayısı kabaca 2 kadar artarⁿ, 3 değilⁿ bu makalenin orijinalinde belirtildiği gibi. Makale düzeltildi.

Kuantum izleyicilerimize daha iyi hizmet verebilmek için bir dizi anket yürütüyor. Bizimkini al matematik okuyucu anketi ve ücretsiz kazanmak için girileceksiniz Kuantum ek ürün.