Matematiksel gerçekler genellikle düzen ve düzensizlik arasındaki çatışmadan doğar. Matematikçiler kalıpları keşfederler ve işin içindeki gizemli güçleri daha iyi anlamak için bu kalıpları bozan dengeleyici dürtüleri ararlar.

Bu gerilim geçen yılki haberimizde defalarca gündeme geldi. Grafik teorisi, kombinatorik, sayı teorisi ve geometrideki çığır açıcı gelişmeleri ele aldık; bunlar, bazen görünüşte farklı matematiksel yapılar arasındaki bağlantılar nedeniyle, bazen de matematikçiler tarafından yeni kanıtlarla ortaya çıkarılan gizli içsel mekanizmalar nedeniyle örüntülerin beklenmedik şekillerde ortaya çıktığı alanlar.

Kıdemli yazarımız Jordana Cepelewicz ile yapılan sürükleyici bir röportajda, Andrew Granville Hesaplama ve deneylerin bazen unutulan yollarla matematikçilerin gizli kalıpları aramalarına nasıl yardımcı olabileceğini tartıştık. Ayrıca diğer matematikçileri bir sonucun doğru olduğuna ikna etmek için gereken değişikliklerden ve bir kanıtın ne olduğunu anlamak için matematiğin sosyal doğasını incelemenin neden önemli olduğuna inandığından da bahsetti.

Bu, geçtiğimiz yıl matematiksel gerçeğin doğası hakkında yayınladığımız birkaç konuşmadan biriydi. Eugenia Cheng konuştu Neden Sevinci podcast sunucusu Steven Strogatz hakkında kategori teorisisoyutlama düzeyiyle diğer matematikçileri korkutabilecek bir tür “matematiğin matematiği”. Ve Justin Moore, Strogatz ile aksiyomların (temel, açık gerçekler) sınırları hakkında konuştu. set teorisi ve neden her zaman önemli, cevaplanamayan matematik soruları olacak?

Her ne kadar haberimizin büyük bir kısmı doğrudan soyut alana ait olsa da, minhyong kim Kevin Hartnett ile sosyal zorlukları çözmek için matematiği kullanmak isteyen matematikçileri desteklemek amacıyla kurduğu bir organizasyon olan İnsanlık için Matematik hakkında konuştu. Ve Mike Orcutt rapor yasama bölgesi haritalarının adilliğini tespit etmek ve daha adil haritalar çizmek için matematiğin nasıl kullanıldığına dair.

Matematiğin 2023'te özellikle verimli olan bir alanı varsa o da grafik teorisidir. Geçen yılın en büyük matematiksel keşiflerinden biri yeni, daha sıkı bir matematiksel yaklaşımın kanıtıydı. Ramsey sayılarına üst sınır. Bu sayılar, grafiklerin kaçınılmaz olarak klik adı verilen nesneleri içermeden önce ulaşması gereken boyutu ölçer. Mart ayında duyurulan keşif, 1935'ten bu yana bu türdeki ilk ilerlemeydi. Sözde simetrik Ramsey sayılarıyla ilgiliydi. Bunu haziran ayında takip etti yeni bir sonuç daha genel asimetrik durumda.

Bu makalelerin her ikisi de grafikler sonsuz derecede büyüdükçe ne olacağıyla ilgiliydi. Ancak Kuantum ayrıca düşündüm orta mesafe, matematikçilerin kaba kuvvet kullanılarak analiz edilemeyecek kadar büyük, ancak sonsuz asimptotik sınırdan daha küçük grafikler hakkında neler kanıtlayabileceklerine bakıyor.

Bağlı osilatör ağlarının nasıl çalıştığına dair yeni sonuçları kayıt altına aldık. senkronize hale gelmek ve grafik teorisinin nasıl bağlantılı olduğu kuantum alan teorisi. Vektör uzayları adı verilen matematiksel nesneleri belirli bir şekilde alt bölümlere ayırma olanakları hakkında yeni bir keşif bildirdik. tasarım adı verilen alt kümeler. Ve Patrick Honner, bizim Kuantize Akademi köşe yazarı, bunun nasıl olduğunu yazdı Grafiklerin yerel özellikleri küresel yapılarını yönetirler.

Kuantum ayrıca uzun süredir devam eden iki renklendirme sorunu hakkında makaleler yayınladı. Biri ünlünün kanıtını araştırdı dört renk teoremiBu, düzlemdeki herhangi bir haritayı renklendirmek için dört rengin nasıl yeterli olduğunu ve böylece iki bitişik bölgenin aynı renge sahip olmadığını gösterir. Diğeri ise daha az bilinen ama aynı derecede ilgi çekici bir soruyla ilgili yeni bir sonucu kapsıyordu: ne kadar bir uçak birbirinden tam olarak bir birim uzakta olan iki noktanın aynı renge sahip olmamasını sağlayacak şekilde renklendirilebilir.

Grafik teorisi, saymanın matematiksel çalışması olan kombinatoriğin bir dalı olarak düşünülebilir. Düğüm ve kenar koleksiyonlarında olabilecekleri saymak, bir bakıma daha genel olarak kombinasyonları saymanın özel bir durumudur.

Yıl bir şekilde sona erdi simgesel yapı kanıtı Kombinatorikleri kümelerin cebirsel yapısıyla ilişkilendiren uzun süredir devam eden bir varsayımın dört önde gelen matematikçisi tarafından.

Şubat ayında, iki bilgisayar bilimci Zander Kelley ve Raghu Meka, eski bir kombinatorik sorusuna ilişkin sol alanın dışında bir buluşla matematikçileri şaşkına çevirdi: Üçünün de olmadığından emin olarak bir kovaya kaç tamsayı atabilirsiniz? eşit aralıklı bir ilerleme mi oluşturuyorlar (3, 8 ve 13 veya 101, 201 ve 301 gibi)? Kelley ve Meka bir araya geldi uzun süredir devam eden üst sınır bazı büyük harflerden daha küçük tamsayıların sayısı üzerinde N böyle bir desen oluşturmadan kovaya konabilir.

Geçen ay Kevin Hartnett, dışarıdan başka bir kişinin (Google'da bir araştırmacının) Kasım 2022 tarihli bir makalesini aktarmıştı. Justin Gilmer Yıllar önce matematiği bırakmış ama birleşim-kapalı varsayım adı verilen kombinatoryal problem hakkında düşünmeyi asla bırakmamıştı. Bu varsayım, {1}, {1, 2}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4} gibi küme aileleriyle ilgilidir. Bu aile "birleşmeye kapalıdır" çünkü ailedeki herhangi iki grubu birleştirirseniz bu kombinasyon da ailede olur. Gilmer'in kanıtladığı varsayım, bir ailenin sendikası kapalıysa, kümelerin en az yarısında en az bir sayının bulunması gerektiğini söylüyor. Gilmer, birleşime kapalı bir aileden belirli özellikleri karşılayan iki kümenin rastgele seçilmesine dayanan bilgi teorisinden alınan bir argümanı kullandı. Onun argümanı, rastgeleliğin yapının varlığını anlamak için bir araç olarak nasıl kullanılabileceğinin bir başka örneğidir.

Buna karşılık, bir Kevin Hartnett'in Nisan makalesi karmaşık ama basit yapıların şaşırtıcı bir şekilde mümkün olduğunun ortaya çıktığı bir örneği anlattı. Bernardo Subercaseaux ve Marijn Heule, yalnızca 1 ile 15 arasındaki sayıları kullanarak, aynı sayının iki oluşumu arasındaki mesafenin sayının kendisinden daha büyük olmasını sağlayacak şekilde sonsuz bir tabloyu sayılarla doldurmanın mümkün olduğunu gösterdi.

ve uzun zamandır Kuantum katkıda bulunan Erica Klarreich sözde şaşırtıcı yaygınlık hakkında yazdı geçişsiz zar. Bunlar, örneğin, A'nın B'yi yenmesinin (daha yüksek bir sayı atması), B'nin C'yi yenmesinin ve C'nin de A'yı yenmesinin muhtemel olduğu üç zar A, B ve C'den oluşan kümelerdir. Yeni bir makale şunu gösterdi: yalnızca A kalıbının B kalıbını yendiğini ve B kalıbının C'yi yendiğini biliyorsanız, bu, bire bir eşleşmede A'nın mı yoksa C'nin mi galip geleceği hakkında hiçbir bilgi vermez.

Sayı teorisyenleri, belki de matematiğin diğer alanlarından daha fazla, inanılmaz derecede karmaşık teknik yapılar kullanarak kulağa basit gelen teoremleri kanıtlayabilirler. Bu yıl, Kuantum okuyucularını bu yapılardan bazılarını gezdirdi. yayınladık derinlemesine bir görsel açıklayıcı Toplama, çıkarma, çarpma ve bölmenin yanı sıra matematiğin “beşinci temel işlemi” olarak tanımlanan modüler formlardan oluşur. Ve okuyucuları bir geziye çıkardık ikinci dereceden karşılıklılığın tarihsel turusayı teorisinin en güçlü araçlarından biri. Modüler formların açıklayıcısı, sözde modüler formlarla ilgili bir makaleden ilham almıştır. uyumsuz modüler formlar — daha az çalışılmış olmasına rağmen fizik açısından önemli sonuçları olan bir fonksiyon türü.

İkinci dereceden karşılıklılık açıklayıcısını yazan Max Levy, bir konu hakkında haber yaparken konuya ilgi duydu. şaşırtıcı yaz keşfi dairelerin yapabileceği desenler hakkında. Levy, bir yaz araştırma projesi üzerinde çalışan iki öğrencinin, yerelden küresele varsayım olarak adlandırılan, çevrelerin nasıl uyumlu bir şekilde iç içe geçebileceğine dair uzun süredir devam eden bir varsayımın çürütülmesine nasıl yardımcı olduğunu anlattı. Bu, bu yıl matematikte hesaplama araçlarının artan kullanımını gösteren birçok gelişmeden biriydi. Öğrenciler ve ortak yazarları, varsayımın yanlış olduğuna dair kanıtları ilk olarak, varsayımın nasıl çalıştığını görmek için bilgisayar tarafından oluşturulan senaryoları inceleyerek buldular.

Modüler formlar eliptik eğrilerle yakından ilişkilidir; bir değişkenin karesi ve diğerinin küpü olan iki değişkenin düzgün fonksiyonları. (Fonksiyonlar aynı zamanda bazı belirli matematiksel kısıtlamaları da karşılar.) İkisi arasındaki ilişki, Andrew Wiles'ın 1994'te Fermat'ın Son Teoremine ilişkin kanıtında merkezi bir öneme sahipti. Hartnett şunu yazdı: araştırmacıların anlayışındaki ilerlemeler hayali ikinci dereceden alanlardan çizilen değişkenlerle tanımlanan eliptik eğriler için bu ilişkinin - formun sayıları a + b $latex sqrt{-5}$ burada a ve b her ikisi de rasyonel sayılar veya kesirlerdir.

Ayrıca bir konu hakkında da yazdı uzun zamandır beklenen başyapıt — Fields madalyalı Akshay Venkatesh'in Yiannis Sakellaridis ve David Ben-Zvi ile birlikte yazdığı, modüler formlarla ilgili nesneler arasındaki daha ileri bağlantıları detaylandıran 451 sayfalık bir el yazması ve L-fonksiyonlar, asal sayılarla derin bir ilişkisi olan önemli bir sonsuz toplam türüdür.

Sayı teorisyenleri asal sayılara ve bunların diğer tamsayılar arasındaki incelikli ve güzel dağılım şekillerine özellikle dikkat ederler. İlginç bir şekilde, bunların sonsuza kadar gittiğini düşünürseniz, asal sayıların bir sayıya bölündüğünde eşit sayıda kalan bıraktığı uzun zamandır biliniyordu; örneğin, tüm asal sayıları 5'e bölerseniz eşit sayıda sonuç elde edersiniz. kalanlar 1, 2, 3 ve 4. Ancak matematikçiler asal sayıların ne kadar hızlı eşitlendiğine dair sonuçları kanıtlamak için çabalamaya devam ediyor. Ekim ayında rapor etmiştik yeni nesil matematikçiler asal sayıların nasıl dağıldığına dair teoremlerin kanıtlanması.

Ayrıca eğlenceli bir matematik oyununu da tanıttık ve yeniden sunduk. Hiper sıçramalar Bu oyun, oyuncuları temel aritmetik kullanarak basit sayı dizileri oluşturmaya zorlayarak yapı ve rastgelelik arasındaki gerilimi araştırıyor.

Geometri açısından da heyecan verici bir yıldı. Yılın en dikkat çekici sonucu ise yeni bir keşfin ortaya çıkması oldu. bir tür kiremit Düzlemi asla tekrarlanmayacak bir desenle kaplayan. Bunu yapan iki karo kombinasyonu 1970'lerden beri biliniyordu, ancak David Smith adlı bir hobici tarafından keşfedilen ve Mart ayında duyurulan tek karo bir sansasyon yarattı. Hayranlar bu basit tasarımı kurabiye kalıbı olarak kullanıp yorganlara diktiler. Haberlerimizi şöyle takip ettik: sütun temel matematiğin bir kısmını açıklamak ve başka bir bilgi vermek döşemenin kısa tarihi.

İğnelerden bahsetmişken, bu aynı zamanda ideal bir iğnenin her yöne dönerken ne kadar küçük bir alan kaplayabileceğini soran Kakeya varsayımında da ilerleme kaydedilen bir yıldı. Yeni bir kanıt Varsayımın özel bir durumunun (“yapışkan” Kakeya varsayımı olarak adlandırılır) incelenmesi, daha genel varsayımın doğru olduğuna dair güçlü kanıtlar sağlar.

Bu varsayımın sadece geometri için değil, aynı zamanda harmonik analiz ve kısmi diferansiyel denklemlerin incelenmesi için de sonuçları olduğu ortaya çıktı. A takip açıklayıcısı bu etkileri inceliyor. Ve bir Kuantize Akademi sütunokuyuculara varsayımın altında yatan mantığı anlatıyor.

Diğer geometri haberlerinde, teleskop varsayımı olarak adlandırılan, farklı boyutlu küreler arasındaki haritalar hakkında uzun süredir devam eden bir fikir, sahte olduğu gösterildi. Uzun zamandır imkansız olduğu düşünülen belirli türdeki temas yapılarının (belirli matematiksel özellikleri karşılayan düzlem desenleri) ortaya çıktığı ortaya çıktı. varolmaya.

Görüştük Emmy Murphy, bu tür temas yapılarını inceleyen bir geometri uzmanı. Murphy, temas geometrisini (ve onun kardeşi olan simplektik geometriyi) katılık ve esneklik spektrumunun ortasında mevcut olarak tanımlar. Katı geometride pek çok şeyin hassas ölçümlere bağlı olduğunu, esnek geometrinin ise cebire benzeme eğiliminde olduğunu söyledi. Ancak aradaki noktanın "görsel düşünmenin daha yararlı olduğu" yer olduğunu söyledi.

Ocak ayında matematikçi Assaf Naor ve bilgisayar bilimcisi Oded Regev varlığını kanıtladı sözde küresel küplerden. Bunlar, yüksek boyutlardaki kürelerin yüzey alanı gibi yüzey alanı yavaş büyüyen, ancak küpler gibi alanı tamamen doldurabilen nesnelerdir.

20. yüzyılın en önemli geometri adamlarından biri olan Eugenio Calabi, 100 yaşında öldü Uzun süredir meslektaşlarından biri olan Jerry Kazdan, Calabi'nin "başka kimsenin düşünmediği ilginç sorular soracağını" söyledi. Calabi'ye dair ölüm yazımız, özellikle onun en çok bilinen keşfi olan ve daha sonra fizikteki sicim teorisinin merkezi haline gelecek olan Calabi-Yau manifoldlarına odaklanarak bu soruları araştırıyor.

Fizikten bahsetmişken, yazar Steve Nadis'in en sevdiği konu olan kara deliklerin matematiği hakkında da birkaç yeni sonuç yayınladık. Bulunan yeni bir makale hakkında yazdı sonsuz bir sayı daha yüksek boyutlardaki farklı kara delik şekillerinin incelenmesi ve bu olayın matematiğini açıklayan başka bir makale kara deliklerin sınırları.

Nisan ayında matematikçilerin fizikçilerle nasıl bir araya gelerek konuyu anladığını anlatmıştık. yeni tür simetriler kuantum alan teorileri.

Kathryn Mann ve Thomas Barthelmé, Steven Frankel ile birlikte bir makale yayınladılar. kağıt serisi Kaos ve istikrarı dengeleyen Anosov akışları adı verilen dinamik sistemleri karakterize ediyor. Herhangi bir noktada akışlar bir yönde yakınlaşır ve diğer yönde ıraksar.

Ve yılın belki de en rahatsız edici matematik makalesinde, bir haberle ilgiliydik: üç makale serisi Marcel Guàrdia, Jacques Fejoz ve Andrew Clarke tarafından, model bir güneş sistemindeki gezegen yörüngelerinin her zaman kararsız olacağını gösteren çalışma. İyi haber şu ki, Clarke benzer kararsızlıkların burada da mevcut olabileceğini düşünse de, onların modeli bizim güneş sistemimize oldukça benzemektedir.

Ancak eğer bunu yaparlarsa, yakın zamanda herhangi bir gezegeni yörüngelerinin dışına göndermeyecekler, dolayısıyla bir yıl daha matematik dersini sabırsızlıkla bekleyebilirsiniz. Kuantum 2024 içinde.