Diyelim ki dokuz kişiyle birlikte bir partidesiniz ve herkes birbirinin elini tam olarak bir kez sıkıyor. Kaç tane el sıkışma yapılıyor?

Bu “el sıkışma problemidir” ve benim favorilerimden biridir. Bir matematik öğretmeni olarak bunu seviyorum çünkü çözüme ulaşmanın pek çok farklı yolu var ve bu stratejilerin çeşitliliği ve birbiriyle bağlantılılığı, matematikte yaratıcı düşünmenin gücünü güzel bir şekilde gösteriyor.

Çözümlerden biri şu şekildedir: Her bir kişinin diğer herkesin elini sıkmasıyla başlayın. On kişi, her biri dokuz el sıkışarak 9 × 10 = 90 toplam el sıkışma gerçekleştiriyor. Ancak bu, her el sıkışmayı iki kez sayar (bir kez her sallayıcının bakış açısına göre) yani gerçek el sıkışma sayısı $latex frac{90}{2} = 45$ olur. Kazanmak için basit ve hoş bir sayma argümanı!

Sorunu çözmenin tamamen farklı bir yolu da var. Konukların teker teker geldiğini ve oraya vardıklarında orada bulunan herkesle el sıkıştıklarını hayal edin. Birinci kişinin tokalaşacak eli yoktur, bu nedenle tek kişilik bir partide toplam el sıkışma sıfırdır. Şimdi ikinci kişi gelir ve birinciyle el sıkışır. Bu, toplama bir el sıkışma ekler, yani iki kişilik bir partide toplam 0 + 1 = 1 el sıkışma olur. Üçüncü kişi gelip ilk iki misafirle el sıkıştığında, bu toplam iki el sıkışmayı ekler. Dördüncü kişinin gelişi, toplam sayıya üç el sıkışma ekler ve bu şekilde devam eder.

Bu strateji, el sıkışma dizisini yinelemeli olarak modeller; bu, dizideki her terimin, kendisinden önce gelenlere göre tanımlandığı anlamına gelir. Muhtemelen en ünlü özyinelemeli dizi olan Fibonacci dizisine aşinasınızdır. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ile başlar ve sonraki her terim önceki ikisinin toplamına eşit olacak şekilde devam eder.

Aşağıda göreceğimiz gibi özyineleme, çok çeşitli matematiksel fikirler hakkında düşünmek için esnek ve güçlü bir çerçevedir. Her ne kadar Hemachandra gibi eski Hint bilim adamlarının bu tür diziler hakkında 1150 yılına kadar bilgi sahibi olduklarına inanılsa da, bunlar bugünün matematikçileri için hala ilgi çekici zorluklar sunuyor.

Tekrar tekrar düşünmenin el sıkışma sorununa nasıl yardımcı olduğunu görelim. $latex a_n$'ın aynı anda el sıkışma sayısına eşit olduğunu kabul edersek n-kişi tarafı, bu özyinelemeli ilişkiyi aşağıdaki formülle temsil edebiliriz:

$lateks a_n = a_{n-1} + n–1$

Bu bize bir seferde el sıkışma sayısının ne kadar olduğunu gösterir. n-kişi partisi ($latex a_n$), bir (n − 1) kişilik parti ($latex a_{n-1}$) artı n − 1 el sıkışma daha; yeni bir kişi geldiğinde, daha önce gerçekleşmiş olan el sıkışmalara belirli sayıda yeni el sıkışma ekleneceği fikrini yakalıyor.

El sıkışma probleminin özel versiyonunda, 10 kişilik bir partideki el sıkışmaların sayısı olan $latex a_{10}$'ı bilmek istiyoruz, böylece özyinelemeli ilişkiyi kullandığımızı buluyoruz

$lateks a_{10} = a_9 + 9$

$latex a_{10}$ değerini bulmak için $latex a_9$ değerini bilmemiz ve buna 9 eklememiz yeterli. $latex a_9$ değerini nasıl buluruz? Elbette özyinelemeyi kullanarak!

$lateks a_9 = a_8 + 8$

Şimdi, $latex a_8$ değerini bulmak için $latex a_7$ değerini bulmamız gerekiyor, bu da $latex a_6$'ın bilinmesini gerektirir, vb. Bu noktada, bunun bir tür sonsuz inişle sonsuza kadar süreceğinden endişe duyabilirsiniz, ancak $latex a_1$'a ulaştığımızda işimiz biter, çünkü tek kişilik bir partide toplam el sıkışmanın sıfır olduğunu biliyoruz.

$lateks a_1 = 0$

Bu başlangıç ​​veya "tohum" değeri, özyinelemeli bir dizinin önemli bir özelliğidir. Özyinelemeli ilişkiyi kullanarak dizi boyunca geriye doğru izleme sürecinin sona ereceğini garanti eder. Başlangıç ​​değerine ulaştığınızda geri izleme durur ve istediğiniz değeri elde etmek için listede ileriye doğru ilerleyebilirsiniz.

$lateks a_1 = 0$

$lateks a_2 = a_1 + 1 = 0 + 1 = 1$

$lateks a_3 = a_2 + 2 = 1 + 2 = 3$

$lateks a_4 = a_3 + 3 = 3 + 3 = 6$

$lateks cdots$

$lateks a_{10} = a_9 + 9 = 36 + 9 = 45$

Listeyi incelediğimizde 45 kişilik bir partide toplam 10 el sıkışma olduğunu görüyoruz ki bu da ilk hesaplamamızla örtüşüyor. Eğer siz de benim öğrencilerim gibiyseniz, cevabı zaten bildiğimiz halde bu sorunu çözmek için neden başka bir yola ihtiyacımız olduğunu sorabilirsiniz, özellikle de bu ikinci yaklaşım daha uzun sürecek gibi görünüyor.

Bu iyi bir soru. Cevaplardan biri, özyinelemeli yaklaşımın bize bu problemde neler olup bittiğine dair tamamen farklı bir bakış açısı sağlaması ve farklı bakış açılarının her şeyde olduğu gibi matematikte de faydalı olmasıdır. Bize kavramları anlamamız için farklı fırsatlar verir ve farklı araçları kullanmamıza izin verir, bu da takılıp kaldığımızda yardımcı olabilir.

Özellikle özyineleme faydalıdır çünkü matematiğin her yerinde vardır. Örneğin, herkesin matematik dersinde öğrendiği doğrusal ilişkilerde ortaya çıkar; sabit bir değişim oranıyla karakterize edilen ve düzlemdeki çizgilerle temsil edilen ilişkiler. $latex f(x) = 3x + 5$ gibi doğrusal bir fonksiyon özyinelemeli bir formül olarak düşünülebilir:

$lateks a_0 = 5$

$lateks a_n = a_{n-1} + 3$

$latex f(2)$ hakkında düşünmenin daha açık yolu $latex f(2) = 3 çarpı 2 + 5 = 11$ olabilir, başka bir yol da $latex a_2 = a_1 + 3 = a_0 + 3 + 3 = 11$. Doğrusal fonksiyonların temel karakteristiğini (sabit değişim oranı) yinelemeli olarak modellemek, bu ilişki hakkında düşünmemiz için bize başka bir yol sunar. Aynı şey, sürekli çarpımsal değişimle karakterize edilen üstel fonksiyonlar için de yapılabilir.

Yinelemeli düşünme sayı dizilerinin ötesinde de çalışır. Eğer bir denklem sistemini çözdüyseniz muhtemelen özyinelemeli bir yaklaşım uygulamışsınızdır. Sistemi çözmek için

$lateks 2x + y = 10$

$lateks 3x – y = 5$

ortadan kaldırmak için ilk önce iki denklemi birbirine ekleyebilirsiniz. y $latex 5x = 15$ denklemiyle sonuçlanan değişken. $latex x =$ 3 elde etmek için bunu çözün, $latex y = 4$'ı bulmak için değiştirin ve bitirdiniz. Bu yaklaşım, bir sistemin çözümünün çözümden daha küçük, ilgili sistemlere doğru oluşturulduğu yinelemeli bir algoritma kullanır. Örneğin, 3x3'lük bir sistemi çözmek için, bir değişkeni ortadan kaldırarak onu 2x2'lik bir sisteme, ardından tekrar 1x1'lik bir sisteme dönüştürürsünüz. Bu çözülmesi kolay tek denklem, bu özyinelemeli sürecin tohum değeri gibidir. Bu, geri izlemenin sona erdiğinin sinyalini verir ve oradan tıpkı özyinelemeli bir dizide olduğu gibi denklem zincirinde yukarıya doğru ilerlersiniz.

Özyinelemeli kanıt teknikleri bile var. Örneğin geometrideki ünlü bir formül, çokgen açı toplamı formülüdür; bu formül, bir cismin iç açılarının ölçülerinin toplamının olduğunu söyler. nkenarlı çokgen $latex (n-2) çarpı 180^{circ}$'dır. Bu sonucu kanıtlamanın bir yolu bir başlangıçtır. n-Gon ve bir üçgeni çıkarırsan ne olacağını hayal et.

Bir üçgeni kaldırmak şunu döndürür: n-bir ('e gir)n − 1)-gon ve aynı zamanda 180 derecelik iç açı ölçüsünü de kaldırır. Bu yinelemeli bir ilişkidir: Bir iç açı toplamı n-gon, bir ( için iç açı toplamından 180 derece daha fazladır)n − 1)-gon. Genel sonucu oluşturmak için, çekirdek değerine ulaşıncaya kadar üçgenleri kaldırmaya devam edin; bu durumda, üçü hariç tümünü kaldırdığınızda bu gerçekleşir. n-gon'un köşeleri. Bu noktada başlangıç ​​çokgeni iç açı toplamı 180 derece olan bir üçgene indirgenmiştir. Şimdi her adımda 180 derece ekleyerek yukarı doğru ilerleyin ve formülü elde edeceksiniz.

Konumuza dönecek olursak, el sıkışma probleminin kendisi bize, yaratıcı bir şekilde düşündüğümüzde ve daha sonra bir problemin birçok farklı perspektifini birbirine bağladığımızda nelerin mümkün olduğunu gösterir. El sıkışma dizimiz için özyinelemeli modelle oynarsak:

$lateks a_1 = 0$

$lateks a_n = a_{n-1} + n – 1$

güzel bir desen ortaya çıkıyor:

$lateks a_2 = a_1 + 1 = 0 + 1$

$lateks a_3 = a_2 + 2 = 0 + 1 + 2$

$lateks a_4 = a_3 + 3 = 0 + 1 + 2 + 3$

$lateks cdots$

$lateks a_n = a_{n-1} + (n-1) = 0 + 1 + 2 + 3 + cdots + (n-1)$

Artık sorun hakkında düşünmenin yeni ve genel bir yolu var: Bir toplantıdaki el sıkışmaların sayısı. n-kişi partisi ilkinin toplamına eşittir n − 1 pozitif tamsayı.

Orijinal yaklaşımımızı tekrar düşünün. bir n-kişi partisi, herkes diğeriyle el sıkışacak n − 1 kişi. $latex n (n-1)$ ürünü her el sıkışmayı iki kez sayar, dolayısıyla toplam el sıkışma sayısı $latex frac{n(n-1)}{2}$ olur. Ancak farklı yöntemlerimiz aynı şeyi saydığı için aynı sonucu vermeleri gerekiyor. Bu özellikle şu anlama gelir:

$lateks 1 + 2 + 3 + cdots + (n-1) = frac{n(n-1)}{2}$

El sıkışma problemine farklı yaklaşımları bağlayarak ilkinin toplamı için kapalı bir formül elde ederiz. n − 1 pozitif tamsayı. Ancak daha da fazlasını elde ediyoruz: $latex frac{n(n-1)}{2}$ ifadesi bir kesir içerir, ancak tam sayıların toplamına eşit olduğundan o da bir tam sayı olmalıdır. Bu sayı teorisinin basit bir gerçeğini kanıtlar: Her tamsayı için n, $latex frac{n(n-1)}{2}$ bir tam sayıdır.

Aynı türdeki argümanlar modern matematiğe güç vermeye devam ediyor. Bir örnek olarak, 2000'li yılların başındaki araştırmacılar bazı şaşırtıcı sonuçlar kanıtladı Somos dizileri olarak bilinen özyinelemeli diziler hakkında onların da bir şeyler saydığını göstererek. Yaratıcı bağlantıların gücü sayesinde matematikçiler, nerede olduklarını anlayarak nereye gidebileceklerini bir kez daha keşfettiler.

Egzersizler

1. Özyinelemeli olarak tanımlanan dizi için kapalı bir formül bulun.
$lateks a_1 = 1$
$lateks a_n = a_{n-1} + 2n – 1$

2. Sütunun sonunda $latex frac{n(n-1)}{2}$ ifadesinin bir kesir içermesine rağmen bir tamsayı olduğu gösterildi, çünkü $latex frac{n(n-1) )}{2}$ bir şeyin sayılmasının sonucudur. Bu ifadenin tam sayı olması gerektiğini gösteren bir sayı teorisi argümanı da vardır. Nedir?

3. Özyinelemeli dizinin ilk birkaç terimini bulun
$lateks a_1 = 1$
$lateks a_n = frac{1}{1+a_{n-1}}$

4. Özyinelemeli dizinin ilk birkaç terimini bulun
$lateks a_1 = 1$
$lateks a_2 = 1$
$lateks a_n = a_{n-1} – a_{n-2}$