2021 sonbaharında bir cumartesi öğleden sonra, Silvio Decurtins yapraklanıyordu Kağıt matematiğe yatkın gençler için bir çizgi romandan alınmış olabilecek bir başlıkla: "Plato's Cube and the Natural Geometry of Fragmentation."

Gözüne çarpan olağandışı başlık değil, üçüncü sayfadaki resimlerdi - çatlak permafrosttan Dünya'nın tektonik plakalarına kadar her ölçekteki jeolojik modeller. Bern Üniversitesi'nde kimyager olan Decurtins, üzerinde çalıştığı malzemeleri hatırladı. "Ah! Benim de kalıplarım var!” düşündü. "Bu sadece bir ölçek meselesi."

Decurtins'in kalıpları, dünyadaki çatlaklar tarafından değil, moleküller tarafından oluşturuldu: bunlar, sadece bir molekül kalınlığındaki tabakalardaki mozaik benzeri molekül döşemeleriydi. Bu 2B malzemeler, moleküler yapı taşlarının nasıl düzenlendiğine bağlı olarak kendine özgü ve pratik özelliklere sahip olabilir.

Örneğin, hesaplama bitleri olarak elektronları kullanan veya veri depolamak için molekülleri 2B modellerde düzenlemek mümkündür. Boşluklu desenler zar görevi görebilir. Ve metal iyonları içeren modeller güçlü katalizörler olabilir.

Bu 2B malzemeleri atom atom oluşturmak mümkündür, ancak bunu yapmak pahalı, zor ve zaman alıcıdır. Decurtins ve meslektaşları da dahil olmak üzere pek çok bilim insanı, kendilerini bir araya getiren materyaller tasarlamak istiyor. Moleküllerin 2D tabakalara nasıl kendiliğinden birleştiğini tahmin etmenin, malzeme biliminin en büyük zorluklarından biri olduğunu söyledi. johannes barth, Münih Teknik Üniversitesi'nde bir fizikçi.

Bunun nedeni, doğanın moleküler tasarım felsefesiyle özellikle açık sözlü olmamasıdır. Kendi kendine montajı tahmin etmek, süper bilgisayarlar için bir iştir ve gereken ağır programların çalıştırılması günler veya haftalar alabilir.

Yani Decurtins temasa geçti Gabor Domokos, çalışmanın ilk yazarı, Budapeşte Teknoloji ve Ekonomi Üniversitesi'nde bir matematikçi. Decurtins, gezegenlerin nasıl kırıldığını açıklayan aynı geometrinin, moleküllerin nasıl bir araya geldiğini açıklayıp açıklamayacağını merak etti.

Sonraki yıl boyunca, Domokos ve meslektaşları, moleküler kendi kendine bir araya gelme kurallarını ortaya çıkarmak için geometrik düşünceyi kullandılar — yeni bir yol tasarlamak sadece basit mozaikleme geometrisini kullanarak moleküllerin oluşturabileceği mozaikleri sınırlamak.

Domokos, "İlk başta, bunu yapabileceğinize inanmadılar," dedi. “Yapay zeka, süper bilgi işlem ve tüm bu tür cazları yapıyorlardı. Ve şimdi sadece formüllere bakıyorlar. Ve bu çok rahatlatıcı.”

Gezegenlerden Atomlara

 Decurtins temasa geçtikten sonra, Domokos fikri şuraya satmaya çalıştı: Krisztina Regős, yüksek lisans öğrencisi. Decurtins, meslektaşı tarafından tasarlanıp sentezlenen bir molekülün atomik ölçekte desenlerini gösteren bir avuç resim göndermişti. Şi-Xia Liu — güçlü bir mikroskobun gözünden bakıldığında. Domokos, Regős'in orijinal olarak jeolojik kırıkları tanımlamak için geliştirdiği geometriyi Decurtins'in görüntülerindeki kalıpları karakterize etmek için kullanıp kullanamayacağını görmek istedi.

Başlamak için Regős, 2B malzemeleri basit poligonal mozaikler olarak ele aldı; boşluklar olmadan birbirine uyan ve sonsuz tekrar eden desenler. Ardından, Domokos'un yaklaşımını izleyerek, her desen için iki sayı hesapladı. İlki, çokgen başına ortalama köşe veya köşe sayısıydı. İkincisi, her köşeyi çevreleyen ortalama çokgen sayısıydı.

Birlikte, bu iki ortalama değer, bir modelin GPS koordinatları gibidir. Konumunu tüm olası mozaiklemelerin bir manzarası içinde veriyorlar.

Bu manzaraya sembolik düzlem denir. Köşe başına ortalama şekil sayısına sahip basit bir 2B ızgaradır. x-ekseni ve şekil başına ortalama köşe sayısı y-eksen. Her mozaikleme, düzlem içinde tam olarak bir noktayı çizmelidir. Örneğin mükemmel bir bal peteği deseni, sembolik düzlemde (3, 6)'da bir nokta olan her tepe noktasında üçlüler halinde birleşen altı köşeli altıgenlerin mozaiklenmesidir.

Ancak kaya çatlaklarından moleküler tek katmanlara kadar çoğu doğal mozaik, kusursuz bir şekilde periyodik mozaiklemeler değildir.

Örneğin, gerçek bir balmumu peteğinin hücreleri mükemmel altıgenler değildir. Arılar hata yapar. Ancak ne kadar dağınık olursa olsun, bir petek ortalama olarak yine de bir petektir. Ve ortalama olarak, hala sembolik düzlemde (3, 6)'da bir nokta çiziyor. Matematikçi, Domokos'un ortalamaları hesaplama yönteminin aşırı basitleştirmeden ziyade anlayışlı olduğunu söyledi. Marjorie Senechal Yeni çalışmayı gözden geçiren Smith College'dan Dr. Hataları bir kenara atarak ve kalıpları ortalamalar olarak ele alarak, normalde tesadüf yığınlarının altında gömülü olan bir tür ideal gerçekliği ortaya çıkarır.

Ancak Regős, bu yöntemi Decurtins'in moleküler resimlerine uygulamaya çalıştığında, hızla başı belaya girdi. "Onları sembolik düzleme koymaya başladım," dedi, "ve sonra yapamayacağımı anladım."

Sorun ölçekti. Domokos'un daha önce üzerinde çalıştığı jeolojik kalıpların aksine, moleküler mozaikler gerçekten kalıp içinde kalıplardır. Farklı büyütmelerde bakıldığında, farklı geometrilere sahiptirler. Regős, moleküler mozaikleri tek bir çift değerle tanımlayamıyordu çünkü desenler, bir görüntünün büyütme oranına bağlı olarak sembolik düzlemde farklı noktalar çiziyordu. Altıgen bir döşemeyi yakınlaştırmak ve temel yapı taşlarının gerçekten üçgen olduğunu bulmak gibiydi.

Domokos, "Kriszti şöyle dedi: Tamam, bu bir karmaşa" dedi.

Sonra mozaikleri nasıl toparlayacağını anladı. Malzemelerin iç içe geçmiş kalıplarını tek bir ortalama çiftine zorlamak yerine, onları sembolik düzlemde her biri kendi noktasıyla temsil edilen üç organizasyon düzeyine ayırdı.

En alt seviyede, her moleküldeki atomlar birleşerek bir çokgen oluşturur. Bu moleküller daha sonra hidrojen bağları yoluyla birbirine bağlanarak çokgenlerin bir mozaik oluşturmasını sağlar. Son olarak, en uzaklaştırılmış seviyede, tek tek moleküller küçülür ve noktalara dönüşür ve bu noktalar bir mozaik oluşturmak için birleşir.

Regős'in yeni çerçevesinde, her seviye noktalar ve çizgilerden oluşan basit bir ağ, yani bir grafik olarak temsil edilir.

Moleküler kalıpları tanımlamak için grafik teorisini kullanmak "çok güçlü" dedi. Carlos-Andres Palma, Çin Bilimler Akademisi ve Berlin Humboldt Üniversitesi'nde kimyasal fizikçi. Geleneksel olarak, bilim adamları kalıpları simetrilerine göre sınıflandırırlar. Ancak bu, gerçekliğin dağınıklığını yansıtmaz - gerçek nanomateryaller nadiren mükemmel periyodik veya simetriktir, dedi Palma. Moleküler örüntüleri basit, esnek grafiklere indirgemek "doğal dünya ile bence çok daha iyi iletişim kurmamızı sağlıyor" dedi.

Tahmin Modelleri

Regős ve Domokos artık Decurtins'in moleküler mozaiklerini tanımlamanın bir yolunu bulmuştu; bu, moleküllerin nasıl kendi kendine birleşebileceğini tahmin etmeye yönelik önemli bir adımdı.

"Tahmin etmede gerçekten oldukça kötüyüz" dedi Ulrich Aschauer, Salzburg Üniversitesi'nde kendi kendine montaj üzerinde çalışan bir hesaplamalı fizikçi.

Geleneksel olarak, bilim adamları moleküllerin nasıl kendi kendine birleşeceğini tahmin etmek için çeşitli yöntemler kullanırlar. Aschauer, moleküllerin bir yüzey üzerinde nasıl etkileşime girdiğini simüle eder. Ardından, oluşması en az enerji gerektiren ve ortaya çıkma olasılığı en yüksek olan kalıpları belirler. Diğer bilim adamları, rastgele oluşturulmuş çok sayıda modeli tarar veya otomatik montajı tahmin etmek için makine öğrenimi algoritmalarını eğitirler. Tüm bu yöntemler, hesaplama açısından maliyetlidir - Palma, bir meslektaşının, suyun kendi kendine nasıl birleştiğine dair tek bir tahminde bulunmak için yıllarca su moleküllerini nasıl simüle ettiğini hatırladı. Makine öğrenimi algoritmalarının da kör noktaları vardır; Aschauer, yalnızca onları ne beslediğinizi öğrenirler, dedi. Ve her olası modeli kontrol etmek imkansızdır, bu nedenle bilim adamları genellikle hangilerinin ilk etapta dikkate almaya değer olduğunu tahmin etmek zorunda kalırlar.

Aschauer, "Başlangıçtaki tahminimiz, bulduğumuz son şeyi belirler," diye açıkladı. "Ve bu çok büyük bir problem çünkü eğer doğru sezgiye sahip olmazsam, sonunda yanlışa düşerim."

Ancak Regős ve Domokos'un geometrisi agnostikti. Basitçe molekülleri noktalar olarak ve bağları çizgiler olarak ele aldı. Bir başlangıç ​​tahmini gerektirmedi.

Aschauer ve Decurtins ile İsviçre'de yüz yüze görüştükten sonra, matematikçiler nihayet kalıpları basitçe tanımlamak yerine tahmin etmeye çalışmanın karmaşık işine döndüler.

Gömböcler ve Köprüler

Mevcut haliyle, Regős'in sistemi, moleküllerin çokgenler ve hidrojen bağlarının çizgiler olduğu bir modelin orta düzeydeki organizasyonunu kısıtlayabilir. Ancak büyük ölçekli mozaiği tahmin etmek için moleküler karodan yukarı doğru çalışamadı. Üç seviyeyi matematiksel olarak birbirine bağlayacak bir şey olmadan, modeli bir basamağı eksik bir merdiven gibiydi.

Domokos, kontrol etmeye değer olduğuna karar verdi. Kostya Novoselov - Singapur Ulusal Üniversitesi'nde bir fizikçi olan Nobel ödülünü paylaştı belki de en ünlü 2 boyutlu malzeme olan grafeni sentezlemek için. İkisi, o yılın başlarında, Novoselov'un göze çarpan sayıda sipariş vermesinden sonra tesadüfen tanışmıştı. Gömböcler, Domokos'un Budapeşte'deki bir mağazadan keşfettiği yeni geometrik formlar.

Novoselov'un katkılarıyla, Domokos ve Regős geometrik modellerini geliştirdiler. O zamana kadar sadece üç organizasyon düzeyi kullanmışlardı: molekül, orta ölçekli model ve büyük ölçekli model. Novoselov, orta ve büyük seviyeler arasında bir köprü olan dördüncü bir seviye eklemeyi önerdi. Bu köprüyü tanımlayan denklem, en küçük ve orta seviyelerin geometrisini en büyük seviye olan moleküler mozaiğe bağladı.

Köprü yerindeyken, ekip artık moleküler karoyu alıp bir zarfın arkasına sığabilecek beş cebirsel denklem ve eşitsizlikten oluşan basit bir sistem kullanarak potansiyel büyük ölçekli modellerini sınırlamak için yukarı doğru çalışabilir. Bu matematiksel ifadelerde değişkenler, bir modelin sembolik düzlemdeki koordinatları ve ayrıca bir molekülün yapısını tanımlayan bazı terimlerdir. Bir bütün olarak ele alındığında sistem, organizasyonun her seviyesini diğerleriyle ve sembolik düzlemde bir modelin koordinatlarıyla ilişkilendirir.

Sembolik düzlemde çizilen, bir molekülün olası büyük ölçekli düzenlemeleri, tüm olası boşluk dolduran 2B moleküler modelleri tanımlayan eğrinin küçük bir dilimine düşer. Araştırmacılar artık bu dilimi sınırlamak için başlangıç ​​molekülünü kullanabilirler.

Ancak olası kalıplardan oluşan “dilimlerinin” yeterince küçük olduğuna henüz ikna olmadılar. Çok geniş olsaydı, çok kullanışlı bir kısıtlama olmazdı. Liu, 2 boyutlu su buzu yapılarını sembolik düzlemde çizdiğinde, bunların, yöntemin tahmin edilen aralığının en uç noktalarına mükemmel bir şekilde düştüğünü gördü. Sınırlar iyileştirilemedi.

Domokos, "Bu, burada doğanın dilidir," dedi. "Bu benim için büyük bir sürpriz oldu."

Büyüme ve Form

Mayıs 2022'de projenin sonuna doğru Macarlar tekrar İsviçre'ye gitti. Bu kez meslektaşları, birlikte çalıştıkları görüntüleri üreten mikroskobu ziyaret ederek onları şaşırttı ve işte o zaman Regős ve Domokos sonunda ne yaptıklarını anladılar: Büyük ölçekli mozaikleri moleküler bağlarla matematiksel olarak bağlayarak. çok daha küçük bir ölçekte, nihayetinde moleküler modellerin nasıl oluştuğunu dikte eden görünmez etkileşimler karmaşasından bir şeyler yakalamışlardı. Geometrileri, makinenin göremediği şeyleri "görebiliyordu".

Regős, "İnanılmazdı," dedi. "Bodrum katına indik ve bilimimizin sınırlarında olduklarını gördük."

Novoselov, kendi kendine bir araya gelen kalıpları anlamak için mikroskop kullanmanın, çimleri yukarıdan fotoğraflayarak anlamaya çalışmak gibi olduğunu söyledi. Bu resimler size çim hakkında çok şey anlatıyor, "ama kesinlikle her şeyi değil" dedi. Çimlerin kökleri veya nasıl büyüdüğü hakkında çok az bilgi veriyorlar. Domokos ve Regős'in çerçevesi, kökleri mükemmel bir şekilde göremez, ancak bir modelin moleküler yapı taşlarını nihai mozaikle ilişkilendirerek, onları çizmek için tamamen yeni bir yol sunar.

Senechal, "Çevremizdeki dünyadaki herhangi bir şeyi anlamak için gerçekten merkezi olan, büyüme ve biçim arasındaki ilişkiyi inceleyen harika bir eski geleneği sürdürüyorlar" dedi.

Moleküler kendi kendine montaj genellikle daha büyük bir modele dönüşen küçük bir malzeme parçasıyla başlar. Bununla birlikte, yeni matematiksel çerçeve, sonlu bir yama değil, sonsuz bir model varsayar. Palma, çalışmayı sonlu yamaların nasıl daha büyük kalıplara dönüştüğünü açıklamak için uyarlamanın gerçek tahmine doğru bir adım olabileceğini söyledi. Aschauer, geometriyi çıkmaz sokaklar ve olası desenler manzarasında umut verici ancak keşfedilmemiş köşeler için bir rehber olarak kullanmayı planladığını söyledi. Makine öğrenimi modellerini eğitmek için sembolik düzlemin matematiksel dilini kullanmanın heyecan verici olabileceğini de sözlerine ekledi.

Novoselov, "Bunun güzelliğini gerçekten merak ediyorum" dedi. "Çok az şeyle - gerçekten saf geometri olan temel bir matematiksel yaklaşımla, yalnızca 2B grafiklerle - pek çok şeyi tahmin edebilirsiniz."

Matematik basit, dedi Senechal. Ancak "basitliği görmek" diye ekledi, "çok karmaşıklık gerektirir."