Zephyrnet Logosu

Matematik Gerrymandering'in Şeklini Nasıl Değiştirdi | Quanta Dergisi

Tarih:

Giriş

Yakın zamana kadar, gerrymandered bölgeleri, bükülmüş dalları ile tanımlanabilecek şekilde öne çıkma eğilimindeydi. Artık durum böyle değil. "Modern teknolojiyle, şekillerinizi çok garip hale getirmeden oldukça etkili bir şekilde gerrymand yapabilirsiniz" dedi. Beth Malmskog, Colorado Koleji'nde bir matematikçi. Bu, bir haritanın haksız yere manipüle edilip edilmediğini anlamayı çok daha zorlaştırır.

Belli ki şekilsiz bir mahallenin geçtiğine dair belirgin bir işaret olmadan, matematikçiler gerrymander'ları bulmak için giderek daha güçlü istatistiksel yöntemler geliştiriyorlar. Bunlar, bir haritayı binlerce veya milyonlarca olası harita topluluğuyla karşılaştırarak çalışır. Harita, Demokratlar veya Cumhuriyetçiler için ortalama bir haritadan beklenenden çok daha fazla koltukla sonuçlanırsa, bu şüpheli bir şeyin gerçekleşmiş olabileceğinin bir işaretidir.

Ancak bu tür toplulukları oluşturmak göründüğünden daha zordur, çünkü tüm olası haritaları dikkate almak mümkün değildir - herhangi bir süper bilgisayarın sayamayacağı kadar çok kombinasyon vardır. Son zamanlardaki bir dizi matematiksel ilerleme, bu imkansız derecede geniş olası simülasyonlar alanında gezinmenin yollarını önererek, matematikçilere adil olanı adaletsizden ayırmanın güvenilir bir yolunu sunuyor.

Yeniden bölgelendirmeyle ilgili pek çok şey gibi, onların işi de mahkemede sonuçlanıyor. Son beş yılda, Missouri, Kuzey Karolina, Ohio ve Michigan'daki yeniden sınırlandırma davalarında simülasyonlar delil olarak kabul edildi. Ve onlar tartışmanın merkezi nesneleridir. Allen - Milligan, çok önemli bir vaka Yargıtay'da bekleyen Siyah seçmenlerin Alabama eyaletini Kongre bölge haritasını kendilerinin aleyhine olacak şekilde çizmekle suçladığı. Bu davada, diğer pek çok davada olduğu gibi, hem davacılar hem de sanıklar davalarını savunmak için simülasyonlara başvuruyor. Mahkeme karar vermesi bekleniyor Haziran veya Temmuz aylarında.

Ancak davacıların avukatlarından birinin Yargıç Samuel Alito'ya Ekim ayındaki sözlü tartışmalarında söylediği gibi, "simülasyonlar aslında cevapladıklarından daha fazla soru üretiyor."

kombinatoryal patlama

Bir topluluk oluşturmanın matematiksel zorluğunu anlamak için, işe gerçekçi olmayan basit haritalar düşünerek başlayın. Örneğin, 4'e 4'lük bir ızgara düşünün. Bu 117 kareyi, her bölge için dört kare olacak şekilde dört bitişik bölgeye bölmenin 16 farklı yolu vardır. Buradan, kombinatoryal patlama olarak bilinen olasılıklar çok hızlı bir şekilde büyüyor. Her biri altı kareden oluşan altı bitişik bölge içeren 6'ya 6'lık bir ızgara 451,206 olasılığa sahiptir. Her biri dokuz kareden oluşan dokuz bölgeden oluşan 9'a 9'luk bir ızgara mı? 700 trilyondan fazla seçenek. 10 karelik 10'a 100'luk bir ızgara için, kimse kaç tane olası 10 bölgeli konfigürasyon olduğunu bilmiyor.

Tabii ki, tipik bir eyalette, ilçeler halinde gruplandırılabilen 100'den fazla farklı yetki alanı vardır. Analistler genellikle olası bölgeleri oylama bölgelerinden oluştururlar. Örneğin, Kuzey Carolina'da 2,500'den fazla bölge varken Pennsylvania'da 9,159 bölge var. Resmi bölgeleme planları genellikle daha ayrıntılı nüfus sayımı bloklarına dayanır: Alabama'da bu tür 185,976 blok vardır.

Her eyaletin semt çizmek için farklı kuralları vardır, ancak genel olarak, bunlar bitişik ve "kompakt" olmalı, geleneksel coğrafi ve siyasi sınırları korumalı, nüfus bakımından eşitliğe çok yakın olmalı ve sözde çıkar topluluklarını birbirinden ayırmaktan kaçınmalıdır. Oy Hakları Yasası ayrıca bölgelerin, tüm ırk gruplarından seçmenlerin "kendi seçtikleri temsilcileri seçme" konusunda eşit şansa sahip olmasını sağlayacak şekilde çizilmesini gerektirir. Tüm bu gereklilikleri uzlaştırmak matematiksel olarak zordur. Malmskog, yeniden sınırlandırma konusunda ne kadar çok gereksinim varsa, "matematiksel problem o kadar karmaşık hale gelir" dedi.

Son 20 yıldır, çok sayıda olası harita oluşturmak için kullanılan baskın teknik, "rastgele tohumla ve büyüt" adı verilen bir teknik olmuştur. Bu, göründüğü gibi çalışır. Binlerce bireysel oylama bölgesini, örneğin her biri yaklaşık 10 kişiyi içermesi gereken 760,000 kongre bölgesi halinde birleştirmek istediğinizi varsayalım. Belirli bir bölgeyi "tohumlamak" için rastgele bir bölge seçerek başlarsınız. Ardından, bölgede 760,000 kişiye yaklaşana kadar bu tohuma bitişik mahalleler eklersiniz. Ardından, diğer ilçelerinizi bulana kadar süreci tekrarlarsınız - başka bir mahalleyi tohumlamak için başka bir bölgeyle başlarsınız.

Bölgelerin kompakt olmasını sağlamak için bazı nispeten basit ince ayarlarla, bu yöntemi makul görünen çok sayıda harita yapmak için kullanmak mümkündür. Ancak olası haritaların sayısındaki kombinatoryal patlama nedeniyle, rastgele tohumla ve büyüt tekniğiyle yapılmış milyonlarca harita bile tüm olası haritaların yalnızca küçük bir kısmını oluşturuyor. Ve bu kesrin bir bütün olarak geçerli haritalar kümesini temsil ettiğine dair hiçbir matematiksel kanıt yoktur, bu da onu bir karşılaştırma temeli olarak kullanmanın yanıltıcı sonuçlara yol açabileceği anlamına gelir.

Bu nedenle, son on yılın ortasında, araştırmacılar da dahil olmak üzere Kosuke Imai, Harvard Üniversitesi'nde hükümet ve istatistik profesörü ve Jonathan MattinglyDuke Üniversitesi'nde matematik ve istatistik profesörü olan , haritalar yapmak için Markov zinciri Monte Carlo veya MCMC adlı bir tekniği uygulamaya başladı.

MCMC, önce mevcut bölge haritasını bir grafiğe dönüştürerek çalışır - çizgiler veya kenarlarla birbirine bağlanan düğümlerden veya noktalardan oluşan matematiksel bir yapı. Her bölge bir düğüm haline gelir; Bölgeler gerçek hayatta bir sınırı paylaşıyorsa, grafikte bir kenarla birleştirilirler. Imai ve meslektaşları tarafından açıklanan "flip tabanlı" yöntem gibi erken MCMC yöntemleri 2014 kağıdı, sınır bölgeleri arasında matematiksel olarak belirli bir şekilde yer değiştirilerek çalıştı.

Araştırmacılar, haritalarını bir grafik olarak düşünerek, algoritmanın yeterince uzun süre çalışmasına izin verilirse - matematikçilerin karıştırma süresi dediği bir aralık - düzgün çalışacağını göstermek için Perron-Frobenius teoremi adı verilen grafik teorisinden bir araç kullanabilirler. olası tüm geçerli haritaların dağılımından örnek. Bu bir gelişmedir, ancak karıştırma süresinin tam olarak ne kadar uzun olduğunu kesin olarak kanıtlamak genellikle imkansızdır. Mattingly, "Örneklemede iyi bir iş çıkardığımızı herkese en iyi nasıl kanıtlayacağımız" sorusunun henüz çözülmediğini söyledi. Bu nedenle matematikçiler, karıştırma süresinde daha iyi sınırlar oluşturmak ve ona daha hızlı ulaşmak için MCMC'de ince ayarlar üzerinde çalışıyorlar.

Giriş

Bir ilerleme, 2019'da, bir grup araştırmacının Virginia Temsilciler Meclisi için yeni bir bölge haritası çizmenin daha iyi bir yolu üzerinde çalıştığı sırada geldi. Geçen yıl, bir federal mahkeme, Virginia haritasındaki 11 bölgenin, Siyah sakinleri oy güçlerini azaltacak şekilde yoğunlaştırdıkları için anayasaya aykırı olduğuna karar vermişti. Ayrıca, Virginia'nın yeniden bölgelendirme sürecinde alışılmadık derecede katı kısıtlamaları vardır: Bölgeler, nüfusta yalnızca %1 oranında sapma gösterebilir. 100 Eyalet Meclisi bölgesi olduğu göz önüne alındığında, "bu oldukça sıkı bir sınır" dedi. Daryl DeFord, Washington Eyalet Üniversitesi'nde Virginia haritasının doğruluğunu analiz eden bir matematikçi. Bu, grubun bölge düzeyinde çalışamayacağı anlamına geliyordu. DeFord, "Bazı bölgeler, geçerli bir plan yapmak için temelde çok büyüktü" dedi. Haritayı daha küçük nüfus sayımı blok birimlerine bölmek de işe yaramadı. Yaklaşık 10 milyon adımdan sonra, standart çevirme tabanlı MCMC algoritmaları "tüm uzaydan temsili örneklere sahip olmaya yakın değildi" dedi.

Böylece DeFord ve meslektaşları uzayda daha hızlı hareket etmenin bir yolunu buldular. Muhtemel haritaların tüm uzayından hızlı bir şekilde numune almak için, mahallelerin bitişikliğini koruyacak şekilde birçok bölge için bölge atamasını aynı anda değiştirmeleri gerekiyordu. Bu, Markov zincirindeki her adımı hesaplama açısından daha pahalı hale getirdi, ancak aynı zamanda her adımın onları karıştırma süresine çok daha yaklaştırdığı anlamına geliyordu.

Rastgele iki bitişik bölgeyi seçerek ve bunları tek bir birim oluşturmak için birleştirerek çalışan ReCom adlı bir algoritma geliştirdiler. Bu birim, her bölgenin sahip olduğu grafik yapısını devralır. Ancak, bitişik bölgeleri değiştirmek yerine, ReCom rasgele, iki birleşik bölgedeki (her biri bir bölgeyi temsil eder) düğümleri herhangi bir döngü içermeyen ancak tümünün düğümler bağlanır. Döngü olmadığı için, herhangi bir kenarı kesmek, birleştirilmiş iki bölgeyi tekrar iki parçaya bölerdi (tıpkı bir ağacın herhangi bir dalını kesmek onu tam olarak iki parçaya ayıracağı gibi).

Ortaya çıkan bileşenlerin her birinde neredeyse eşit sayıda düğüm bırakan kenarları bulmak genellikle kolaydır - ReCom böyle bir kenarı rastgele seçer. (Bulamazsa, yayılan ağacı yeniden çizer.) Yayılan ağaçların istatistikleri nedeniyle, bunun da doğal olarak kompakt mahalleler üretme eğilimi vardır. ReCom, her adımda yüzlerce değişiklik uyguladığından, mucitleri, bir seferde daha az bölgeyi değiştiren çevirme tabanlı yöntemlerden daha hızlı karıştırma süresine ulaştığına inanıyor.

Gerçek Dünya Zorlukları

Virginia'nın sıkı nüfus kısıtlaması, süreçteki olası tek bükülme değil. Colorado'nun tipik bitişiklik ve kompaktlık kısıtlamalarının ötesinde alışılmadık bir gereksinimi vardır: Colorado yasası ayrıca bölgelerin "rekabetçi" olmasını gerektirir.

Yasa, rekabet edebilirliği yalnızca belirsiz bir şekilde tanımlıyor, bu nedenle Colorado'nun eyalet yasama bölgesi haritasını çizmekle görevli bağımsız komisyon, tarihsel verileri kullanarak rekabetçi bir bölge tanımlamaya karar verdi. Varsayımsal bir bölgenin "rekabetçi" olabilmesi için, hem Demokratlar hem de Cumhuriyetçiler için önceki üç seçimde seçilen ırklar için toplam oyların %46 ile %54 arasında olması gerekiyordu.

Komisyon daha sonra DeFord, Malmskog ve Jeanne Cleland, Boulder, Colorado Üniversitesi'nde bir matematikçi ve Colorado Koleji'nde Malmskog'un bir meslektaşı olan Flavia Sancier-Barbosa ile birlikte. Dört araştırmacı, eyaletin yeniden sınırlandırma kriterlerini izleyen milyonlarca harita topluluğu oluşturmak için ReCom algoritmasını kullandı; Clelland, daha sonra bu toplulukları "kaç ilçenin bu rekabetçi aralığa girmeyi bekleyebileceğinize ilişkin bir dizi değer" bulmak için kullandıklarını söyledi. Ardından komisyon yeni planlar çizdikçe, matematikçiler bunların istatistiksel analizde nereye düştüğünü belirledi. Clelland, sonunda yasama yeniden sınırlandırma komisyonunun, matematikçilerin topluluklarında gördükleri ortalamadan daha rekabetçi bölgelere sahip bir harita seçtiğini söyledi.

Clelland, rekabetçi bölgelerin kulağa adil gelse de, pratikte orantılılıkla çelişebileceğini, yani her iki partiden temsilci sayısının o partinin eyalet çapındaki seçmen sayısıyla eşleşmesi hedefiyle çelişebileceğini kaydetti. "Sonucun gerçekten %50'ye yakın olduğu çok sayıda ilçeniz varsa, o zaman oy payındaki çok küçük bir değişiklik, koltuk payındaki payda çok büyük bir değişiklik yapabilir."

Giriş

Imai, belirli durumlarda, ReCom gibi bir ilk plandan başlayan ve onu ince ayar yapan MCMC yöntemlerinin "uzayı keşfetmekte zorlandığından" endişe duyduğunu söyledi. Olası geçerli haritaların alanı çok modlu olduğundan (birbirinden çok farklı birden çok iyi çözüm olabileceği anlamına gelir), bu tür algoritmaların başlangıç ​​koşullarına çok yakın kalma riski olabileceğini söyledi. Bu nedenle, yüksek lisans öğrencisi Cory McCartan ile birlikte Imai, “sıralı Monte Carlo” veya SMC olarak adlandırılan yeni bir yöntemi tanıttı. ön baskı yayınlanmak üzere kabul edilen Uygulamalı İstatistik Yıllıkları. SMC ayrıca haritaları grafiklere çevirir ve ReCom gibi bu grafiklerin yayılan ağaçlarını oluşturur.

SMC, her bölge için bir düğüm içeren tek bir yayılan ağaç oluşturur. Ardından, grafiğin geri kalanından yalnızca bir bölgeyi ayırmaya çalışır. Imai ve McCartan'ın belirlediği kriterlere göre kesim için en umut verici kenarları belirler ve ardından bu kenarlardan birini rastgele seçer. Ardından, gerekli sayıda ilçe oluşturulana kadar her seferinde bir yeni ilçeyi bölerek grafiğin geri kalan kısmında işlemi tekrarlar. SMC, bu işlemi milyonlarca kez tekrarlayarak milyonlarca olası geçerli harita oluşturur.

Matematiksel Argümanlar

Hesaplamalı yeniden sınırlandırma, tek bir haritanın adil olup olmadığı şeklindeki nispeten basit sorunun yerini, milyonlarca haritanın adil olup olmadığı gibi görünen çok daha karmaşık bir soruyla etkili bir şekilde değiştirir. Bu, basit bir problemin çok daha karmaşık bir probleme eşdeğer olduğunu gösterme ve ardından daha karmaşık problemi çözme matematiksel geleneğine doğrudan yerleştirir.

Kasım 2022'de Imai'nin ekibi, kongre yeniden bölgelendirme harita simülasyonları 50 nüfus sayımından elde edilen verilere göre 2020 eyaletin tamamı için. Hangi soruyu yanıtlamaya çalıştığınıza bağlı olarak ince ayar yapılacak birçok parametre olduğundan, araçlarının topluluk analizini kitlelere sunacağını umuyorlar.

Imai, bekleyen Yüksek Mahkeme davasında davacılar için bilirkişidir. Davacılar, onun oluşturduğu toplulukları kullanarak, Alabama'nın bölgelerinin Siyah seçmenleri haklarından mahrum bırakarak Oy Hakları Yasasını ihlal ettiğini savunuyorlar. Ancak dava edilen Alabama eyaleti, haritanın adil bir şekilde çizildiğini iddia etmek için topluluklarını kullanıyor. Mahkeme ne karar verirse versin, seçim söz konusu olduğunda matematiğin her zaman siyasetle uğraşması gerektiğini gösteriyor.

spot_img

En Son İstihbarat

spot_img