1980'lerin ortalarında, Walkman kaset çalarlar ve batik gömlekler gibi, Mandelbrot setinin böceğe benzer silueti her yerdeydi.

Öğrenciler bunu dünyanın her yerindeki yurt odalarının duvarlarına sıvadılar. Matematikçiler setin çıktıları için istekli isteklerle dolu yüzlerce mektup aldılar. (Cevap olarak, bazıları fiyat listeleriyle dolu kataloglar hazırladı; diğerleri ise bunun en çarpıcı özelliklerini kitaplar halinde derledi.) Daha teknoloji meraklısı hayranlar, derginin Ağustos 1985 sayısına bakabilir. Scientific American. Kapağında Mandelbrot seti ateşli dallar halinde açılmış, kenarları alevler içindeydi; içinde okuyucuların ikonik görüntüyü kendileri için nasıl oluşturabileceklerini ayrıntılarıyla anlatan dikkatli programlama talimatları vardı.

O zamana kadar bu dallar, erişim alanlarını matematiğin çok ötesine, günlük yaşamın görünürde ilgisiz köşelerine kadar genişletmişti. Önümüzdeki birkaç yıl içinde Mandelbrot seti, David Hockney'in en yeni resimlerine ve birçok müzisyenin en yeni kompozisyonlarına - Bach tarzında füg benzeri parçalara - ilham verecek. John Updike'ın kurgu sayfalarında yer alacak ve edebiyat eleştirmeni Hugh Kenner'ın Ezra Pound'un şiirini nasıl analiz ettiğine rehberlik edecek. Bu, psychedelic halüsinasyonların ve bilimkurgu büyük Arthur C. Clarke'ın anlattığı popüler bir belgeselin konusu olacaktı.

Mandelbrot kümesi fraktal hatları olan özel bir şekildir. Setin pürüzlü sınırlarını yakınlaştırmak için bir bilgisayar kullanın; denizatı vadileri ve fil geçitleriyle, sarmal galaksilerle ve nöron benzeri filamentlerle karşılaşacaksınız. Ne kadar derin araştırırsanız araştırın, her zaman orijinal setin neredeyse kopyalarını göreceksiniz; sonsuz, baş döndürücü bir kendi kendine benzerlik çağlayanı.

Bu kendine benzerlik James Gleick'in çok satan kitabının temel unsuruydu. KaosMandelbrot setinin popüler kültürdeki yerini sağlamlaştırdı. Gleick, "Bir fikir evreni barındırıyordu" diye yazdı. "Modern bir sanat felsefesi, matematikte deney yapmanın yeni rolünün gerekçelendirilmesi, karmaşık sistemleri geniş bir kitlenin önüne getirmenin bir yolu."

Mandelbrot kümesi bir sembol haline gelmişti. Çevremizdeki dünyanın fraktal doğasını tanımlamanın daha iyi bir yolu olan yeni bir matematik diline olan ihtiyacı temsil ediyordu. Tıpkı hayatın kendisi gibi, en basit kurallardan bile ne kadar derin bir karmaşıklığın ortaya çıkabileceğini gösterdi. (“Dolayısıyla bu gerçek bir umut mesajıdır,” John HubbardKümeyi inceleyen ilk matematikçilerden biri olan 1989 tarihli bir videoda şöyle demişti: "Muhtemelen biyoloji de bu resimlerin anlaşıldığı şekilde anlaşılabilir.") Mandelbrot kümesinde düzen ve kaos uyum içinde yaşıyordu; Determinizm ve özgür irade uzlaştırılabilir. Bir matematikçi, gençliğinde sete rastladığını ve bunu gerçek ile yalan arasındaki karmaşık sınırın bir metaforu olarak gördüğünü hatırladı.

Mandelbrot kümesi her yerdeydi, ta ki öyle olmayana kadar.

On yıl içinde ortadan kaybolmuş gibiydi. Matematikçiler başka konulara, halk da başka sembollere yöneldi. Bugün, keşfinden sadece 40 yıl sonra, fraktal bir klişe, sınırda bir kitsch haline geldi.

Ancak bir avuç matematikçi buna izin vermeyi reddetti. Hayatlarını Mandelbrot setinin sırlarını açığa çıkarmaya adadılar. Artık bunu gerçekten anlamanın eşiğinde olduklarını düşünüyorlar.

Onların hikayesi bir keşif, deney ve teknolojinin düşünce şeklimizi ve dünya hakkında sorduğumuz soruları nasıl şekillendirdiğiyle ilgili.

Ödül Avcıları

Ekim 2023'te, dünyanın dört bir yanından 20 matematikçi, bir zamanlar Danimarka askeri araştırma üssü olan yerdeki alçak tuğla binada toplandı. 1800'lerin sonlarında ormanın ortasında inşa edilen üs, Danimarka'nın en kalabalık adasının kuzeybatı kıyısındaki bir fiyordun üzerinde yer alıyordu. Girişi eski bir torpido koruyordu. Üniformalı donanma subaylarını, rıhtımda sıralanan tekneleri ve devam eden denizaltı testlerini gösteren siyah beyaz fotoğraflar duvarları süsledi. Şiddetli bir rüzgar pencerelerin dışındaki suyu köpüren beyaz köpüklere dönüştürürken, grup üç gün boyunca çoğu New York'taki Stony Brook Üniversitesi'nden iki matematikçi tarafından yapılan bir dizi konuşma gerçekleştirdi: Misha Lyubich ve Dima Dudko.

Atölye çalışmasının izleyicileri arasında Mandelbrot ailesinin en cesur kaşiflerinden bazıları vardı. Ön tarafa yakın oturdu Mitsuhiro Şişikura 1990'larda setin sınırlarının olabildiğince karmaşık olduğunu kanıtlayan Kyoto Üniversitesi'nden. Birkaç koltuk ötedeydi Hiroyuki InouShishikura ile birlikte Mandelbrot kümesinin özellikle yüksek profilli bir bölgesini incelemek için önemli teknikler geliştirdi. Son sıradaydı Kurt JungMandelbrot kümesini etkileşimli olarak araştırmak için matematikçilerin başvurduğu yazılım olan Mandel'in yaratıcısı. Ayrıca mevcuttu Arnaud Chéritat Toulouse Üniversitesi'nden, Carsten Petersen Roskilde Üniversitesi'nden (atölyeyi düzenleyen) ve matematikçilerin Mandelbrot kümesini anlamalarına büyük katkılarda bulunan diğer birkaç kişi.

Ve beyaz tahtada, konuyla ilgili dünyanın en önde gelen uzmanı Lyubich ve onun en yakın çalışma arkadaşlarından biri olan Dudko duruyordu. Matematikçilerle birlikte Jeremy Kahn ve Alex KapiambaMandelbrot kümesinin geometrik yapısı hakkında uzun süredir devam eden bir varsayımı kanıtlamak için çalışıyorlar. MLC olarak bilinen bu varsayım, fraktalı karakterize etmek ve onun karmaşık doğasını evcilleştirmek için onlarca yıldır süren arayıştaki son engeldir.

Matematikçiler, güçlü bir alet seti inşa edip keskinleştirerek, "Mandelbrot kümesindeki hemen hemen her şeyin" geometrisinin kontrolünü ele geçirdiler. Caroline Davis Indiana Üniversitesi'nden - kalan birkaç vaka hariç. "Misha, Dima, Jeremy ve Alex, bu sonuncuların izini sürmeye çalışan ödül avcıları gibiler."

Lyubich ve Dudko, diğer matematikçilere MLC'yi kanıtlamaya yönelik son gelişmeler ve bunu yapmak için geliştirdikleri teknikler hakkında bilgi vermek üzere Danimarka'daydı. Geçtiğimiz 20 yıl boyunca araştırmacılar, Mandelbrot kümesini oluşturmak için kullanılan sayı ve fonksiyon türlerinin matematiksel çalışması olan karmaşık analiz alanındaki sonuçları ve yöntemleri açıklamaya adanmış atölye çalışmaları için burada bir araya geldi.

Alışılmadık bir düzenlemeydi: Matematikçiler bütün yemeklerini birlikte yiyorlardı ve sabahın erken saatlerine kadar bira içerken konuşup gülüyorlardı. Nihayet uyumaya karar verdiklerinde tesisin ikinci katında paylaştıkları küçük odalardaki ranzalara veya bebek karyolalarına çekildiler. (Varışta bize bir yığının içinden çarşaf ve yastık kılıflarını alıp yataklarımızı yapmak için üst kata çıkarmamız söylendi.) Bazı yıllarda, konferansa katılanlar soğuk suda yüzmeye cesaret ederler; daha sık olarak ormanda dolaşırlar. Ama çoğunlukla matematikten başka yapacak bir şey yok.

Katılımcılardan biri bana atölyenin genellikle çok sayıda genç matematikçinin ilgisini çektiğini söyledi. Ancak bu sefer durum böyle değildi; belki de dönem ortası olduğundan ya da kendisinin tahmin ettiği gibi, konunun ne kadar zor olduğundan. O anda, alanın bu kadar büyüklerinin önünde konuşma yapma ihtimalinden biraz korktuğunu itiraf etti.

Ancak karmaşık analizin daha geniş alanındaki çoğu matematikçinin artık doğrudan Mandelbrot kümesi üzerinde çalışmadığı göz önüne alındığında, neden bir çalıştayın tamamını MLC'ye adayalım?

Mandelbrot kümesi bir fraktaldan daha fazlasıdır ve yalnızca mecazi anlamda değildir. Bir noktanın basit bir kurala göre uzayda hareket edebileceği tüm farklı yollar gibi dinamik sistemlerin bir tür ana kataloğu olarak hizmet eder. Bu ana kataloğu anlamak için birçok farklı matematiksel manzarayı geçmek gerekir. Mandelbrot kümesi sadece dinamikle değil aynı zamanda sayı teorisi, topoloji, cebirsel geometri, grup teorisi ve hatta fizikle de derinden ilişkilidir. "Matematiğin geri kalanıyla güzel bir şekilde etkileşime giriyor" dedi Sabyasachi Mukherjee Hindistan'daki Tata Temel Araştırma Enstitüsü'nden Dr.

MLC'de ilerleme kaydetmek için matematikçiler, Chéritat'ın "güçlü bir felsefe" dediği karmaşık bir dizi teknik geliştirmek zorunda kaldı. Bu araçlar büyük ilgi gördü. Günümüzde dinamik sistemlerin daha geniş kapsamlı incelenmesinde merkezi bir dayanak oluşturmaktadırlar. Bunların Mandelbrot kümesiyle hiçbir ilgisi olmayan bir dizi başka problemin çözümü için hayati önem taşıdığı ortaya çıktı. Ve MLC'yi niş bir sorudan alanın en derin ve en önemli açık varsayımlarından birine dönüştürdüler.

Bu "felsefeyi" şu anki biçimine sokmaktan tartışmasız en sorumlu matematikçi Lyubich, dimdik ve dik duruyor ve sessizce konuşuyor. Atölyedeki diğer matematikçiler bir kavramı tartışmak ya da bir soru sormak için ona yaklaştığında gözlerini kapatıyor ve kalın kaşlarını çatarak dikkatle dinliyor. Dikkatli bir şekilde Rus aksanıyla cevap veriyor.

Ama aynı zamanda yüksek sesle, sıcak kahkahalar atmakta ve alaycı şakalar yapmakta da hızlıdır. Zamanı ve tavsiyeleri konusunda cömerttir. Lyubich'in eski doktora sonrası araştırmacılarından biri ve sık sık birlikte çalıştığı Mukherjee, onun "gerçekten birkaç nesil matematikçi yetiştirdiğini" söyledi. Onun anlattığına göre, karmaşık dinamikleri incelemekle ilgilenen herkes Stony Brook'ta Lyubich'ten bir şeyler öğrenmek için biraz zaman harcıyor. Mukherjee, "Misha'nın belirli bir projede nasıl ilerlememiz gerektiğine veya bundan sonra neye bakacağımıza dair bir vizyonu var" dedi. “Zihninde bu büyük resim var. Ve bunu insanlarla paylaşmaktan mutluluk duyuyor.”

Lyubich ilk kez bu büyük resmi bütünüyle görebildiğini hissediyor.

Ödül Savaşçıları

Mandelbrot seti bir ödülle başladı.

1915'te, fonksiyonlar çalışmasındaki son gelişmelerden ilham alan Fransız Bilimler Akademisi bir yarışma duyurdu: Üç yıl içinde, yineleme süreci üzerine yapılan çalışmalara 3,000 franklık büyük bir ödül verilecekti. daha sonra Mandelbrot kümesini oluşturun.

Yineleme, bir kuralın tekrar tekrar uygulanmasıdır. Bir sayıyı bir fonksiyona takın, ardından çıktıyı bir sonraki girişiniz olarak kullanın. Bunu yapmaya devam edin ve zamanla neler olacağını gözlemleyin. Fonksiyonunuzu yinelemeye devam ettikçe elde ettiğiniz sayılar hızla sonsuza doğru artabilir. Ya da demir talaşlarının mıknatısa doğru hareket etmesi gibi, belirli bir sayıya doğru çekilebilirler. Veya asla kaçamayacakları sabit bir yörüngede aynı iki, üç veya bin sayı arasında gidip gelirler. Veya kaotik, öngörülemeyen bir yol izleyerek, kafiye veya sebep olmadan bir sayıdan diğerine atlayın.

Fransız Akademisinin ve daha genel olarak matematikçilerin yinelemeyle ilgilenmek için başka bir nedeni daha vardı. Süreç, dinamik sistemlerin (gezegenlerin güneş etrafında dönmesi veya çalkantılı bir akıntının akışı gibi sistemler) incelenmesinde önemli bir rol oynadı; belirli kurallara göre zamanla değişen sistemler.

Ödül, iki matematikçiye tamamen yeni bir çalışma alanı geliştirme konusunda ilham verdi.

Bunlardan ilki, sağlığı kötü olmasaydı, başka bir hayatında denizci (bir aile geleneği) olabilecek olan Pierre Fatou'ydu. Bunun yerine matematik ve astronomi alanında kariyer yapmaya başladı ve 1915'e gelindiğinde analizde birçok önemli sonucu zaten kanıtlamıştı. Bir de, Fransız işgali altındaki Cezayir'de doğmuş, gelecek vaat eden genç matematikçi Gaston Julia vardı; çalışmaları Birinci Dünya Savaşı ve Fransız ordusuna askere alınması nedeniyle kesintiye uğradı. 22 yaşındayken, hizmetine başladıktan kısa bir süre sonra ciddi bir yaralanma geçirdikten sonra (doktorların bu hasarı onaramaması nedeniyle hayatının geri kalanında yüzüne deri bir kayış takacaktı) matematiğe geri döndü ve bazı matematik işlemleriyle uğraştı. Akademi ödülü için hastane yatağından sunacağı çalışma.

Ödül, hem Fatou'yu hem de Julia'yı, işlevleri yinelediğinizde ne olacağını araştırmaya motive etti. Bağımsız çalıştılar ama sonuçta çok benzer keşifler yaptılar. Sonuçlarında o kadar çok örtüşme vardı ki, şimdi bile nasıl kredi tahsis edileceği her zaman net değil. (Julia daha dışa dönüktü ve bu nedenle daha fazla ilgi gördü. Sonunda ödülü kazandı; Fatou başvuruda bile bulunmadı.) Bu çalışma sayesinde ikili artık karmaşık dinamikler alanının kurucuları olarak kabul ediliyor.

"Karmaşık" çünkü Fatou ve Julia karmaşık sayıların fonksiyonlarını yinelediler; bunlar tanıdık bir gerçek sayıyı sözde sanal sayıyla (bir sayının katı) birleştiren sayılardı. i, matematikçilerin -1) karekökünü belirtmek için kullandıkları sembol. Gerçek sayılar bir doğru üzerindeki noktalar olarak yerleştirilebilirken, karmaşık sayılar bir düzlem üzerindeki noktalar olarak görselleştirilir:

Fatou ve Julia, basit karmaşık fonksiyonları yinelemenin bile (matematik alanında bir paradoks değil!) başlangıç ​​noktanıza bağlı olarak zengin ve karmaşık davranışlara yol açabileceğini buldu. Bu davranışları belgelemeye ve geometrik olarak temsil etmeye başladılar.

Ancak daha sonra çalışmaları yarım yüzyıl boyunca belirsizliğe gömüldü. “İnsanlar ne arayacaklarını bile bilmiyorlardı. Soracakları sorular konusunda bile sınırlıydılar" dedi. artur Avila, Zürih Üniversitesi'nde profesör.

1970'lerde bilgisayar grafikleri reşit olduğunda bu durum değişti.

O zamana kadar matematikçi Benoît Mandelbrot akademik amatör olarak ün kazanmıştı. IBM'in New York şehrinin kuzeyindeki araştırma merkezinde çalışırken, ekonomiden astronomiye kadar pek çok farklı alanla ilgilenmişti. 1974'te IBM üyesi olarak atandığında, bağımsız projeler yürütme konusunda daha da fazla özgürlüğe sahip oldu. Karmaşık dinamikleri kış uykusundan çıkarmak için merkezin hatırı sayılır bilgi işlem gücünü uygulamaya karar verdi.

İlk başta Mandelbrot, Fatou ve Julia'nın üzerinde çalıştığı şekilleri oluşturmak için bilgisayarları kullandı. Görüntüler, bir başlangıç ​​noktasının ne zaman tekrarlandığında sonsuza kaçacağı ve ne zaman başka bir modelde sıkışıp kalacağı hakkındaki bilgileri kodluyordu. Fatou ve Julia'nın 60 yıl önceki çizimleri daire ve üçgen kümelerine benziyordu; ancak Mandelbrot'un yaptığı bilgisayarda oluşturulan görüntüler ejderhalara, kelebeklere, tavşanlara, katedrallere ve karnabahar kafalarına, hatta bazen birbirinden kopuk toz bulutlarına benziyordu. O zamana kadar Mandelbrot, farklı ölçeklerde benzer görünen şekiller için "fraktal" kelimesini çoktan icat etmişti; bu kelime yeni bir tür geometri kavramını çağrıştırıyordu; parçalanmış, kesirli veya kırık bir şey.

Bilgisayar ekranında görünen ve bugün Julia kümeleri olarak bilinen görüntüler, Mandelbrot'un şimdiye kadar gördüğü en güzel ve karmaşık fraktal örneklerinden bazılarıydı.

Fatou ve Julia'nın çalışması, bu kümelerin her birinin (ve bunlara karşılık gelen işlevlerin) geometrisine ve dinamiğine ayrı ayrı odaklanmıştı. Ancak bilgisayarlar Mandelbrot'a tüm işlevler ailesi hakkında aynı anda düşünme olanağı sağladı. Hepsini kendi adını taşıyacak görüntüye kodlayabilirdi, ancak bunu gerçekten ilk keşfedenin kendisi olup olmadığı tartışma konusu olmaya devam ediyor.

Mandelbrot kümesi, yinelendiğinde hala ilginç bir şeyler yapan en basit denklemlerle ilgilenir. Bunlar formun ikinci dereceden fonksiyonlarıdır f(z) = z² + c. Bir değeri düzeltin c — herhangi bir karmaşık sayı olabilir. ile başlayan denklemi yinelerseniz z = 0 ve ürettiğiniz sayıların küçük (veya matematikçilerin dediği gibi sınırlı) kaldığını bulun, o zaman c Mandelbrot kümesindedir. Öte yandan, yinelerseniz ve sonunda sayılarınızın sonsuza doğru büyümeye başladığını görürseniz, o zaman c Mandelbrot kümesinde değildir.

değerlerini göstermek basittir. c sıfıra yakın olanlar settedir. Büyük değerlerin olduğunu göstermek de benzer şekilde basittir. c değil. Ancak karmaşık sayılar ismine yakışır: Kümenin sınırları son derece karmaşıktır. Değişmesinin belirgin bir nedeni yok c Çok küçük miktarlar sınırı aşmanıza neden olmalı, ancak yakınlaştırdıkça sonsuz miktarda ayrıntı ortaya çıkıyor.

Dahası, Mandelbrot kümesi, aşağıdaki etkileşimli şekilde görülebileceği gibi, Julia kümelerinin bir haritası gibi davranır. Bir değer seçin c Mandelbrot kümesinde. İlgili Julia seti bağlanacaktır. Ancak Mandelbrot kümesinden ayrılırsanız, karşılık gelen Julia kümesinin bağlantısı kesilecektir.