Matematiğin tamamen mantıksal olduğunu düşünme eğilimindeyiz, ancak matematiğin öğretilmesi, değerleri, yararlılığı ve işleyişi ince ayrıntılarla doludur. Peki “iyi” matematik nedir? 2007 yılında matematikçi Terence tao için bir makale yazdı Amerikan Matematik Derneği Bülteni bu sorunun cevabını bulmaya çalıştı. Bugün Fields Madalyası, Matematikte Çığır Açan Ödül ve MacArthur Bursu sahibi olan Tao, yaşayan en onurlu ve üretken matematikçilerden biridir. Bu bölümde sunucumuza ve matematikçi arkadaşımıza katılıyor Steven Strogatz iyi matematiğin kazanımlarını yeniden gözden geçirmek.

Dinle Apple Podcast'leri, Spotify, Google Podcast'ler, dikiş, TuneIn veya favori podcasting uygulamanız veya şuradan yayınla Kuantum.

Transkript

STEVEN STROGATZ: Ekim 2007'de, birinci nesil iPhone'un hala popüler bir ürün olduğu ve borsanın Büyük Durgunluk öncesinde tüm zamanların en yüksek seviyesinde olduğu dönemde, UCLA'da matematik profesörü Terence Tao şu soruyu yanıtlamaya kararlıydı: Matematikçiler arasında uzun zamandır tartışılan soru: İyi matematik tam olarak nedir?

Bu ciddiyetle mi alakalı? Zarafet mi? Gerçek dünyadaki fayda mı? Terry, matematiğin iyi olabileceği tüm yollar hakkında çok düşünceli ve cömert, hatta açık yürekli bile diyebilirim. Ama şimdi, 15 yılı aşkın bir sürenin ardından, iyi matematiğin ne olduğunu yeniden düşünmemiz gerekiyor mu?

Ben Steve Strogatz ve bu da "The Joy of Why" adlı podcast'ten. Quanta Dergisi Sunucu ortağım Janna Levin ve ben, bugün matematik ve bilimdeki en büyük cevaplanmamış sorulardan bazılarını sırayla keşfediyoruz.

(Tema oyunları)

Bugün burada, matematiği iyi yapanın ne olduğuna dair ebedi soruyu yeniden ele almak için Terry Tao'nun kendisi var. Profesör Tao, harmonik analiz, kısmi diferansiyel denklemler, kombinatorik, sayı teorisi, veri bilimi, rastgele matrisler ve çok daha fazlasını içeren inanılmaz derecede geniş bir matematik alanı üzerine 300'den fazla araştırma makalesi yazmıştır. Kendisine “Matematiğin Mozart’ı” deniyor. Ve Fields Madalyası, Matematikte Çığır Açan Ödül, MacArthur Bursu ve diğer pek çok ödülün sahibi olarak bu lakabı kesinlikle hak ediyor.

Terry, "Neden Sevinci"ne hoş geldin.

TERENCE TAO: Burada olmaktan mutluluk duyuyorum.

STROGATZ: Bazı matematiksel araştırma türlerini iyi kılan şeyin ne olduğuna dair bu soru hakkında sizinle konuşabildiğim için çok heyecanlıyım. Oldukça canlı bir şekilde sayfalara göz attığımı hatırlayabiliyorum Amerikan Matematik Derneği Bülteni 2007'de geri döndüm ve karşılaştım bu konuyla ilgili yazınız bizim için poz vermiştin. Bu, tüm matematikçilerin düşündüğü bir şeydir. Ancak bu kadar aşina olmayan insanlar için, bu soruya nasıl ulaştığınızı bize söyleyebilir misiniz? O zamanlar iyi matematiği nasıl tanımlıyordunuz?

TAO: Doğru, evet. Aslında bu bir ricaydı. Yani editörün bülten o sırada benden bir makaleye katkıda bulunmamı istemişti. Sanırım öğrenciyken matematiğin ne olduğuna dair çok saf bir fikrim vardı. İnsanların üzerinde çalışmaları için sorunları dağıtacak bir çeşit gri sakallı konseyin olduğu fikrine kapıldım. Ve bir yüksek lisans öğrencisi olarak, sorunları dağıtacak merkezi bir otoritenin olmadığını ve insanların kendi kendilerine araştırma yaptığını fark etmek benim için bir nevi şok oldu.

Konuşmalara devam ettim ve diğer matematikçilerin matematikle ilgili neyi heyecan verici buldukları, neyin onları heyecanlandırdığı ve her matematikçinin matematiğe farklı bir yaklaşım tarzına sahip olduğu hakkında nasıl konuştuklarını dinledim. Mesela kimisi uygulama peşinde olacak, kimisi estetik güzellikle, kimisi sadece problem çözerek. Bir sorunu çözmek istiyorlardı ve en zor, en zorlu görevlere odaklanıyorlardı. Bazıları tekniğe odaklanır; bazıları her şeyi olabildiğince zarif hale getirmeye çalışırdı.

Ancak bu farklı matematikçilerin çoğunun matematikte değerli buldukları şeyler hakkında konuşmasını dinlediğimde beni etkileyen şey, iyi matematiğin nasıl olması gerektiği konusunda hepimizin farklı idealleri olmasına rağmen, hepsinin bir şekilde bunu yapma eğiliminde olmalarıydı. aynı şeye yakınlaşmak.

Eğer matematiğin bir parçası gerçekten iyiyse, güzelliğin peşinde koşan insanlar eninde sonunda onunla karşılaşacaktır. Teknik gücün veya uygulamaların peşinde koşan, değer veren insanlar eninde sonunda ona ulaşacaklardır.

Eugene Wigner hakkında çok ünlü bir makalesi vardı. matematiğin mantıksız etkinliği neredeyse bir asır önce fizik bilimlerinde, matematiğin bazı alanlarının olduğunu gözlemlemişti - örneğin, Riemann geometrisi, kavisli uzayın incelenmesi - bu başlangıçta matematikçiler için sadece teorik bir alıştırmaydı, bilirsiniz, paralel postüla ve benzeri, tam da Einstein, Poincaré ve Hilbert'in genel görelilik matematiğini tanımlamak için ihtiyaç duyduğu şey olduğu ortaya çıktı. Ve bu sadece meydana gelen bir olgudur.

Yani matematikçilerin entelektüel açıdan ilginç bulduğu şey, sonunda fiziksel olarak önemli olan sadece matematik değil. Ancak matematikte bile matematikçilerin zarif bulduğu konular aynı zamanda derin bir içgörü sağlar.

Bana öyle geliyor ki, biliyorsunuz, dışarıda bazı platonik iyi matematikler var ve tüm farklı değer sistemlerimiz, bu nesnel iyi şeylere erişmenin sadece farklı yolları.

STROGATZ: Bu çok ilginç. Ben de platonik düşünmeye yatkın bir insan olarak, buna katılıyorum. Her ne kadar bunu söylediğinizi duyduğuma biraz şaşırsam da, başlangıçta nereye gideceğinizi düşünmüştüm, bu konuda pek çok farklı bakış açısı var gibi görünüyordu. İlginç bir gerçek, bir nevi ampirik bir gerçek, sizin de söylediğiniz gibi pek çok farklı değerden yola çıkmamıza rağmen neyin iyi neyin iyi olmadığı konusunda hemfikir olmamız.

TAO: Sağ. Yakınsama zaman alabilir. Bilirsiniz, örneğin, bir ölçümle ölçüldüğünde diğerlerinden çok daha iyi göründükleri kesinlikle alanlar var. Belki çok fazla uygulamaları var ama sunumları son derece iğrenç, biliyorsunuz.

(Strogatz gülüyor)

Veya çok zarif olan ancak gerçek dünyada henüz pek iyi uygulamaları olmayan şeyler. Ama sonunda birleşeceğini hissediyorum.

STROGATZ: Peki, size gerçek dünyayla olan bu temas noktasını sorayım. Matematikte ilginç bir gerilim. Ve biliyorsunuz, küçük çocuklar olarak, diyelim ki, geometriyi ilk öğrendiğimizde, o noktada üçgenlerin gerçek olduğunu, dairelerin veya düz çizgilerin gerçek olduğunu ve bunların size gördüğünüz dikdörtgen şekilleri anlatabileceklerini düşünebilirsiniz. dünyadaki binalarda veya haritacıların geometri kullanması gerektiği. Ve sonuçta kelime Dünya'nın ölçümünden geliyor, doğru, "geometri". Geometrinin ampirik olduğu bir dönem de vardı.

Ama size sormak istediğim şey şu yorumla ilgili: John von Neumann yapılmış. Yani von Neumann, aşina olmayanlar için, kendisi de büyük bir matematikçiydi. Ve bu yazısında şu yorumu yaptı: “MatematikçiMatematik ile ampirik dünya arasındaki ilişki hakkında, yani gerçek dünya hakkında; burada kabaca matematiksel fikirlerin ampiriklerden kaynaklandığını ancak bir noktada matematiksel fikirleri bir kez edindiğinizde konunun kendi hayatını almaya başladığını söylüyor. sahip olmak. Ve sonra daha çok yaratıcı bir sanat eserine benziyor. Estetik kriterler önem kazanıyor. Ancak bunun tehlikeye yol açtığını söylüyor. Bir denek, özellikle ikinci veya üçüncü nesilde olduğu gibi ampirik kaynağından çok uzaklaşmaya başladığında, deneğin çok fazla soyut akraba çiftleşmesinden muzdarip olma ihtimalinin olduğunu ve yozlaşma tehlikesiyle karşı karşıya olduğunu söylüyor.

Bununla ilgili herhangi bir düşüncen var mı? Yani matematiğin ampirik kaynağıyla bağlantı halinde kalması gerekiyor mu?

: Evet, bence topraklanması gerekiyor. Deneysel olarak, matematik yapmanın tüm bu farklı yollarının birbirine yakınlaştığını söylediğimde bunun tek nedeni, bunun yalnızca konu sağlıklı olduğunda gerçekleşmesidir. Yani, iyi haber şu ki, genellikle öyle.

Ancak, örneğin matematikçiler, diğer her şey eşit olduğunda kısa ispatlara uzun ispatlara göre değer verirler. Ancak insanların aşırıya kaçtığını ve matematiğin bir alt alanının mümkün olduğu kadar kısa ispatlar yapma ve derin teoremlerin son derece opak iki satırlı ispatlarına sahip olma konusunda takıntılı olduklarını hayal edebiliyoruz. Ve bunu bir çeşit yarışma haline getiriyorlar ve sonra bu, anlaşılması güç bir oyuna dönüşüyor ve sonra tüm sezgilerinizi kaybediyorsunuz. Belki daha derin anlayışınızı kaybedersiniz çünkü tüm kanıtlarınızı mümkün olduğu kadar kısa tutmaya takıntılısınız. Aslında bu pratikte olmuyor. Ancak bu bir tür teorik örnek ve sanırım von Neumann da benzer bir noktaya değiniyordu.

Ve altmışlı ve yetmişli yıllarda, soyutlamanın, daha önce oldukça ampirik olan birçok matematiğin basitleştirilmesi ve birleştirilmesinde büyük ilerlemeler kaydettiği bir matematik çağı vardı. Özellikle cebirde, insanlar sayıların, polinomların ve daha önce ayrı ayrı ele alınan diğer birçok nesnenin farkına varıyorlardı; bunların hepsini aynı cebirsel sınıfın üyeleri, bu durumda bir halka olarak düşünebilirsiniz.

Ve matematikte çok fazla ilerleme, ister topolojik uzay olsun ister vektör uzayı olsun, doğru soyutlamayı bularak ve teoremleri büyük bir genellikle kanıtlayarak sağlanıyordu. Ve buna bazen matematikte Bourbaki dönemi diyoruz. Ve topraklanmaktan biraz fazla uzaklaştı.

Elbette Amerika'da eğitimcilerin bunu yapmaya çalıştığı Yeni Matematik bölümünün tamamını yaşadık. Bourbaki tarzında matematik öğretmek ve sonunda bunun o seviyede uygun bir pedagoji olmadığını fark etti.

Ama şimdi sarkaç biraz geriye döndü. Konu biraz olgunlaştı ve matematiğin, geometrinin, topolojinin her alanında tatmin edici formalizasyonlarımız var ve doğru soyutlamaların ne olduğunu bir bakıma biliyoruz. Ve şimdi bu alan yeniden ara bağlantılara ve uygulamalara odaklanıyor. Artık gerçek dünyaya çok daha fazla bağlanıyor.

Demek istediğim, sadece geleneksel bir bağlantı olan fizik değil, aynı zamanda bilgisayar bilimi, yaşam bilimleri, sosyal bilimler, bilirsiniz. Büyük verinin yükselişiyle birlikte hemen hemen her insan disiplini artık bir dereceye kadar matematikleştirilebiliyor.

STROGATZ: Bir dakika önce "ara bağlantılar" hakkında kullandığınız kelimeyle çok ilgileniyorum çünkü bu bizim için tartışmamız gereken merkezi bir nokta gibi görünüyor. Makalenizde bahsettiğiniz bir şey var ki, bunlarla birlikte, zarafetle ilgili "yerel" kriterler veya gerçek dünya uygulamaları veya her neyse, iyi matematiğin bu "küresel" yönünden bahsediyorsunuz: iyi matematik diğerleriyle bağlantılıdır. iyi matematik.

Onu iyi yapan şeyin neredeyse anahtarı budur; diğer parçalarla bütünleşmiş olması. Ancak bu ilginç çünkü neredeyse döngüsel bir akıl yürütmeye benziyor: iyi matematik, diğer iyi matematikle bağlantı kuran matematiktir. Ama bu gerçekten güçlü bir fikir ve merak ediyorum, bunu biraz daha genişletebilir misiniz?

TAO: Evet, demek istediğim, matematik neyle ilgilidir - matematiğin yaptığı şeylerden biri de çok basit ve esaslı bağlantılar kurmasıdır, ancak yüzey seviyesinden baktığınızda pek açık değildir. Bunun çok erken bir örneği, Descartes'ın geometri (noktalar, çizgiler ve uzaysal nesnelerin incelenmesi) ile sayılar ve cebir arasında temel bir bağlantı kuran Kartezyen koordinatları icat etmesidir.

Yani örneğin bir daireyi geometrik bir nesne olarak düşünebilirsiniz, ancak onu bir denklem olarak da düşünebilirsiniz: x² + y² = 1 bir dairenin denklemidir. O zamanlar bu çok devrim niteliğinde bir bağlantıydı. Biliyorsunuz, eski Yunanlılar sayı teorisi ile geometriyi neredeyse tamamen birbirinden ayrı konular olarak görüyorlardı.

Ancak Descartes'la arasında şu temel bağlantı vardı. Ve artık içselleştirildi; biliyorsunuz, matematiği öğretme şeklimiz. Geometrik bir probleminiz varsa ona sayılarla saldırmanız artık şaşırtıcı değil. Veya sayılarla sorununuz varsa geometriyle saldırabilirsiniz.

Bunun nedeni hem geometrinin hem de sayıların aynı matematiksel kavramın yönleri olmasıdır. Cebirsel geometri adı verilen bütün bir alanımız var; bu ne cebir ne de geometridir, ancak bu, çizgiler ve daireler gibi geometrik şekiller veya denklemler olarak düşünebileceğiniz nesneleri inceleyen birleşik bir konudur.

Ama gerçekte bu, üzerinde çalıştığımız ikisinin bütünsel bir birleşimidir. Konu derinleştikçe bunun bazı açılardan ayrı ayrı cebir veya geometriden daha temel olduğunu fark ettik. Dolayısıyla, bu bağlantılar bir nevi gerçek matematiği keşfetmemize yardımcı oluyor; başlangıçta deneysel çalışmalarımız bize konunun yalnızca bir köşesini veriyor.

Fille ilgili meşhur bir benzetme var, nerede olduğunu unuttum, eğer varsa… Dört kör adam var ve bir fil keşfediyorlar. Ve içlerinden biri filin bacağını hissediyor ve şöyle düşünüyor: “Ah, bu, bu çok sert. Ağaca falan benzer bir şey olsa gerek."

Ve içlerinden biri hortumu hissediyor ve ancak çok sonra tüm farklı hipotezlerini açıklayan tek bir fil nesnesinin olduğunu görüyorlar. Evet, yani başlangıçta hepimiz körüz, biliyorsun. Biz sadece Platon'un mağarasındaki gölgeleri izliyoruz ve ancak daha sonra şunu fark ediyoruz:

STROGATZ: Vay, burada çok felsefi konuşuyorsun. Bu bir şey. Şimdi dayanamıyorum: Eğer fil ve kör insanlar hakkında konuşmaya başlayacaksanız, bu matematiğin orada bir yerde olduğunu düşündüğünüzü, fil gibi bir şey olduğunu ve bizim de kör olduğumuzu düşündüğünüzü gösterir… Ya da siz biliyorsunuz, insandan bağımsız var olan bir şeyi görmeye çalışıyoruz. Gerçekten inandığın şey bu mu?

TAO: İyi matematik yaptığınızda, bu sadece sembolleri itmek değildir. Anlamaya çalıştığınız gerçek bir nesnenin var olduğunu hissediyorsunuz ve sahip olduğumuz tüm denklemler bunun bir nevi yaklaşık tahminleri veya gölgeleri.

Aslında neyin gerçeklik olduğuna dair felsefi noktayı tartışabilirsiniz. Demek istediğim, bunlar aslında dokunabileceğiniz şeyler ve şeyler matematiksel olarak ne kadar gerçek olursa, bazen o kadar az fiziksel görünürler. Söylediğiniz gibi, geometri başlangıçta fiziksel uzaydaki nesnelerle ilgili çok somut bir şeydi; aslında bir daire, bir kare vb. oluşturabilirsiniz.

Ama modern geometride biliyorsunuz daha yüksek boyutlarda çalışıyoruz. Ayrık geometrilerden, her türlü tuhaf topolojiden bahsedebiliriz. Ve demek istediğim, artık ölçülen bir Dünya olmasa da, konu geometri olarak anılmayı hak ediyor. Antik Yunan etimolojisi çok eski ama öyle ama kesinlikle orada bir şeyler var. İster - buna ne kadar gerçek demek istiyorsunuz? Ama sanırım asıl mesele şu ki, aslında matematik yapmak amacıyla, bunun gerçek olduğuna inanmaya yardımcı oluyor.

STROGATZ: Evet, ilginç değil mi? Öyle. Görünüşe göre bu matematik tarihinin çok derinlerine giden bir şey. Arşimet'in arkadaşı ya da en azından meslektaşı Eratosthenes'e yazdığı bir makale beni çok etkiledi.

Şu anda M.Ö. 250'den bahsediyoruz. Ve şunu söylüyor: Parabolün segmenti diyebileceğimiz şeyin alanını bulmanın bir yolunu keşfetti. Bir parabol alıyor, parabolün eksenine eğik bir açıyla onu kesiyor ve bu alanı buluyor. Çok güzel bir sonuç elde ediyor. Ama Eratosthenes'e şöyle bir şey söylüyor: "Bu sonuçlar başından beri rakamların doğasında vardı." Biliyorsun, oradalar. Onlar orada. Sadece bulmasını bekliyorlar.

Onları o yaratmış gibi değil. Şiir gibi değil. Yani aslında ilginç değil mi? Pek çok harika sanatçı - Michelangelo, heykelin taştan çıkarılmasından, sanki başlangıçta oradaymış gibi söz etti. Ve öyle görünüyor ki siz ve diğer birçok büyük matematikçi de öyle; sizin de söylediğiniz gibi, bu fikre, onun orada bizi beklediğine, doğru beyinlerin onu keşfetmesini beklediğine inanmak çok faydalı.

TAO: Sağ. Bence bunun bir tezahürü, açıklaması genellikle çok karmaşık olan fikirlerin ilk keşfedildiğinde basitleştirilmesidir. Demek istediğim, bir şeyin başlangıçta çok derin ya da zor görünmesinin nedeni çoğu zaman doğru notasyona sahip olmamanızdır.

Örneğin, sayıları işlemek için artık ondalık gösterime sahibiz ve bu çok kullanışlı. Ama geçmişte, bilirsiniz, Romen rakamları vardı ve sonra matematik yapmak istiyorsanız üzerinde çalışılması gerçekten çok zor olan daha ilkel sayı sistemleri de vardı.

Öklid'in Elements, biliyorsunuz — bu eski metinlerdeki bazı argümanlar. Mesela Öklid'in denkleminde bir teorem var. Elements Sanırım Aptallar Köprüsü falan deniyordu. Bu, bence ifade ikizkenar üçgen gibi, iki taban açısı eşittir ifadesine benziyor. Bu, modern geometrik metinlerdeki doğru aksiyomlarla yapılan iki satırlık ispat gibidir. Fakat Euclid'in bunu yapmanın korkunç bir yolu vardı. Klasik çağda pek çok geometri öğrencisinin matematikten tamamen vazgeçtiği yer burasıydı.

STROGATZ: Doğru. (gülüyor)

TAO: Ama biliyorsunuz, artık bunu yapmanın çok daha iyi bir yoluna sahibiz. Çoğu zaman matematikte gördüğümüz zorluklar kendi sınırlamalarımızın eseridir. Ve olgunlaştıkça işler daha da basitleşiyor. Ve bu yüzden daha gerçek hissettiriyor. Eserleri göremiyoruz. İşin özünü görüyoruz.

STROGATZ: Peki, makalenize geri dönecek olursak: O zamanlar bunu yazdığınızda — yani bu kariyerinizin oldukça erken bir dönemiydi, en başlangıcı değil ama yine de. O zamanlar neden iyi matematiğin ne olduğunu tanımlamaya çalışmanın önemli olduğunu düşündünüz?

TAO: Sanırım… O noktada zaten lisansüstü öğrencilere tavsiyelerde bulunmaya başlamıştım ve fark ettim ki, bilirsiniz, neyin iyi neyin kötü olduğu konusunda bazı yanlış anlamalar vardı. Ayrıca farklı alanlardaki matematikçilerle de konuşuyordum ve birinin matematikte kendi alanına değer verdiği şey diğerlerinden farklı görünüyordu. Ama yine de bir şekilde hepimiz aynı konuyu çalışıyorduk.

Ve bazen birisi beni yanlış yola sokan bir şey söylerdi, bilirsiniz, şöyle, "Bu matematiğin hiçbir uygulaması yok, dolayısıyla hiçbir değeri yok." Veya “Bu kanıt çok karmaşık; dolayısıyla hiçbir değeri yok” ya da buna benzer bir şey. Ya da tam tersi, biliyorsunuz, “Bu kanıt çok basit; bu yüzden değmez…” Biliyorsunuz. Bazen karşılaştığım bir tür züppelik falan vardı.

Ve deneyimlerime göre, en iyi matematik, farklı bir bakış açısını, farklı bir alandaki birinden matematik hakkında farklı bir düşünme biçimini anladığım ve onu önemsediğim bir probleme uyguladığımda ortaya çıktı. Ve benim matematiğin nasıl doğru bir şekilde kullanılacağına ve onu nasıl kullanacağıma dair deneyimim bunlardan çok farklıydı; bir nevi "matematik yapmanın tek gerçek yolu."

Bu noktanın bir şekilde vurgulanması gerektiğini hissettim. Aslında matematik yapmanın çoğul bir yolu var ama matematik hâlâ birlik içinde.

STROGATZ: Bu çok açıklayıcı, çünkü merak ettim, biliyorsunuz, girişimde sizin araştırdığınız birçok farklı matematik dalından bahsetmiştim ve bazılarını dahil etmedim bile. Mesela, sadece birkaç yıl önce, akışkanlar dinamiğindeki bu gizem hakkındaki çalışmanızı, bazı denklemlerin su ve hava hareketlerine yaklaşma konusunda iyi bir iş çıkardığını düşündüğümüz çalışmanızı hatırlayabiliyorum. Çok fazla ayrıntıya girmek istemiyorum ama sadece şunu söylemek istiyorum, işte buradasınız, insanlar sizin sayı teorisi veya harmonik analiz yaptığınızı düşünüyor ve aniden akışkanlar dinamiği soruları üzerinde çalışıyorsunuz. Yani bunun kısmi diferansiyel denklemler olduğunun farkındayım. Ancak yine de ilginizin genişliği, iyi matematik yapmanın tüm farklı yollarından farklı anlayışları, farklı değerli fikirleri kabul etme genişliğinizle ilişkili görünüyor.

TAO: Kimin söylediğini unuttum ama iki tip matematikçi vardır. Kirpi ve tilki var. Tilki her şey hakkında biraz bilgi sahibi olan kişidir. Kirpi bir şeyi çok ama çok iyi bilen bir yaratıktır. Ve hiçbiri diğerinden daha iyi değil. Birbirlerini tamamlıyorlar. Demek istediğim, matematikte, bir alt alanda gerçekten derin alan uzmanı olan ve bir konuyu baştan sona bilen insanlara ihtiyacınız var. Ve bir alan ile diğeri arasındaki bağlantıları görebilen insanlara ihtiyacınız var. Bu yüzden kendimi kesinlikle tilki olarak tanımlıyorum ama birçok kirpi ile çalışıyorum. En çok gurur duyduğum iş genellikle böyle bir işbirliğidir.

STROGATZ: Ah evet. Kirpi olduklarının farkındalar mı?

TAO: Tamam, roller zamanla değişiyor. Mesela benim kirpi, başka birinin tilki olduğu başka işbirlikleri de var. Bunlar bir bakıma kalıcı değil; biliyorsunuz, bunlar sizin DNA'nızda yok.

STROGATZ: Ah, iyi bir nokta. Evlat edinebiliriz; her iki pelerini de giyebiliriz.

Peki ya o dönemde makaleye bir yanıt var mıydı? İnsanlar sana bir şey söyledi mi?

TAO: Genel olarak oldukça olumlu tepkiler aldım. Demek istediğim, AMS Bülteni Bence çok geniş çapta tirajlı bir yayın değil. Ayrıca çok tartışmalı bir şey de söylemedim. Ayrıca, bu tür eskimiş bir sosyal medya, yani sanırım bunu ele alan birkaç matematik blogu var ama Twitter yoktu. Viral hale gelmesini sağlayacak hiçbir şey yoktu.

Evet, ayrıca genel olarak matematikçilerin zamanlarının ve entelektüel sermayelerinin çoğunu spekülasyona harcamadıklarını düşünüyorum. Demek istediğim, adında başka bir matematikçi daha var minhyong kim Matematikçiler için güvenilirliğin para birimi, para gibi olduğunu söyleyen çok hoş bir metaforu vardı. Eğer teoremleri kanıtlarsanız ve konuyu bildiğinizi ortaya koyarsanız, bankada bir şekilde bu kredibiliteyi biriktirmiş olursunuz. Ve yeterli paraya sahip olduğunuzda, biraz felsefi davranarak ve aslında kanıtlayabileceğinizden ziyade neyin doğru olabileceğini söyleyerek biraz spekülasyon yapmayı göze alabilirsiniz.

Ancak biz muhafazakar olma eğilimindeyiz ve banka hesabımızda kredili mevduat hesabı istemiyoruz. Biliyorsunuz, yazılarınızın çoğunun spekülatif olmasını ve yalnızca yüzde birinin gerçekten bir şeyi kanıtlamasını istemezsiniz.

STROGATZ: Haklısın. Peki tamam. Yani o zamandan bu yana çok uzun yıllar geçti. Ne hakkında konuşuyoruz? 15 yıldan fazla bir süre var.

TAO: Ah evet, zaman uçup gidiyor.

STROGATZ: Fikriniz değişti mi? Revize etmemiz gereken bir şey var mı?

TAO: Aslında matematik kültürü oldukça değişiyor. Zaten matematiğe dair geniş bir bakış açım vardı ve şimdi daha da geniş bir bakış açısına sahibim.

Çok somut bir örnek şu: Bilgisayar destekli kanıtlar 2007'de hala tartışmalıydı. Kepler varsayımı adı verilen ve birim topları üç boyutlu uzayda paketlemenin en etkili yolu ile ilgili ünlü bir varsayım vardı. Ve standart bir salmastra var, sanırım buna kübik merkezi salmastra falan deniyor, Kepler'in mümkün olan en iyi olduğunu varsaydığı.

Bu nihayet çözüldü, ancak kanıt oldukça bilgisayar destekliydi. Oldukça karmaşıktı ve [Thomas] Halessonunda bu özel kanıtı resmen doğrulamak için tam bir bilgisayar dili yarattı, ancak bu uzun yıllar boyunca gerçek bir kanıt olarak kabul edilmedi. Ancak doğrulamak için bilgisayar yardımına ihtiyaç duyduğunuz kanıt kavramının ne kadar tartışmalı olduğunu gösterdi.

O zamandan bu yana geçen yıllarda, bir insanın karmaşık bir sorunu, doğrulaması için hala bir bilgisayar gerektiren bir şeye indirgeyebildiği kanıtların pek çok başka örneği ortaya çıktı. Daha sonra bilgisayar devam eder ve bunu doğrular. Bunun sorumlu bir şekilde nasıl yapılacağına dair uygulamalar geliştirdik. Kodun ve verilerin nasıl yayınlanacağını, kontrol etmenin yollarını ve yeni açık kaynaklı şeyleri vb. biliyorsunuz. Ve artık bilgisayar destekli ispatlar yaygın bir şekilde kabul görüyor.

Şimdi, sanırım bir sonraki kültürel değişim şu olacak: Yapay zeka tarafından oluşturulan kanıtların kabul edilip edilmeyeceği. Şu anda yapay zeka araçları matematik problemlerini gerçekten ilerletecek kanıtlar üretebilecek düzeyde değil. Belki lisans seviyesindeki ev ödevlerini bir nevi halledebilirler ama matematik araştırınca henüz o seviyede değiller. Ancak bir noktada yapay zeka destekli makalelerin çıktığını görmeye başlayacağız ve bir tartışma yaşanacak.

Kültürümüz bazı açılardan değişti… 2007 yılında matematikçilerin yalnızca küçük bir kısmı ön baskılarını yayınlanmadan önce kullanıma sunmuştu. Yazarlar, dergiden kabul bildirimi alana kadar ön baskılarını kıskançlıkla korurlardı. Ve sonra paylaşabilirler.

Ama şimdi herkes kağıtlarını koyuyor arXiv gibi genel sunucular. Bir makalenin fikirlerinin nereden geldiğine dair videolar ve blog gönderileri koymak için çok daha fazla açıklık var. Çünkü insanlar işi daha etkili ve etkili kılan şeyin bu olduğunun farkındalar. Eğer çalışmanızı duyurmamaya çalışırsanız ve bu konuda çok gizli davranırsanız, bu bir sıçrama yaratmaz.

Matematik haline geldi çok daha işbirlikçi. Biliyorsunuz, 50 yıl önce matematik alanındaki makalelerin çoğunluğunun tek yazarlı olduğunu söylerdim. Şimdi, kesinlikle çoğunluk iki, üç ya da dört yazarlı. Ve bilimde yaptığımız gibi gerçekten büyük projeler görmeye yeni başlıyoruz, bilirsiniz, onlarca, yüzlerce insanın işbirliği yaptığı gibi. Bunu yapmak matematikçiler için hala zor, ama sanırım oraya ulaşacağız.

Aynı zamanda çok daha disiplinlerarası hale geliyoruz. Diğer bilimlerle daha çok çalışıyoruz. Matematiğin alanları arasında çalışıyoruz. Ve internet sayesinde dünyanın her yerinden insanlarla işbirliği yapabiliyoruz. Yani matematik yapma şeklimiz kesinlikle değişiyor.

Umuyorum ki gelecekte amatör matematik camiasından daha fazla faydalanabileceğiz. Astronomi gibi, gökbilimcilerin amatör astronomi topluluğundan büyük ölçüde yararlandığı başka alanlar da var, örneğin birçok kuyruklu yıldızın amatörler tarafından bulunması gibi.

Ama matematikçiler… Matematiğin benzer, döşeme, iki boyutlu döşeme ve belki de asal sayılarda kayıt bulma gibi izole edilmiş birkaç alanı vardır. Amatörlerin katkıda bulunduğu çok seçkin matematik alanları var ve bunlar memnuniyetle karşılanıyor. Ama çok fazla engel var. Matematiğin çoğu alanında, o kadar çok eğitime ve içselleştirilmiş ya da geleneksel bilgeliğe ihtiyacınız var ki, bazı şeyleri kitle kaynak yoluyla sağlayamayız. Ancak bu gelecekte değişebilir. Belki de yapay zekanın etkilerinden biri amatör matematikçilerin matematiğe anlamlı katkıda bulunmasına izin vermek olabilir.

STROGATZ: Bu çok ilginç.

[Reklam ekleme molası]

STROGATZ: Yani amatörler yapay zekaların yardımıyla ya iyi yeni sorular sorabilir ya da mevcut soruların iyi bir şekilde araştırılmasına yardımcı olabilir, öyle mi?

TAO: Pek çok farklı yöntem var — evet. Örneğin, artık büyük teoremlerin kanıtlarını bu denilen şeylerde resmileştirmeye yönelik projeler var. resmi kanıt yardımcılarıBir teoremin doğru olup olmadığını %100 doğrulayabilen ve kanıtlanmış olup olmadığını %XNUMX doğrulayabilen bilgisayar dilleri gibidirler. Bu aslında matematikte büyük ölçekli işbirliğini mümkün kılıyor.

Yani geçmişte, bir teoremi kanıtlamak için 10 kişiyle işbirliği yaparsanız ve her biri bir adım katkıda bulunursa, herkesin diğer herkesin matematiğini doğrulaması gerekirdi. Çünkü matematikle ilgili olan şey şu ki, eğer bir adımda hata varsa her şey dağılabilir.

Yani güvene ihtiyacınız var ve bu nedenle bu, matematikte gerçekten büyük ölçekli işbirliklerini engelliyor, bu gerçekten engelliyor. Ama şimdi var, gerçekten büyük teoremlerin büyük bir topluluğun olduğu, hepsinin birbirini tanımadığı, hepsi birbirine güvenmediği, ancak Github deposuna yükleme yoluyla iletişim kurduğu yerlerde resmileştirilen başarılı örnekler var. argümandaki bireysel adımların bireysel kanıtları gibi bir şey. Ve resmi kanıt yazılımı her şeyi doğrular ve böylece güven konusunda endişelenmenize gerek kalmaz. Böylece geçmişte pek görmediğimiz yeni işbirliği modlarını mümkün kılıyoruz.

STROGATZ: Vizyonunu duymak gerçekten ilginç Terry. Bu büyüleyici bir düşünce. “Vatandaş matematikçi” ifadesini duymazsınız. Vatandaş bilimini duydunuz ama neden vatandaş matematiğini duymadınız?

Ancak merak ediyorum, örneğin bilgisayar destekli kanıtlar veya yapay zeka tarafından oluşturulan kanıtlar konusunda endişelendiğiniz herhangi bir eğilim var mı? Bazı sonuçların doğru olduğunu bileceğiz ama nedenini anlamayacağız mı?

TAO: Yani bu bir sorun. Demek istediğim, bu zaten yapay zekanın ortaya çıkışından önce bile bir sorundu. Yani bir konudaki makalelerin giderek uzadığı, yüzlerce sayfanın olduğu pek çok alan var. Yapay zekanın aslında tam tersi şekilde basitleştirmeye yardımcı olabileceğini ve kanıtlamanın yanı sıra açıklayabileceğini de umuyorum.

Halihazırda deneysel bir yazılım var, mesela resmileştirilmiş bir kanıtı alırsanız, bunu aslında insanlar tarafından okunabilen etkileşimli bir belgeye dönüştürebilirsiniz, burada kanıta sahipsiniz ve üst düzey adımları görüyorsunuz ve bir cümle varsa anlamıyorsun, üzerine çift tıklayabilirsin ve daha küçük adımlara genişleyecektir. Yakında, sanırım siz ispatı incelerken yanınızda bir AI sohbet robotu da oturabilecek, sorular alabilecek ve sanki yazar kendileriymiş gibi her adımı açıklayabilecekler. Buna zaten çok yakın olduğumuzu düşünüyorum.

Endişeler var. Öğrencilerimize eğitim verme şeklimizi değiştirmeliyiz, özellikle de artık geleneksel ev ödevi verme yöntemlerimiz ve benzeri pek çok şey göz önüne alındığında, neredeyse bu yapay zeka araçlarının standart sınav sorularımızın çoğuna anında cevap verebileceği bir noktadayız. Bu nedenle öğrencilerimize yapay zeka tarafından üretilen bir çıktının doğru olup olmadığının nasıl doğrulanacağı ve nasıl ikinci bir görüş alınacağı gibi yeni beceriler öğretmemiz gerekiyor.

Ve matematiğin daha deneysel bir yönünün ortaya çıktığını görebiliriz, biliyorsunuz. Yani matematik neredeyse tamamen teoriktir, oysa çoğu bilimin hem teorik hem de deneysel bir bileşeni vardır. Sonunda sadece bilgisayarlar tarafından kanıtlanmış ve sizin de söylediğiniz gibi anlamadığımız sonuçlara sahip olabiliriz. Ancak yapay zekanın ve bilgisayar tarafından oluşturulan kanıtların sağladığı verilere sahip olduğumuzda deneyler yapabiliriz.

Artık biraz deneysel matematik var. İnsanlar, örneğin eliptik eğriler gibi çeşitli şeylerden oluşan büyük veri kümeleri üzerinde çalışıyorlar. Ancak gelecekte çok daha büyük boyutlara ulaşabilir.

STROGATZ: Vay, çok iyimser bir bakış açınız var, bana öyle geliyor. Artık Altın Çağ geçmişteki gibi değil. Eğer seni doğru duyuyorsam, ileride çok heyecan verici şeyler olduğunu düşünüyorsun demektir.

TAO: Evet, yeni teknolojik araçların çoğu çok güçlendirici. Demek istediğim, genel olarak yapay zekanın pek çok karmaşık olumlu ve olumsuz yanları var. Ve bilimlerin dışında, ekonomide, fikri mülkiyet haklarında vb. pek çok olası aksama var. Ancak matematikte iyinin kötüye oranının diğer birçok alana göre daha iyi olduğunu düşünüyorum.

Ve biliyorsunuz, internet matematik yapma şeklimizi gerçekten değiştirdi. Birçok farklı alanda birçok insanla işbirliği yapıyorum. İnternet olmadan bunu yapamazdım. Gerçek şu ki, Vikipedi'ye falan girip bir konuyu öğrenmeye başlayabilirim, birine e-posta gönderebilirim ve çevrimiçi işbirliği yapabiliriz. Yalnızca bölümümdeki insanlarla konuşabildiğim ve diğer her şey için fiziksel postayı kullanabileceğim eski usul işler yapmak zorunda kalsaydım, şu anda yaptığım matematiği yapamazdım.

STROGATZ: Vay, tamam. Az önce söylediklerinizin altını çizmem gerekiyor çünkü bir milyon yıl geçse de şunu duyacağımı hiç düşünmezdim: Terry Tao matematik öğrenmek için Vikipedi'yi mi okuyor?

TAO: Başlangıç ​​noktası olarak. Demek istediğim, her zaman Vikipedi değil, sadece anahtar kelimeleri almak için ve sonra daha özel bir arama yapacağım, diyelim ki, MatematikBilim Ağı veya başka bir veritabanı. Ama evet.

STROGATZ: Bu bir eleştiri değil. Demek istediğim, ben de aynı şeyi yapıyorum. Vikipedi aslında, eğer Vikipedi'de matematiğe yönelik herhangi bir eleştiri varsa, belki de bu, bazen okuyucular için amaçlandığı gibi biraz fazla ileri düzeyde olmasından kaynaklanmaktadır, sanırım. Her zaman değil. Yani duruma bağlı. Makaleden makaleye çok değişiyor. Ama bu çok komik. Bunu duymayı seviyorum.

TAO: Demek istediğim, bu araçlar, çıktıyı inceleyebilmeniz gerekiyor. Bilirsiniz, yani, matematik yapmak için Vikipedi'yi kullanabilmemin nedeni, Vikipedi'nin matematikle ilgili bir parçasının şüpheli olup olmadığını hissedebilecek kadar zaten yeterince matematik bilmemdir. Biliyorsunuz, bazı kaynaklar alabilir ve bunlardan biri diğerinden daha iyi bir kaynak olacaktır. Yazarları tanıyorum ve hangi referansın benim için daha iyi olacağına dair bir fikrim var. Eğer Vikipedi'yi deneyimim olmayan bir konu hakkında bilgi edinmek için kullansaydım, bunun daha çok rastgele bir değişken olacağını düşünüyorum.

STROGATZ: Peki, iyi matematiği iyi yapan şeyin ne olduğu, iyi matematiğin yeni türlerinin olası geleceği hakkında epeyce konuştuk. Ama belki de şu soruyu ele almalıyız: Bu neden önemli? Matematiğin iyi olması neden önemlidir?

TAO: Peki, öncelikle neden matematikçilerimiz var? Toplum neden matematiğe değer veriyor ve bize yaptığımız işi yapmamız için gerekli kaynakları veriyor? Biliyorsunuz, çünkü bir miktar değer sağlıyoruz. Gerçek dünyaya uygulamalarımız olabilir. Entelektüel bir ilgi var ve geliştirdiğimiz teorilerden bazıları en sonunda diğer olgulara dair içgörü sağlıyor.

Ve tüm matematik eşit değerde değildir. Demek istediğim, pi'nin giderek daha fazla rakamını hesaplayabilirsiniz, ancak bir noktada hiçbir şey öğrenemezsiniz. Her konunun bir çeşit değer yargısına ihtiyacı vardır çünkü kaynakları tahsis etmeniz gerekir. Ortalıkta o kadar çok matematik var ki. Hangi ilerlemeleri vurgulamak, duyurmak ve diğer insanların bundan haberdar olmasını istiyorsunuz ve belki de hangileri bir yerlerde sessizce bir günlüğün üzerinde durmalı?

Bir konunun tamamen nesnel olduğunu düşünseniz ve biliyorsunuz, yalnızca doğru ya da yanlış vardır, yine de seçim yapmak zorundayız. Biliyorsunuz, çünkü zaman sınırlı bir kaynak. Dikkat sınırlı bir kaynaktır. Para sınırlı bir kaynaktır. Yani bunlar her zaman önemli sorulardır.

STROGATZ: Peki, tanıtımdan bahsetmeniz ilginç, çünkü bence bu, işinizin ayırt edici bir özelliği, aynı zamanda blogunuz aracılığıyla, çeşitli makaleler yoluyla matematiği herkesin erişimine açık hale getirmek için çok çaba harcadınız. yazdım. Yazdığın bir konuyu tartıştığımı hatırlıyorum Amerikalı bilim adamı evrensellik ve bu fikir hakkında. Matematiği herkesin erişimine açık ve anlaşılır kılmak neden önemlidir? Demek istediğim, yapmaya çalıştığın şey ne?

TAO: Bu bir bakıma organik bir şekilde gerçekleşti. Kariyerimin başlarında World Wide Web hâlâ çok yeniydi ve matematikçiler çeşitli içeriklere sahip web sayfaları oluşturmaya başladılar, ancak merkezi bir dizin pek yoktu. Google ve benzerlerinden önce bireysel kaynak bulmak aslında zordu.

Ben de bir nevi yapmaya başladım web sayfamdaki küçük dizinler. Ayrıca kendi makalelerim için web sayfaları hazırlar ve bazı yorumlarda bulunurdum. Başlangıçta, sadece organizasyonel bir araç olarak, sadece bir şeyler bulmama yardımcı olmak için daha çok kendi yararımaydı. Bir yan ürün olarak halka açıktı, ancak ben bir nevi kendi web sayfalarımın birincil tüketicisiydim, ya da en azından öyle sanıyordum.

Ama çok net hatırlıyorum, bir keresinde bir makale yazıp bunu web sayfama koymuştum ve "Yenilikler Neler?" adında küçük bir alt sayfam vardı. Ben de dedim ki, “İşte bir makale. İçinde hala cevaplayamadığım ve nasıl çözeceğimi bilmediğim bir soru var.” Ve bu yorumu az önce yaptım. Ve iki gün sonra şöyle bir e-posta aldım: "Ah, tam da ana sayfanızı kontrol ediyordum. Bunun cevabını biliyorum. Sorununuzu çözecek bir makale var.”

Ve her şeyden önce, insanların aslında benim web sayfamı ziyaret ettiğini fark etmemi sağladı ki bunu gerçekten bilmiyordum. Ancak toplulukla olan bu etkileşim gerçekten de sorularımı doğrudan çözmeme yardımcı olabilir.

Bu kanunun adı var Ağ oluşturmada Metcalfe yasası eğer varsa n insanlar ve hepsi birbirleriyle konuşuyor, yaklaşık n² aralarındaki bağlantılar. Ve böylece, izleyici kitlesi ne kadar büyükse ve herkesin herkesle konuşabildiği forum ne kadar büyükse, o kadar fazla potansiyel bağlantı kurabilirsiniz ve o kadar iyi şeyler olabilir.

Demek istediğim, kariyerimde yaptığım keşiflerin ya da kurduğum bağlantıların çoğu beklenmedik bağlantılardan kaynaklanıyor. Tüm kariyer deneyimim, daha fazla bağlantının daha iyi şeylerin gerçekleşmesine eşit olduğu yönündeydi.

STROGATZ: Sanırım bahsettiğiniz şeyin güzel bir örneği, ama bunun hakkında konuştuğunuzu duymak isterim, veri biliminde tıbbi rezonans görüntülemeyle ilgili sorularla ilgilenen insanlarla kurduğunuz bağlantılar , MRI. Bize bu hikâyeyi biraz anlatır mısınız?

TAO: Yani sanırım 2006, 2005 yıllarıydı. Yani burada, UCLA kampüsünde, çok ölçekli geometrik analiz veya buna benzer bir şey hakkında disiplinler arası bir program vardı, burada kendi başına çok ölçekli tip geometriyle ilgilenen saf matematikçileri bir araya getiriyorlardı ve sonra, bilirsiniz, çok somut veri türü sorunları olan insanlar.

Rastgele matris teorisindeki bazı problemler üzerinde çalışmaya yeni başlamıştım, dolayısıyla matrisleri değiştirebilen biri olarak biliniyordum. Ve zaten tanıdığım biriyle tanıştım, Emmanuel CandesÇünkü o sırada Caltech'in hemen yanında çalışıyordu. O ve başka bir işbirlikçi, Justin Romberg, bu olağandışı fenomeni keşfetmişlerdi.

MR görüntülerine bakıyorlardı ama çok yavaşlar. Bir insan vücudunun yeterince yüksek çözünürlüklü görüntüsünü toplamak veya bir tümörü veya bulmak istediğiniz tıbbi açıdan önemli herhangi bir özelliği yakalamak için yeterli miktarda toplamak genellikle birkaç dakika sürer çünkü tüm bu farklı açıları taramaları ve ardından verileri sentezlemeleri gerekir. . Ve bu aslında bir sorundu, çünkü örneğin küçük çocukların MRI makinesinde üç dakika hareketsiz oturması oldukça sorunluydu.

Yani bazı lineer cebir kullanarak farklı bir yolla deneyler yapıyorlardı. %10, %20 oranında daha iyi bir performans artışı elde etmeyi umuyorlardı. Bilirsiniz, standart algoritmayı biraz değiştirerek biraz daha keskin bir görüntü elde edebilirsiniz.

Yani standart algoritmaya en küçük kareler yaklaşımı adı verildi ve onlar, toplam varyasyon minimizasyonu adı verilen başka bir şey yapıyorlardı. Ancak daha sonra bilgisayar yazılımını çalıştırdıklarında, test görüntülerinin neredeyse mükemmel bir şekilde yeniden oluşturulduğunu gördüler. Muazzam, muazzam bir gelişme. Ve bunu açıklayamadılar.

Ama Emmanuel bu programdaydı ve biz çay falan içerken sohbet ediyorduk. Az önce bundan bahsetti ve aslında ilk düşüncem, hesaplamanızda bir hata yapmış olmanız gerektiği, söylediklerinizin aslında mümkün olmadığı yönündeydi. O gece eve döndüğümü ve gördükleri şeyin gerçekte olamayacağına dair gerçek bir kanıt yazmaya çalıştığımı hatırlıyorum. Daha sonra yarı yolda, doğru olmayan bir varsayımda bulunduğumu fark ettim. Ve sonra aslında işe yarayabileceğini fark ettim. Sonra bunun açıklamasının ne olabileceğini düşündüm. Sonra birlikte çalıştık ve aslında iyi bir açıklama bulduk ve bunu yayınladık.

Ve bunu yaptığımızda, insanlar normalde çok fazla veri gerektiren bir ölçüm yapmanız gereken birçok başka durum olduğunu fark etti ve bazı durumlarda çok daha az miktarda veri alıp yine de gerçekten yüksek sonuçlar elde edebiliyorsunuz. çözünürlük ölçümü.

Yani şimdi, modern MRI makineleri, örneğin; eskiden üç dakika süren bir tarama artık 30 saniye sürebiliyor çünkü bu yazılım, bu algoritma artık makinelere donanımla bağlanmış, kodlanmış durumda.

STROGATZ: Çok güzel bir hikaye, çok güzel bir hikaye. Demek istediğim, tıbbi görüntüleme bağlamında kelimenin tam anlamıyla hayatları değiştiren önemli matematikten bahsedelim. Bu fikri duyup sonra "bu imkansız, bunu kanıtlayabilirim" diye düşünmenin tesadüfünü ve açık fikirliliğini seviyorum. Ve sonra aslında hayır olduğunu fark ettim. Matematiğin böyle bir etki yarattığını görmek harika.

Tamam, sanırım seni bıraksam iyi olacak, Terry. Sizinle iyi matematiğin özünü tartışmak gerçekten büyük bir zevkti. Bugün bize katıldığınız için çok teşekkür ederiz.

TAO: Evet, hayır, benim için bir zevkti. 

[Reklam ekleme molası]

STROGATZ: “The Joy of Why” bir podcast'tir. Quanta Dergisi, Simons Foundation tarafından desteklenen editoryal olarak bağımsız bir yayın. Simons Vakfı'nın finansman kararlarının, bu podcast'teki veya diğer yayınlardaki konuların, konukların veya diğer editoryal kararların seçimi üzerinde hiçbir etkisi yoktur. Quanta Dergisi.

"Neden Sevinci"nin yapımcılığını üstleniyoruz PRX Yapımları. Yapım ekibi Caitlin Faulds, Livia Brock, Genevieve Sponsler ve Merritt Jacob'dan oluşuyor. PRX Productions'ın baş yapımcısı Jocelyn Gonzales. Morgan Church ve Edwin Ochoa ek yardım sağladı. İtibaren Quanta Dergisi, John Rennie ve Thomas Lin, Matt Carlstrom, Samuel Velasco, Nona Griffin, Arleen Santana ve Madison Goldberg'in desteğiyle editoryal rehberlik sağladı.

Tema müziğimiz APM Music'ten. Julian Lin podcast adını buldu. Bölümün çizimi Peter Greenwood'a, logomuz ise Jaki King ve Kristina Armitage'a aittir. Columbia Gazetecilik Okulu'na ve Cornell Yayın Stüdyolarından Burt Odom-Reed'e özel teşekkürler.

Ben ev sahibiniz Steve Strogatz'ım. Bizim için herhangi bir sorunuz veya yorumunuz varsa, lütfen bize e-posta gönderin: [e-posta korumalı]. Dinlediğin için teşekkürler.