Alman matematikçi Martin Eichler'in "Matematikte beş temel işlem vardır" dediği iddia ediliyor. “Toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve modüler formlar.”

Elbette şakanın bir kısmı da bunlardan birinin diğerlerine benzememesidir. Modüler formlar çok daha karmaşık ve esrarengiz işlevlerdir ve öğrenciler genellikle lisansüstü eğitime kadar bunlarla karşılaşmazlar. Ancak "muhtemelen uygulamaları olmayan matematik alanlarının sayısı, uygulamaları olanlardan daha azdır" dedi. Don ZagierAlmanya'nın Bonn şehrindeki Max Planck Matematik Enstitüsü'nden bir matematikçi. Her hafta yeni makaleler sayı teorisi, geometri, kombinatorik, topoloji, kriptografi ve hatta sicim teorisini kapsayacak şekilde kapsamını genişletiyor.

Genellikle simetrileri karşılayan, çok çarpıcı ve ayrıntılı olan ve mümkün olmaması gereken işlevler olarak tanımlanırlar. Bu simetrilerle gelen özellikler, modüler formları son derece güçlü kılıyor. Fermat'ın Son Teoreminin 1994 yılındaki dönüm noktası niteliğindeki kanıtında onları kilit oyuncular yapan şey de buydu. Onları merkezi yapan şey buydu küre paketleme üzerine daha yeni çalışmalar. Ve onları artık "her şeyin matematiksel teorisi"nin süregelen gelişimi açısından hayati kılan şey de budur. Langlands programı.

Ama onlar ne?

Sonsuz Simetriler

Modüler bir formu anlamak için öncelikle daha tanıdık simetrileri düşünmek yardımcı olur.

Genel olarak bir şeklin, onu aynı bırakan bir dönüşüm olduğunda simetriye sahip olduğu söylenir.

Bir fonksiyon aynı zamanda simetriler de gösterebilir. $latex f(x) = x^2$ denklemiyle tanımlanan parabolü düşünün. Tek bir simetriyi karşılar: Yüzeye yansıtılabilir. y-eksen. Örneğin, $lateks f(3) = f(−3) = 9$. Daha genel olarak, herhangi bir $latex x$ girdisini $latex -x$ olarak kaydırırsanız, $latex x^2$ aynı değeri verir.

Sonsuz sayıda fonksiyon bu simetriyi karşılar. İşte sadece birkaçı:

Son örnek trigonometriden gelen kosinüs fonksiyonudur. Yansıma simetrisi sergiliyor ancak başka simetrileri de var. $latex x$ kaydırırsanız $latex 2pi$'nin tamsayı katları ile işlev her zaman aynı değeri döndürür; bu, işlevi değiştirmeden bırakabilecek sonsuz sayıda dönüşüm olduğu anlamına gelir.

Bu ek simetri, kosinüs gibi fonksiyonları inanılmaz derecede kullanışlı hale getirir. "Temel fiziğin çoğu, trigonometrik fonksiyonların tüm sonuçlarını anlamakla başlar" dedi. Ken OnoVirginia Üniversitesi'nden bir matematikçi.

"Modüler formlar trigonometrik fonksiyonlara benzer, ancak steroidler üzerindedir" diye ekledi. Sonsuz sayıda "gizli" simetriyi karşılarlar.

Karmaşık Evren

Fonksiyonlar ancak gerçek sayılara (geleneksel ondalık sayı olarak ifade edilebilecek değerlere) göre tanımlandıklarında bu kadar çok şey yapabilirler. Sonuç olarak matematikçiler sıklıkla gerçek sayı çiftleri olarak düşünülebilecek karmaşık sayılara yönelirler. Herhangi bir karmaşık sayı iki değerle tanımlanır: "gerçek" bileşen ve "sanal" bileşen; bu, gerçek sayının -1'in kareköküyle çarpımıdır (matematikçiler bunu $latex i$ olarak yazar).

Bu nedenle herhangi bir karmaşık sayı, iki boyutlu bir düzlemde bir nokta olarak temsil edilebilir.

Karmaşık sayıların fonksiyonlarını görselleştirmek zordur, bu nedenle matematikçiler sıklıkla renklere yönelirler. Örneğin, karmaşık düzlemi gökkuşağı tekerleği gibi görünecek şekilde renklendirebilirsiniz. Her noktanın rengi kutupsal koordinatlardaki açısına karşılık gelir. Merkezin hemen sağında, noktaların 0 derecelik açıya sahip olduğu yerde kırmızı renk alırsınız. 90 derecede veya dik açıda noktalar parlak yeşil renktedir. Ve benzeri. Son olarak kontur çizgileri, topografik bir haritada olduğu gibi boyut veya büyüklükteki değişiklikleri işaretler.

Artık bunu karmaşık fonksiyonları göstermek için referans grafiği olarak kullanabilirsiniz. Bir noktanın düzlemdeki konumu girişi temsil eder ve bu noktaya referans grafiğine göre bir renk atarsınız. Örneğin $latex f(z) = z^2$ fonksiyonunu düşünün. $latex z = 1 + i$ olduğunda, $latex f(z) = 2i$, çünkü $latex (1 + i)^2 = 2i$. Referans grafiğinde $latex 2i$ parlak yeşil renkte olduğundan, yeni grafiğinizde $latex 1 + i$ noktasını parlak yeşil renklendireceksiniz.

$latex f(z) = z^2$ grafiği renkler arasında iki kez geçer, çünkü karmaşık bir sayının karesi açısını iki katına çıkarır. Ayrıca çıktıların boyutu daha hızlı büyüdüğü için daha fazla kontur çizgisi vardır.

Daha genel olarak, merkezden (veya başlangıç ​​noktasından) çizilen çapraz bir çizgi üzerindeki noktaları yansıttığınızda grafik aynı görünür.

Bu, karmaşık değerli bir fonksiyonun bir simetrisidir. Modüler formlar bu tür simetrilerin şaşırtıcı çeşitliliğini sergiler. Ancak bu renklerin ve kontur çizgilerinin temsil ettiği gerçek işlevi anlamak zor olabilir.

Temel Alan

Bunu yapmak için, bu karmaşık işlevlere bakış açımızı basitleştirmeye çalışmak faydalı olacaktır.

Modüler formun simetrileri nedeniyle, tüm fonksiyonu, düzlemin temel alan adı verilen bir bölgesinde yer alan dar bir girdi şeridine dayanarak hesaplayabilirsiniz. Bu bölge, alt kısmında yarım daire şeklinde bir delik açılmış, yatay eksenden yukarı çıkan bir şerit gibi görünüyor.

Eğer fonksiyonun orada nasıl davrandığını biliyorsanız, diğer her yerde ne yaptığını da bilirsiniz.

İşte böyle:

İki tür dönüşüm, temel etki alanını sağa ve sola ve ayrıca yatay eksen boyunca sürekli daralan bir dizi yarım daireye kopyalar. Bu kopyalar karmaşık düzlemin üst yarısının tamamını dolduruyor.

Modüler bir form, kopyaları çok özel bir şekilde birbiriyle ilişkilendirir. Simetrilerinin resme girdiği yer burasıdır.

Birinci tür dönüşümle (bir birimi sola veya sağa kaydırarak) bir kopyadaki bir noktadan diğerindeki bir noktaya geçebilirseniz, modüler form bu iki noktaya aynı değeri atar. Kosinüs fonksiyonunun değerlerinin $latex 2pi$ aralıklarla tekrarlanması gibi, modüler bir form da bir birim aralıklarla periyodiktir.

Bu arada, ikinci tür dönüşüm yoluyla, bir kopyadaki bir noktadan diğerindeki bir noktaya ulaşabilirsiniz; yarıçapı 1 olan ve başlangıç ​​noktasında merkezlenmiş olan dairenin sınırı üzerinden yansıtarak. Bu durumda modüler formun bu noktalara aynı değeri ataması zorunlu değildir. Ancak iki noktadaki değerlerin birbirleriyle düzenli bir şekilde ilişki kurması da simetriyi doğurur.

Bu dönüşümleri sonsuz sayıda yolla birleştirebilirsiniz; bu da size modüler formun karşılaması gereken sonsuz sayıda simetri koşulunu verir.

"Bu pek de heyecan verici gelmiyor kulağa" dedi John VoightDartmouth College'da bir matematikçi. "Yani üst yarım düzlemi oymak ve çeşitli yerlere sayılar koymak - kimin umurunda?"

"Ama bunlar çok basit" diye ekledi. Ve durumun böyle olmasının bir nedeni var.

Kontrollü Alanlar

1920'lerde ve 30'larda Alman matematikçi Erich Hecke, modüler formlar etrafında daha derin bir teori geliştirdi. En önemlisi, bunların belirli uzaylarda, belirli boyutlara ve başka özelliklere sahip uzaylarda var olduklarını fark etti. Bu mekanları somut olarak nasıl tanımlayacağını ve bunları farklı modüler formları birbiriyle ilişkilendirmek için nasıl kullanacağını buldu.

Bu farkındalık, 20. ve 21. yüzyıl matematiğinin çoğunu yönlendirdi.

Bunun nasıl olduğunu anlamak için önce eski bir soruyu düşünün: Belirli bir tamsayıyı dört karenin toplamı şeklinde kaç farklı şekilde yazabilirsiniz? Örneğin, sıfır yazmanın tek bir yolu varken, 1'i ifade etmenin sekiz yolu, 24'yi ifade etmenin 2 yolu ve 32'ü ifade etmenin 3 yolu vardır. Bu diziyi incelemek için - 1, 8, 24, 32 vb. - matematikçiler bunu üreten fonksiyon adı verilen sonsuz bir toplamla kodladılar:

$lateks 1 + 8q + {{24q}^2} + {{32q}^3} + {{24q}^4} + {{48q}^5} + …$

$latex q^{174}$ katsayısının ne olması gerektiğini bilmenin mutlaka bir yolu yoktu; cevaplamaya çalıştıkları soru tam olarak buydu. Ancak diziyi bir üretici fonksiyona dönüştürerek matematikçiler, matematik ve diğer alanlardaki araçları kullanarak onun hakkında bilgi elde edebilirler. Örneğin herhangi bir katsayının değerine yaklaşmanın bir yolunu bulabilirler.

Ancak, eğer üretme fonksiyonu modüler bir form ise, çok daha iyisini yapabileceğiniz ortaya çıktı: Her katsayı için tam bir formül elde edebilirsiniz.

"Bunun modüler bir form olduğunu biliyorsanız, her şeyi biliyorsunuz demektir" dedi Jan Bruinier Almanya'daki Darmstadt Teknik Üniversitesi'nden Dr.

Bunun nedeni, modüler formun sonsuz sayıdaki simetrilerinin sadece güzel görünmemesi değil, aynı zamanda "çok kısıtlayıcı olmaları" dedi. Larry Rolen Vanderbilt Üniversitesi'nden bir uzman, bunların "şeyler arasındaki benzerlikleri ve özdeşlikleri otomatik olarak kanıtlayan bir araç" haline getirilebileceğini söyledi.

Matematikçiler ve fizikçiler genellikle fonksiyon üretmeyle ilgili soruları kodlarlar. Özel eğrilerdeki noktaların sayısını veya belirli fiziksel sistemlerdeki durumların sayısını saymak isteyebilirler. "Şanslıysak modüler bir form olur" dedi Claudia Alfes-NeumannAlmanya'daki Bielefeld Üniversitesi'nde matematikçi. Bunu kanıtlamak çok zor olabilir, ancak eğer yapabilirseniz, o zaman "modüler formlar teorisi o kadar zengin ki, bu [seri] katsayılarını araştırmak için size tonlarca olasılık sunuyor."

Yapı Taşları

Herhangi bir modüler form çok karmaşık görünecektir. Diğer modüler formlar için yapı taşları olarak kullanılan en basitlerinden bazılarına Eisenstein serileri adı verilir.

Eisenstein serisini sonsuz sayıda fonksiyon toplamı olarak düşünebilirsiniz. Bu işlevlerin her birini belirlemek için sonsuz bir 2B ızgaradaki noktaları kullanın:

Izgarada orijine yakın sadece dört noktaya ilişkin fonksiyonları eklediğinizde, ne kadar farklı simetrilerin ortaya çıkmaya başladığını görebilirsiniz.

Izgaranın sonsuz sayıda fonksiyonunun tam toplamını alırsanız, muhtemelen yazılması en kolay modüler form olan bir Eisenstein serisi elde edersiniz. Desenler, formun tanımlayıcı simetrilerini yansıtıyor; sola ve sağa doğru sonsuza kadar tekrarlanıyor ve yatay eksene yaklaştıkça daha karmaşık şekillerde dönüşüyor.

Oyun Devam Ediyor

Modüler formların incelenmesi bir dizi matematiksel zafere yol açtı. Örneğin, Ukraynalı matematikçi Maryna Viazovska'nın küre paketleme üzerine yaptığı son çalışma Geçen yıl Fields Madalyasını kazandı, kullanılan modüler formlar. Bruinier, "Bunu gördüğümde oldukça şaşırdım" dedi. "Ama bir şekilde işe yarıyor."

Modüler formların önemli bir cebirsel nesneye bağlı olduğu ortaya çıktı. canavar grubu. adı verilen özel türde ağlar oluşturmak için kullanıldılar. genişletici grafiklerbilgisayar bilimlerinde, iletişim teorisinde ve diğer uygulamalarda ortaya çıkan. Sicim teorisi ve kuantum fiziğindeki potansiyel parçacık etkileşim modellerini incelemeyi mümkün kıldılar.

Belki de en ünlüsü, Fermat'ın Son Teoreminin 1994'teki kanıtı modüler formlara dayanıyordu. Sayılar teorisindeki en önemli problemlerden biri olarak kabul edilen teorem, sıfırdan farklı üç tam sayının olmadığını belirtir. a, b ve c $latex n$ 2'den büyük bir tamsayı olduğunda $latex {a^n} + {b^n} = {c^n}$ denklemini sağlayan denklem. Matematikçi Andrew Wiles bunun tersini varsayarak bunun doğru olduğunu kanıtladı: Denklemin bir çözümü var ve daha sonra böyle bir varsayımın çelişkiye yol açacağını göstermek için modüler formlar kullanılıyor.

İlk olarak varsayılan çözümünü eliptik eğri adı verilen matematiksel bir nesne oluşturmak için kullandı. Daha sonra benzersiz bir modüler formu her zaman böyle bir eğriyle ilişkilendirebileceğinizi gösterdi. Ancak modüler formlar teorisi, bu durumda modüler formun var olamayacağını dikte ediyordu. Voight, "Gerçek olamayacak kadar iyi" dedi. Bu da varsayılan çözümün var olamayacağı anlamına geliyordu ve böylece Fermat'nın Son Teoremi doğrulanıyordu.

Bu sadece yüzyıllardır süren bir sorunu çözmekle kalmadı; aynı zamanda doğrudan incelenmesi zor olabilen (ve kriptografide ve hata düzeltme kodlarında önemli bir rol oynayan) eliptik eğrilerin daha iyi anlaşılmasını da sağladı.

Kanıt aynı zamanda geometri ve sayılar teorisi arasındaki köprüyü de aydınlattı. Bu köprü o zamandan beri genişletildi Langlands programı, iki alan arasında daha büyük bir bağlantı kümesi ve çağdaş matematiğin merkezi araştırma çabalarından birinin konusu. Modüler formlar, potansiyel uygulamalarının yeni yeni fark edilmeye başlandığı diğer alanlarda da genelleştirilmiştir.

Matematik ve fizikte bazen oldukça gizemli bir şekilde her yerde karşımıza çıkmaya devam ediyorlar. "Kara deliklerle ilgili bir makaleye bakıyorum" dedi Steve Kudla Toronto Üniversitesi'nden "ve arkadaşlarım olan modüler formlar buluyorum. Ama neden orada olduklarını bilmiyorum."

"Bir şekilde" diye ekledi, "modüler formlar dünyanın en temel simetrilerinden bazılarını yakalıyor."