Yağmurlu bir öğleden sonra trafikte sıkışıp kaldıysanız, muhtemelen yağmur damlalarının arabanın camından aşağıya doğru yarıştığını izlemişsinizdir. Damlacık çiftleri çarpıştığında yeni bir damlacık halinde birleşerek ayrı kimliklerini kaybederler.

Bu birleşme mümkündür çünkü su damlacıkları hemen hemen küreseldir. Şekiller yağmur damlaları gibi esnek olduğunda, bir küre eklemek hiçbir şeyi değiştirmez. Matematiğin belirli alanlarında, bir küreye bağlı bir küre, belki daha büyük veya daha yumrulu olsa da, yine de bir küredir. Ve eğer bir çörek üzerine bir küre yapıştırılırsa, elinizde hala kabarcıklı bir çörek var demektir. Ancak iki çörek bir araya gelirse iki delikli bir şekil oluştururlar. Matematikçiler için bu tamamen başka bir şeydir.

Bu kalite, küreleri geometriciler için çok önemli bir test örneği haline getiriyor. Matematikçiler genellikle küreler hakkında öğrendikleri dersleri, ikisini bir araya getirdiğinizde ne olduğuna bakarak daha karmaşık şekillere aktarabilirler. Aslında, bu tekniği herhangi bir manifolda (küreler ve çörekler gibi basit şekillerin yanı sıra iki boyutlu bir düzlem veya üç boyutlu uzay gibi sonsuz yapıları içeren bir matematik nesneleri sınıfı) uygulayabilirler.

Küreler, temas geometrisi olarak bilinen bir geometri alt disiplininde özellikle önemlidir. Temas geometrisinde, içinde yaşadığımız 3 boyutlu uzay gibi üç boyutlu bir manifold üzerindeki her nokta bir düzleme karşılık gelir. Uçaklar bir noktadan diğerine eğilebilir ve bükülebilir. Bunu belirli matematiksel kriterleri karşılayacak şekilde yaparlarsa, tüm düzlem setine temas yapısı denir. Bir temas yapısıyla (tüm düzlemler) birlikte bir manifolda (3 boyutlu uzay gibi) temas manifoldu adı verilir.

Temas yapıları dekorasyondan biraz daha fazlası gibi görünse de, fizikle bağlantıların yanı sıra üzerinde yaşadıkları manifoldlara ilişkin temel bilgiler de getiriyorlar. Modern matematikçiler ışığın nasıl davrandığı ve ışığın nasıl davrandığı hakkındaki teorileri yeniden formüle etmek için temas manifoldlarını kullanabilirler. su akar uzayda.

Üç boyutlu temas manifoldlarıyla ilgili sonuçlar sıklıkla kürelerle ilgilidir. Bir temas küresini 3 boyutlu halka gibi başka bir temas manifolduna yapıştırırsanız kürenin 3 boyutlu versiyonu, temas yapısının parçalarını birliğe bağışlayabilir. Bir çörekin, çörek deliği etrafında dönerken düzlemleri bin kez dönen bir temas yapısına sahip olabileceğini kanıtlamak istiyorsanız, önce bu yapıyı kürenin üzerine inşa edebilir, daha sonra her iki şekilde de küçük bir delik açarak onu çöreğe ekleyebilirsiniz. ve bunları kenarlar boyunca birbirine yamalamak. Belirli bir manifoldda hangi temas yapılarının bulunabileceğini araştıran matematikçiler sıklıkla bu çerçeveye güveniyorlar, dedi. John EtnyreGeorgia Teknoloji Enstitüsü'nden bir matematikçi. "Sorunu kürede ne olduğunu anlamaya indirgemek için çok çalışıyorlar" dedi.

As jonathan bowdenRegensburg Üniversitesi'nden bir matematikçi şunu söylüyor: "Eğer bir küreyi anlayamıyorsan, ben başka bir şeyi nasıl anlayabilirim?"

Küreleri basit şekiller olarak düşünme eğilimindeyiz: Bunlar yalnızca bir merkez noktadan sabit uzaklıkta olan tüm noktalardır. Örnekler arasında tek boyutlu bir dairenin yanı sıra basketbol gibi sıradan bir topun iki boyutlu yüzeyi yer alır. Ancak temas yapılarını eklediğinizde küreler beklediğinizden daha karmaşık hale gelebilir. Matematikçiler düzensiz temas manifoldları okyanusunu ayırmaya çalışırken, yeni küre türleri onlara derinliklerde ne avlayabilecekleri konusunda ipuçları verebilir.

Geçen hafta önemli ölçüde güncellenen yeni bir makalede, dört matematikçi - Bowden, Fabio Gironella, Agustin Moreno ve Zhengyi Zhou - yeni türde bir temas küresi ve onunla birlikte sonsuz sayıda yeni temas manifoldu ortaya çıkarıldı.

Tam Temaslı Spor

Bir alan olarak temas geometrisi yüzyıllar boyunca yavaş yavaş ortaya çıktı. Her ne kadar modern matematikçiler geriye dönüp baktıklarında 17. yüzyılda optik ve 19. yüzyılda termodinamik çalışmalarında temas geometrisinin ipuçlarını görseler de ancak 1950'lerde cümle buydu Matematikçiye göre “temas manifoldu” ilk kez bir makalede kullanıldı Hansjörg Geiges' konunun tarihi.

O zamana kadar matematikçiler temas manifoldlarının bazı örneklerinden zaten haberdardılar. Teknik nedenlerden dolayı kontak manifoldları yalnızca farklı boyutlarda mevcuttur. Standart üç boyutlu uzay, kademeli olarak öne doğru eğilen düzlem sıralarından oluşan bir temas yapısına sahiptir. Bu yapı doğal olarak matematikçilerin üç boyutlu küre dediği şeye kadar uzanıyor. (Bu, dört boyutlu bir topun yüzeyidir, tıpkı iki boyutlu matematiksel kürenin sıradan bir üç boyutlu topun yüzeyi olması gibi.)

1960'ların sonlarından itibaren matematikçiler temas manifoldlarının yeni örneklerini sunmaya başladılar. 1968'de Mikhael Gromov, üç boyutlu uzay gibi belirli manifoldlar üzerinde yeni temas yapıları bulma konusunda ilerleme kaydetti ve Jean Martinet Retweeted 1971'de 3 boyutlu küre gibi kompakt şekiller (net bir sınırla sonlu olan) olarak adlandırılan örneklerle. 1977'de Robert Lutz herhangi bir üç boyutlu manifoldda yeni bir kontak yapısının nasıl oluşturulacağını buldu. Lutz'un yapısı, kontak manifoldunu dilimleyerek açmayı, yukarı doğru bükmeyi ve altta yatan şekli aynı tutacak, ancak kontak yapısını yeni bir konfigürasyona zorlayacak şekilde tekrar bir araya getirmeyi içeriyordu. Bu, sonsuz 3 boyutlu alan için yeni bir temas yapısı, 3 boyutlu küre ve elinizi alttan içeri sokarsanız yukarıdan aşağıya doğru sallandığını göreceğiniz küp gibi çok sayıda daha da tuhaf nesnelerle sonuçlandı.

Yine de bu sonuçlar, 20. yüzyılın sonlarında matematikçileri temas manifoldları hakkında pek çok cevaplanmamış soruyla karşı karşıya bıraktı. Orada ne tür temas yapıları vardı? Nasıl kategorize edilmelidirler? "Matematikçiler bir konuya geldiklerinde her zaman nesneleri sınıflandırmak veya anlamak isterler" dedi. Yakov EliaşbergTemas geometrisinin erken gelişiminde etkili olan Stanford Üniversitesi'nden bir matematikçi.

Beş ve daha yüksek boyutlarda - unutmayın, temas manifoldlarının yalnızca tek sayıda boyutu olabilir - bu sorular hala cevaplanmamıştır. Üç boyutlu durumda, ilerlemenin büyük bir kısmı, 1980'lerde Sovyetler Birliği'nden bir göçmen olarak Berkeley, Kaliforniya'ya gelen Eliashberg tarafından neredeyse tek başına gerçekleştirildi.

Büküm ve bağırmak

Berkeley'de Lutz'un yeni temas manifoldları oluşturma tekniğini inceleyen Jesús Gonzalo Pérez adlı yeni bir tanıdığın sorusu üzerine Eliashberg, Lutz'un stratejisini kullanarak elde edebileceğiniz tüm üç boyutlu temas manifoldlarının belirli ortak noktalara sahip olduğunu fark etti. 1989 yılında bir yayın yayınladı. seminal kağıdı Bu manifoldları ayrıntılı olarak açıklıyoruz. Temas yapısının düzlemlerinin, bir temas yapısı olarak nitelendirilmek için gereken bükülmenin ötesinde birçok kez dönme şekli nedeniyle yeni kontak manifold sınıfını "aşırı bükülmüş" olarak adlandırdı. Eliashberg'in 1989 tarihli makalesi, matematikçilerin üç boyutlu aşırı bükülmüş manifoldlar hakkında sahip olabileceği tüm soruları pratik olarak yanıtladı, ancak Eliashberg'in temas yapısının çok az bükülmüş olması nedeniyle "sıkı" olarak adlandırdığı diğer herhangi bir temas manifolduna ulaşmak çok daha zordu.

Heidelberg Üniversitesi'nden bir matematikçi olan Moreno, "Aşırı bükülmüş yapılar çok fazla varken, sıkı temas yapıları daha nadirdir veya en azından çok daha az anlaşılmıştır" dedi.

Aşırı bükülmüş ve sıkı temaslı manifoldlar arasındaki ayrım, bir manifoldu daha büyük bir uzayın sınırı olarak görürsek daha açık hale gelir. Temas manifoldları tek boyutlu olduğundan, her zaman çift boyutlu bir manifoldun kenarını oluştururlar. (Bir dairenin tek boyutlu eğrisinin iki boyutlu bir diski nasıl çevrelediğini veya sonsuz bir çizginin iki boyutlu düzlemi nasıl iki ayrı yarıya böldüğünü düşünün.) Temas geometrisinin, sempatik geometri adı verilen çift boyutlu bir karşılığı vardır. Matematikçiler, her zaman çift boyutlu olan bir kontak manifoldunun iç kısmının simplektik bir manifold oluşturup oluşturmadığını bilmek istiyorlardı.

Eğer öyleyse, orijinal kontak manifolduna "doldurulabilir" adı verilir. Doldurulabilirlik özel bir özelliktir. Eliashberg ve Gromov'un 1980'lerde ve 1990'ların başında elde ettiği sonuçlar, doldurulabilir kontak manifoldlarının aşırı bükülemeyeceğini, sıkı olmaları gerektiğini ima etti. Ancak bunun tersi senaryo daha karanlıktı; bir manifold sıkı olabilir ama doldurulamaz olabilir mi?

Etnyre, "Uzun bir süre boyunca dar olmanın aslında sadece doldurulabilir olmanın bir yansıması olması mümkündü" dedi. Eliashberg, üç boyutlu bir kürenin yalnızca tek bir sıkı temas yapısına sahip olduğunu ve bu yapının da doldurulabileceğini kanıtlamıştı. Ancak 2002 yılında birlikte Ko Honda Kaliforniya Üniversitesi, Los Angeles, Etnyre bir örnek buldum sıkı fakat doldurulamayan üç boyutlu bir kontak manifoldunun.

Daha yüksek boyutlu vakalarda işler belirsizdi. "Üçüncü boyuttaki temas yapılarını incelemek için pek çok aracımız var ama yüksek boyutlarda neredeyse hiç yok. Ve bu gerçek bir sorun," dedi Etnyre.

“Temas topolojisinde daha yüksek boyutlar aslında vahşi batıdır. İnsanlar gerçekten olup bitenler hakkında neredeyse hiçbir şey bilmiyorlar," dedi Honda. Soru şuydu: Yüksek boyutlarda sıkı fakat doldurulamayan kontak manifoldları var mı? Ve eğer öyleyse, neye benziyorlar?

Sıkı Tutmak

2013 yılında üç matematikçi bir yol buldum Etnyre, bu tür manifoldlar yaratmanın mümkün olmadığını ancak "inşa ettikleri manifoldların aslında çok ama çok karmaşık olduğunu" söyledi. Bu seviyedeki karmaşıklığın gerekli olup olmadığının bilinmediğini ekledi. Eğer öyleyse, küreler gibi basit manifoldlar için sızdırmazlık ve doldurulabilirlik arasında hala yakın bir bağlantı olabilir.

2015 yılında, o zamanlar Münih Ludwig Maximilian Üniversitesi'nde çalışan Bowden ve iki işbirlikçi, belirli temas manifoldlarının, temas yapılarından ödün vermeden bir küre oluşturacak şekilde dikkatli bir şekilde kesilip bir araya getirilebileceğini gösterdi. Çalışmaları, matematikçilerin yalnızca bir küreden daha karmaşık bir temas manifolduna (şeylerin olağan yönü) bir temas yapısını aktarmakla kalmayıp, aynı zamanda daha karmaşık bir örnekle başlayarak bir küre üzerinde yepyeni bir temas yapısı yaratabileceklerini ileri sürdü.

2019'da Gironella ve Moreno ile çalışmaya başladı. O yıl onlar bir makale yayınladı önceki birkaç matematikçinin tekniklerini temel alıyor. Basit dolgulara sahip olan ancak kararsız olan kontak manifoldlarının üç örneği bulundu: "Zayıf dolgular" olarak adlandırılan dolgular, eğer kontak manifoldu tam olarak doğru şekilde ayarlanırsa ortadan kayboldu.

Pandemi başladıktan sonra istenilen özelliklere sahip küreler inşa edebileceklerinden şüphelenmeye başladılar. Temas manifoldlarından bazılarını aldılar ve dikkatlice küreler halinde yeniden işlediler: şuradan bir delik açıp şuradan yama yaptılar. Bitirdiklerinde, sıkı ama doldurulamayan kürelerden oluşan sonsuz bir koleksiyona sahip oldular. Küreler kendi temas yapılarının parçalarını diğer manifoldlara aktarabildiğinden, bu, her şekil ve çeşitte sıkı ancak doldurulamayan temas manifoldları yarattı.

Üçlü, 2022'nin ortalarında Zhou'ya makalelerinin ilk taslağını gösterdiler ve onun bazı hesaplamaları düzelteceğini umuyorlardı. Zhou daha önce hem Moreno hem de Gironella ile işbirliği yapmıştı ve taslaklarında kullanılan bazı tekniklere aşinaydı. Çin Bilimler Akademisi'nden matematikçi Zhou, "Makaleyi baştan sona okudum ve bunun daha da güçlü sonuçlar elde etmek için büyük bir potansiyele sahip olduğunu fark ettim" dedi. Onlara yeni fikirlerle dolu olarak döndü.

Grup, Zhou'nun içgörülerini makalelerine dahil etti ve dördü bunu Kasım 2022'de çevrimiçi olarak yayınladı. Çalışmaları, beş ve üzeri boyutlardaki sıkı ancak doldurulamayan kürelerin mümkün olduğunu gösteriyor ve bu sonucu birçok yeni sıkı temaslı manifold örneği oluşturmak için kullanıyor. 2019 makalesinin kararsız "zayıf dolgularını" kabul ederek, bunlar yalnızca zayıf bir şekilde doldurulabilir. Daha sonra geçen hafta makaleyi önemli bir genellemeyle güncellediler. Artık yedi veya daha yüksek boyuta sahip herhangi bir manifold için sıkı ve zayıf doldurulabilir kontak yapıları bulabiliyorlar.

Kanıtları sonsuz sayıda yeni örneği ortaya çıkarsa da, yüksek boyutlu temas manifoldları ve hatta yüksek boyutlu küreler üzerine yapılan çalışmalar daha yeni başlıyor.

Moreno, "Bu bize çok vahşi ve karmaşık görünen bir dünyaya dair bir fikir veriyor" dedi ve daha sonra şunları ekledi: "Daha yüksek boyutların gelecek birkaç neslin dikkatini çekeceğini söyleyebilirim."

“Şu anda sadece herhangi bir örnek bulmaya çalışıyorsunuz; bazı şeyleri ayırt etmeye çalışıyorsunuz; sadece orada ne olduğuna dair bir fikir edinmeye çalışıyorsun. Ve küredeki şeyleri anlamak, diğer durumları anlamanıza yardımcı olabilecek bir tür tohum veya tohumdur" dedi Etnyre. "Henüz bir sonraki adımı atacak araçlara sahip değiliz."

Kuantum izleyicilerimize daha iyi hizmet verebilmek için bir dizi anket yürütüyor. Bizimkini al matematik okuyucu anketi ve ücretsiz kazanmak için girileceksiniz Kuantum ek ürün.