Tekrarın her zaman sıkıcı olması gerekmez. Matematikte şaşırtıcı karmaşıklık yaratabilen güçlü bir kuvvettir.

Onlarca yıl süren çalışmalardan sonra bile matematikçiler, çok basit kuralların, yani en temel “dinamik sistemlerin” tekrar tekrar uygulanmasıyla ilgili soruları yanıtlayamıyor. Ancak bunu yapmaya çalışırken, bu kurallarla matematiğin görünüşte uzak görünen diğer alanları arasındaki derin bağlantıları ortaya çıkardılar.

Örneğin Mandelbrot kümesi, hakkında yazdı Geçen ay, bir fonksiyon ailesinin nasıl denklemle tanımlandığını gösteren bir harita vardı. f(x) = x² + c - değeri gibi davranır c karmaşık düzlem adı verilen düzlemin üzerinde uzanır. (Bir doğru üzerine yerleştirilebilen gerçek sayıların aksine, karmaşık sayıların iki bileşeni vardır; x- ve y-iki boyutlu bir düzlemin eksenleri.)

Mandelbrot kümesini ne kadar yakınlaştırırsanız yakınlaştırın, her zaman sınırsız yeni desenler ortaya çıkar. "Bu kadar karmaşık yapının bu kadar basit kurallardan ortaya çıkması, şu anda bile beni tamamen şaşırtıyor" dedi. Matthew Baker Georgia Teknoloji Enstitüsü'nden. “Bu, 20. yüzyılın gerçekten şaşırtıcı keşiflerinden biri.”

Mandelbrot kümesinin karmaşıklığı kısmen ortaya çıkıyor çünkü kendisi de karmaşık olan sayılara göre tanımlanıyor. Ancak belki de şaşırtıcı bir şekilde hikayenin tamamı bu değil. Ne zaman bile c -3/2 gibi basit bir gerçek sayıysa, her türlü tuhaf olay meydana gelebilir. Denklemi tekrar tekrar uyguladığınızda ne olacağını kimse bilemez f(x) = x² – 3/2, yineleme olarak bilinen bir süreçte her çıktının bir sonraki girdi olarak kullanılması. Yinelemeye başlarsanız x = 0 (ikinci dereceden bir denklemin “kritik noktası”), sonuçta tekrarlanan bir değerler döngüsüne doğru yakınsayan bir dizi mi, yoksa kaotik bir modelde sonsuzca zıplamaya devam eden bir dizi mi üreteceğiniz belirsizdir.

değerleri için c -2'den küçük veya 1/4'ten büyük olduğunda yineleme hızla sonsuza kadar yükselir. Ancak bu aralık içinde sonsuz sayıda değer vardır. c kaotik davranışlara yol açtığı biliniyor ve -3/2 gibi sonsuz sayıda durum söz konusu; burada "süper somut olmasına rağmen ne olacağını bilmiyoruz" Giulio Tiozzo Toronto Üniversitesi'nden.

Fakat 1990'larda Stony Brook Üniversitesi matematikçisi Misha LyubichMandelbrot kümesi hakkındaki raporumda belirgin bir şekilde yer alan kişi, kanıtladı -2 ile 1/4 arasındaki aralıkta değerlerin büyük çoğunluğu c güzel "hiperbolik" davranışlar üretirler. (Matematikçiler Jacek Graczyk ve Grzegorz Swiatek bağımsız olarak kanıtlandı sonuç hemen hemen aynı anda çıkar.) Bu, karşılık gelen denklemlerin yinelendiğinde tek bir değere veya yinelenen bir sayı döngüsüne yakınsadığı anlamına gelir.

On yıl sonra, üç matematikçi, çoğu değerin c sadece ikinci dereceden denklemler için değil aynı zamanda hiperboliktir. herhangi bir gerçek polinom ailesi (üslere yükseltilen değişkenleri birleştiren daha genel işlevler, örneğin x⁷ + 3x⁴ + 5x² + 1). Ve şimdi onlardan biri, Sebastián van Strien Imperial College London'dan Dr., sinüs, kosinüs ve üstel fonksiyonları içeren, gerçek analitik fonksiyonlar adı verilen daha geniş bir denklem sınıfı için bu özelliğin kanıtına sahip olduğuna inanıyor. Van Strien sonucu Mayıs ayında açıklamayı umuyor. Eğer hakem incelemesinden sonra geçerliliğini korursa, gerçek tek boyutlu sistemlerin nasıl davrandığının karakterizasyonunda büyük bir ilerlemeye işaret edecek.

Olasılıksız Kavşaklar ve Entropi Simitleri

Sıfırdan başlayarak tekrarlandığında yinelenen bir sayı döngüsü ürettiği bilinen sonsuz sayıda gerçek ikinci dereceden denklem vardır. Ama eğer kısıtlarsan c Kesir olarak yazılabilen rasyonel değerlere göre yalnızca üç değer sonunda periyodik diziler üretir: 0, –1 ve –2. "Bu dinamik sistemler çok çok özel" dedi Clayton Petsche Oregon Eyalet Üniversitesi'nden.

In Kağıt Geçen yıl yayınlanan Petsche ve Chatchai Noytaptim Waterloo Üniversitesi'nden araştırmacılar ilk bakışta göründüklerinden çok daha özel olduklarını kanıtladılar. Matematikçiler, gerçek sayılardan daha kısıtlayıcı ama rasyonel sayılardan daha az kısıtlayıcı olan "tamamen gerçek" sayılara baktılar.

Bir sayıyı bir polinomun içine yerleştirirseniz ve sıfır çıktısı alırsanız, bu sayı polinomun çözümü veya köküdür. Örneğin 2 bir köktür f(x) = x² - 4, f(x) = x³ - 10x² + 31x – 30 ve sonsuz sayıda başka denklem. Bu tür polinomların gerçek kökleri veya karmaşık kökleri olabilir. (Örneğin kökleri x² +1 –1'in kareköküdür ve şu şekilde yazılır: i, ve -i — her ikisi de karmaşık sayılar.)

Bir sayı, yalnızca gerçek kökleri olan tamsayı katsayılı bir polinom denklemini karşılıyorsa tamamen gerçektir. Tüm rasyonel sayılar tamamen gerçektir, ancak bazı irrasyonel sayılar da öyle. Örneğin, $latex sqrt{2}$ tamamen gerçektir, çünkü bu bir çözümdür. f(x) = x² – 2, yalnızca gerçek köklere sahiptir ($latex sqrt{2}$ ve onun "kardeş" kökü $latex -sqrt{2}$). Ancak 2'nin küp kökü $latex sqrt[3]{2}$ tamamen gerçek değil. Bu bir çözüm f(x) = x³ – 2, ayrıca Galois eşlenikleri olarak da bilinen ve karmaşık olan iki kardeş köke daha sahiptir.

Petsche ve Noytaptim, sonunda periyodik döngüler üreten irrasyonel, tamamen gerçek sayıların olmadığını kanıtladı. Aksine, bunu yapan tek tamamen gerçek sayılar 0, –1 ve –2'dir. Görünüşte farklı iki dünyanın (sayı teorisi (tamsayıların incelenmesi) ve dinamik sistemler) özellikleri arasında beklenmedik bir kesişimi temsil ediyorlar. Petsche ve Noytaptim, ispatlarında sayı teorisinden elde edilen önemli sonuçları kullanarak iki alan arasındaki bağlantıyı vurguladılar.

Matematikçiler Xavier Takviyesi ve Sarah Koch bulundu başka bir olası kavşak. Sadece dört tamamen gerçek değerin olduğunu gösterdiler. c — 1/4, –3/4, –5/4 ve –7/4 — parabolik döngü adı verilen, iyi anlaşılmış özel bir türde diziler oluşturur.

Galois eşlenikleri aynı zamanda karmaşık düzlemde parlayan bir fraktal halka olan "entropi simidi" olarak adlandırılan gizemli bir nesnenin keşfine de yol açtı. Entropi rastgeleliğin bir ölçüsüdür; bu bağlamda yinelemeyle oluşturulan sayıların sırasını tahmin etmenin ne kadar zor olduğunu ölçer. x² + c. In yazdığı son makale Ünlü topolog William Thurston, 2012'de ölmeden önce, neredeyse bir milyar farklı gerçek değere karşılık gelen entropi değerleri kümesinin grafiğini çizdi. c - karmaşık olabilen bu entropi değerlerinin Galois eşlenikleriyle birlikte. Tiozzo, entropi kavramının "gerçek çizgide olduğunu, ancak bir şekilde karmaşık dünyanın gölgesini hala görebiliyorsunuz" dedi.

Koch, "Bunun kendisini bu inanılmaz dantelli fraktal yapıya göre organize ettiğini görüyorsunuz" dedi. "Bu çok havalı." Entropi simidi, gerçek ikinci dereceden denklemlerin yinelenmesinden ortaya çıkan çok karmaşık bir modeldir. "Gerçek ikinci dereceden polinomlarla ilgili tüm bu sihirli ifadeleri - küçük mücevherleri - hala öğreniyoruz" diye ekledi. “Her zaman geriye dönüp çok iyi bildiğinizi sandığınız bu şey karşısında şaşırabilirsiniz.”