Araştırma matematiğindeki birçok karmaşık ilerleme, sayılarla ilgili en basit sorulardan bazılarını anlama arzusuyla teşvik edilir. Asal sayılar tamsayılarda nasıl dağılır? Mükemmel küpler var mı (8 = 2 gibi)³ veya 27 = 3³) diğer iki küpün toplamı olarak yazılabilir mi? Daha genel olarak, matematikçiler bir denklemi çözmek isteyebilirler. Ancak bunu denklemin kendisini kurcalayarak yapmak genellikle imkansızdır. Bunun yerine matematikçiler, çözümleri, karmaşıklıkları sırlarını kodlayan son derece soyut yapılara bağlamanın yollarını buluyor.

Son birkaç on yılda, matematikteki en heyecan verici araştırma kollarından biri bu biçimi izledi. Bu, eliptik eğriler adı verilen belirli polinom denklem türleri ile modüler formlar adı verilen daha ezoterik nesneler arasındaki ilişkiyi anlamayı içeriyordu; bunlar, Andrew Wiles'ın 1994. yüzyılın en ünlü sonuçları arasında yer alan Fermat'ın Son Teoremini kanıtlamak için 20 yılında matematikte öne çıktı. matematik.

Geçen Ocak ayında, Ana Caraiani Imperial College London ve Bonn Üniversitesi ve James Newton Oxford Üniversitesi bu alanda yeni bir araştırma damarı açtı. kanıtladıklarında Wiles'ın eliptik eğriler ve modüler formlar arasında kurduğu ilişkinin, hayali ikinci dereceden alanlar adı verilen bazı matematiksel nesneler için de geçerli olduğu.

Wiles, belirli eliptik eğri türlerinin modüler olduğunu kanıtladı - yani eğriyi tanımlamaya dahil olan iki değişken ve iki katsayının tümü rasyonel sayılar, kesir olarak yazılabilen değerler olduğunda, her eğriye karşılık gelen belirli bir modüler form olduğu anlamına gelir. Onun çalışmasından sonra, matematikçiler daha geniş bir yelpazedeki bağlamlarda modülerlik oluşturmaya çalıştılar. 2001'de dört matematikçi, tüm eliptik eğrilerin rasyonel sayılar üzerinde modüler olduğunu kanıtladı (oysa Wiles bunu yalnızca bazı eğriler için kanıtlamıştı). 2013 yılında aralarında üç matematikçinin de bulunduğu Samir Şikşek Warwick Üniversitesi, eliptik eğrilerin de modüler olduğunu kanıtladı. gerçek ikinci dereceden alanlar üzerinde  (değişkenlerin ve katsayıların gerçek ikinci dereceden alan adı verilen bir sayı sisteminden alındığı anlamına gelir).

İlerlemeler arttıkça, ulaşılamayan belirli bir hedef kaldı: eliptik eğrilerin hayali ikinci dereceden alanlar üzerinde modüler olduğunu kanıtlamak.

İkinci dereceden alanlar, rasyonel sayılar ile gerçek sayılar arasında, hatta ondalık basamağın sağında asla tekrarlanmayan sonsuz örüntülere sahip olanlar da dahil olmak üzere olası her ondalık sayıyı içeren gerçek sayılar arasında matematiksel bir atlama taşıdır. (Bu, $latex sqrt{2}$ veya $latex pi $ gibi tüm irrasyonel sayıları içerir.)

İkinci dereceden alanlar, örneğin 5 gibi bir tamsayı seçer ve $latex a + bsqrt{5}$ biçimindeki tüm sayıları içerir; burada a ve b ikisi de rasyonel sayıdır. Söz konusu tamsayı pozitifse, ortaya çıkan ikinci dereceden alan gerçek sayıların bir alt kümesidir, bu nedenle gerçek bir ikinci dereceden alan olarak bilinir.

Negatif bir sayının karekökü alınarak oluşturulan hayali ikinci dereceden alanlar üzerinde tanımlanan eliptik eğriler ne olacak?

Caraiani ve Newton'un üstesinden geldiği sorun buydu.

Yüzlerce yıl önce matematikçiler negatif sayıların karekökünü basit bir şekilde tanımladılar: Bir isim verdiler, i, -1'in kareköküne. O zaman başka bir negatif sayının karekökü sadece i çarpı karşılık gelen pozitif sayının karekökü. Yani $latex sqrt{-5}=isqrt{5}$. Hayali sayılar matematikte çok önemli bir rol oynar çünkü birçok problem için gerçek sayılarla çalışmaktan daha kolaydır.

Ancak, eliptik eğrilerin hayali ikinci dereceden alanlar üzerinde modüler olduğunu kanıtlamak, uzun süredir erişilemez, çünkü gerçek ikinci dereceden alanlar üzerinde modülerliği kanıtlama teknikleri işe yaramıyor.

Caraiani ve Newton, modülerliği kanıtlamak için Wiles ve diğerlerinin öncülüğünü yaptığı bir sürecin hayali ikinci dereceden alanlar üzerindeki eliptik eğrilere nasıl uyarlanacağını bularak modülerliğe ulaştı - tüm hayali ikinci dereceden alanların yaklaşık yarısından fazla olan tüm eliptik eğriler için.

"İşte burada Caraiani ve Newton'un harika çalışmaları devreye girdi. Wiles'ın ikinci adımını geliştirdiler," dedi Chandrashekhar Khare Kaliforniya Üniversitesi, Los Angeles.

Çalışma başlı başına bir teknik başarıdır ve hayali bir ortamda matematikteki en önemli soruların bazılarında ilerleme kaydetmenin kapısını açar.

Çöpçatan, Çöpçatan

Matematikçiler, en azından eski Yunanlılardan beri, polinom denklemlerinin çözümlerini - sabit güçlere yükseltilmiş değişken kombinasyonları - önemsiyorlardı. Denklemler, değişkenlerin miktarını, bu değişkenlerin katsayılarını ve yükseltildikleri güçleri ayarlayarak elde edilen sonsuz çeşitlilikte gelir. $latex 3x^5+x^4−9x^3−4x^2+x−7=0$ sadece bir örnektir.

Eliptik eğriler, matematiksel sorgulama için optimum sertlik seviyesinde olan polinom denklemleridir. Düzen var (ve yaygın olarak öğretilen) en yüksek gücü 2 olan tek değişkenli ikinci dereceden polinomların çözümlerini bulmak için formül, ancak en yüksek gücü 5 veya daha büyük olan polinomların çözümleri için böyle bir formül yoktur. Daha fazla değişken eklemek genellikle işleri daha da karmaşık hale getirir. Ancak $latex (y^3=x^2+3)$ gibi iki değişkenli ve en yüksek gücü 1 olan eliptik eğriler, umutsuz hissettirecek kadar zor olmasa da, buluşa ilham verecek kadar zorlayıcıdır.

Bir eliptik eğri hakkındaki temel sorulardan biri, onu çözen sonlu veya sonsuz sayıda rasyonel çift olup olmadığıdır. Bazı eliptik eğrilerin sonlu sayıda rasyonel çözümü vardır, bazılarının sonsuz sayıda rasyonel çözümü vardır ve bazılarının hiç yoktur.

Caraiani, "Bu tür komik ara davranışlara sahipler" dedi.

Elinize rastgele bir eliptik eğri verilirse, hangi kategoriye girdiği hemen belli olmaz. Ancak, modüler form adı verilen ve özellikleri cevabı ortaya çıkaran eşleşen bir nesneyle eşleştirerek kodunu çözmek mümkündür.

Beni Yakala Modüler Form

Modüler formlar, gelişmiş bir analiz biçimi olan analizde incelenen işlevlerdir. Bunlar çok simetrik ve genellikle görünümlerini kaybetmeden sola veya sağa kaydırılarak çevrilebilir. Bu şekilde, sinüs işlevi gibi diğer oldukça simetrik işlevlerle ortak özelliklere sahip olurlar, ancak bunların yazılması veya görselleştirilmesi daha az kolaydır.

Her modüler form katsayılarla birlikte gelir. Bir dizi sayı üreterek bunları yazabilirsiniz. Bu sayıların çok güzel özellikleri var ve rastgele olmaktan uzak görünüyorlar. Matematik dehası Srinivasan Ramanujan'ın modüler bir formun katsayılarındaki kalıpların, her modüler formun Galois temsili adı verilen ikinci bir nesne türüne bağlı olduğu gerçeğiyle açıklandığını algılamaya başladığı 20. yüzyılın başlarından itibaren matematikçileri şaşırttı. . Daha sonra çalışma bağlantıyı doğruladı.

Eliptik eğrilerin de Galois temsilleri vardır ve Ramanujan'ın çalışmasından sonra, Galois temsillerinin eliptik eğriler ve modüler formlar arasında enterpole edilebileceği mümkün görünüyordu: Birinden başlayın, Galois temsilini belirleyin, diğerini bulun.

"Bir nevi şöyle düşünüyorsunuz: Eliptik eğriler, geometriden nesneler, Galois temsillerine ve modüler formların Galois temsillerine sahip - bir eşleşme var mı?" Siksek dedi.

1950'lerin sonlarında, Yutaka Taniyama ve Goro Shimura, belirli modüler formlar ve eliptik eğriler arasında mükemmel bire bir eşleşme olduğunu öne sürdüler. Sonraki on yılda Robert Langlands, inşasında bu fikir üzerine inşa etti. kapsamlı Langlands programımatematikte en geniş kapsamlı ve önemli araştırma programlarından biri haline geldi.

1'e 1 yazışma doğruysa, matematikçilere eliptik eğrilerin çözümlerini anlamak için güçlü bir araç seti sağlayacaktır. Örneğin, her modüler formla ilişkili bir tür sayısal değer vardır. Matematiğin en önemli açık problemlerinden biri milyon dolarlık ödül) - Birch ve Swinnerton-Dyer varsayımı - bu değer sıfırsa, o modüler formla ilişkili eliptik eğrinin sonsuz sayıda rasyonel çözümü olduğunu ve sıfır değilse, eliptik eğrinin sonlu sayıda rasyonel çözümü olduğunu öne sürer.

Ancak buna benzer herhangi bir şeyin üstesinden gelinmeden önce, matematikçilerin şu karşılığın geçerli olduğunu bilmeleri gerekir: Bana eliptik bir eğri verin, ben de size onun eşleşen modüler formunu vereyim. Bunu kanıtlamak, Wiles'tan Caraiani'ye ve Newton'a kadar birçok matematikçinin son birkaç on yıldır yaptığı şeydir.

Kitabınıza Bakın

Wiles'ın çalışmasından önce, matematikçiler yazışmanın bir yönünü kanıtlamayı başardılar: Bazı durumlarda modüler bir formla başlayıp eşleşen eliptik eğriyi bulabildiler. Ancak diğer yöne gitmek - matematikçilerin eliptik eğrilerin modüler olmasından bahsederken kastettikleri şey budur - daha zordu ve bunu başaran ilk kişi Wiles oldu.

Khare, "Daha önce insanlar, belirli koşullar altında modüler bir formdan eliptik bir eğriye nasıl geçileceğini biliyorlardı, ancak eliptikten modülerliğe bu geriye doğru yön, Wiles'ı motive eden şeydi" dedi.

Wiles, katsayıları rasyonel sayılar olan bazı eliptik eğri türleri için modülerliği kanıtladı. Bu, Fermat'ın Son Teoremini bir çelişki yoluyla kanıtlamak için tek başına yeterliydi. (Wiles, Fermat'ın Son Teoreminin yanlış olması durumunda, bunun önceki çalışmanın ortaya koyduğu eliptik bir eğrinin var olamayacağını ima edeceğini kanıtladı. Bu nedenle, Fermat'ın Son Teoremi doğru olmalıdır.)

Matematikçiler, Wiles'ın eliptik eğriler üzerindeki çalışmasını genişletirken, onun ilk sonucunu kanıtlamak için kullandığı yöntemin aynısını izlediler.

Sonucu rasyonel sayılara ve gerçek ikinci dereceden alanlara genellemedeki başarılardan sonra, bir sonraki bariz uzantı hayali ikinci dereceden alanlara oldu.

Caraiani, "Olabilecek sadece iki şey var: Alan ya gerçek ya da hayali," dedi. "Gerçek vaka zaten anlaşılmıştı, bu yüzden hayali vakaya gitmek doğal."

Hayali ikinci dereceden alanlar, rasyonel ve gerçek sayılarla aynı temel aritmetik özelliklere sahiptir, ancak Wiles'ın yöntemi oraya o kadar kolay nakledilemezdi. Özellikle hayali ikinci dereceden alanlar üzerindeki modüler formların, rasyoneller ve gerçek ikinci dereceden alanlar üzerinde olduğundan çok daha az simetrik olmasının birçok nedeni vardır. Bu görece simetri eksikliği, eliptik bir eğri ile bir eşleşme oluşturmanın anahtarı olan Galois temsillerini tanımlamayı zorlaştırır.

Khare, Wiles'ın Fermat ispatından yıllar sonra, "hayali ikinci dereceden alanlar durumu hâlâ mümkün olanın ötesindeydi" dedi. Ancak son on yılda, bir dizi ilerleme Caraiani ve Newton'un çalışmalarının yolunu hazırladı.

Bana Bir Yüzük Getir (ya da Daha İyisi Bir Tarla)

Wiles'ın yöntemindeki ilk adım, eliptik eğriler ve modüler formlar arasında yaklaşık bir eşleşme oluşturmaktı. İkisi, eşleştirmenin her iki tarafında benzersiz bir şekilde ortaya çıkan bir dizi sayıyla kodlanan Galois temsilleri aracılığıyla birbirine bağlanır.

Nihayetinde, Galois gösterimlerini tanımlayan sayıların tam olarak eşleştiğini göstermek istiyorsunuz, ancak bu ilk adımda, tutarlı bir hata payı kadar farklılık gösterdiklerini göstermek yeterlidir. Örneğin, her sayıdan karşılık gelen sayıya ulaşmak için 3'ün katlarını toplayabilir veya çıkarabilirseniz, bir dizi sayının eşleştiğini kanıtlayabilirsiniz. Bu bağlamda, (4, 7, 2) (1, 4, 5) veya (7, 10, 8) ile eşleşir, ancak (2, 8, 3) ile eşleşmez. Ayrıca 5'in, 11'in katları veya herhangi bir asal sayı ile farklılık gösteriyorlarsa eşleştiklerini de söyleyebilirsiniz (teknik ama önemli nedenlerden ötürü, hata payı her zaman asal olmalıdır). 2019 kâğıt by Patrick Allen, Khare ve Jack Diken soruna bu tür bir ayak bağı sağladı.

Newton, "Size başlamak için bir yer veren teoremleri kanıtladılar," dedi.

2019 makalesinin başladığı sıralarda, 10 matematikçiden oluşan bir grup, hayali ikinci dereceden alanlar için Wiles'ın yönteminin ek adımlarını yapmak için çalışıyordu. İşbirliği, Institute for Advanced Study'de geçirilen bir hafta boyunca başladı ve 2019 makalesinin ortak yazarları olan Allen ve Thorne ile Caraiani ve Newton'u içeriyordu.

Grubun ilk hedefi, modüler formlardan gelen Galois temsillerinin belirli bir iç tutarlılığa sahip olduğunu belirlemekti. Eliptik eğrilerden gelen Galois gösterimleriyle eşleştirmek için ön koşul olan bu özelliğe denir. yerel-global uyumluluk.

10 kişilik işbirliği bunu yapmayı başardı bazı özel durumlarda, ancak çoğunda değil. İşbirliği sona ererken, Caraiani ve Newton daha fazlasını yapıp yapamayacaklarını görmek için birlikte çalışmaya devam etmeye karar verdiler.

Caraiani, "Aynı zamanda Londra'daydık ve 10 yazarlık projede ortaya çıkan şeyler hakkında birbirimizle konuşmaktan keyif aldık" dedi. "Ayrışma noktalarının ne olduğunu, daha ileri gitmenin önündeki engellerin neler olduğunu biliyorduk."

Karanlıkta Geceden Sonra Gece 

Caraiani ve Newton, kendi başlarına çalışmaya başladıktan kısa bir süre sonra, daha büyük bir grupla başladıkları işin ötesine geçmek için bir strateji belirlediler. Açıkça yanlış görünmüyordu, ama gerçekten işe yarayıp yaramayacağına dair de hiçbir fikirleri yoktu.

Newton, "İşlerin yoluna gireceğine, bu 10 yazarlı makaleden biraz daha güçlü bir şeyi kanıtlayabileceğimize dair bu iyimser fikirle başladık ve sonunda başardık," dedi Newton.

Caraiani ve Newton bu fikir üzerinde iki yıl boyunca çalıştılar ve 2021'in sonunda iyimserlikleri meyvesini verdi: 10 yazarlı ekip tarafından yapılan yerel-küresel uyumluluk sonucunu iyileştirdiler. 100 sayfadan uzun olan son makalelerinin ilk yarısını oluşturan uzun, teknik bir bölümde nasıl olduğunu anlatıyorlar.

Caraiani, "Bu teknik parçayı yerleştirdikten sonra modülerliğin devreye gireceğini biliyorduk," dedi.

Wiles'ın yönteminin ilk adımı, bir tür yaklaşık modülerlik oluşturmaktı. İkinci adım, yerel-küresel uyumluluk sonucuydu. Üçüncü adım, en azından az sayıda eğrinin modüler olduğu bilgisini almak ve birçok eğrinin modüler olduğunu kanıtlamak için bundan yararlanmaktı. Bu hareket, modülerlik kaldırma teoremi denilen şey sayesinde mümkün oldu.

Newton, "Modülerliği etrafa yaymanıza izin veriyor," dedi. "Bir şeyin modülerliğini biliyorsanız, bu [of] şeyleri kaldırmak, diğer pek çok şeyin modülerliğini kurtarmanıza olanak tanır. Bu modülerlik özelliğini güzel bir şekilde yayıyorsunuz.

Eşsiz Bir Maç

Kaldırma teoremini uygulamak, Caraiani ve Newton'un sonsuz sayıda eliptik eğrinin modülerliğini kanıtlamasına olanak sağladı, ancak yine de elde edemedikleri bazı köşe durumları vardı. Bunlar, onları kaldırma teoremine erişilemez kılan benzersiz özelliklere sahip bir avuç eliptik eğri ailesiydi.

Ancak sayıları çok az olduğu için, Caraiani ve Newton onlara elleriyle saldırabilirdi - Galois temsillerini birer birer hesaplayarak bir eşleşme kurmaya çalışırlardı.

Caraiani, "Orada bazı eğriler üzerinde çok sayıda noktayı hesaplarken biraz eğlendik," dedi.

Çaba bir noktaya kadar başarılı oldu. Caraiani ve Newton nihayetinde tüm eliptik eğrilerin, rasyonel sayıların -1, -2, -3 veya -5'in kareköküyle birleştirilmesiyle oluşturulan alanlar da dahil olmak üzere, hayali ikinci dereceden alanların yaklaşık yarısında modüler olduğunu kanıtlamayı başardılar. Diğer hayali ikinci dereceden alanlar için, hepsi olmasa da çoğu eliptik eğri için modülerliği kanıtlayabildiler. (Uzatmaların modülerliği açık bir soru olmaya devam ediyor.)

Elde ettikleri sonuç, matematikçilerin rasyoneller ve gerçekler üzerinden takip ettikleri hayali ikinci dereceden alanlar üzerindeki eliptik eğrilerle ilgili aynı temel soruların bazılarını araştırmak için bir temel sağlar. Bu, Fermat'ın Son Teoreminin hayali versiyonunu - buna yaklaşılabilmesi için ek temellerin atılması gerekmesine rağmen - ve Birch ve Swinnerton-Dyer varsayımının hayali versiyonunu içerir.

Ancak matematikçiler her iki yerde de ilerleme kaydederse, Caraiani bunun bir parçası olmayacak - en azından şimdilik. Eliptik eğrilerin modülerliği üzerinde yıllarca çalıştıktan sonra başka bir şey denemeye hazır.

"Bir yönde sonuç alırsam, her zaman sadece o yönde çalışmaya devam etmekten hoşlanmam" dedi. "Artık ilgi alanlarımı biraz daha geometrik bir tada sahip bir şeye çevirdim."

Düzeltme: Temmuz 6, 2023
Bu makale başlangıçta, en yüksek üssü 4 veya daha büyük olan bir polinom denkleminin çözümleri için genel bir formül olmadığını söyledi. Doğru sayı 5'tir. Yazı düzeltilmiştir.