Disney'in 1959 yapımı filminde Donald Matematik Büyüsü Ülkesinde, Donald Duck, anlatıcının bilardo geometrisine ilişkin açıklamalarından ilham alarak, isteka topuna enerjik bir şekilde vurur, sonunda amaçlanan toplara çarpmadan önce masanın etrafında sekerek gönderiyor. Donald, "Matematik açısından bunu nasıl buldun?" diye soruyor.

Dikdörtgen bilardo masalarının dik açılarla birleşen dört duvarı olduğundan, Donald'ınki gibi bilardo yörüngeleri, pratikte gerçekleştirilmesi zor olsa bile tahmin edilebilir ve iyi anlaşılır. Ancak araştırma matematikçileri, diğer çokgenler şeklindeki (düz kenarlı şekiller) masalar üzerindeki bilardo toplarının olası yörüngeleri hakkındaki temel soruları hâlâ yanıtlayamıyor. Çokgenlerin en basiti olan üçgenler bile hâlâ gizemler taşır.

Bir topa vurmak ve topun aynı yönde hareket ederek başlangıç ​​noktasına dönmesi ve periyodik bir yörünge oluşturması her zaman mümkün müdür? Kimse bilmiyor. Diğer, daha karmaşık şekiller için, topa masanın herhangi bir noktasından masanın başka bir noktasına vurmanın mümkün olup olmadığı bilinmiyor.

Her ne kadar bu sorular lisede öğretildiği şekliyle geometrinin sınırlarına tam olarak uyuyor gibi görünse de, bunları çözme girişimleri dünyanın önde gelen matematikçilerinden bazılarının dinamik sistemler, topoloji ve diferansiyel geometri gibi farklı alanlardan fikirler getirmesini gerektirmiştir. Her büyük matematik probleminde olduğu gibi, bu problemler üzerinde yapılan çalışmalar yeni matematik yaratmış ve diğer alanlardaki bilgiyi geri beslemiş ve ilerletmiştir. Ancak tüm bu çabalara ve modern bilgisayarların getirdiği anlayışa rağmen, görünüşte basit olan bu sorunlar inatla çözüme direniyor.

İşte Donald Duck'ın karmaşık şutundan bu yana matematikçilerin bilardo hakkında öğrendikleri.

Tipik olarak bilardo toplarının sonsuz küçük, boyutsuz bir nokta olduğunu ve aşağıda görüldüğü gibi duvarlardan mükemmel bir simetriyle sektiğini ve geldiği açıyla aynı açıyla yola çıktığını varsayarlar.

Sürtünme olmadan top, topu bir cep gibi durduran bir köşeye ulaşmadığı sürece süresiz olarak hareket eder. Bilardo oyununun matematiksel olarak analiz edilmesinin bu kadar zor olmasının nedeni, bir köşenin her iki tarafına düşen neredeyse aynı iki atışın çok farklı yörüngelere sahip olabilmesidir.

Çokgen bilardoları analiz etmenin temel yöntemi, topun masanın kenarından sektiğini düşünmek değil, bunun yerine topun duvara her çarptığında masanın ters çevrilen yeni bir kopyasına doğru ilerlemeye devam ettiğini hayal etmektir. kenar, bir ayna görüntüsü üretir. Bilardo yolunun açılması olarak adlandırılan bu süreç (aşağıda görülmektedir), topun düz bir çizgide ilerlemesine izin verir. Hayal edilen masaları komşularının üzerine katlayarak topun gerçek yörüngesini elde edebilirsiniz. Bu matematiksel hile, aksi durumda görülmesi zor olacak yörünge hakkında bazı şeyleri kanıtlamayı mümkün kılıyor.

Örneğin, basit dikdörtgen tabloların neden her noktada sonsuz sayıda periyodik yörüngeye sahip olduğunu göstermek için kullanılabilir. Benzer bir argüman herhangi bir dikdörtgen için geçerlidir, ancak somutluk açısından, uzunluğunun iki katı genişliğinde bir masa hayal edin.

Diyelim ki masanın üzerinden geçen periyodik bir yörünge bulmak istiyorsunuz. n uzun yönde zamanlar ve m kez kısa yönde. Dikdörtgenin her bir ayna görüntüsü duvardan seken topa karşılık geldiğinden, topun aynı yönde hareket ederek başlangıç ​​noktasına dönmesi için yörüngesinin her iki yönde de masayı çift sayıda geçmesi gerekir. Bu yüzden m ve n eşit olmalıdır. Her biri komşularının ayna görüntüsü olarak görülen aynı dikdörtgenlerden oluşan bir ızgara oluşturun. Orijinal tablodaki bir noktadan kopyadaki aynı noktaya bir çizgi parçası çizin n uzun yönde masalar uzakta ve m kısa yönde masalar uzakta. Yol bir köşeden geçiyorsa orijinal noktayı hafifçe ayarlayın. İşte bir örnek: n = 2 ve m = 6. Yukarı katlandığında yol, yeşil dikdörtgende gösterildiği gibi periyodik bir yörünge oluşturur.

Üçgen Eşitsizliği

Dikdörtgenlerin güzel dik açılı geometrisine sahip olmayan üçgenlerde bilardo daha karmaşıktır. Lise geometrisinden hatırlayabileceğiniz gibi, birkaç tür üçgen vardır: üç iç açısının da 90 dereceden küçük olduğu dar üçgenler; 90 derecelik açıya sahip dik üçgenler; ve bir açısı 90 dereceden büyük olan geniş üçgenler.

Dar ve dik üçgen şeklindeki bilardo masalarının periyodik yörüngeleri vardır. Ancak aynı durumun geniş üçgenler için de geçerli olup olmadığını kimse bilmiyor.

Dar bir üçgende periyodik bir yörünge bulmak için, aşağıda solda görüldüğü gibi her köşeden karşı tarafa dik bir çizgi çizin. Sağda görüldüğü gibi, dik açıların oluştuğu noktaları bir üçgen oluşturacak şekilde birleştirin.

Bu yazılı üçgen, Fagnano yörüngesi olarak adlandırılan periyodik bir bilardo yörüngesidir ve adını 1775 yılında bu üçgenin tüm yazılı üçgenler arasında en küçük çevreye sahip olduğunu gösteren Giovanni Fagnano'dan almıştır.

1990'ların başında Washington Üniversitesi'nden Fred Holt ve Gregory Galperin ve Moskova Devlet Üniversitesi'ndeki işbirlikçileri bağımsız gösterdi Her dik üçgenin periyodik yörüngeleri vardır. Bunu göstermenin basit bir yolu, aşağıda gösterildiği gibi bir bacağın ve sonra diğerinin etrafındaki üçgeni yansıtmaktır.

Hipotenüse (üçgenin uzun kenarı) dik açılı bir yörüngeyle başlayın. Hipotenüs ve onun ikinci yansıması paraleldir, dolayısıyla bunları birleştiren dik bir doğru parçası sonsuza kadar ileri geri sıçrayacak bir yörüngeye karşılık gelir: Top hipotenüsten dik bir açıyla ayrılır, her iki bacaktan sekerek hipotenüse sağdan geri döner. açı yapar ve ardından rotasını tekrar takip eder.

Ancak geniş üçgenler bir sır olarak kalıyor. 1992 tarihli makalelerinde Galperin ve çalışma arkadaşları, geniş üçgenleri periyodik yörüngeler oluşturmanıza olanak sağlayacak şekilde yansıtmak için çeşitli yöntemler geliştirdiler, ancak yöntemler yalnızca bazı özel durumlarda işe yaradı. Daha sonra 2008'de Richard Schwartz Brown Üniversitesi'nde tüm geniş üçgenlerin 100 derece veya daha az açılar periyodik bir yörünge içerir. Onun yaklaşımı, problemi birden fazla duruma ayırmayı ve her bir durumu geleneksel matematik ve bilgisayar yardımıyla doğrulamayı içeriyordu. 2018'de Jacob Garber, Boyan Marinov, Kenneth Moore ve Alberta Üniversitesi'nden George Tokarsky bu eşiği uzattı 112.3 dereceye kadar. (Tokarsky ve Marinov on yıldan fazla zaman harcamıştı Bu hedefin peşinde.)

Topolojik Bir Dönüş

Başka bir yaklaşım, eğer tüm açılar rasyonelse, yani kesirler halinde ifade edilebiliyorsa, daha büyük açılara sahip geniş üçgenlerin periyodik yörüngelere sahip olması gerektiğini göstermek için kullanıldı. Bu yaklaşım, bir çokgeni yalnızca düz bir düzleme kopyalamak yerine, çokgenlerin kopyalarını topolojik yüzeylere, yani içlerinde bir veya daha fazla delik bulunan çöreklere eşler.

Bir dikdörtgeni kısa kenarından yansıtırsanız ve ardından her iki dikdörtgeni de en uzun kenarından yansıtırsanız, orijinal dikdörtgenin dört versiyonunu oluşturursanız ve ardından üst ve alt kısımları birbirine, sol ve sağ kısımları birbirine yapıştırırsanız, bir çörek yapmış olursunuz, veya simit, aşağıda gösterildiği gibi. Masanın üzerindeki bilardo yörüngeleri simit üzerindeki yörüngelere karşılık gelir ve bunun tersi de geçerlidir.

1986 yılındaki dönüm noktası niteliğindeki bir makalede, Howard Masur rasyonel açılara sahip tüm çokgen tabloların periyodik yörüngelere sahip olduğunu göstermek için bu tekniği kullandı. Yaklaşımı yalnızca geniş üçgenler için değil, çok daha karmaşık şekiller için de işe yaradı: Düzensiz 100 kenarlı masalar veya duvarları zig ve zag oluşturan köşeler ve yarıklar oluşturan çokgenler, açılar rasyonel olduğu sürece periyodik yörüngelere sahiptir.

Dikkat çekici bir şekilde, bir çokgendeki tek bir periyodik yörüngenin varlığı, sonsuz sayıda yörüngenin varlığına işaret eder; Yörüngeyi birazcık kaydırmak, birbiriyle ilişkili periyodik yörüngelerden oluşan bir aile ortaya çıkaracaktır.

Aydınlatma Sorunu

Köşeleri ve çatlakları olan şekiller ilgili bir soruyu gündeme getiriyor. Bu problem, başlangıç ​​noktalarına dönen yörüngeleri sormak yerine, yörüngelerin belirli bir tablodaki her noktayı ziyaret edip edemeyeceğini soruyor. Buna aydınlatma sorunu deniyor çünkü bunu bilardo masasını çevreleyen aynalı duvarlardan yansıyan bir lazer ışınını hayal ederek düşünebiliyoruz. Belirli bir masa üzerinde iki nokta verildiğinde, her zaman bir lazeri (sonsuz derecede ince bir ışık ışını olarak idealize edilmiş) bir noktadan diğerine ışınlayıp gönderemeyeceğinizi soruyoruz. Başka bir deyişle, her yöne aynı anda ışık veren bir ampulü masanın bir noktasına koysak, tüm odayı aydınlatır mı?

Sorunla ilgili iki ana araştırma hattı var: aydınlatılamayan şekilleri bulmak ve büyük şekil sınıflarının aydınlatılabileceğini kanıtlamak. Aydınlatılamayan tuhaf şekilleri bulmak basit matematiğin akıllıca uygulanmasıyla yapılabilirken, birçok şeklin aydınlatılabileceğini kanıtlamak ancak ağır matematik makinelerinin kullanılmasıyla mümkün olmuştur.

1958 olarak, Roger Penrosekazanmaya devam eden bir matematikçi 2020 Nobel Fizik Ödülü, bir bölgedeki herhangi bir noktanın diğer bölgedeki herhangi bir noktayı aydınlatamadığı kavisli bir tablo buldu. Onlarca yıldır hiç kimse aynı özelliğe sahip bir çokgen bulamadı. Ancak 1995 yılında Tokarsky, üçgenlerle ilgili basit bir gerçeği kullanarak, aşağıda gösterilen, karşılıklı olarak erişilemeyen iki noktaya sahip 26 kenarlı blok şeklinde bir çokgen oluşturdu. Yani bir noktadan gönderilen lazer ışını, yönü ne olursa olsun diğer noktaya çarpamaz.

Tokarsky'nin özel masasını oluştururken kullandığı temel fikir, bir lazer ışınının 45°-45°-90° üçgeninin dar açılarından birinde başlarsa asla o köşeye dönemeyeceğiydi.

Pürüzlü masası, bu gerçeği akıllıca kullanacak şekilde düzenlenmiş 29 adet üçgenden oluşuyor. 2019'da Amit WoleckiDaha sonra Tel Aviv Üniversitesi'nde yüksek lisans öğrencisi olan kişi, aynı tekniği uyguladı. bir şekil üretmek 22 kenarlı (aşağıda gösterilmektedir), birbirini aydınlatmayan iki iç noktaya sahip bir şekil için mümkün olan en küçük kenar sayısı olduğunu kanıtladı.

Sonuçları diğer yönde kanıtlamak çok daha zor oldu. 2014 yılında Stanford Üniversitesi'nden matematikçi Maryam Mirzakhani, bunu yapan ilk kadın oldu. Fields madalyasını kazanRiemann yüzeylerinin modül uzayları üzerine yaptığı çalışma nedeniyle matematiğin en prestijli ödülü olan bu ödül, Masur'un rasyonel açılara sahip tüm çokgen tabloların periyodik yörüngelere sahip olduğunu göstermek için kullandığı donutların bir tür genellemesiydi. 2016 yılında Samuel Lelièvre Paris-Saclay Üniversitesi'nden, Thierry Monteil Fransız Ulusal Bilimsel Araştırma Merkezi ve Barak Weiss Tel Aviv Üniversitesi'nden Mirzakhani'nin bazı sonuçları uygulandı göstermek için rasyonel çokgendeki herhangi bir noktanın sonlu sayıdakiler dışında tüm noktaları aydınlattığı. İzole karanlık noktalar olabilir (Tokarsky ve Wolecki'nin örneklerinde olduğu gibi), ancak düz duvarlardan ziyade kavisli duvarlara sahip olan Penrose örneğinde olduğu gibi karanlık bölgeler yoktur. İçinde Wolecki'nin 2019 makalesiyalnızca sonlu sayıda aydınlatılamayan nokta çifti olduğunu kanıtlayarak bu sonucu güçlendirdi.

Ne yazık ki, Mirzakhani öldü 2017'de 40 yaşında, kanserle mücadelenin ardından. Çalışmaları bilardo salonlarındaki hileli atışlardan çok uzak görünüyordu. Yine de bilardo yörüngelerini analiz etmek, en soyut matematiğin bile içinde yaşadığımız dünyayla nasıl bağlantı kurabileceğini gösteriyor.