Giriş

Anlamlılığın belirlenmesine yönelik güvenilir bir istatistiksel teknik, özellikle ikiden fazla örnek ortalamasını karşılaştırırken varyans analizidir (ANOVA). Her ne kadar t-dağılımı iki örneğin ortalamalarını karşılaştırmak için yeterli olsa da, üç veya daha fazla örnekle aynı anda çalışırken, aynı temel popülasyondan geldikleri için ortalamalarının aynı olup olmadığını belirlemek için bir ANOVA gereklidir. 

Örneğin ANOVA, farklı gübrelerin farklı parsellerdeki buğday üretimi üzerinde farklı etkilerinin olup olmadığını ve bu uygulamaların aynı popülasyonda istatistiksel olarak farklı sonuçlar sağlayıp sağlamadığını belirlemek için kullanılabilir.

Prof. RA Fisher, 1920 yılında tarımsal verilerin analizindeki problemle uğraşırken 'Varyans Analizi' terimini tanıttı. Değişkenlik doğa olaylarının temel bir özelliğidir. Herhangi bir veri kümesindeki genel varyasyon, genel olarak atanabilir ve tesadüfi nedenler olarak sınıflandırılabilecek birden fazla kaynaktan kaynaklanır. 

Belirlenebilir sebeplerden kaynaklanan değişimler tespit edilip ölçülebilirken tesadüfi sebeplerden kaynaklanan değişimler insan elinin kontrolü dışındadır ve ayrı olarak ele alınamaz.

RA Fisher'a göre Varyans Analizi (ANOVA), "Bir grup nedene atfedilebilen varyansın, diğer gruba atfedilebilen varyanstan ayrılmasıdır".

Öğrenme hedefleri

• Varyans Analizi (ANOVA) kavramını ve özellikle birden fazla örnek ortalamasını karşılaştırırken istatistiksel analizdeki önemini anlayın.
• ANOVA testinin yürütülmesi için gerekli varsayımları ve bunun tıp, eğitim, pazarlama, üretim, psikoloji ve tarım gibi farklı alanlardaki uygulamalarını öğrenin.
• Sıfır ve alternatif hipotezler oluşturma, veri toplama ve düzenleme, grup istatistiklerinin hesaplanması, kareler toplamının belirlenmesi, serbestlik derecelerinin hesaplanması, ortalama karelerin hesaplanması dahil olmak üzere tek yönlü bir ANOVA gerçekleştirmenin adım adım sürecini keşfedin , F istatistiklerinin hesaplanması, kritik değerin belirlenmesi ve karar verme.
• Scipy.stats kitaplığını kullanarak Python'da tek yönlü bir ANOVA testinin uygulanmasına ilişkin pratik bilgiler edinin.
• ANOVA bağlamında F istatistiği ve p değerinin anlamlılık düzeyini ve yorumunu anlayın.
• Gruplar arasındaki önemli farklılıkların daha ayrıntılı analizi için Tukey'nin Dürüstçe Anlamlı Farkı (HSD) gibi post-hoc analiz yöntemleri hakkında bilgi edinin.

ANOVA TESTİ için Varsayımlar

ANOVA testi F test istatistiklerine dayanmaktadır.

ANOVA'da F testinin geçerliliğine ilişkin yapılan varsayımlar şunları içerir:

• Gözlemler bağımsızdır.
• Gözlemlerin alındığı ebeveyn popülasyonu normaldir.
• Çeşitli arıtma ve çevresel etkiler doğası gereği katkı niteliğindedir.

Tek yönlü ANOVA

ANOVA'nın bir yolu istatistiksel test Tek bir faktör (bağımsız değişken) için üç veya daha fazla grubun ortalamaları arasında istatistiksel olarak anlamlı farklılıklar olup olmadığını belirlemek için kullanılır. Bu farklılıkların muhtemelen rastgele şanstan mı yoksa faktörün sistematik etkisinden mi kaynaklandığını değerlendirmek için gruplar arasındaki varyansı grup içindeki varyansla karşılaştırır.

Farklı alanlardaki tek yönlü ANOVA'nın çeşitli kullanım durumları şunlardır:

• Tıp: Tek yönlü ANOVA, farklı tedavilerin belirli bir tıbbi durum üzerindeki etkinliğini karşılaştırmak için kullanılabilir. Örneğin, üç farklı ilacın kan basıncını düşürmede önemli ölçüde farklı etkilere sahip olup olmadığını belirlemek için kullanılabilir.
• Eğitim: Tek yönlü ANOVA, farklı öğretim yöntemleri kullanılarak eğitim verilen öğrenciler arasında test puanları arasında anlamlı farklılıklar olup olmadığını analiz etmek için kullanılabilir.
• Pazarlama: Farklı markaların ürünleri arasında müşteri memnuniyeti düzeyleri açısından önemli farklılıklar olup olmadığını değerlendirmek için tek yönlü ANOVA kullanılabilir.
• imalat: Farklı üretim süreçleriyle üretilen malzemelerin mukavemetinde önemli farklılıklar olup olmadığını analiz etmek için tek yönlü ANOVA kullanılabilir.
• Psikoloji: Farklı stres etkenlerine maruz kalan katılımcılar arasında kaygı düzeylerinde anlamlı farklılıklar olup olmadığını araştırmak için tek yönlü ANOVA kullanılabilir.
• Tarım: Tek yönlü ANOVA, farklı gübrelerin tarım deneylerinde önemli ölçüde farklı ürün verimine yol açıp açmadığını belirlemek için kullanılabilir.

Bunu Tarım örneğiyle detaylı olarak anlayalım:

Tarımsal araştırmalarda, farklı gübrelerin önemli ölçüde farklı ürün verimine yol açıp açmadığını değerlendirmek için tek yönlü ANOVA kullanılabilir.

Gübrenin Bitki Büyümesine Etkisi 

Farklı gübrelerin bitki büyümesi üzerindeki etkisini araştırdığınızı hayal edin. Ayrı bitki gruplarına üç tip gübre (A, B ve C) uygularsınız. Belirli bir sürenin ardından her gruptaki bitkilerin ortalama yüksekliğini ölçersiniz. Farklı gübrelerle yetiştirilen bitkiler arasında ortalama boyda önemli bir fark olup olmadığını test etmek için tek yönlü ANOVA'yı kullanabilirsiniz.

Adım 1: Boş ve Alternatif Hipotezler

İlk adım Boş ve Alternatif Hipotezleri hızlandırmaktır: 

• Sıfır Hipotezi(H0): Tüm grupların ortalamaları eşittir (bitki büyümesinde gübre türüne göre önemli bir fark yoktur)
• Alternatif Hipotez (H1): En azından bir grubun ortalaması diğerlerinden farklıdır (gübre tipinin bitki büyümesi üzerinde önemli etkisi vardır).

Adım 2: Veri Toplama ve Veri Düzenleme

Belirli bir büyüme döneminden sonra, her üç gruptaki her bitkinin son yüksekliğini dikkatlice ölçün. Şimdi verilerinizi düzenleyin. Her sütun bir gübre türünü (A, B, C) temsil eder ve her satır, o grup içindeki ayrı bir bitkinin yüksekliğini tutar.

Adım 3: Grup İstatistiklerini hesaplayın

• Her gübre grubundaki (A, B ve C) bitkilerin ortalama nihai yüksekliğini hesaplayın.
• Tüm gruplarda gözlemlenen toplam bitki sayısını (N) hesaplayın.
• Bizim durumumuzda toplam grup sayısını (K) belirleyin, k=3(A, B, C)

Adım4: Kareler Toplamını Hesaplayın

Böylece toplam kareler toplamı, gruplar arası kareler toplamı, grup içi kareler toplamı hesaplanacaktır.

Burada Toplam Kareler Toplamı, tüm bitkiler arasındaki nihai yükseklikteki toplam değişimi temsil eder.

Gruplar Arası Kareler Toplamı, üç gübre grubunun ortalama yükseklikleri arasında gözlemlenen değişimi yansıtır. Grup İçi Kareler Toplamı, her gübre grubu içindeki nihai yüksekliklerdeki değişimi yakalar.

Adım 5: Serbestlik Derecelerini Hesaplayın

Serbestlik derecesi, bir popülasyon parametresini tahmin etmek için kullanılan bağımsız bilgi parçalarının sayısını tanımlar.

• Gruplar Arası Serbestlik Dereceleri: k-1 (grup sayısı eksi 1) Yani burada 3-1 =2 olacak
• Grup İçi Serbestlik Dereceleri: Nk (Toplam gözlem sayısı eksi grup sayısı)

Adım 6: Ortalama Kareleri Hesaplayın

Ortalama Kareler, ilgili Kareler Toplamının serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilir.

• Ortalama Kare Arası: Grup Arası Kareler Toplamı/Grup Arası Serbestlik Derecesi
• Ortalama Kare İçi: Grup İçi Kareler/Grup İçi Serbestlik Dereceleri toplamı

Adım 7: F istatistiklerini hesaplayın

F istatistiği, gruplar arasındaki varyasyonu gruplar içindeki varyasyonla karşılaştırmak için kullanılan bir test istatistiğidir. Daha yüksek bir F istatistiği, gübre tipinin bitki büyümesi üzerinde potansiyel olarak daha güçlü bir etkisi olduğunu gösterir.

Tek yönlü Anova için F istatistiği şu formül kullanılarak hesaplanır:

Burada, 

MSbetween, gruplar arasındaki karelerin toplamının gruplar arasındaki serbestlik derecesine bölünmesiyle hesaplanan, gruplar arasındaki ortalama karedir.

MSwithin​, gruplar içindeki karelerin ortalamasıdır ve gruplar içindeki karelerin toplamının gruplar içindeki serbestlik derecesine bölünmesiyle hesaplanır.

• Gruplar Arası Serbestlik Dereceleri(dof_between): dof_between = k-1

Burada k, bağımsız değişkenin gruplarının (düzeylerinin) sayısıdır.

• Gruplar İçindeki Serbestlik Dereceleri(dof_within): dof_within = Nk

N, gözlemlerin sayısı ve k, bağımsız değişkenin gruplarının (seviyelerinin) sayısıdır.

Tek yönlü ANOVA için toplam serbestlik derecesi, gruplar arasındaki ve gruplar içindeki serbestlik derecelerinin toplamıdır:

dof_total= dof_between+dof_within

Adım 8: Kritik Değeri ve Kararı Belirleyin

Analiz için bir anlamlılık düzeyi (alfa) seçin; genellikle 0.05 seçilir

Bir F-dağılımı tablosu kullanarak, seçilen alfa seviyesindeki kritik F-değerine ve hesaplanan Grup Arası Serbestlik Derecelerine ve Grup İçi Serbestlik Derecelerine bakın. 

Hesaplanan F istatistiğini kritik F değeriyle karşılaştırın

• Hesaplanan F istatistiği kritik F değerinden büyükse sıfır hipotezini (H0) reddedin. Bu, üç gübre grubu arasında ortalama bitki boylarında istatistiksel olarak anlamlı bir fark olduğunu gösterir.
• Hesaplanan F istatistiği kritik F değerinden küçükse veya ona eşitse sıfır hipotezini (H0) reddetmeyin. Bu verilere dayanarak önemli bir fark sonucuna varamazsınız.

Adım 9: Post-hoc Analiz (gerekirse)

Eğer sıfır hipotezi reddedilirse, bu önemli bir genel farka işaret eder, daha derine inmek isteyebilirsiniz. Tukey'in Dürüst Önemli Farkı (HSD) gibi post-hoc, hangi gübre gruplarının istatistiksel olarak farklı ortalama bitki boylarına sahip olduğunu belirlemeye yardımcı olabilir.

Python'da Uygulama:

import scipy.stats as stats

# Sample plant height data for each fertilizer type
plant_heights_A = [25, 28, 23, 27, 26]
plant_heights_B = [20, 22, 19, 21, 24]
plant_heights_C = [18, 20, 17, 19, 21]

# Perform one-way ANOVA
f_value, p_value = stats.f_oneway(plant_heights_A, plant_heights_B, plant_heights_C)

# Interpretation
print("F-statistic:", f_value)
print("p-value:", p_value)

# Significance level (alpha) - typically set at 0.05
alpha = 0.05

if p_value < alpha:
    print("Reject H0: There is a significant difference in plant growth between the fertilizer groups.")
else:
    print("Fail to reject H0: We cannot conclude a significant difference based on this sample.")

Çıktı:

Aradaki serbestlik derecesi K-1 = 3-1 =2 olup, k gübre gruplarının sayısını temsil eder. İçerideki serbestlik derecesi Nk = 15-3= 12'dir; burada N, toplam veri noktası sayısını temsil eder.

Dof(2,12)'deki F-Kritik şu şekilde hesaplanabilir: F-Dağıtım tablosu 0.05 anlamlılık düzeyinde.

F-Kritik = 9.42 

F-Kritik < F-istatistik olduğundan, gübre grupları arasında bitki büyümesinde önemli bir fark olduğu sonucuna varan sıfır hipotezini reddediyoruz.

0.05'in altındaki bir p değeri ile sonucumuz tutarlı kalıyor: Gübre grupları arasında bitki büyümesinde önemli bir fark olduğunu belirten sıfır hipotezini reddediyoruz.

İki yönlü ANOVA

Tek yönlü ANOVA yalnızca bir faktör için uygundur, peki ya deneyinizi etkileyen iki faktör varsa? Daha sonra iki bağımsız değişkenin tek bir bağımlı değişken üzerindeki etkilerini analiz etmenize olanak tanıyan iki yönlü ANOVA kullanılır.

Adım 1: Hipotezlerin Oluşturulması

• Boş hipotez (H0): Gübre çeşidine (A, B, C) veya ekim zamanına (erken, geç) veya bunların etkileşimine bağlı olarak ortalama son bitki boyunda önemli bir fark yoktur.
• Alternatif Hipotez (H1): Aşağıdakilerden en az biri doğrudur:
  • Gübre tipinin ortalama nihai yükseklik üzerinde önemli etkisi vardır.
  • Dikim zamanının ortalama nihai boy üzerinde önemli bir etkisi vardır.
  • Gübre türü ile ekim zamanı arasında önemli bir etkileşim etkisi vardır. Bu, bir faktörün (gübre) etkisinin diğer faktörün (ekim zamanı) düzeyine bağlı olduğu anlamına gelir.

Adım 2: Veri Toplama ve Organizasyon

• Nihai bitki yüksekliklerini ölçün.
• Verilerinizi, aşağıdakiler için ayrı tesisleri ve sütunları temsil eden satırlardan oluşan bir tablo halinde düzenleyin:
  • Gübre türü (A, B, C)
  • Ekim zamanı (erken, geç)
  • Nihai yükseklik (cm)

İşte tablo:

Adım3: Kareler Toplamını Hesaplayın

Tek yönlü ANOVA'ya benzer şekilde, nihai yüksekliklerdeki değişimi değerlendirmek için çeşitli kareler toplamlarını hesaplamanız gerekecektir:

• Toplam Kareler Toplamı (SST): Tüm bitkiler arasındaki toplam değişimi temsil eder. Ana etki karelerinin toplamı:
  • Gübre Arası Çeşitleri (SSB_F): Gübre türündeki farklılıklardan kaynaklanan değişimi yansıtır (ekim zamanları genelinde ortalama)
  • Kaplamalar Arası Süreler (SSB_T): Ekim zamanlarındaki farklılıklardan kaynaklanan değişimi yansıtır (gübre türleri genelinde ortalama).
• Karelerin etkileşim toplamı (SSI): Gübre türü ile ekim zamanı arasındaki etkileşimden kaynaklanan değişimi yakalar.
• Grup İçi Kareler Toplamı (SSW): Her gübre ekim zamanı kombinasyonundaki nihai yüksekliklerdeki değişimi temsil eder.

Adım 4: Serbestlik Derecelerini Hesaplayın (df): 

Serbestlik dereceleri, her etki için bağımsız bilgi parçalarının sayısını tanımlar.

• dfToplam: N-1 (toplam gözlemler eksi 1)
• dfGübre: Gübre çeşidi sayısı -1
• dfEkim Zamanı: Ekim sayısı -1
• dfEtkileşim: (Gübre çeşidi sayısı -1) * (Ekim zamanı sayısı -1)
• dfİçinde: dfToplam-dfGübre-dfdikim-dfEtkileşim

Adım 5: Ortalama Kareleri Hesaplayın

Her Kareler Toplamını karşılık gelen serbestlik derecesine bölün.

• MS_Gübre: SSB_F/dfGübre
• MS_PlantingTime: SSB_T/dfEkim
• MS_Etkileşimi: SSI/dfEtkileşimi
• MS_İçinde: SSW/dfİçinde

Adım 6: F istatistiklerini hesaplayın

Gübre türü, ekim zamanı ve etkileşim etkisi için ayrı F istatistikleri hesaplayın:

• F_Gübreleme: MS_Gübre/MS_İçinde
• F_PlantingTime: MS_PlantingTime/ MS_Within
• F_Etkileşim: MS_Inteaction/MS_Within
• F_PlantingTime: MS_PlantingTime/MS_Within
• F_Etkileşim: MS_Etkileşim/ MS_İçinde

Adım 7: Kritik Değerleri Belirleyin ve Karar Verin:

Analiziniz için bir önem düzeyi (alfa) seçin; genellikle 0.05 alırız

Bir F-dağıtım tablosu veya istatistiksel yazılım kullanarak, seçilen alfa seviyesinde her etki (gübre, ekim zamanı, etkileşim) için kritik F-değerlerini ve ilgili serbestlik derecelerini arayın.

Hesaplanan F istatistiklerinizi her etki için kritik F değerleriyle karşılaştırın:

• F istatistiği kritik F değerinden büyükse, bu etki için sıfır hipotezini (H0) reddedin. Bu istatistiksel olarak anlamlı bir farklılığa işaret etmektedir.
• F istatistiği kritik F değerinden küçükse veya ona eşitse, bu etki için H0'ı reddetmeyin. Bu istatistiksel olarak anlamlı olmayan bir farklılığa işaret etmektedir.

Adım 8: Post-hoc Analiz (gerekirse)

Boş hipotez reddedilirse, bu da önemli bir genel farka işaret eder, daha derine inmek isteyebilirsiniz. Tukey'in Dürüst Önemli Farkı (HSD) gibi post-hoc, hangi gübre gruplarının istatistiksel olarak farklı ortalama bitki boylarına sahip olduğunu belirlemeye yardımcı olabilir.

import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.formula.api import ols
# Create a DataFrame from the dictionary
plant_heights = {
    'Treatment': ['A', 'A', 'A', 'A', 'A', 'A',
                  'B', 'B', 'B', 'B', 'B', 'B',
                  'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C'],
    'Time': ['Early', 'Early', 'Early', 'Late', 'Late', 'Late',
             'Early', 'Early', 'Early', 'Late', 'Late', 'Late',
             'Early', 'Early', 'Early', 'Late', 'Late', 'Late'],
    'Height': [25, 28, 23, 27, 26, 24,
               20, 22, 19, 21, 24, 22,
               18, 20, 17, 19, 21, 20]
}
df = pd.DataFrame(plant_heights)


# Fit the ANOVA model
model = ols('Height ~ C(Treatment) + C(Time) + C(Treatment):C(Time)', data=df).fit()


# Perform ANOVA
anova_table = sm.stats.anova_lm(model, typ=2)


# Print the ANOVA table
print(anova_table)


# Interpret the results
alpha = 0.05  # Significance level

if anova_table['PR(>F)'][0] < alpha:
    print("nReject null hypothesis for Treatment factor.")
else:
    print("nFail to reject null hypothesis for Treatment factor.")

if anova_table['PR(>F)'][1] < alpha:
    print("Reject null hypothesis for Time factor.")
else:
    print("Fail to reject null hypothesis for Time factor.")

if anova_table['PR(>F)'][2] < alpha:
    print("Reject null hypothesis for Interaction between Treatment and Time.")
else:
    print("Fail to reject null hypothesis for Interaction between Treatment and Time.")

Çıktı:

Serbestlik derecesinde Tedavi için F-kritik değeri (2,12), 0.05 anlamlılık düzeyinde F-dağıtım tablosu 9.42 olduğu

Serbestlik derecesindeki Zaman (1,12) için 0.05 anlamlılık düzeyinde F-kritik değeri 61.22'dir.

F- Serbestlik derecesinde (0.05) 2,12 anlamlılık düzeyinde tedavi ile Zaman arasındaki etkileşim için kritik değer 9.42'dir.

F-Kritik < F-istatistikleri olduğundan, Tedavi Faktörü için sıfır hipotezini reddediyoruz.

Ancak Zaman Faktörü ve Tedavi ile Zaman faktörü arasındaki Etkileşim için, F-istatistik değeri > F-Kritik değer olarak Sıfır Hipotezini reddetmede başarısız olduk. 

0.05'in altındaki bir p değeri ile sonucumuz tutarlı kalır: Tedavi Faktörü için sıfır hipotezini reddederiz, 0.05'in üzerindeki bir p değeri ile Zaman faktörü ve Tedavi ile Zaman faktörü arasındaki etkileşim için Sıfır hipotezini reddetmekte başarısız oluruz.

Tek Yönlü ANOVA ve İKİ Yönlü ANOVA Arasındaki Fark 

Tek yönlü ANOVA ve İki yönlü ANOVA, gruplar arasındaki farklılıkları analiz etmek için kullanılan istatistiksel tekniklerdir, ancak dikkate aldıkları bağımsız değişkenlerin sayısı ve deney tasarımının karmaşıklığı açısından farklılık gösterirler.

Tek yönlü ANOVA ile iki yönlü ANOVA arasındaki temel farklar şunlardır:

Sonuç

ANOVA, grup ortalamaları arasındaki farklılıkları analiz etmek için güçlü bir araçtır ve ikiden fazla örnek ortalamasını karşılaştırırken çok önemlidir. Tek yönlü ANOVA, tek bir faktörün sürekli sonuç üzerindeki etkisini değerlendirirken, iki yönlü ANOVA, bu analizi iki faktörü ve bunların etkileşim etkilerini dikkate alacak şekilde genişletir. Bu farklılıkları anlamak, araştırmacıların deneysel tasarımları ve araştırma soruları için en uygun analitik yaklaşımı seçmelerini sağlar.

Sık Sorulan Sorular

• SEO Destekli İçerik ve Halkla İlişkiler Dağıtımı. Bugün Gücünüzü Artırın.
• PlatoData.Network Dikey Üretken Yapay Zeka. Kendine güç ver. Buradan Erişin.
• PlatoAiStream. Web3 Zekası. Bilgi Genişletildi. Buradan Erişin.
• PlatoESG. karbon, temiz teknoloji, Enerji, Çevre, Güneş, Atık Yönetimi. Buradan Erişin.
• PlatoSağlık. Biyoteknoloji ve Klinik Araştırmalar Zekası. Buradan Erişin.
• Kaynak: https://www.analyticsvidhya.com/blog/2024/04/one-way-and-two-way-analysis-of-variance-anova/