Baloncuk kümelerinin şeklini anlamaya gelince, matematikçiler binlerce yıldır fiziksel sezgilerimizi yakalamaya çalışıyorlar. Doğadaki sabun köpüğü kümeleri, genellikle, duvarlarının toplam yüzey alanını (kabarcıklar arasındaki duvarlar dahil) en aza indiren en düşük enerji durumuna hemen yapışıyor gibi görünmektedir. Ancak sabun köpüğünün bu görevi doğru yapıp yapmadığını kontrol etmek - ya da sadece büyük baloncuk kümelerinin neye benzemesi gerektiğini tahmin etmek - geometrideki en zor problemlerden biridir. Yunan matematikçi Zenodorus bunu 19 yıldan daha uzun bir süre önce öne sürmüş olsa da, kürenin en iyi tek balon olduğunu kanıtlamak 2,000. yüzyılın sonlarına kadar matematikçileri aldı.

Kabarcık problemini ifade etmek yeterince basittir: Hacimler için bir sayı listesiyle başlarsınız ve daha sonra en az yüzey alanını kullanarak bu hava hacimlerini ayrı ayrı nasıl kapatacağınızı sorarsınız. Ancak bu sorunu çözmek için matematikçiler, kabarcık duvarlar için çok çeşitli olası şekilleri göz önünde bulundurmalıdır. Ve eğer görev, diyelim ki beş cildi içine almaksa, dikkatimizi beş kabarcıklı kümelerle sınırlama lüksümüz bile yok - belki de yüzey alanını en aza indirmenin en iyi yolu, hacimlerden birini birden çok kabarcık arasında bölmeyi içerir.

İki boyutlu düzlemin daha basit ayarında bile (çevreyi en aza indirirken bir alan koleksiyonunu çevrelemeye çalıştığınız yerde), hiç kimse, örneğin dokuz veya 10 alanı çevrelemenin en iyi yolunu bilemez. Baloncukların sayısı arttıkça, "hızlı bir şekilde, gerçekten makul bir varsayım bile elde edemezsiniz" dedi. Emanuel Milman Technion'un Hayfa, İsrail'deki

Ama çeyrek asırdan fazla bir süre önce, John Sullivan, şimdi Berlin Teknik Üniversitesi'nden, bazı durumlarda, bir yol gösterici varsayım Sahip olmak. Kabarcık problemleri herhangi bir boyutta anlamlıdır ve Sullivan, kapsamaya çalıştığınız ciltlerin sayısı boyuttan en fazla bir büyük olduğu sürece, hacimleri kapsamanın belirli bir yolu olduğunu buldu. diğerlerinden daha güzel - bir küre üzerinde mükemmel simetrik bir kabarcık kümesinin bir tür gölgesi. Bu gölge kümesi, yüzey alanını en aza indiren küme olmalıdır.

Takip eden on yıl boyunca matematikçiler, Sullivan'ın varsayımını kanıtlayan bir dizi çığır açan makale yazdı, ancak siz sadece iki cildi kapsamaya çalışırken. Burada çözüm, güneşli bir günde parkta üflemiş olabileceğiniz, aralarında düz veya küresel bir duvar bulunan iki küresel parçadan oluşan (iki balonun aynı veya farklı hacimlere sahip olup olmamasına bağlı olarak) bilinen çift baloncuktur.

Ama matematikçi Sullivan'ın varsayımını üç cilt için kanıtlıyor. Frank Morgan Williams Koleji'nin speküle 2007'de “pekala bir yüz yıl daha sürebilir.”

Şimdi, matematikçiler o kadar uzun süre beklemekten kurtuldular ve üçlü kabarcık problemine bir çözümden çok daha fazlasını elde ettiler. İçinde kâğıt Mayıs ayında çevrimiçi olarak yayınlandı, Milman ve Joe NeemanAustin, Texas Üniversitesi'nden, Sullivan'ın üç ve daha büyük boyutlarda üçlü kabarcıklar ve dört ve üstü boyutlarda dörtlü kabarcıklar için varsayımını, işlerinde beş ve daha büyük boyutlardaki beşli kabarcıklar üzerine bir takip makalesi ile kanıtladı.

Ve altı veya daha fazla balon söz konusu olduğunda, Milman ve Neeman, en iyi kümenin Sullivan'ın adayının kilit özelliklerinin çoğuna sahip olması gerektiğini gösterdiler ve potansiyel olarak matematikçileri bu durumlar için varsayımı kanıtlama yolunda başlattılar. "Benim izlenimim, Sullivan varsayımının arkasındaki temel yapıyı kavradıkları yönünde" dedi. Francesco Maggi Austin, Texas Üniversitesi'nden.

Morgan bir e-postada Milman ve Neeman'ın merkezi teoremi “anıtsal” diye yazdı. “Birçok yeni fikirle birlikte parlak bir başarı.”

Gölge Kabarcıkları

Gerçek sabun köpüğüyle ilgili deneyimlerimiz, en azından küçük kümeler söz konusu olduğunda, optimal baloncuk kümelerinin nasıl görünmesi gerektiği konusunda cazip sezgiler sunar. Sabunlu çubuklardan üflediğimiz üçlü veya dörtlü baloncukların küresel duvarları (ve bazen de düz olanları) var gibi görünüyor ve örneğin uzun bir baloncuk zinciri yerine sıkı kümeler oluşturma eğiliminde.

Ancak bunların gerçekten optimal kabarcık kümelerinin özellikleri olduğunu kanıtlamak o kadar kolay değil. Örneğin, matematikçiler en aza indiren bir kabarcık kümesindeki duvarların her zaman küresel mi yoksa düz mü olduğunu bilmiyorlar - yalnızca duvarların "sabit ortalama eğriliğe" sahip olduğunu biliyorlar, yani ortalama eğrilik bir noktadan diğerine aynı kalıyor. Küreler ve düz yüzeyler bu özelliğe sahiptir, ancak silindirler ve unduloid adı verilen dalgalı şekiller gibi diğer birçok yüzey de öyle. Milman, sabit ortalama eğriliğe sahip yüzeylerin "tam bir hayvanat bahçesi" olduğunu söyledi.

Ancak 1990'larda Sullivan, içine almak istediğiniz cilt sayısı boyuttan en fazla bir fazla olduğunda, diğerlerini gölgede bırakan bir aday kümenin olduğunu fark etti - bizim eğilimimiz olan özelliklere sahip bir (ve yalnızca bir) küme. küçük kümeler halinde gerçek sabun köpüğü görmek için.

Böyle bir adayın nasıl oluşturulduğuna dair bir fikir edinmek için, düz düzlemde üç kabarcıklı bir küme oluşturmak için Sullivan'ın yaklaşımını kullanalım (böylece “kabarcıklarımız” üç boyutlu nesneler yerine düzlemdeki bölgeler olacaktır). Bir küre üzerinde birbirinden aynı uzaklıkta dört nokta seçerek başlıyoruz. Şimdi bu dört noktanın her birinin, yalnızca kürenin yüzeyinde yaşayan küçük bir baloncuğun merkezi olduğunu hayal edin (böylece her balon küçük bir disktir). Küre üzerindeki dört balonu birbirine çarpmaya başlayana kadar şişirin ve ardından topluca tüm yüzeyi doldurana kadar şişirmeye devam edin. Sonunda, küreyi şişirilmiş bir tetrahedron gibi gösteren simetrik bir dört baloncuk kümesi elde ederiz.

Daha sonra bu küreyi sonsuz düz bir düzlemin üzerine, sanki küre sonsuz bir zeminde duran bir topmuş gibi yerleştiriyoruz. Topun şeffaf olduğunu ve kuzey kutbunda bir fener olduğunu hayal edin. Dört baloncuğun duvarları zemine gölgeler yansıtacak ve orada bir baloncuk kümesinin duvarlarını oluşturacaktır. Küredeki dört baloncuktan üçü zemindeki gölge baloncuklarına yansır; dördüncü balon (kuzey kutbunu içeren), üç gölge baloncuk kümesinin dışındaki sonsuz zemin genişliğine doğru çıkıntı yapacaktır.

Elde ettiğimiz belirli üç kabarcıklı küme, küreyi yere koyduğumuzda nasıl konumlandırdığımıza bağlıdır. Küreyi kuzey kutbundaki fenere farklı bir nokta hareket edecek şekilde döndürürsek, tipik olarak farklı bir gölge elde ederiz ve yerdeki üç balonun farklı alanları olur. matematikçiler var kanıtladı Alanlar için seçtiğiniz herhangi üç sayı için, küreyi üç gölge baloncuğunun tam olarak bu alanlara sahip olacağı şekilde konumlandırmanın esasen tek bir yolu vardır.

Bu işlemi herhangi bir boyutta gerçekleştirmekte özgürüz (ancak daha yüksek boyutlu gölgeleri görselleştirmek daha zordur). Ancak gölge kümemizde sahip olabileceğimiz kabarcıkların bir sınırı vardır. Yukarıdaki örnekte, düzlemde dört kabarcıklı bir küme yapamazdık. Bu, küre üzerinde birbirinden aynı uzaklıkta olan beş nokta ile başlamayı gerektirirdi - ancak bir küre üzerine bu kadar çok eşit uzaklıkta nokta yerleştirmek imkansızdır (ancak bunu daha yüksek boyutlu kürelerle yapabilirsiniz). Sullivan'ın prosedürü, yalnızca iki boyutlu uzayda üç kabarcık, üç boyutlu uzayda dört kabarcık, dört boyutlu uzayda beş kabarcık vb. Bu parametre aralıklarının dışında Sullivan tarzı kabarcık kümeleri yoktur.

Ancak bu parametreler içinde, Sullivan'ın prosedürü bize fiziksel sezgimizin kavrayabileceğinin çok ötesinde ortamlarda kabarcık kümeleri verir. Maggi, “[15 boyutlu uzayda] 23 balonun ne olduğunu görselleştirmek imkansız” dedi. “Böyle bir nesneyi tanımlamayı nasıl hayal ediyorsun?”

Yine de Sullivan'ın baloncuk adayları, küresel atalarından doğada gördüğümüz baloncukları anımsatan benzersiz bir özellikler koleksiyonunu miras alırlar. Duvarlarının tümü küresel veya düzdür ve üç duvarın birleştiği yerde simetrik Y şeklinde olduğu gibi 120 derecelik açılar oluştururlar. Kapatmaya çalıştığınız birimlerin her biri, birden çok bölgeye bölünmek yerine tek bir bölgede bulunur. Ve her balon birbirine (ve dışına) dokunarak sıkı bir küme oluşturur. Matematikçiler, Sullivan'ın kabarcıklarının tüm bu özellikleri karşılayan tek kümeler olduğunu göstermiştir.

Sullivan, bunların yüzey alanını en aza indiren kümeler olması gerektiğini varsaydığında, esasen “Güzelliği varsayalım” diyordu Maggi.

Ancak balon araştırmacılarının, önerilen bir çözümün güzel olduğu için doğru olduğunu varsaymaktan çekinmek için iyi nedenleri var. Maggi, "Minimize ediciler için simetri beklediğiniz ve simetrinin olağanüstü başarısız olduğu çok ünlü problemler var" dedi.

Örneğin, yüzey alanını en aza indirecek şekilde sonsuz alanı eşit hacimli kabarcıklarla doldurma sorunuyla yakından ilgili bir sorun var. 1887'de İngiliz matematikçi ve fizikçi Lord Kelvin, çözümün zarif bir petek benzeri yapı olabileceğini öne sürdü. Bir yüzyıldan fazla bir süredir, birçok matematikçi bunun muhtemel cevap olduğuna inanıyordu - 1993 yılına kadar, bir çift fizikçi. daha iyi tanımladı, daha az simetrik olsa da, seçenek. Maggi, "Matematik, bu tür garip şeylerin olduğu örneklerle dolu" dedi.

Karanlık Bir Sanat

Sullivan 1995 yılında varsayımını açıkladığında, çifte kabarcıklı kısmı zaten bir asırdır ortalıkta dolanıyordu. Matematikçiler çözmüştü 2D çift kabarcık sorunu iki yıl önce ve takip eden on yılda bunu çözdüler. üç boyutlu uzay ve sonra daha yüksek boyutlar. Ama Sullivan'ın varsayımının bir sonraki durumuna geldiğinde - üçlü baloncuklar - yapabilirlerdi. varsayımı kanıtla sadece baloncuklar arasındaki arayüzlerin özellikle basit olduğu iki boyutlu düzlemde.

Daha sonra 2018'de Milman ve Neeman, Sullivan'ın varsayımının benzer bir versiyonunu Gauss kabarcık problemi olarak bilinen bir ortamda kanıtladılar. Bu ortamda, uzaydaki her noktanın parasal bir değeri olduğunu düşünebilirsiniz: Başlangıç ​​noktası en pahalı noktadır ve başlangıç ​​noktasından uzaklaştıkça daha ucuz olan arazi bir çan eğrisi oluşturur. Amaç, muhafazaların sınırlarının maliyetini (sınırların yüzey alanı yerine) en aza indirecek şekilde (önceden seçilen hacimler yerine) önceden seçilmiş fiyatlarla muhafazalar oluşturmaktır. Bu Gauss kabarcık probleminin bilgisayar bilimlerinde yuvarlama şemalarına ve gürültü duyarlılığı sorularına kadar uygulamaları vardır.

Milman ve Neeman kanıt için Matematik Yıllıkları, tartışmasız matematiğin en prestijli dergisi (daha sonra kabul edildiği yer). Ancak çiftin bir gün demeye niyeti yoktu. Yöntemleri, klasik baloncuk sorunu için de umut verici görünüyordu.

Birkaç yıl boyunca fikirleri ileri geri attılar. Milman, "200 sayfalık bir not belgemiz vardı" dedi. İlk başta, ilerleme kaydediyorlarmış gibi geldi. “Ama sonra hızla 'Bu yönü denedik - hayır. [O] yönü denedik - hayır.'” Her iki matematikçi de bahislerini korumak için başka projeler de izledi.

Sonra geçen sonbaharda Milman, izin için geldi ve Neeman'ı ziyaret etmeye karar verdi, böylece çift kabarcık sorunu üzerinde yoğun bir şekilde baskı yapabilirdi. Milman, "Sabbatical sırasında yüksek riskli, yüksek kazanç türlerini denemek için iyi bir zaman" dedi.

İlk birkaç ay hiçbir yere varamadılar. Sonunda kendilerine Sullivan'ın tam varsayımından biraz daha kolay bir görev vermeye karar verdiler. Baloncuklarınıza fazladan bir boyut nefes alma odası verirseniz, bir bonus kazanırsınız: En iyi baloncuk kümesi, merkezi bir düzlemde ayna simetrisine sahip olacaktır.

Sullivan'ın varsayımı, iki ve üstü boyutlardaki üçlü baloncuklar, üç ve üstü boyutlardaki dörtlü baloncuklar vb. hakkındadır. Bonus simetriyi elde etmek için, Milman ve Neeman dikkatlerini üç ve daha yukarı boyutlardaki üçlü baloncuklara, dört ve daha yukarı boyutlardaki dörtlü baloncuklara vb. Neeman, "Gerçekten ilerleme kaydettiğimiz tüm parametreler için onu elde etmekten vazgeçtiğimizde gerçekten oldu" dedi.

Milman ve Neeman, bu ayna simetrisini ellerinde bulundurarak, aynanın üzerindeki kabarcık kümesinin yarısını hafifçe şişirmeyi ve onun altındaki yarısını söndürmeyi içeren bir pertürbasyon argümanı buldular. Bu bozulma, baloncukların hacmini değiştirmez, ancak yüzey alanlarını değiştirebilir. Milman ve Neeman, eğer optimal kabarcık kümesinin küresel veya düz olmayan duvarları varsa, bu düzensizliği kümenin yüzey alanını azaltacak şekilde seçmenin bir yolu olacağını gösterdiler - bir çelişki, çünkü optimal küme zaten en az yüzeye sahip alan mümkün.

Neeman, kabarcıkları incelemek için bozulmaları kullanmak yeni bir fikir olmaktan çok uzak, ancak hangi bozulmaların bir kabarcık kümesinin önemli özelliklerini tespit edeceğini bulmak “biraz karanlık bir sanat” dedi.

Geriye dönüp baktığımızda, “[Milman ve Neeman'ın tedirginliklerini] bir kez gördüğünüzde, oldukça doğal görünüyorlar” dedi. joel hass Kaliforniya Üniversitesi, Davis.

Ancak, karışıklıkları doğal olarak kabul etmek, ilk etapta onları ortaya çıkarmaktan çok daha kolay, dedi Maggi. “Bu, 'Eninde sonunda insanlar bulurdu' diyebileceğiniz bir şey değil” dedi. “Çok dikkate değer bir düzeyde gerçekten dahice.”

Milman ve Neeman, optimal kabarcık kümesinin Sullivan kümelerinin tüm temel özelliklerini karşılaması gerektiğini göstermek için tedirginliklerini kullanabildiler, belki biri hariç: her balonun birbirine değmesi şartı. Bu son gereklilik, Milman ve Neeman'ı baloncukların bir kümeye bağlanabileceği tüm yollarla boğuşmaya zorladı. Sadece üç veya dört baloncuk söz konusu olduğunda, dikkate alınması gereken çok fazla olasılık yoktur. Ancak baloncuk sayısını artırdıkça, farklı olası bağlantı modellerinin sayısı katlanarak olduğundan bile daha hızlı büyür.

Milman ve Neeman ilk başta tüm bu durumları kapsayacak kapsayıcı bir ilke bulmayı umdular. Ancak birkaç ay “kafamızı kırarak” geçirdikten sonra Milman, şimdilik üçlü ve dörtlü balonları ele almalarına izin veren daha özel bir yaklaşımla kendilerini tatmin etmeye karar verdiler. Ayrıca Sullivan'ın beşli balonunun optimal olduğuna dair yayınlanmamış bir kanıt da duyurdular, ancak bunun tek optimal küme olduğunu henüz belirlemediler.

Morgan bir e-postada Milman ve Neeman'ın çalışmasının “önceki yöntemlerin bir uzantısı olmaktan ziyade tamamen yeni bir yaklaşım” olduğunu yazdı. Maggi, muhtemelen, bu yaklaşımın daha da ileri götürülebileceğini tahmin etti - belki beşten fazla kabarcıktan oluşan kümelere veya Sullivan'ın ayna simetrisine sahip olmayan varsayım durumlarına.

Hiç kimse daha fazla ilerlemenin kolayca gelmesini beklemiyor; ama bu Milman ve Neeman'ı asla yıldırmadı. "Deneyimlerime göre," dedi Milman, "yapabilecek kadar şanslı olduğum tüm önemli şeyler sadece pes etmemeyi gerektiriyordu."