Plan değişikliği bir yolculuk sırasında gerçekleşti. Geçtiğimiz nisan ayının güzel bir gününde matematikçiler Rachel Greenfeld ve Sarah Peluse kendi kurumları olan Princeton, New Jersey'deki İleri Araştırma Enstitüsü'nden yola çıktılar ve her ikisinin de ertesi gün konuşma yapmasının planlandığı Rochester, New York'a doğru yola çıktılar.

Yaklaşık iki yıldır, karmaşık sinyallerin bileşen frekanslarına nasıl ayrılacağını inceleyen harmonik analiz alanında önemli bir varsayımla mücadele ediyorlardı. Üçüncü bir işbirlikçiyle birlikte, Marina Iliopoulou, problemin, bileşen frekanslarının, birbirlerinden uzaklıkları tam sayılarla ilişkili olan bir düzlemdeki noktalar olarak temsil edildiği bir versiyonu üzerinde çalışıyorlardı. Üç araştırmacı bu noktaların çok fazla olamayacağını göstermeye çalışıyordu ancak şu ana kadar tüm teknikleri yetersiz kalmıştı.

Sanki çarklarını döndürüyor gibiydiler. Sonra Peluse'nin aklına bir fikir geldi: Peki ya harmonik analiz problemini -tabii ki geçici olarak- bir kenara atsalar ve dikkatlerini herhangi iki nokta arasındaki mesafenin tam bir tamsayı olduğu nokta kümelerine çevirseler? Bu tür kümeler hangi olası yapılara sahip olabilir? Matematikçiler eski çağlardan beri tamsayı uzaklık kümelerini anlamaya çalışıyorlar. Örneğin, Pisagor üçlüleri (3, 4 ve 5 gibi), üç köşesi birbirinden tam sayı uzaklıkta olan dik üçgenleri temsil eder.

Şu anda Michigan Üniversitesi'nde profesör olan Peluse, "Arabada, sanırım Rachel benimle sıkışıp kaldığı için bu konuyu gündeme getirdim" dedi. Tamsayı uzaklık kümeleriyle uğraşma fikri Greenfeld'i heyecanlandırdı.

Daha farkına bile varmadan, bir değil iki yön değişikliğine gitmişlerdi.

Peluse, "Aslında nereye gittiğimize dikkat etmeyi bıraktık ve otoyoldan inmedik" dedi. "Farkına varmadan bir saat kadar önce Rochester'dan ters yöne gidiyorduk çünkü matematik konusunda çok heyecanlıydık."

1945'te Norman Anning ve Paul Erdős kanıtladı Düzlemde birbirinden tamsayı mesafelerde olan sonsuz bir nokta kümesinin bir doğru üzerinde yer alması gerekir. Sonlu bir nokta kümesi için olasılıklar biraz daha çeşitlidir. Matematikçiler, bazen ana sürüklemenin dışında üç veya dört ekstra nokta içeren, bir çizgi veya daire üzerinde uzanan büyük kümeler inşa ettiler. (Noktaların tamsayı koordinatlara sahip olması gerekmez; soru aralarındaki mesafelerle ilgilidir.)

Hiç kimse başka bir konfigürasyonla geniş bir nokta kümesi oluşturmadı, ancak hiç kimse diğer konfigürasyonların imkansız olduğunu kanıtlayamadı. Anning ve Erdős'in sonucundan bu yana geçen yaklaşık 80 yılda, bu konuda şimdiye kadar neredeyse hiç ilerleme görülmedi.

Greenfeld, Iliopoulou ve Peluse kanıtladı büyük bir tamsayı mesafe kümesindeki tüm noktaların - belki de bir avuç aykırı nokta dışında - tek bir çizgi veya daire üzerinde yer alması gerekir. "Tüm ikili uzaklıkların tam sayı olduğu büyük bir kümeye sahip olmak istiyorsanız, o zaman tek oyuncular daireler ve çizgilerdir" dedi. József Solymosi British Columbia Üniversitesi'nden. Sonuçlarını "harika bir çözüm" olarak nitelendirdi.

Yeni yaklaşım matematiğin üç farklı alanından fikir ve teknikleri kullanıyor: kombinatorik, sayı teorisi ve cebirsel geometri. Farklı alanların bir araya getirilmesi "gerçek bir psikolojik atılım olabilir" dedi Terence tao, Los Angeles, California Üniversitesi'nde bir matematikçi.

Alex IoseviçRochester Üniversitesi'nden , aynı fikirde. "Çok geniş bir dizi sorun için çok sağlam bir temel attılar" dedi. "Bunun daha da derin uygulamalar bulacağına dair kesinlikle hiçbir şüphem yok."

Sadeliğin Sınırları

Bir düzlemde, birbirinden tam sayı uzaklıkta olan sonsuz sayıda nokta seçmek kolaydır; en sevdiğiniz doğruyu alın, üzerine bindirilmiş bir sayı doğrusu hayal edin ve tam sayılara karşılık gelen noktaların bir kısmını veya tamamını kullanın. Ancak Anning ve Erdős'in 1945'te fark ettiği gibi, düzlemde sonsuz bir tamsayı uzaklığı oluşturmanın tek yolu budur. Hepsi aynı doğru üzerinde olmayan yalnızca üç noktanız olur olmaz, konfigürasyonunuz o kadar kısıtlanır ki, bunu yapmak imkansız hale gelir. sonsuz sayıda daha fazla nokta eklemek için.

Bunun nedeni basit geometriye dayanıyor. Aralarında tam sayı mesafe olan iki A ve B noktasıyla başladığınızı hayal edin. Hem A hem de B'ye tam sayı uzaklıkta olan ancak bunların içinden geçen doğru üzerinde yer almayan üçüncü bir nokta olan C'yi eklemek isterseniz, düzlemdeki çoğu nokta işe yaramaz. Geçerli olan tek noktalar, A ve B'yi kesen, hiperbol adı verilen özel eğriler üzerinde bulunur. Eğer A ve B, diyelim ki, 4 birim uzaktaysa, o zaman bu hiperbollerden tam olarak dört tane vardır. (Bir hiperbolün genellikle iki ayrı kısmı vardır, dolayısıyla örneğin aşağıdaki şekildeki iki kırmızı eğri tek bir hiperbol oluşturur.)

C'yi seçtikten sonra (ki bu örnekte A'dan 3 birim ve B'den 5 birimdir), daha fazla puan eklemek için neredeyse hiç seçeneğiniz kalmaz. Ekleyebileceğiniz herhangi bir nokta, A ile B arasındaki hiperbollerden birinin üzerinde veya bunların içinden geçen doğrunun üzerinde bulunmalıdır. Ancak aynı zamanda A ile C arasındaki hiperbollerden birinin ve B ile C arasındaki hiperbollerden birinin (veya bunlara karşılık gelen çizgilerin) üzerinde de yer almalıdır; başka bir deyişle, yeni bir nokta yalnızca üç hiperbolün veya çizginin kesiştiği yere yerleştirilebilir (gerçi her kesişim noktası çalışmayacaktır). Başlangıçta bu hiperbollerden ve çizgilerden yalnızca sonlu sayıda vardır ve iki hiperbol (veya çizgi) en fazla dört noktada kesişebilir. Böylece aralarından seçim yapabileceğiniz yalnızca sonlu sayıda kesişim noktası elde edersiniz; sonsuz bir küme oluşturamazsınız.

Sonlu bir tamsayı uzaklık noktaları kümesinin gerçekte neye benzediğini anlamaya gelince, hiperbol yaklaşımı hızla hantallaşır. Nokta ekledikçe artan sayıda hiperbolle uğraşmanız gerekir. Örneğin, kümeniz yalnızca 10 noktaya ulaştığında, 11'inciyi eklemek 10 yeni hiperbol ailesi yaratacaktır; bunların tümü yeni noktanız ile kümede zaten bulunan noktaların her biri arasındadır. Greenfeld, "Çok fazla nokta ekleyemezsiniz çünkü tüm bu hiperbollerde ve kesişimlerde kaybolursunuz" dedi.

Bu nedenle matematikçiler, bir doğru üzerinde yer almayan geniş tamsayı uzaklık noktaları kümeleri oluşturmak için daha yönetilebilir ilkeler aradılar. Ancak yalnızca tek bir yaklaşım ortaya koyabildiler: Noktalarınızı bir dairenin üzerine koyun. Örneğin trilyon noktalı bir tamsayı mesafe ayarlamak istiyorsanız, yarıçapı 1 olan ve aralarındaki mesafelerin tümü kesirli olan bir daire üzerinde trilyon nokta bulmanın yolları vardır. Daha sonra tüm kesirli mesafeler tam sayılara dönüşene kadar daireyi şişirebilirsiniz. Setinizde ne kadar çok puan istiyorsanız, daireyi o kadar fazla şişirmeniz gerekir.

Yıllar geçtikçe matematikçiler sadece biraz daha egzotik örnekler buldular. Dört nokta dışında tüm noktaların bir doğru üzerinde yer aldığı veya üç nokta dışında tüm noktaların bir daire üzerinde yer aldığı büyük tam sayı uzaklık kümeleri oluşturabilirler. Pek çok matematikçi, bunların, tüm noktaların bir çizgi veya daire üzerinde olmadığı tek büyük tamsayı uzaklık kümeleri olduğundan şüpheleniyor. Bombieri-Lang varsayımı denen bir şeyi kanıtlayabilirlerse bunu kesinlikle bilecekler. Ancak matematikçiler bu varsayımın doğru olup olmadığı konusunda bölünmüş durumdalar.

Anning ve Erdős'in 1945'teki çalışmalarından bu yana matematikçiler tamsayı uzaklık kümelerini anlama konusunda çok az ilerleme kaydettiler. Zamanla, tamsayı mesafe problemi, kombinatorik, sayı teorisi ve geometrideki ifade edilmesi basit ancak çözülmesi imkansız gibi görünen bir dizi başka problemin arasına katılmış gibi göründü. Tao, "Bu, matematiğimizin ne kadar acınası olduğunun bir ölçüsü" dedi.

Bir bakıma tamsayı mesafe problemi kendi ilk başarılarının kurbanı oldu. Abartı kanıtı, ustaca sadeliğiyle, matematikteki en zarif kanıtların hayali bir cildi olan “Kitap”tan sık sık söz eden son derece etkili bir matematikçi olan Erdős'in benimsediği felsefenin simgesidir. Iosevich, Erdős'in desteklediği basitlik kültürünün kombinatoryal geometride "muazzam sonuçlara" yol açtığını söyledi. Ancak bu aynı zamanda cebirsel geometriden yaklaşımlar getirmenin değeri konusunda kör noktalara da yol açabilir.

Iosevich, "[Cebirsel geometride] son ​​50 yılda kanıtlanmış, teknik açıdan pek karmaşık olmayan ve karmaşık olmayan bir sonuç bulacağınızı sanmıyorum" dedi. "Ancak bazen bazı şeylerin böyle olması gerekir."

Geriye dönüp baktığımızda, tamsayı mesafe probleminin, hiperbollerden daha asi eğrileri dikkate almaya ve daha sonra onları evcilleştirmek için cebirsel geometri ve sayı teorisinden gelen karmaşık araçlardan yararlanmaya istekli matematikçileri beklediğini görüyoruz. Iosevich, "Yeterli düzeyde bilgi ve ilgiye sahip insanlara ihtiyaç vardı" dedi.

Çoğu matematikçinin tüm kariyerleri boyunca matematiğin bir köşesinde birkaç araç kullanmaktan memnun olduğunu söyledi. Ancak Iosevich, Greenfeld, Iliopoulou ve Peluse'nin korkusuz kaşifler olduğunu söyledi. “Matematiği tutarlı bir bütün olarak görüyorlar.”

Sorunu Karmaşıklaştırmak

2021 yazında Greenfeld, lisansüstü eğitiminden beri üzerinde düşündüğü harmonik analizden kaynaklanan bir soruna el atmanın zamanının geldiğine karar verdi. Gerçek dünyada sinyal işlemenin temelini oluşturan klasik harmonik analiz, sinyalleri farklı frekans ve fazlardaki sinüs dalgalarına ayrıştırmakla ilgilidir. Bu süreç işe yarar çünkü birleştirildiğinde herhangi bir sinyalin tüm özelliklerini hiçbir fazlalık olmadan yakalayan sonsuz bir sinüs dalgası listesi oluşturmak mümkündür.

Ancak çoğu zaman araştırmacılar tek boyutlu bir sinyalden daha karmaşık bir şeyi incelemek isterler. Örneğin düzlemdeki bir diskteki sinyali ayrıştırmak isteyebilirler. Ancak disk yalnızca sınırlı sayıda uyumlu sinüs dalgası koleksiyonunu barındırabilir; bu sayı, diskteki olası tüm sinyallerin davranışını yakalamak için çok azdır. O zaman soru şu oluyor: Bu sonlu koleksiyon ne kadar büyük olabilir?

Böyle bir koleksiyonda sinüslerin frekansları, düzlemde çizgiler ve daireler halinde kümelenmeye karşı görünen noktalar olarak temsil edilebilir: Hepsi aynı çizgiye yakın olan üç noktayı veya hepsi yakın olan dört noktayı asla bulamazsınız. aynı çevreye. Greenfeld bu isteksizliği, bu frekans kümelerinin yalnızca birkaç nokta içerebileceğini kanıtlamak için kullanmayı umuyordu.

Greenfeld, 2021'de Bonn Üniversitesi'ndeki bir toplantıda, eğrilerin üzerinde belirli türden kaç tamsayı noktasının bulunabileceğini tahmin etmek için kullanılabilecek sayı teorisinden bir teknik olan "determinant yöntemi" hakkında bir konuşmaya katıldı. Bu aracın tam da ihtiyacı olan şey olabileceğini fark etti. Greenfeld, toplantıda bulunan Iliopoulou ve Peluse'yi de işe aldı. Greenfeld, "Bu yöntemi birlikte öğrenmeye başladık" dedi.

Ancak onca çabaya rağmen belirleyici yöntemi amaçlarına göre esnetemediler ve 2023 baharına gelindiğinde cesaretleri kırıldı. Iosevich, Greenfeld ve Peluse'yi Rochester'a ziyarete davet etmişti. Peluse, "'Tamam, Rochester'a gideceğiz ve Alex'le konuşmak bizi yeniden canlandıracak' diye düşündük" dedi. Ancak ortaya çıktı ki, Pennsylvania'daki Susquehanna Nehri boyunca planlanmamış dolambaçlı yollarındaki tamsayı mesafe kümeleri üzerine yapılan canlandırıcı bir tartışma sayesinde, Rochester'a zaten yeniden canlanmış bir şekilde indiler.

Iosevich'le planladıkları akşam yemeği için çok geç geldiler ama onu otel lobisinde paket paketlerle beklerken buldular. Gecikmelerini affetti ve ertesi sabah tam sayı mesafe kümeleriyle başa çıkma planlarını ona anlattıklarında fazlasıyla affedici oldu. Peluse, "Çok heyecanlıydı" diye hatırladı. “Duygusal olarak bu büyük bir destekti.”

Hiperbol yaklaşımında olduğu gibi Greenfeld, Iliopoulou ve Peluse, noktaların üzerinde bulunması gereken eğri ailelerini tanımlayarak tamsayı uzaklık kümelerinin yapısını kontrol etmeye çalıştılar. Hiperbol yöntemi, birkaç noktadan daha fazlasına sahip olduğunuz anda çok karmaşık olmaya başlıyor, ancak Greenfeld, Iliopoulou ve Peluse, tüm konfigürasyonu daha yüksek boyutlu bir uzaya taşıyarak birçok noktayı aynı anda nasıl dikkate alacaklarını buldular.

Bunun nasıl çalıştığını görmek için, tamsayı uzaklık kümenizdeki bir "referans" noktası A ile başladığınızı varsayalım. Kümedeki diğer tüm noktalar A'ya bir tamsayı uzaklığındadır. Noktalar bir düzlemde bulunur, ancak her bir noktaya, değeri A'ya olan uzaklık olan üçüncü bir koordinat iliştirerek düzlemi üç boyutlu uzaya çarpabilirsiniz. Örneğin A'nın (1, 3) noktası olduğunu varsayalım. Daha sonra A'ya 4 birim uzaklıktaki (7, 5) noktası üç boyutlu uzayda (4, 7, 5) noktasına dönüşür. Bu işlem, düzlemi, ucu artık (1, 3, 0) olarak etiketlenen A'da bulunan üç boyutlu uzayda bir koniye dönüştürür. Tamsayı mesafe noktaları, üç boyutlu uzayda koninin üzerinde ve ayrıca belirli bir kafes üzerinde bulunan noktalar haline gelir.

Benzer şekilde, A ve B olmak üzere iki referans noktası seçerseniz, düzlemdeki noktaları dört boyutlu uzaydaki noktalara dönüştürebilirsiniz; her noktaya, değerleri A ve B'ye olan uzaklıkları olan iki yeni koordinat vermeniz yeterlidir. dört boyutlu uzayda kıvrımlı bir yüzeye. Bu şekilde daha fazla referans noktası eklemeye devam edebilirsiniz. Her yeni referans noktasında boyut bir artar ve düzlem daha da hareketli bir yüzeye (veya matematikçilerin dediği gibi daha yüksek dereceli bir yüzeye) haritalanır.

Bu çerçeve mevcut olduğundan araştırmacılar sayı teorisindeki determinant yöntemini kullandılar. Belirleyiciler, genellikle matrislerle ilişkilendirilen ve bir nokta koleksiyonunun birçok geometrik özelliğini yakalayan sayılardır; örneğin, belirli bir determinant, üç noktanın oluşturduğu üçgenin alanını ölçebilir. Belirleyici yöntem, aynı anda hem hareketli bir yüzeyde hem de bir kafes üzerinde bulunan noktaların sayısını tahmin etmek için bu tür belirleyicileri kullanmanın bir yolunu sunar - tam da Greenfeld, Iliopoulou ve Peluse'nin uğraştığı türden bir durum.

Araştırmacılar, tamsayı mesafelerini uygun şekilde yüksek bir boyuta ayarladıkları zaman noktaların hepsinin az sayıda özel eğri üzerinde yer alması gerektiğini göstermek için determinant yöntemini temel alan bir çalışma çizgisi kullandılar. Bu eğriler, düzlemdeki gölgeleri bir çizgi veya daire olmadığında, tamsayı uzaklık kümesindeki noktalar için tek aday olan çok sayıda kafes noktası içeremez. Bu, kümedeki ana çizginin veya dairenin dışında kalan noktaların sayısının sınırlı olduğu anlamına gelir; araştırmacılar bunun, kümenin çapının çok yavaş büyüyen bir fonksiyonundan daha küçük olması gerektiğini gösterdi.

Sınırları, birçok matematikçinin büyük tamsayı uzaklık kümeleri için doğru olduğuna inandığı "doğrunun dışında dört nokta veya dairenin dışında üç nokta" varsayımının standardına ulaşmıyor. Öyle olsa bile, Stanford Üniversitesi'nden Jacob Fox, sonucun "varsayımın özünün doğru olduğunu" gösterdiğini söyledi. Matematikçiler, varsayımın tam bir kanıtının muhtemelen başka yeni fikirlerin eklenmesini gerektireceğini söyledi.

Iosevich, ekibin yüksek boyutlu kodlama şemasının "son derece sağlam" olduğunu söyledi. "Sadece prensipte uygulamalar yok, halihazırda üzerinde düşündüğüm uygulamalar da var."

Greenfeld, Iliopoulou ve Peluse'nin bir uygulaması, üçünün de şimdi geri döndüğü orijinal harmonik analiz problemine yönelik olacaktır. Greenfeld, tamsayı uzaklık kümelerine ilişkin sonuçlarının "buna doğru bir basamak olabileceğini" söyledi.

Iosevich, araştırmacıların başlattığı kombinatoriklerin cebirsel geometri ile sentezinin tamsayı mesafe kümeleri veya harmonik analizdeki ilgili problemlerle sınırlı kalmayacağını öngördü. "Gördüğümüz şeyin kavramsal bir atılım olduğuna inanıyorum" dedi. "Bu, her iki alandaki insanlara bunun çok verimli bir etkileşim olduğu mesajını gönderiyor."

Tao, bunun aynı zamanda bazen bir sorunu daha karmaşık hale getirmenin değeri hakkında da bir mesaj gönderdiğini söyledi. Matematikçilerin genellikle bunun tersini amaçladıklarını belirtti. "Fakat bu, sorunu karmaşıklaştırmanın aslında doğru hareket olduğu bir örnek."

Bu ilerlemenin yüksek dereceli eğriler hakkındaki düşünce biçimini değiştirdiğini söyledi. "Bazen düşmanınız değil dostunuz olabilirler."