2012 yılında matematikçi Shinichi Mochizuki soruyu çözdüğünü iddia etti. ABC sayı teorisinde toplama ve çarpma arasındaki ilişkiye dair önemli bir açık soru olan varsayım. Tek bir sorun vardı: 500 sayfadan uzun olan kanıtı tamamen anlaşılmazdı. Neredeyse tüm matematikçilerin anlamlandırmayı imkansız bulduğu bir dizi yeni tanım, notasyon ve teoriye dayanıyordu. Yıllar sonra, iki matematikçi ispatın büyük bir kısmını daha tanıdık terimlere çevirdiğinde, "ciddi, düzeltilemez boşlukMantığına göre - sadece Mochizuki'nin, onun çalışmasını anlayamadıkları gerekçesiyle argümanlarını reddetmesi için.

Olay temel bir soruyu gündeme getiriyor: Matematiksel kanıt nedir? Bunu ebedi bir gerçeğin açığa çıkışı olarak düşünme eğilimindeyiz, ancak belki de sosyal bir yapıya ait bir şey olarak anlaşılması daha iyi olur.

Andrew GranvilleMontreal Üniversitesi'nden bir matematikçi, son zamanlarda bu konu üzerinde çok düşünüyor. Bir filozofla bazı yazıları hakkında iletişime geçtikten sonra, "Gerçeklerimize nasıl ulaşacağımızı düşünmeye başladım" dedi. "Ve bir kez o kapıyı zorlamaya başladığınızda bunun çok geniş bir konu olduğunu görürsünüz."

Granville küçük yaşlardan beri aritmetikten hoşlanıyordu ama matematik araştırmalarında kariyer yapmayı hiç düşünmemişti çünkü böyle bir şeyin var olduğunu bilmiyordu. “Babam 14 yaşında, annem ise 15-16 yaşında okulu bıraktı” dedi. “Onlar o zamanlar Londra'nın işçi sınıfı bölgesi olan bir bölgede doğmuşlardı ve üniversite onların mümkün olduğunu düşündüklerinin çok ötesindeydi. Yani hiçbir fikrimiz yoktu."

Matematik eğitimi aldığı Cambridge Üniversitesi'nden mezun olduktan sonra uyum sağlamaya başladı. Rachel BelgeleriMartin Amis'in bir romanı senaryoya dönüştürüldü. Proje üzerinde çalışırken ve proje için fon ararken, masa başı bir işe girmekten kaçınmak istiyordu - lise ile üniversite arasındaki boşlukta bir yıl boyunca bir sigorta şirketinde çalışmıştı ve işe geri dönmek istemiyordu - "bu yüzden gittim yüksek lisansa" dedi. Film hiçbir zaman hayata geçmedi (roman daha sonra bağımsız olarak filme dönüştürüldü), ancak Granville matematik alanında yüksek lisans derecesi aldı ve ardından doktorasını tamamlamak için Kanada'ya taşındı. Asla arkasına bakmadı.

"Aslında bu bir maceraydı" dedi. "Aslında çok fazla beklentiyle gitmedim. Doktora derecesinin ne olduğunu gerçekten bilmiyordum. öyleydi.”

O günden bu yana geçen on yıllarda çoğu sayı teorisi üzerine olmak üzere 175'ten fazla makale yazdı. Aynı zamanda popüler bir kitleye yönelik matematik hakkında yazdığı yazılarla da tanınıyor: 2019'da ortak yazar olarak grafik roman Senarist olan ablası Jennifer ile asal sayılar ve ilgili kavramlar hakkında konuşuyoruz. Geçen ay “gerçeklerimize nasıl ulaşırız” konulu makalelerinden biri şuydu: yayınlanan Matematik ve Felsefe Yıllıkları'nda. Ve diğer matematikçiler, bilgisayar bilimcileri ve filozoflarla birlikte gelecek yıl bir makale koleksiyonu yayınlamayı planlıyor. Amerikan Matematik Derneği Bülteni makinelerin matematiği nasıl değiştirebileceği hakkında.

Kuantum Granville ile matematiksel kanıtın doğası hakkında konuştu - kanıtların pratikte nasıl çalıştığından, onlar hakkındaki popüler yanlış anlamalara ve yapay zeka çağında kanıt yazmanın nasıl gelişebileceğine kadar. Röportaj netlik sağlamak amacıyla düzenlendi ve özetlendi.

Yakın zamanda matematiksel kanıtın doğası üzerine bir makale yayınladınız. Bunun hakkında yazmanın önemli olduğuna neden karar verdiniz?

Matematikçilerin araştırmayı nasıl yürüttüğü popüler medyada genellikle iyi bir şekilde tasvir edilmiyor. İnsanlar matematiği, büyük gerçeklere yalnızca saf düşünceyle ulaştığımız bu saf arayış olarak görme eğilimindedir. Ancak matematik tahminlerle ilgilidir; genellikle yanlış tahminlerle. Bu deneysel bir süreçtir. Aşamalar halinde öğreniyoruz.

Örneğin, Riemann hipotezi 1859'da bir makalede ilk kez ortaya çıktığında sanki bir sihir gibiydi: İşte birdenbire ortaya çıkan bu şaşırtıcı varsayım. 70 yıl boyunca insanlar büyük bir düşünürün yalnızca saf düşünceyle neler yapabileceğinden bahsettiler. Daha sonra matematikçi Carl Siegel, Riemann'ın karalama notlarını Göttingen arşivlerinde buldu. Riemann aslında Riemann zeta fonksiyonunun sıfırlarıyla ilgili sayfalarca hesaplama yapmıştı. Siegel'in ünlü sözleri şuydu: "Sadece saf düşünce için bu kadar."

Dolayısıyla insanların, özellikle de bazı filozofların ve tarihçilerin matematik hakkında yazma biçiminde bir gerilim var. Görünüşe göre bizim saf büyülü bir yaratık olduğumuzu, bilimin tek boynuzlu atı olduğumuzu düşünüyorlar. Ama genellikle değiliz. Nadiren saf düşünce tek başınadır.

Matematikçilerin yaptıklarını nasıl karakterize edersiniz?

Matematik kültürü tamamen kanıtla ilgilidir. Oturup düşünüyoruz ve yaptıklarımızın %95'i kanıttır. Kazandığımız anlayışların çoğu, delillerle mücadele etmekten ve onlarla mücadele ettiğimizde ortaya çıkan sorunları yorumlamaktan kaynaklanmaktadır.

Kanıtı sıklıkla matematiksel bir argüman olarak düşünürüz. Bir dizi mantıksal adımla belirli bir ifadenin doğru olduğunu gösterir. Ancak bunun saf, nesnel gerçekle karıştırılmaması gerektiğini yazıyorsunuz. Bununla ne demek istiyorsun?

Bir ispatın asıl amacı okuyucuyu bir iddianın doğruluğuna ikna etmektir. Bu, doğrulamanın önemli olduğu anlamına gelir. Matematikte sahip olduğumuz en iyi doğrulama sistemi, pek çok insanın bir ispata farklı perspektiflerden bakması ve ispatın onların bildiği ve inandığı bağlama çok iyi uymasıdır. Bir anlamda bunun doğru olduğunu bildiğimizi söylemiyoruz. Bunun doğru olmasını umduğumuzu söylüyoruz çünkü birçok insan bunu farklı açılardan denemiştir. Kanıtlar bu topluluk standartlarına göre kabul edilir.

Bir de nesnellik kavramı var; iddia edilenin doğru olduğundan emin olmak, nihai bir gerçeğe sahip olduğunuzu hissetmek. Peki objektif olduğumuzu nasıl bilebiliriz? Kendinizi bir açıklama yaptığınız bağlamdan çıkarmak, toplum tarafından uygulamaya konulan paradigmanın dışında bir bakış açısına sahip olmak zordur. Bu, diğer her şey için olduğu gibi bilimsel fikirler için de geçerlidir.

Matematikte nesnel olarak neyin ilginç veya önemli olduğu da sorulabilir. Ancak bu aynı zamanda açıkça özneldir. Neden Shakespeare'in iyi bir yazar olduğunu düşünüyoruz? Shakespeare kendi zamanında bugünkü kadar popüler değildi. Neyin ilginç, neyin önemli olduğu konusunda belli ki sosyal gelenekler var. Ve bu mevcut paradigmaya bağlıdır.

Matematikte bu neye benziyor?

Paradigmadaki değişimin en ünlü örneklerinden biri analizdir. Matematik icat edildiğinde, sıfıra giden bir şeyi sıfıra giden başka bir şeye bölmek gerekiyordu; bu da sıfırın sıfıra bölünmesine yol açıyordu ki bunun hiçbir anlamı yoktu. Başlangıçta Newton ve Leibniz sonsuz küçükler adı verilen nesnelerle ortaya çıktı. Denklemlerinin işe yaramasını sağladı ama günümüz standartlarına göre mantıklı ya da kesin değildi.

Artık 19. yüzyılın sonunda ortaya çıkan epsilon-delta formülasyonuna sahibiz. Bu modern formülasyon o kadar şaşırtıcı ki, bu kavramları doğru bir şekilde kavramak açısından kesinlikle iyi; eski formülasyonlara baktığınızda, "Onlar ne düşünüyorlardı?" diye düşünüyorsunuz. Ancak o zamanlar bunu yapmanın tek yolunun bu olduğu düşünülüyordu. Leibniz ve Newton'a karşı adil olmak gerekirse, muhtemelen modern yolu seveceklerdi. Kendi dönemlerinin paradigmaları nedeniyle bunu yapmayı düşünmediler. Bu yüzden oraya varmak çok uzun zaman aldı.

Sorun şu ki, ne zaman böyle davrandığımızı bilmiyoruz. İçinde bulunduğumuz toplumda sıkışıp kaldık. Hangi varsayımlarda bulunduğumuzu söyleyebilecek dışarıdan bir bakış açımız yok. Matematiğin tehlikelerinden biri, bir şeyin, kullanmayı seçtiğiniz dilde kolayca ifade edilememesi veya tartışılamaması nedeniyle önemli olmadığını düşünmenizdir. Bu haklı olduğun anlamına gelmez.

Descartes'ın şu alıntısını gerçekten çok seviyorum: “Üçgen hakkında bilinmesi gereken her şeyi bildiğimi düşünüyorum, ama bildiğimi kim söyleyebilir? Demek istediğim, gelecekte birileri radikal biçimde farklı bir bakış açısı ortaya koyabilir ve bu da üçgen hakkında çok daha iyi bir düşünme biçimine yol açabilir." Ve bence haklı. Bunu matematikte görüyorsunuz.

Makalenizde yazdığınız gibi, ispatı sosyal bir anlaşma, yani yazar ile matematik topluluğu arasındaki bir tür karşılıklı anlaşma olarak düşünebilirsiniz. Bunun işe yaramadığının aşırı bir örneğini Mochizuki'nin iddia ettiği kanıtla gördük. ABC varsayım.

Bu aşırı bir durum çünkü Mochizuki oyunu bu şekilde oynamak istemedi. Bu seçimi belirsiz olmak için yaptı. İnsanlar gerçekten yeni ve zor fikirlerle büyük atılımlar yaptıklarında, fikirlerini mümkün olduğunca erişilebilir bir şekilde açıklayarak diğer insanları da dahil etmeye çalışmanın onların görevi olduğunu düşünüyorum. Ve o daha çok şöyle dedi: Eğer benim yazdığım şekilde okumak istemiyorsan, bu benim sorunum değil. Oynamak istediği oyunu oynama hakkına sahiptir. Ama bunun cemaatle alakası yok. Bunun ilerleme kaydetme yollarımızla hiçbir ilgisi yok.

Eğer kanıtlar sosyal bağlamda mevcutsa, zaman içinde nasıl değiştiler?

Her şey Aristoteles'le başlıyor. Bir tür tümdengelimli sistemin olması gerektiğini söyledi; yeni şeyleri yalnızca zaten bildiğiniz ve emin olduğunuz şeylere dayandırarak, belirli "ilkel ifadelere" veya aksiyomlara geri dönerek kanıtlayabileceğinizi söyledi.

O zaman soru şu: Doğru olduğunu bildiğiniz o temel şeyler nelerdir? Çok uzun bir süre boyunca insanlar şöyle dedi: Bir çizgi bir çizgidir, bir daire bir dairedir; Basit ve açık olan birkaç şey var ve bunlar, yola çıkacağımız varsayımlar olmalı.

Bu bakış açısı sonsuza kadar sürdü. Bugün de büyük oranda varlığını sürdürüyor. Ancak geliştirilen Öklid aksiyomatik sisteminin (bir doğru bir çizgidir) kendi sorunları vardı. Bertrand Russell'ın küme kavramına dayanarak keşfettiği bu paradokslar vardı. Dahası, matematik diliyle kelime oyunları oynanabilir ve aksiyomatik sistemde sorunlar olduğunu gösteren “bu ifade yanlıştır” (eğer doğruysa o zaman yanlıştır; eğer yanlışsa o zaman doğrudur) gibi sorunlu ifadeler oluşturulabilir.

Böylece Russell ve Alfred Whitehead, tüm bu problemleri önleyebilecek yeni bir matematik yapma sistemi yaratmaya çalıştılar. Ancak durum gülünç derecede karmaşıktı ve bunların başlangıç ​​için doğru ilkeller olduğuna inanmak zordu. Kimse bundan rahat değildi. 2 + 2 = 4'ün kanıtlanması gibi bir şey başlangıç ​​noktasından itibaren çok fazla yer kapladı. Böyle bir sistemin amacı nedir?

Sonra David Hilbert ortaya çıktı ve aklına harika bir fikir geldi: Belki de kimseye başlangıç ​​için doğru şeyin ne olduğunu söylememeliyiz. Bunun yerine işe yarayan her şey (basit, tutarlı ve tutarlı bir başlangıç ​​noktası) keşfedilmeye değerdir. Aksiyomlarınızdan birbiriyle çelişen iki şeyi çıkaramazsınız ve matematiğin çoğunu seçilen aksiyomlara göre tanımlayabilmeniz gerekir. Ama bunların ne olduğunu önceden söylememelisin.

Bu da matematikte nesnel gerçekle ilgili daha önce yaptığımız tartışmaya uyuyor gibi görünüyor. Yani 20. yüzyılın başında matematikçiler birden fazla aksiyomatik sistemin olabileceğini, belirli bir aksiyomlar dizisinin evrensel veya apaçık bir gerçek olarak alınmaması gerektiğini fark ediyorlardı.

Sağ. Şunu da söylemeliyim ki Hilbert bunu soyut nedenlerden dolayı yapmaya başlamadı. Geometrinin farklı kavramlarıyla çok ilgiliydi: Öklid dışı geometri. Çok tartışmalıydı. O zamanlar insanlar şöyle diyordu: Eğer bana bir kutunun köşelerinden geçen bir çizginin tanımını verirseniz, neden sizi dinleyeyim ki? Hilbert, eğer bunu tutarlı ve tutarlı hale getirebilirse dinlemeniz gerektiğini söyledi çünkü bu, anlamamız gereken başka bir geometri olabilir. Ve herhangi bir aksiyomatik sisteme izin verebileceğiniz bakış açısındaki bu değişiklik yalnızca geometri için geçerli değildi; tüm matematiğe uygulandı.

Ancak elbette bazı şeyler diğerlerinden daha faydalıdır. Yani çoğumuz aynı 10 aksiyomla, ZFC adı verilen bir sistemle çalışıyoruz.

Bu da bundan nelerin çıkarılabileceği ve nelerin çıkarılamayacağı sorusuna yol açıyor. Süreklilik hipotezi gibi ZFC kullanılarak kanıtlanamayan ifadeler vardır. 11. bir aksiyom olmalı. Ve bunu her iki şekilde de çözebilirsiniz çünkü aksiyomatik sisteminizi seçebilirsiniz. Oldukça hoş. Bu tür çoğulculukla devam ediyoruz. Neyin doğru, neyin yanlış olduğu belli değil. Kurt Gödel'e göre hâlâ zevke dayalı seçimler yapmamız gerekiyor ve umarım iyi bir zevke sahibiz. Mantıklı şeyler yapmalıyız. Ve biz de yapıyoruz.

Gödel'den bahsetmişken burada da oldukça büyük bir rol oynuyor.

Matematiği tartışmak için bir dile ve o dilde uyulması gereken bir dizi kurala ihtiyacınız vardır. 1930'larda Gödel, dilinizi nasıl seçerseniz seçin, o dilde her zaman doğru olan ancak başlangıç ​​aksiyomlarınızla kanıtlanamayan ifadelerin bulunduğunu kanıtladı. Aslında bundan daha karmaşık ama yine de hemen şu felsefi ikilemle karşı karşıya kalıyorsunuz: Eğer onu haklı çıkaramıyorsanız doğru bir ifade nedir? Bu delilik.

Yani büyük bir karmaşa var. Yapabileceklerimiz sınırlıdır.

Profesyonel matematikçiler bunu büyük ölçüde görmezden geliyorlar. Yapılabileceklere odaklanıyoruz. Peter Sarnak'ın da söylemeyi sevdiği gibi, "Biz çalışan insanlarız." Devam ediyoruz ve elimizden geleni kanıtlamaya çalışıyoruz.

Şimdi sadece bilgisayarların değil yapay zekanın da kullanılmasıyla kanıt kavramı nasıl değişiyor?

Bilgisayarların çılgınca şeyler yapabileceği farklı bir yere taşındık. Artık insanlar diyor ki, ah, bu bilgisayarımız var, o insanların yapamadığı şeyleri yapabiliyor. Ama yapabilir mi? Gerçekten insanların yapamadığı şeyleri yapabilir mi? 1950'lerde Alan Turing, bilgisayarın insanların yapabildiği şeyleri daha hızlı yapmak üzere tasarlandığını söylemişti. Pek bir şey değişmedi.

Onlarca yıldır matematikçiler, örneğin anlamalarına yardımcı olabilecek hesaplamalar yapmak için bilgisayarları kullanıyorlar. Yapay zekanın yeni yapabileceği şey, doğru olduğuna inandığımız şeyleri doğrulamaktır. Kanıt doğrulama konusunda bazı müthiş gelişmeler yaşandı. Matematikçilerin birçok kanıtı doğrulamasına olanak tanıyan ve aynı zamanda yazarların kendi çalışmalarını daha iyi anlamalarına yardımcı olan [ispat asistanı] Yalın gibi, çünkü doğrulama için Yalın'a beslemek üzere bazı fikirlerini daha basit adımlara bölmeleri gerekiyor.

Ama bu kusursuz mu? Yalın bunun bir kanıt olduğunu kabul ettiği için bir kanıt bir kanıt mıdır? Bazı açılardan, kanıtı Yalın için girdilere dönüştüren insanlar kadar iyidir. Bu, geleneksel matematiği nasıl yaptığımıza çok benziyor. Yani Yalın gibi bir şeyin çok fazla hata yapacağına inandığımı söylemiyorum. İnsanların yaptığı çoğu şeyden daha güvenli olduğundan emin değilim.

Korkarım bilgisayarların rolü konusunda pek çok şüphem var. İşleri doğru yapmak için çok değerli bir araç olabilirler; özellikle de ilk bakışta analiz edilmesi kolay olmayan yeni tanımlara büyük ölçüde dayanan matematiğin doğrulanması için. Cephaneliğimizde yeni bakış açılarına, yeni araçlara ve yeni teknolojiye sahip olmanın faydalı olduğuna dair hiçbir tartışma yok. Ama benim çekindiğim şey, artık doğru teoremleri üreten mükemmel mantıksal makinelere sahip olacağımız kavramıdır.

Bilgisayarlarla ilgili işlerin doğru olduğundan emin olamayacağımızı kabul etmelisiniz. Geleceğimiz, bilim tarihi boyunca güvendiğimiz topluluk duygusuna dayanmak zorunda: her şeyi birbirimizden uzaklaştırmamız. Aynı şeye tamamen farklı bir perspektiften bakan insanlarla konuşuyoruz. Ve benzeri.

Peki, bu teknolojiler daha karmaşık hale geldikçe bunun gelecekte nereye gideceğini görüyorsunuz?

Belki bir kanıt oluşturmaya yardımcı olabilir. Belki beş yıl sonra ChatGPT gibi bir yapay zeka modeline şöyle diyeceğim: "Bunu bir yerde gördüğüme eminim. Kontrol eder misin?” Ve doğru olan benzer bir ifadeyle geri gelecektir.

Ve sonra bunda çok ama çok iyi hale geldiğinde, belki bir adım daha ileri giderek şöyle diyebilirsiniz: "Bunu nasıl yapacağımı bilmiyorum ama buna benzer bir şey yapmış olan var mı?" Belki de eninde sonunda bir yapay zeka modeli, bir matematikçinin öngöremeyeceği şekilde, başka yerlerde kullanılmış araçları kullanmak için literatürde araştırma yapmanın yetenekli yollarını bulabilir.

Ancak ChatGPT'nin nasıl olup da bizi geride bırakacak şekilde kanıtlar üreterek belirli bir seviyenin ötesine geçebildiğini anlamıyorum. ChatGPT ve diğer makine öğrenimi programları düşünmüyor. Birçok örneğe dayalı kelime çağrışımlarını kullanıyorlar. Dolayısıyla eğitim verilerini aşmaları pek mümkün görünmüyor. Peki eğer bu gerçekleşirse matematikçiler ne yapacak? Yaptığımız şeylerin çoğu kanıttır. Kanıtları elimizden alırsan kime dönüşeceğimizden emin değilim.

Ne olursa olsun, bilgisayar yardımını nerede alacağımızı düşündüğümüzde, insan çabasından öğrendiğimiz tüm dersleri hesaba katmamız gerekiyor: farklı dilleri kullanmanın, birlikte çalışmanın, farklı bakış açılarına sahip olmanın önemi. Farklı toplulukların bir kanıt üzerinde çalışmak ve bir kanıtı anlamak için bir araya gelmelerinde bir sağlamlık, bir sağlık var. Matematikte bilgisayar desteği alacaksak aynı şekilde onu da zenginleştirmemiz gerekiyor.