Önünüzde bal peteğine benzeyen altıgenlerden oluşan bir ızgaranın uzandığını hayal edin. Bazı altıgenler boştur; diğerleri ise 6 metrelik katı beton sütunla doldurulmuştur. Sonuç bir çeşit labirenttir. Yarım yüzyıldan fazla bir süredir matematikçiler bu tür rastgele oluşturulmuş labirentler hakkında sorular sordular. Temizlenmiş yollardan oluşan en büyük ağ ne kadar büyük? Izgaranın bir kenarından merkezine ve oradan tekrar dışarıya doğru bir yol olma ihtimali nedir? Izgara boyutu büyüdükçe ve kenarlarına giderek daha fazla altıgen eklendikçe bu şanslar nasıl değişiyor?

Çok fazla boş alan veya çok fazla beton varsa bu soruların yanıtlanması kolaydır. Diyelim ki her altıgen, diğer altıgenlerden bağımsız olarak, tüm ızgara boyunca sabit bir olasılıkla kendi durumuna rastgele atanıyor. Her altıgenin boş olma ihtimali %1 olabilir. Beton ızgarayı dolduruyor, arada sadece küçük hava boşlukları bırakıyor ve kenara giden bir yol bulma şansını fiilen sıfıra indiriyor. Öte yandan, her altıgenin boş olma ihtimali %99 ise, yalnızca ince bir beton duvar serpintisi vardır, açık alan şeritleri noktalanmıştır - pek labirent sayılmaz. Bu durumda merkezden kenara doğru bir yol bulmak neredeyse kesindir.

Büyük ızgaralar için olasılık 1/2'ye ulaştığında oldukça ani bir değişiklik olur. Tıpkı buzun tam olarak sıfır santigrat derecede sıvı suya dönüşmesi gibi, labirentin karakteri de kritik olasılık adı verilen bu geçiş noktasında büyük ölçüde değişir. Kritik olasılığın altında, ızgaranın çoğu betonun altında kalacak, boş yollar ise her zaman çıkmaz sokaklara çıkacak. Kritik olasılığın üzerinde devasa alanlar boş bırakılır ve beton duvarların yok olması kesindir. Tam olarak kritik olasılıkta durursanız, beton ve boşluk birbirini dengeleyecek ve ikisi de labirente hakim olamayacak.

"Kritik noktada daha yüksek derecede bir simetri ortaya çıkıyor" dedi Michael AizenmanPrinceton Üniversitesi'nde matematiksel fizikçi. “Bu, çok büyük bir matematiğin kapısını açıyor.” Ayrıca gaz maskelerinin tasarımından bulaşıcı hastalıkların nasıl yayıldığı veya petrolün kayalardan nasıl sızdığına dair analizlere kadar her alanda pratik uygulamaları da var.

İçinde geçen sonbaharda yayınlanan makaleDört araştırmacı nihayet labirentlere giden yolu bulma şansını 1/2 kritik olasılıkla hesapladı.

Silahlanma Yarışı

2000'li yılların ortalarında Fransa'da doktora öğrencisiyken, Pierre Nolin Kritik olasılık senaryosunu detaylı bir şekilde inceledik. Rastgele labirentin "gerçekten güzel bir model, belki de icat edebileceğiniz en basit modellerden biri" olduğunu düşünüyor. 2008'de bitirdiği doktora çalışmasının sonuna doğru Nolin, altıgen bir ızgaranın kritik olasılıkta nasıl davrandığına ilişkin özellikle zorlayıcı bir soruyla büyülendi. Diyelim ki merkezi bir noktanın etrafına bir daireye yaklaşacak şekilde bir ızgara oluşturdunuz ve labirentinizi oradan rastgele oluşturdunuz. Nolin, kendi izini sürmeden kenardan merkeze ve oradan geriye doğru uzanan açık bir yol bulma şansınızı araştırmak istedi. Matematikçiler buna tek renkli iki kollu yol diyorlar çünkü hem içeri hem de dışarı doğru “kollar” açık yollar üzerindedir. (Bazen bu tür ızgaraların, açık ve kapalı hücrelerden ziyade, açık mavi ve lacivert gibi iki farklı renkten oluştuğu düşünülür.) Labirentin boyutunu büyütürseniz, ihtiyaç duyulan yolun uzunluğu da büyüyecektir. ve böyle bir yolu bulma şansı giderek azalacaktır. Ancak labirent keyfi bir şekilde büyüdükçe olasılıklar ne kadar çabuk azalıyor?

Daha basit sorular onlarca yıl önce yanıtlandı. 1979 yılına ait hesaplamalar Marcel den Nijs kenardan merkeze doğru bir yol veya kol bulma şansınızı tahmin ettiniz. (Bunu Nolin'in bir kolun içeride, diğerinin dışarıda olması gerekliliğiyle karşılaştırın.) Den Nijs'in çalışması, altıgen bir ızgarada bir kol bulma şansının $latex 1/n^{5/48}$ ile orantılı olduğunu öngördü. , Neresi n merkezden kenara kadar olan karo sayısı veya ızgaranın yarıçapıdır. 2002 yılında, Gregory Lawler, Oded Schramm ve Wendelin Werner nihayet kanıtladı tek kollu tahminin doğru olduğunu. Izgaranın boyutu büyüdükçe azalan olasılığı kısa ve öz bir şekilde ölçmek için araştırmacılar, tek kollu üs olarak bilinen paydadaki 5/48 üssünü kullanıyor.

Nolin, anlaşılması daha zor olan tek renkli iki kollu üssü hesaplamak istiyordu. 1999'daki sayısal simülasyonlar 0.3568'e çok yakın olduğunu gösterdi ancak matematikçiler bunun tam değerini tespit edemedi.

Merkezden başlayarak sadece çevreye giden "açık" bir yol değil, aynı zamanda ayrı bir "kapalı" yol da bulma olasılığını karakterize eden çok renkli iki kollu üs olarak bilinen şeyi hesaplamak çok daha kolaydı. (Kapalı yolu labirentin beton duvarlarının üst kısımlarından geçen bir yol olarak düşünün.) 2001'de Stanislav Smirnov ve Werner kanıtladı bu üssün 1/4 olduğu. (1/4, 5/48'den önemli ölçüde daha büyük olduğundan, $latex 1/n^{1/4}$, $latex 1/n^{5/48}$'dan daha hızlı küçülür çünkü n büyür. O halde, çok renkli iki kollu bir yapının şansı, tahmin edilebileceği gibi, tek kolun şansından çok daha düşüktür.)

Bu hesaplama ağırlıklı olarak grafikteki kümelerin şekli hakkındaki bilgilere dayanıyordu. Kritik olasılıktaki bir labirentin son derece büyük olduğunu, milyonlarca altıgenden oluştuğunu hayal edin. Şimdi boş altıgenlerden oluşan bir küme bulun ve kümenin kenarını kalın siyah bir Sharpie ile çizin. Bu muhtemelen basit, yuvarlak bir damlayla sonuçlanmayacaktır. Havadan kilometrelerce uzaktan, sürekli olarak geriye doğru kıvrılan, çoğunlukla kendi kendini geçmek üzereymiş gibi görünen ama hiçbir zaman tam olarak kararlı olmayan, kıvrımlı bir eğri görürsünüz.

Bu, Schramm tarafından SLE eğrisi adı verilen bir eğri türüdür. 2000 kağıt bu alanı yeniden tanımladı. Bir açık yol ve bir kapalı yol bulma şansını inceleyen bir matematikçi, bu yolların, sonunda bir SLE eğrisi boyunca buluşan daha büyük açık ve kapalı alan kümelerinin içinde yer alması gerektiğini bilir. SLE eğrilerinin matematiksel özellikleri, labirent içindeki yollar hakkında çok değerli bilgilere dönüşür. Ancak matematikçiler aynı türden birden fazla yol arıyorsa SLE eğrileri etkinliklerinin çoğunu kaybeder.

2007 yılına gelindiğinde Nolin ve iş arkadaşı Vincent Beffara, tek renkli iki kollu üssün yaklaşık 0.35 olduğunu gösteren sayısal simülasyonlar yarattılar. Bu şüphe uyandıracak şekilde 17/48'e yakındı; tek kollu üs olan 5/48 ile çok renkli iki kollu üssün toplamı olan 1/4 (veya 12/48). Nolin, "17/48 gerçekten çarpıcı" dedi. Doğru cevabın 17/48 olduğundan şüphelenmeye başladı; bu da farklı türdeki üsler arasında basit bir bağlantı olduğu anlamına geliyordu. Bunları sadece birbirine ekleyebilirsiniz. “Tamam, sahte olamayacak kadar iyi dedik; bu doğru olmalı.”

Bir süre Nolin ve Beffara'nın varsayımından hiçbir şey çıkmadı, ancak Nolin başkalarının da çalışabilmesi için bunu web sitesinde yayınladı. Hong Kong Şehir Üniversitesi'nde profesörlük yapmak için 2017 yılında Hong Kong'a taşındı ve sorun üzerinde çalışmaya devam etti. 2018'de üslü konuşmasında gündeme getirdi Wei Qian, o zamanlar İngiltere'deki Cambridge Üniversitesi'nde doktora sonrası araştırmacıydı. Qian, SLE eğrilerine özel olarak odaklanarak, ayrık bağlamdan ziyade sürekli bağlamda rastgele geometri üzerinde çalışıyordu. Farklı türde bir rastgele modelde üsleri hesaplamak için SLE'yi kullanan bir projenin ortasındaydı ve Nolin, uzmanlığının tek renkli iki kollu üsle de alakalı olduğundan şüphelenmeye başladı. İkili çok geçmeden çözümü üssü verecek basit görünen bir denklem buldu, ancak bu denklem, ızgaranın kenarında bir SLE eğrisi tarafından çevrelenen alanla ilgili olan bir ara miktara dayanıyordu. Nolin ve Qian bu sayıyı kesin olarak belirleyemedi.

Qian, "Çok fazla hesaplama yaptım ancak bu özelliği hâlâ hesaplayamadım" dedi. “Başarılı olamadım, bu yüzden bir süreliğine ara verdim.”

Nolin, "Bundan kimseye bahsetmedik çünkü yararlı olup olmayacağından emin değildik" diye ekledi.

Omurga Üssü

Tek renkli iki kollu üs özellikle ilginçtir çünkü aynı zamanda bir ızgaranın "omurgasını" da tanımlar: üst üste gelmeyen iki kola uzanan iki farklı kola bağlanan altıgenlerin toplamı: biri labirentin kenarına, diğeri labirentin kenarına. onun merkezi. Bu alanlar renklendirildiğinde, ızgaranın tamamına uzanan ve omurga adı verilen bir ağ oluştururlar. Araştırmacılar hastalıkların veya gözenekli kaya oluşumlarının yayılmasını modellerken omurga, mikropların veya petrolün akabileceği bir otoyoldur. Nolin ve Qian'ın aradığı üs, omurganın boyutunu ortaya çıkarır ve omurga üssü olarak anılır.

Omurganın peşinde olanlar yalnızca Nolin ve Qian değildi. Xin GüneşiO zamanlar Pensilvanya Üniversitesi'nde de omurga üssünü hesaplamaya çalışıyordu. Geçtiğimiz yıllarda Sun ve aralarında New York Üniversitesi'nden Nina Holden'ın da bulunduğu çalışma arkadaşları, rastgele fraktal yüzeyler kullanarak SLE eğrilerini incelemenin bir yolunu bulmuşlardı. Bu yayılan, kavisli yüzeyler, uzun dallara uzanan fistolu kenarlara sahiptir. Bazı noktalar komşularından kısa bir mesafedeyken, diğerleri aylarca süren bir yolculuktur. Bazı yerlerde bu etkiler görselleştirilemeyecek kadar aşırıdır. Holden, "Bunu tamamen doğru bir şekilde çizmek aslında mümkün değil" dedi. "Yüzeyi çok fazla uzatmanız gerekir."

2022 yazında Sun, ikinci sınıf yüksek lisans öğrencisi Zijie Zhuang'ı kritik olasılıktaki rastgele labirent çalışmasına katılmak üzere görevlendirdi. Altıgenlerin düz bir düzlem yerine rastgele bir fraktal yüzey üzerinde yer aldığı rastgele labirentleri düşündüler. Yüzeyin nerede ve ne kadar gerileceğini ve sıkıştırılacağını tesadüfler belirlediğinden, yüzey benzersiz özelliklere sahiptir. (Bu özellikler aynı zamanda bu tür yüzeyleri iki boyutlu bir evrendeki kuantum kütleçekim modellerini inceleyen fizikçiler için de faydalı kılar ve onlara adını verir: Liouville kuantum kütleçekim yüzeyleri.) Örneğin, böyle bir yüzeye makas götürürseniz, yüzeyin şekilleri ortaya çıkar. iki yarım birbirine bağlı değildir. "Bu tür bir bağımsızlık, işleri gerçekten büyük ölçüde basitleştiriyor" dedi Scott Sheffield Massachusetts Teknoloji Enstitüsü'nden. Olaylar rastgele olduğunda, onlar hakkında daha az bilgi sahibi olursunuz, ancak bu, sıkıcı bir şekilde hesaba katılması gereken daha az bilgi anlamına gelebilir.

Sun ve Zhuang ilk önce ızgaranın merkezi etrafındaki küçük bir daireyi çevreleyen daha büyük bir daireye bağlayan açık bir yolun bulunma olasılığını belirlemeye çalıştılar. Bu soruyu yanıtladıktan sonra Sun, hırslarını bir adım öteye taşımayı önerdi: iç içe geçmiş daireleri birbirine bağlayan iki yol olma olasılığını hesaplamak, bu onlara omurga üssünü hesaplamanın bir yolunu verecekti. Ancak çok geçmeden zorluklarla karşılaştılar. Zhuang bir e-postada, "Bu yaklaşımı birkaç ay boyunca denedik, ancak hesaplama pek de takip edilebilir görünmüyor" diye yazdı.

Bu arada Nolin ve Qian üssün değerini bulmayı başaramasalar da başka şekillerde ilerleme kaydettiler. Qian, Fransız Ulusal Bilimsel Araştırma Merkezi'ndeki görevinden izin aldı ve Hong Kong Şehir Üniversitesi'nde profesör olarak Nolin'e katıldı. (Ayrıca evlendiler.) 2021 yazında Sun ve işbirlikçilerinin ilgisini çeken birkaç makalesiyle karşılaştı ve pandemik seyahat kısıtlamaları kaldırıldığında Aralık 2022'de Princeton'daki İleri Araştırma Enstitüsü'ne bir ziyaret planladı. , New Jersey, Sun'ın yılı geçirdiği yer.

Kârlı bir ziyaret oldu. Qian, kendisinin ve Nolin'in bulduğu denklemi anlatırken Sun, bunun kendisinin ve Zhuang'ın labirentleri Liouville kuantum yerçekimi yüzeylerine yerleştirme tekniğine uygun olabileceğini düşünmeye başladı. Sun, "Bu bir nevi tesadüf" dedi. "Birinin kilidi var, diğerinin anahtarı var."

Zhuang biraz şüpheciydi. O zamanki durumu anlatırken, "Hiçbir tahminimiz yok ve formülün güzel bir çözüme sahip olup olmayacağını bile bilmiyoruz" dedi. Sun ve Zhuang sonraki birkaç ayı, Nolin ve Qian'ın yıllar öncesine ait denklemindeki bulunması zor miktarın, yani kilidin kilidini açmak için Liouville kuantum yerçekimi tekniklerini (anahtar) kullanarak geçirdiler.

Dört aylık çalışmanın ardından Sun ve Zhuang mecazi kilidi açmışlardı. Sun, Zhuang, Qian ve Nolin'e şu açıklamayı yapan bir e-posta gönderdi: "Harika Haber: Omurga Üssü için Tam Formül." Bulduğu cevap, kareköklerin ve trigonometrik sinüs fonksiyonunun orta derecede karmaşık bir ifadesiydi. Bu, daha önceki tahminlerle uyumluydu; 0.3566668 ile başlayan sonsuz bir rakam akışıydı.

Dörtlü, çalışmalarını yazılı bir makaleye dönüştürdü ve bir yanda Nolin ve Qian'ın, diğer yanda Sun ve Zhuang'ın fikirleri birleşerek Sun'ın doktora danışmanı Sheffield'ın "güzel bir insan" olarak adlandırdığına dair bir kanıt oluşturana kadar argümanı geliştirdiler. mücevher.” Holden, "Kanıt stratejisi kesinlikle şaşırtıcı ve çok orijinal, ancak onu gördüğünüzde aynı zamanda doğal bir şey gibi geliyor" dedi.

Nolin, üssün tam olarak 2011/17 olduğuna dair 48'deki şüphesinden yakınıyor. "Bir süre sahayı yanılttık. Bundan pek gurur duymuyorum.” Omurga üssü, çok renkli kuzenlerinden çarpıcı biçimde farklıdır. Sadece irrasyonel değil, aynı zamanda aşkındır, yani $latex pi$ gibi ve ebasit bir polinom denkleminin çözümü olarak yazılamaz.

"Kanıt bu formülün nereden geldiğini gerçekten açıklamıyor" dedi. "Bunu fizikçilere gösteriyoruz ve onların içgörüsünü gerçekten sabırsızlıkla bekliyoruz."

Omurga üssünün aşkın doğası, bu alandaki diğer kişilerin dikkatini çekti. Chan Zuckerberg Biohub'dan Gregory Huber, ortak yazar takip makalesi omurga üssü hakkında, sonucun istatistiksel mekanikte "yeni bir kıtaya ilk bakış" olduğunu düşündüğünü söyledi. Her ne kadar SLE eğrileri ile Liouville kuantum yerçekimini birleştirmek son derece teknik olsa da, ortaya çıkan açık ve basit sayısal cevabın "inanılmaz derecede basit ve zarif" olduğunu yazdı.