Eliptik eğriler modern matematiğin en ilgi çekici nesneleri arasındadır. Karmaşık görünmüyorlar, ancak birçok insanın lisede öğrendiği matematik ile matematiğin en karmaşık haliyle araştırma arasında bir geçiş yolu oluşturuyorlar. Bunlar, Andrew Wiles'ın 1990'larda Fermat'ın Son Teoremine ilişkin ünlü kanıtlarının merkezinde yer alıyordu. Bunlar modern kriptografinin anahtar araçlarıdır. Ve 2000 yılında Clay Matematik Enstitüsü bir istatistiklerle ilgili varsayım eliptik eğriler, her biri çözümü için 1 milyon dolarlık ödül taşıyan yedi "Milenyum Ödüllü Sorunu"ndan biri. İlk kez ortaya atılan bu varsayım Bryan Birch ve Peter Swinnerton-Dyer 1960'larda hala kanıtlanamadı.

Eliptik eğrileri anlamak, matematiğin merkezinde yer alan yüksek riskli bir çabadır. Dolayısıyla 2022'de transatlantik bir işbirliği istatistiksel teknikleri ve yapay zekayı kullanarak eliptik eğrilerde tamamen beklenmedik desenler keşfettiğinde, bu beklenmedik olsa da memnuniyetle karşılanan bir katkıydı. "Makine öğreniminin ilginç bir şeyle ön kapımıza gelmesi an meselesiydi" dedi Peter Sarnakİleri Araştırmalar Enstitüsü ve Princeton Üniversitesi'nde matematikçi. Başlangıçta hiç kimse yeni keşfedilen kalıpların neden var olduğunu açıklayamadı. O zamandan bu yana, yakın zamanda yayınlanan bir dizi makaleyle matematikçiler, sürü halindeki sığırcıkların akışkan şekillerine benzerlikleri nedeniyle "üfürüm" olarak adlandırılan örüntülerin ardındaki nedenleri ortaya çıkarmaya ve bunların yalnızca belirli bölgelerde meydana gelmemesi gerektiğini kanıtlamaya başladılar. örnekler 2022'de incelendi, ancak daha genel olarak eliptik eğrilerde.

Eliptik Olmanın Önemi

Bu kalıpların ne olduğunu anlamak için eliptik eğrilerin ne olduğu ve matematikçilerin bunları nasıl kategorize ettiği konusunda biraz temel oluşturmamız gerekiyor.

Eliptik bir eğri, bir değişkenin karesiyle ilişkilidir ve genellikle şu şekilde yazılır: y, diğerinin üçüncü kuvvetine göre, genellikle şu şekilde yazılır: x: y² = x³ + Ax + B, bazı sayı çiftleri için A ve BGibi uzun A ve B birkaç basit koşulu karşılayın. Bu denklem, aşağıda gösterildiği gibi düzlemde grafiği çizilebilecek bir eğriyi tanımlar. (İsimlerdeki benzerliğe rağmen elips, eliptik bir eğri değildir.)

Her ne kadar sade görünse de, eliptik eğrilerin sayı teorisyenleri, yani tamsayılardaki kalıpları arayan matematikçiler için inanılmaz derecede güçlü araçlar olduğu ortaya çıkıyor. Değişkenlere izin vermek yerine x ve y Matematikçiler, tüm sayıları kapsayan bir aralıkta olduğundan, bunları farklı sayı sistemleriyle sınırlamayı severler; buna belirli bir sayı sisteminin "üzerinde" bir eğri tanımlamak adını verirler. Rasyonel sayılarla (kesir olarak yazılabilen sayılar) sınırlı eliptik eğriler özellikle faydalıdır. Sarnak, "Gerçek veya karmaşık sayılar üzerindeki eliptik eğriler oldukça sıkıcı" dedi. “Derin olan yalnızca rasyonel sayılardır.”

İşte doğru olan bir yol. Eliptik bir eğri üzerinde iki rasyonel nokta arasına düz bir çizgi çizerseniz, o çizginin eğriyi tekrar kestiği yer de rasyonel olacaktır. Aşağıda gösterildiği gibi eliptik bir eğride "toplama"yı tanımlamak için bu gerçeği kullanabilirsiniz.

Araya bir çizgi çiz P ve Q. Bu doğru eğriyi üçüncü bir noktada kesecek, R. (Matematikçilerin, doğrunun eğriyi kesmemesi durumuyla başa çıkmak için "sonsuzda bir nokta" ekleyerek özel bir numarası vardır.) R çapında x-axis toplamınızdır P + Q. Bu toplama işlemiyle birlikte eğrinin tüm çözümleri grup adı verilen matematiksel bir nesne oluşturur.

Matematikçiler bunu bir eğrinin “derecesini” tanımlamak için kullanırlar. bir eğrinin sıralaması sahip olduğu rasyonel çözümlerin sayısıyla ilgilidir. Rank 0 eğrilerinin sonlu sayıda çözümü vardır. Daha yüksek dereceli eğriler, toplama işlemi kullanılarak birbirleriyle ilişkileri dereceyle tanımlanan sonsuz sayıda çözüme sahiptir.

Sıralamalar iyi anlaşılmamıştır; matematikçiler her zaman bunları hesaplamanın bir yolunu bulamazlar ve ne kadar büyüyebileceklerini bilmezler. (Belirli bir eğri için bilinen en büyük tam sıralama 20'dir.) Benzer görünen eğrilerin sıralamaları tamamen farklı olabilir.

Eliptik eğrilerin yalnızca 1'e ve kendilerine bölünebilen asal sayılarla da büyük ilgisi vardır. Özellikle matematikçiler, her asal sayı için tanımlanan döngüsel aritmetik sistemleri olan sonlu alanlar üzerindeki eğrilere bakarlar. Sonlu bir alan, saat sayısı asal sayıya eşit olan bir saat gibidir: Yukarı doğru saymaya devam ederseniz sayılar yeniden başlar. Örneğin 7'nin sonlu alanında, 5 artı 2 sıfıra, 5 artı 3 ise 1'e eşittir.

Eliptik bir eğrinin ilişkili bir sayı dizisi vardır. a_pasal sayı tarafından tanımlanan sonlu alandaki eğrinin çözümlerinin sayısıyla ilgilidir. p. Daha küçük a_p daha fazla çözüm anlamına gelir; daha büyük a_p daha az çözüm anlamına gelir. Sıralamayı hesaplamak zor olsa da, sıra a_p çok daha kolaydır.

İlk bilgisayarlardan birinde yapılan çok sayıda hesaplamaya dayanarak Birch ve Swinnerton-Dyer, eliptik bir eğrinin derecesi ile dizi arasındaki ilişkiyi tahmin ettiler. a_p. Haklı olduğunu kanıtlayabilen herkes bir milyon dolar ve matematiksel ölümsüzlüğü kazanacak.

Sürpriz Bir Desen Ortaya Çıkıyor

Salgının başlamasından sonra, Yang-Hui HeLondra Matematik Bilimleri Enstitüsü'nden bir araştırmacı, bazı yeni zorlukları üstlenmeye karar verdi. Üniversitede fizik okuyordu ve doktorasını Massachusetts Teknoloji Enstitüsü'nden matematiksel fizik alanında almıştı. Ancak sayı teorisiyle giderek daha fazla ilgilenmeye başladı ve yapay zekanın artan yetenekleri göz önüne alındığında, sayılardaki beklenmedik kalıpları bulmak için yapay zekayı bir araç olarak kullanmayı deneyeceğini düşündü. (O zaten vardı makine öğrenimini kullanma sınıflandırmak Calabi-Yau manifoldlarısicim teorisinde yaygın olarak kullanılan matematiksel yapılar.)

Ağustos 2020'de pandemi derinleşirken Nottingham Üniversitesi onu bir süre ağırladı. çevrimiçi konuşma. İlerlemesi ve yeni matematiği ortaya çıkarmak için makine öğrenimini kullanma olasılığı konusunda kötümserdi. "Onun anlatımı, sayılar teorisinin zor olduğuydu çünkü sayılar teorisindeki şeyleri makine öğrenimi ile öğrenemezsiniz" dedi Thomas OliverWestminster Üniversitesi'nden bir matematikçi de dinleyiciler arasındaydı. Kendisinin hatırladığı gibi, “Uzman olmadığım için hiçbir şey bulamadım. Buna bakmak için doğru şeyleri bile kullanmıyordum.

Oliver ve Kyu-Hwan LeeConnecticut Üniversitesi'nden bir matematikçi olan He ile çalışmaya başladı. Oliver, "Bunu ciddi bir şekilde matematik çalışmak yerine makine öğreniminin ne olduğunu öğrenmek için yapmaya karar verdik" dedi. "Fakat kısa sürede birçok şeyi makine öğrenimi ile öğrenebileceğinizi gördük."

Oliver ve Lee, O'nun inceleme tekniklerini uygulamasını önerdiler. L-fonksiyonlar, dizi boyunca eliptik eğrilerle yakından ilişkili sonsuz seriler a_p. Eliptik eğriler ve bunlarla ilgili çevrimiçi bir veritabanını kullanabilirler. L-fonksiyonlar adı verilen LMFDB makine öğrenimi sınıflandırıcılarını eğitmek. O zamanlar veritabanında rasyonellere göre 3 milyonun biraz üzerinde eliptik eğri vardı. Ekim 2020 itibarıyla, Kağıt derlenen bilgileri kullandı L-eliptik eğrilerin belirli bir özelliğini tahmin etme işlevleri. Kasım ayında paylaşmışlardı başka bir kağıt sayı teorisindeki diğer nesneleri sınıflandırmak için makine öğrenimini kullandı. Aralık ayına kadar başardılar eliptik eğrilerin sıralarını tahmin edin yüksek doğrulukla.

Ancak makine öğrenimi algoritmalarının neden bu kadar iyi çalıştığından emin değillerdi. Lee, lisans öğrencisi Alexey Pozdnyakov'dan neler olup bittiğini anlayıp çözemeyeceğini görmesini istedi. Olduğu gibi, LMFDB eliptik eğrileri iletken adı verilen bir miktara göre sıralar; bu, bir eğrinin iyi davranmadığı asal sayılar hakkındaki bilgileri özetler. Böylece Pozdnyakov, benzer iletkenlere sahip çok sayıda eğriye, örneğin 7,500 ile 10,000 arasındaki iletkenlere sahip tüm eğrilere aynı anda bakmayı denedi.

Bu toplamda yaklaşık 10,000 eğriye tekabül ediyordu. Bunların yaklaşık yarısı derece 0 ve yarısı derece 1'e sahipti. (Daha yüksek dereceler son derece nadirdir.) Daha sonra şu değerlerin ortalamasını aldı: a_p tüm sıra 0 eğrileri için ayrı ayrı ortalaması alınır a_p tüm derece 1 eğrileri için ve sonuçların grafiğini çizdim. İki nokta kümesi iki ayrı, kolayca fark edilebilen dalga oluşturuyordu. Makine öğrenimi sınıflandırıcılarının belirli eğrilerin sıralarını doğru bir şekilde tespit edebilmesinin nedeni budur.

Pozdnyakov, "İlk başta görevi tamamladığım için mutluydum" dedi. “Fakat Kyu-Hwan bu modelin şaşırtıcı olduğunu hemen fark etti ve işte o zaman gerçekten heyecan verici hale geldi.”

Lee ve Oliver büyülenmişlerdi. Oliver, "Alexey bize resmi gösterdi ve ben de bunun kuşların yaptığı şeye benzediğini söyledim" dedi. "Sonra Kyu-Hwan konuyu araştırdı ve buna üfürüm dendiğini söyledi, ardından Yang gazeteyi aramamız gerektiğini söyledi 'Eliptik Eğrilerin Mırıltıları. '”

Makalelerini Nisan 2022'de yüklediler ve bir avuç diğer matematikçiye ilettiler; sözde "keşiflerinin" iyi bilindiğinin söylenmesini endişeyle beklediler. Oliver, ilişkinin o kadar görünür olduğunu ve bunun uzun zaman önce fark edilmesi gerektiğini söyledi.

Ön baskı hemen hemen ilgi topladı, özellikle de Andrew SutherlandMIT'de araştırma bilimcisi olan ve LMFDB'nin yönetici editörlerinden biri olan Dr. Sutherland, 3 milyon eliptik eğrinin amaçları için yeterli olmadığını fark etti. Mırıltıların ne kadar güçlü olduğunu görmek için çok daha geniş iletken aralıklarına bakmak istedi. Yaklaşık 150 milyon eliptik eğriden oluşan başka bir devasa veri deposundan veri çekti. Hâlâ tatmin olmadığından, 300 milyon eğriye sahip farklı bir depodan veri çekti.

Sutherland, "Fakat bunlar bile yeterli değildi, bu yüzden aslında bir milyarın üzerinde eliptik eğriden oluşan yeni bir veri seti hesapladım ve gerçekten yüksek çözünürlüklü resimleri hesaplamak için kullandığım şey de buydu" dedi. Mırıltılar, tek seferde ortalama 15,000 eliptik eğrinin mi yoksa bir milyonun üzerinde mi olduğunu ortaya çıkardı. Ölçek değişmezliği adı verilen bir olguya, giderek daha büyük asal sayılar üzerindeki eğrilere baktığında bile şekil aynı kaldı. Sutherland ayrıca üfürümlerin eliptik eğrilere özgü olmadığını, daha genel olarak da ortaya çıktığını fark etti. L-fonksiyonlar. O yazdı bulgularını özetleyen bir mektup ve onu Sarnak'a gönderdim ve Michael Rubinstein Waterloo Üniversitesi'nde.

Sutherland, "Bunun bilinen bir açıklaması varsa, sizin de bunu bileceğinizi umuyorum" diye yazdı.

Yapmadılar.

Deseni Açıklamak

Lee, He ve Oliver, Ağustos 2023'te Brown Üniversitesi'nin Matematikte Hesaplamalı ve Deneysel Araştırma Enstitüsü'nde (ICERM) mırıltılar üzerine bir atölye çalışması düzenlediler. Sarnak ve Rubinstein geldi, Sarnak'ın öğrencisi de geldi Nina Zubrilina.

Zubrilina üfürüm desenleri üzerine araştırmasını sundu. modüler formlareliptik eğriler gibi birbiriyle ilişkilendirilen özel karmaşık fonksiyonlar L-fonksiyonlar. Büyük iletkenlere sahip modüler formlarda üfürümler, fark edilebilir ancak dağınık bir desen oluşturmak yerine, keskin bir şekilde tanımlanmış bir eğri halinde birleşir. İçinde Kağıt 11 Ekim 2023'te yayınlanan Zubrilina, bu tür mırıltıların keşfettiği açık bir formülü takip ettiğini kanıtladı.

“Nina'nın büyük başarısı kendisine bunun için bir formül verilmiş olmasıdır; Ben buna Zubrilina üfürüm yoğunluğu formülü diyorum" dedi Sarnak. "Çok karmaşık bir matematik kullanarak, verilere mükemmel şekilde uyan kesin bir formül kanıtladı."

Formülü karmaşık ama Sarnak bunu, optikten kuantum mekaniğine kadar fizikteki çeşitli bağlamlarda kullanılan diferansiyel denklemlerin çözümlerini tanımlayan Airy fonksiyonlarıyla karşılaştırılabilecek önemli yeni bir fonksiyon türü olarak selamlıyor.

Zubrilina'nın formülü ilk olmasına rağmen diğerleri onu takip etti. Sarnak, "Artık her hafta, esas olarak Zubrilina'nın araçlarını kullanan ve mırıltıların diğer yönlerini açıklayan yeni bir makale çıkıyor" dedi.

Jonathan Bober, Andrew Booker ve Min Lee Bristol Üniversitesi ile birlikte David Lowry-Duda ICRM, modüler formlarda farklı türde bir üfürümün varlığını kanıtladı. başka bir Ekim gazetesi. Ve Kyu-Hwan Lee, Oliver ve Pozdnyakov varlığını kanıtladı Dirichlet karakterleri adı verilen ve nesnelerle yakından ilişkili olan nesnelerdeki üfürümlerin L-fonksiyonlar.

Sutherland, mırıltıların keşfedilmesine yol açan önemli miktardaki şanstan etkilenmişti. Eğer eliptik eğri verileri iletken tarafından sipariş edilmemiş olsaydı, üfürümler ortadan kaybolacaktı. "İletkene göre önceden sınıflandırılmış olarak gelen LMFDB'den veri aldıkları için şanslıydılar" dedi. "Eliptik bir eğriyi karşılık gelen modüler formla ilişkilendiren şey budur, ancak bu hiç de açık değil. … Denklemleri çok benzer görünen iki eğrinin iletkenleri çok farklı olabilir.” Örneğin Sutherland şunu kaydetti: y² = x³ - 11x + 6'nın 17 numaralı iletkeni var, ancak eksi işaretini artı işaretine çevirirsek, y² = x³ + 11x +6'nın iletkeni 100,736'dır.

O zaman bile mırıltılar yalnızca Pozdnyakov'un deneyimsizliği nedeniyle ortaya çıktı. Oliver, "O olmasaydı bunu bulabileceğimizi sanmıyorum" dedi. "Çünkü uzmanlar geleneksel olarak normalleştiriyor" a_p mutlak değere sahip olmak 1. Ancak bunları normalleştirmedi… dolayısıyla salınımlar çok büyük ve görünürdü.”

Oliver, yapay zeka algoritmalarının eliptik eğrileri sıralamaya göre sıralamak için kullandığı istatistiksel kalıpların yüzlerce boyutu olan bir parametre uzayında mevcut olduğunu belirtti; bu boyutlar, insanların bırakın görselleştirmeyi, zihinlerinde bile sıralayamayacağı kadar fazla. Ancak makine öğrenimi gizli salınımları bulsa da "bunların mırıltı olduğunu ancak daha sonra anladık."

Editörün Notu: Andrew Sutherland, Kyu-Hwan Lee ve L-fonksiyonları ve modüler formlar veritabanı (LMFDB), editoryal açıdan bağımsız bu yayına da fon sağlayan Simons Vakfı'ndan fon almıştır. Simons Vakfı finansman kararlarının kapsamımız üzerinde hiçbir etkisi yoktur. Daha fazla bilgi mevcut okuyun.