Bu, Atlanta Algebras'ın Carolina Cross Products ile karşılaşacağı Imaginary Math League'in şampiyonluk maçı. İki takım bu sezon birbiriyle karşılaşmadı ancak yılın başlarında Atlanta, Brooklyn Bisectors'ı 10'a 5'lik bir skorla yendi ve Brooklyn, Carolina'yı 7'ye 3'lük bir skorla mağlup etti. Bu bize kimin kim olduğuna dair bir fikir veriyor mu? unvanı alacak mı?

İşte bir düşünce çizgisi. Atlanta Brooklyn'i yenerse Atlanta Brooklyn'den daha iyi olur ve eğer Brooklyn Carolina'yı yenerse Brooklyn Carolina'dan daha iyi olur. Yani eğer Atlanta Brooklyn'den daha iyiyse ve Brooklyn Carolina'dan daha iyiyse o zaman Atlanta'nın Carolina'dan daha iyi olması ve şampiyonluğu kazanması gerekir.

Rekabetçi oyunlar veya spor oynuyorsanız bir maçın sonucunu tahmin etmenin asla bu kadar kolay olmadığını bilirsiniz. Ancak tamamen matematiksel açıdan bakıldığında bu argümanın bir miktar çekiciliği var. Matematikte geçişlilik olarak bilinen önemli bir fikri kullanır; bu, ilişkiler arasında karşılaştırma dizileri oluşturmamıza olanak tanıyan tanıdık bir özelliktir. Geçişlilik, farkına bile varamayacağınız kadar temel olan matematiksel özelliklerden biridir.

Örneğin sayıların eşitliği geçişlidir. Bu şu anlama gelir: eğer bunu biliyorsak a = b ve b = c, bunu sonuçlandırabiliriz a = c. “Büyüktür” ilişkisi de geçişlidir: Gerçek sayılar için, eğer a > b ve b > c, Daha sonra a > c. İlişkiler geçişli olduğunda, nesnelerin sıralamasını oluşturarak bunları karşılaştırabilir ve birleştirebiliriz. Eğer Anna, Benji'den ve Benji de Carl'dan uzunsa, o zaman üçünü boylarına göre sıralayabiliriz: A, B, C. Geçişlilik aynı zamanda şu naif argümanımızın da arkasındadır: A daha iyi B ve B daha iyi C, Daha sonra A daha iyi C.

Geçişlilik eşitlikte, uygunlukta, benzerlikte, hatta paralellikte mevcuttur. Yaptığımız tüm temel matematiğin bir parçası, bu da olmadığında onu özellikle matematiksel açıdan ilginç kılıyor. Analistler ekipleri sıraladığında, ekonomistler tüketici tercihlerini incelediğinde veya vatandaşlar tercih ettikleri adaylara oy verdiklerinde geçişlilik eksikliği şaşırtıcı sonuçlara yol açabilir. Bu tür sistemleri daha iyi anlamak için matematikçiler 50 yılı aşkın süredir "geçişsiz zarlar" üzerinde çalışıyorlar ve son kağıdı Polymath projesi olarak bilinen çevrimiçi matematik işbirlikçisi bu anlayışı geliştirdi. Geçişsizliğin nasıl göründüğüne ve nasıl hissettirdiğine dair bir fikir edinmek için hadi kendi ligimizi kuralım ve biraz oynayalım.

Yeni matematik ligimizde oyuncular özel paraları çevirerek ve sonuçları karşılaştırarak yarışırlar. Oyuncu diyelim A Bir tarafında 10 diğer tarafında 6 rakamı bulunan bir madeni para vardır ve oyuncu BParaların adil olduğunu varsayacağız - yani paralar atıldığında her iki tarafın da eşit olasılıkla görüneceği anlamına geliyor - ve paraların üzerindeki sayıları bu şekilde temsil edeceğiz.

Bir oyunda oyuncular paralarını atarlar ve kimin parası daha yüksek sayıyı gösterirse o kazanır. Kim ne zaman kazanacak A çalış B?

Tabii ki buna bağlı. Bazen A bazen kazanacağım B kazanacak. Ama bunu görmek zor değil A karşı kazanmak tercih edilir B. Oyunun ortaya çıkmasının dört yolu vardır ve A üçünde de kazanır.

Yani oyunda A karşı B, A kazanma şansı %75'tir.

şimdi C geliyor ve meydan okuyor B bir oyuna. CParanın bir yüzünde 5, diğer yüzünde 4 rakamı var. Yine dört olasılık var.

İşte B ve C her biri dört karşılaşmadan ikisini kazanır, yani her biri oyunların %50'sini kazanacak. B ve C eşit olarak eşleşir.

Şimdi, ne olmasını beklerdin? A ve C oynamak? Kuyu, A genellikle yener B, ve B eşit olarak eşleşir Cyani bunu beklemek mantıklı görünüyor A muhtemelen karşı tercih edilecektir C.

Fakat A bir favoriden daha fazlasıdır. A hakim C, zamanın %100'ünü kazanıyor.

Bu şaşırtıcı görünebilir ancak matematiksel olarak bunun neden olduğunu anlamak zor değil. C'ın sayıları arasında Byani C her an kazanır B alt sayılarını çevirir. Ancak Cher ikisinin de numaraları aşağıda Ayani C bu karşılaşmayı asla kazanamayacak. Bu örnek geçişlilik fikrini ihlal etmiyor ancak işlerin bundan daha karmaşık olabileceğini gösteriyor. A > B > C. Oyunumuzdaki küçük bir değişiklik, oyunun ne kadar karmaşık olabileceğini gösteriyor.

Rakiplerimiz, matematiksel olarak tamamen anlaşılması kolay olduğundan (daha fazla ayrıntı için sütunun sonundaki alıştırmalara bakın), iki taraflı yazı tura atma oyunundan çabuk yorulur, bu nedenle lig, üç taraflı paraya geçmeye karar verir. (Hayali bir matematik liginde oynamanın faydalarından biri de her şeyin mümkün olmasıdır.)

İşte A ve Bparaları:

Aralarında oynanan bir oyunda kim favoridir? A ve B? Peki, üç sonuç var Ayazı tura atılır ve üçü Bkolayca grafiğini çizebileceğimiz dokuz olası oyun sonucuna yol açar.

Tekrar tüm sonuçların eşit olasılıklı olduğunu varsayarak, A atım B dokuz sonucun beşinde. Bu şu anlama gelir A yaklaşık %5 oranında $latex frac{9}{55} kazanmalı, yani A karşı tercih edilir B.

Beklentileri konusunda biraz üzgün hisseden, B zorluklar C bir oyuna. C'nin numaraları aşağıda gösterilmiştir. Sever misin Bşansı?

Yine, bir oyunda dokuz olası sonuç vardır. B karşı C, böylece onları listeleyebiliriz.

Bunu görebiliriz B karşı oldukça iyi görünüyor C. Dokuz olası sonuçtan beşinde, B kazanır. Bu yüzden B karşı tercih edilir C.

yoksul C şimdi oynamak zorunda A. Ile A karşı tercih edilen B ve B karşı tercih edilen Cşans ne işe yarar C kazanmak zorunda mısın? Görünüşe göre oldukça iyi bir şey.

Buradaki dokuz olası sonuçtan beşinde, C atım A. Bu şu demek C karşı tercih edilir A, buna rağmen Akarşı tercih edilir B ve B karşı tercih edilir C.

Bu geçişsiz bir sistemin bir örneğidir. Daha teknik bir ifadeyle oyunumuzda "kayırılma" ilişkisi geçişli değildir: A karşı tercih edilir B, ve B karşı tercih edilir C, fakat A mutlaka aleyhine tercih edilmez C.

Bunu matematikte çok sık görmüyoruz ancak bu tür davranışlar spor hayranlarını şaşırtmaz. Eğer Devler Kartalları yenerse ve Kartallar Kovboyları yense, Kovboylar yine de Devleri pekâlâ yenebilirdi. Bireysel bir oyunun sonucuna katkıda bulunan birçok faktör vardır. Takımlar pratik yaparak daha iyi hale gelebilir veya yenilik yapmazlarsa durgunlaşabilirler. Oyuncular takım değiştirebilir. Maçın yeri (evde veya deplasman) veya takımların en son ne kadar süre önce oynadığı gibi ayrıntılar kimin kazanıp kimin kaybedeceğini etkileyebilir.

Ancak bu basit örnek, bu tür geçişsizliğin arkasında tamamen matematiksel nedenlerin de olduğunu gösteriyor. Ve bu tamamen matematiksel düşüncenin rekabetin gerçek dünyadaki kısıtlamalarıyla ortak bir yanı var: eşleşmeler.

İşte rakamlar A, B ve C.

Bunları yan yana baktığımızda bu durumda neden geçişsizliğin oluştuğunu anlamak daha kolay oluyor. Rağmen B karşı kazanmak tercih edilir C, C'nin iki orta-yüksek rakamı - 7 ve 6 - onlara üstünlük sağlıyor A o B sahip değil. Rağmen A karşı tercih edilir B ve B karşı tercih edilir C, C karşı eşleşir A daha iyi B yapmak. Bu, zayıf bir spor takımının üstün bir rakiple nasıl iyi bir şekilde eşleşebileceğine benzer çünkü oyun tarzları o takımın idare etmesi zor veya bir oyuncu veya antrenör onlara belirli bir rakibe karşı avantaj sağlıyor.

Sporun geçişsiz olması, onları eğlenceli ve çekici kılan şeylerden biridir. Sonuçta eğer A atım B ve B atım C, C karşı karşıya kaldıklarında geçişlilik nedeniyle kaybetmeyecekler A. Rekabette her şey olabilir. Pek çok yorumcunun bir üzüntü sonrasında söylediği gibi, "Oyunu bu yüzden oynuyorlar."

İşte bu yüzden matematikle oynuyoruz. Eğlenceli, ilgi çekici ve şaşırtıcı olanı bulmak için. Her şey olabilir.

Egzersizler

1. İki oyuncunun iki taraflı madeni para oyunu oynadığını ve iki madeni paradaki dört sayının hepsinin farklı olduğunu varsayalım. Kimin ve ne sıklıkta kazanacağına dair aslında yalnızca altı olası senaryo vardır. Onlar neler?

2. Yukarıda anlatılan üç yüzlü oyun senaryosunda, üç yüzlü farklı bir para bulun. C ki B hâlâ tercih ediliyor C ve C hâlâ tercih ediliyor A.

3. İki taraflı jetonlu bir oyunda üç oyuncunun olmasının imkansız olduğunu kanıtlayın A, B, C öyle ki A karşı tercih edilir B, B karşı tercih edilir C, ve C karşı tercih edilir A.