När det gäller att förstå formen på bubbelkluster har matematiker hållit på med våra fysiska intuitioner i årtusenden. Såpbubbelkluster i naturen tycks ofta omedelbart snäppa in i det lägsta energitillståndet, det som minimerar den totala ytan på deras väggar (inklusive väggarna mellan bubblorna). Men att kontrollera om såpbubblor får den här uppgiften rätt - eller bara förutsäga hur stora bubbelkluster ska se ut - är ett av de svåraste problemen inom geometri. Det tog matematiker fram till slutet av 19-talet att bevisa att sfären är den bästa enskilda bubblan, även om den grekiske matematikern Zenodorus hade hävdat detta mer än 2,000 XNUMX år tidigare.

Bubbelproblemet är enkelt nog att säga: Du börjar med en lista med siffror för volymerna och frågar sedan hur du separat omsluter dessa luftvolymer med minsta yta. Men för att lösa detta problem måste matematiker överväga ett brett utbud av olika möjliga former för bubbelväggarna. Och om uppdraget är att omsluta, säg, fem volymer, har vi inte ens lyxen att begränsa vår uppmärksamhet till kluster med fem bubblor - kanske det bästa sättet att minimera ytan är att dela en av volymerna över flera bubblor.

Även i den enklare inställningen av det tvådimensionella planet (där du försöker innesluta en samling områden samtidigt som du minimerar omkretsen), vet ingen det bästa sättet att omsluta, säg, nio eller 10 områden. När antalet bubblor växer, "snabbt kan du inte ens få några rimliga gissningar," sa Emanuel Milman från Technion i Haifa, Israel.

Men för mer än ett kvartssekel sedan, John Sullivan, nu vid det tekniska universitetet i Berlin, insåg att det i vissa fall finns en vägledande gissningar att få. Bubbelproblem är vettigt i vilken dimension som helst, och Sullivan fann att så länge antalet volymer du försöker innesluta är högst en större än dimensionen, så finns det ett speciellt sätt att innesluta volymerna, det är i en viss mening, vackrare än någon annan — en sorts skugga av ett perfekt symmetriskt bubbelkluster på en sfär. Detta skuggkluster, antog han, borde vara det som minimerar ytan.

Under decenniet som följde skrev matematiker en serie banbrytande artiklar som bevisade Sullivans gissningar när du bara försöker bifoga två volymer. Här är lösningen den välbekanta dubbelbubblan du kan ha blåst i parken en solig dag, gjord av två sfäriska bitar med en platt eller sfärisk vägg mellan sig (beroende på om de två bubblorna har samma eller olika volym).

Men bevisar Sullivans gissningar för tre volymer, matematikern Frank Morgan från Williams College spekulerade 2007, "kan mycket väl ta hundra år till."

Nu har matematiker besparats den långa väntan - och har fått mycket mer än bara en lösning på problemet med trippelbubblan. I en papper publicerades online i maj, Milman och Joe Neeman, vid University of Texas, Austin, har bevisat Sullivans gissning för trippelbubblor i dimensionerna tre och uppåt och fyrdubbla bubblor i dimensionerna fyra och uppåt, med ett uppföljningsdokument om femdubbla bubblor i dimensionerna fem och uppåt på gång.

Och när det kommer till sex eller fler bubblor har Milman och Neeman visat att det bästa klustret måste ha många av de viktigaste egenskaperna hos Sullivans kandidat, vilket potentiellt kan starta matematiker på väg att bevisa gissningarna för dessa fall också. "Mitt intryck är att de har förstått den väsentliga strukturen bakom Sullivan-förmodan", sa Francesco Maggi från University of Texas, Austin.

Milman och Neemans centrala teorem är "monumental", skrev Morgan i ett mejl. "Det är en lysande prestation med många nya idéer."

Skuggbubblor

Våra erfarenheter av riktiga såpbubblor ger frestande intuitioner om hur optimala bubbelkluster ska se ut, åtminstone när det kommer till små kluster. De trippel- eller fyrdubbla bubblorna vi blåser genom tvålstavar verkar ha sfäriska väggar (och ibland platta) och tenderar att bilda täta klumpar snarare än, säg, en lång kedja av bubblor.

Men det är inte så lätt att bevisa att dessa verkligen är egenskaperna hos optimala bubbelkluster. Till exempel vet matematiker inte om väggarna i ett minimerande bubbelkluster alltid är sfäriska eller platta - de vet bara att väggarna har "konstant medelkurvatur", vilket innebär att den genomsnittliga krökningen förblir densamma från en punkt till en annan. Sfärer och plana ytor har denna egenskap, men det har även många andra ytor, som cylindrar och vågiga former som kallas unduloider. Ytor med konstant medelkurvatur är "en komplett djurpark", sa Milman.

Men på 1990-talet insåg Sullivan att när antalet volymer du vill innesluta är högst en större än dimensionen, så finns det ett kandidatkluster som verkar överglänsa resten - ett (och bara ett) kluster som har de egenskaper vi brukar att se i små klasar av riktiga såpbubblor.

För att få en känsla för hur en sådan kandidat är uppbyggd, låt oss använda Sullivans tillvägagångssätt för att skapa ett kluster med tre bubblor i det platta planet (så att våra "bubblor" kommer att vara regioner i planet snarare än tredimensionella objekt). Vi börjar med att välja fyra punkter på en sfär som alla är på samma avstånd från varandra. Föreställ dig nu att var och en av dessa fyra punkter är mitten av en liten bubbla, som bara lever på sfärens yta (så att varje bubbla är en liten skiva). Blås upp de fyra bubblorna på sfären tills de börjar stöta mot varandra, och fortsätt sedan att blåsa upp tills de tillsammans fyller ut hela ytan. Vi slutar med ett symmetriskt kluster av fyra bubblor som får sfären att se ut som en utblåst tetraeder.

Därefter placerar vi denna sfär ovanpå ett oändligt platt plan, som om sfären är en boll som vilar på ett oändligt golv. Föreställ dig att bollen är genomskinlig och att det finns en lykta vid nordpolen. Väggarna i de fyra bubblorna kommer att projicera skuggor på golvet och bilda väggarna i ett bubbelkluster där. Av de fyra bubblorna på sfären kommer tre att projicera ner till skuggbubblor på golvet; den fjärde bubblan (den som innehåller nordpolen) kommer att sticka ut till den oändliga golvytan utanför klustret av tre skuggbubblor.

Den speciella trebubblor vi får beror på hur vi råkat placera sfären när vi lade den på golvet. Om vi ​​snurrar sfären så att en annan punkt flyttas till lyktan vid nordpolen, får vi vanligtvis en annan skugga, och de tre bubblorna på golvet kommer att ha olika områden. Matematiker har visat att för alla tre siffror du väljer för områdena finns det i princip ett enda sätt att placera sfären så att de tre skuggbubblorna kommer att ha exakt de områdena.

Vi är fria att utföra denna process i vilken dimension som helst (även om skuggor med högre dimensioner är svårare att visualisera). Men det finns en gräns för hur många bubblor vi kan ha i vårt skuggkluster. I exemplet ovan kunde vi inte ha gjort en fyra-bubblor i planet. Det skulle ha krävt att börja med fem punkter på sfären som alla är på samma avstånd från varandra - men det är omöjligt att placera så många ekvidistanta punkter på en sfär (även om du kan göra det med högre dimensionella sfärer). Sullivans procedur fungerar bara för att skapa kluster med upp till tre bubblor i tvådimensionellt utrymme, fyra bubblor i det tredimensionella utrymmet, fem bubblor i det fyrdimensionella utrymmet, och så vidare. Utanför dessa parameterintervall existerar bara inte Sullivan-liknande bubbelkluster.

Men inom dessa parametrar ger Sullivans procedur oss bubbelkluster i miljöer långt bortom vad vår fysiska intuition kan förstå. "Det är omöjligt att visualisera vad som är en 15-bubbla i [23-dimensionell rymden]," sa Maggi. "Hur drömmer du ens om att beskriva ett sådant föremål?"

Ändå ärver Sullivans bubbelkandidater från sina sfäriska stamfader en unik samling egenskaper som påminner om bubblorna vi ser i naturen. Deras väggar är alla sfäriska eller platta, och varhelst tre väggar möts bildar de 120 graders vinklar, som i en symmetrisk Y-form. Var och en av volymerna du försöker innesluta ligger i en enda region, istället för att delas upp i flera regioner. Och varje bubbla berör varannan (och utsidan) och bildar en tät klunga. Matematiker har visat att Sullivans bubblor är de enda klustren som uppfyller alla dessa egenskaper.

När Sullivan antog att dessa skulle vara de kluster som minimerar ytan, sa han i huvudsak: "Låt oss anta skönhet," sa Maggi.

Men bubbelforskare har goda skäl att vara försiktiga med att anta att bara för att en föreslagen lösning är vacker så är den korrekt. "Det finns mycket kända problem ... där du kan förvänta dig symmetri för minimerarna, och symmetri misslyckas spektakulärt," sa Maggi.

Till exempel finns det närbesläktade problemet med att fylla oändligt utrymme med lika stora bubblor på ett sätt som minimerar ytan. År 1887 föreslog den brittiske matematikern och fysikern Lord Kelvin att lösningen kunde vara en elegant bikakeliknande struktur. I mer än ett sekel trodde många matematiker att detta var det troliga svaret - fram till 1993, när ett par fysiker identifierat en bättre, men mindre symmetrisk, alternativ. "Matematik är full ... av exempel där den här typen av konstiga saker händer," sa Maggi.

En mörk konst

När Sullivan tillkännagav sin gissning 1995 hade den dubbelbubbliga delen av den redan flytit runt i ett sekel. Matematiker hade löst problemet 2D dubbel-bubbla problem två år tidigare, och under decenniet som följde, löste de det tredimensionellt utrymme och sedan in högre dimensioner. Men när det kom till nästa fall av Sullivans gissningar - trippelbubblor - kunde de bevisa gissningen endast i det tvådimensionella planet, där gränssnitten mellan bubblor är särskilt enkla.

Sedan 2018 bevisade Milman och Neeman en analog version av Sullivans gissningar i en miljö som kallas Gaussbubblans problem. I den här inställningen kan du tänka på att varje punkt i rymden har ett monetärt värde: Ursprunget är den dyraste platsen, och ju längre du kommer från ursprunget, desto billigare blir marken och bildar en klockkurva. Målet är att skapa kapslingar med förvalda priser (istället för förvalda volymer), på ett sätt som minimerar kostnaden för kapslingarnas gränser (istället för gränsernas yta). Detta Gaussbubblaproblem har tillämpningar inom datavetenskap för avrundningsscheman och frågor om bruskänslighet.

Milman och Neeman lämnade in sina bevis till Annaler för matematik, utan tvekan matematikens mest prestigefyllda tidskrift (där den senare accepterades). Men paret hade inte för avsikt att kalla det en dag. Deras metoder verkade lovande även för det klassiska bubbelproblemet.

De slängde idéer fram och tillbaka i flera år. "Vi hade ett 200-sidigt dokument med anteckningar," sa Milman. Till en början kändes det som om de gjorde framsteg. "Men sedan förvandlades det snabbt till," Vi försökte den här riktningen - nej. Vi försökte [den] riktningen — nej.'” För att säkra sina satsningar fortsatte båda matematikerna också andra projekt.

Sedan i höstas kom Milman på sabbatsår och bestämde sig för att besöka Neeman så att paret kunde göra en koncentrerad knuff på bubbelproblemet. "Under sabbatsperioden är det en bra tid att prova saker med hög risk och hög vinst," sa Milman.

De första månaderna kom de ingenstans. Till slut bestämde de sig för att ge sig själva en något lättare uppgift än Sullivans fullständiga gissning. Om du ger dina bubblor en extra dimension av andningsrum får du en bonus: Det bästa bubbelklustret kommer att ha spegelsymmetri över ett centralt plan.

Sullivans gissning handlar om trippelbubblor i dimension två och uppåt, fyrdubbla bubblor i dimension tre och uppåt, och så vidare. För att få bonussymmetrin begränsade Milman och Neeman sin uppmärksamhet till trippelbubblor i dimension tre och uppåt, fyrdubbla bubblor i dimension fyra och uppåt, och så vidare. "Det var egentligen bara när vi gav upp på att få det för alla parametrar som vi verkligen gjorde framsteg," sa Neeman.

Med denna spegelsymmetri till sitt förfogande kom Milman och Neeman på ett störningsargument som går ut på att blåsa upp halvan av bubbelklustret som ligger ovanför spegeln och tömma halvan som ligger under den. Denna störning kommer inte att ändra volymen på bubblorna, men den kan ändra deras yta. Milman och Neeman visade att om det optimala bubbelklustret har några väggar som inte är sfäriska eller plana, kommer det att finnas ett sätt att välja denna störning så att den minskar klustrets yta - en motsägelse, eftersom det optimala klustret redan har minst yta område möjligt.

Att använda störningar för att studera bubblor är långt ifrån en ny idé, men att ta reda på vilka störningar som kommer att upptäcka de viktiga egenskaperna hos ett bubbelkluster är "lite av en mörk konst", sa Neeman.

Med facit i hand, "när du ser [Milman och Neemans störningar], ser de ganska naturliga ut," sa Joel Hass vid University of California, Davis.

Men att känna igen störningarna som naturliga är mycket lättare än att komma på dem i första hand, sa Maggi. "Det är långt ifrån något som man kan säga, 'till slut skulle folk ha hittat det'", sa han. "Det är verkligen geni på en mycket anmärkningsvärd nivå."

Milman och Neeman kunde använda sina störningar för att visa att det optimala bubbelklustret måste tillfredsställa alla kärnegenskaperna i Sullivans kluster, utom kanske ett: kravet att varje bubbla måste röra vid varandra. Detta sista krav tvingade Milman och Neeman att brottas med alla sätt som bubblor kan ansluta till ett kluster. När det gäller bara tre eller fyra bubblor finns det inte så många möjligheter att överväga. Men när du ökar antalet bubblor, växer antalet olika möjliga anslutningsmönster, till och med snabbare än exponentiellt.

Milman och Neeman hoppades till en början att hitta en övergripande princip som skulle täcka alla dessa fall. Men efter att ha tillbringat några månader med att "bryta våra huvuden", sa Milman, bestämde de sig för att nöja sig nu med en mer ad hoc-strategi som gjorde det möjligt för dem att hantera trippel- och fyrdubbla bubblor. De har också meddelat ett opublicerat bevis på att Sullivans femdubbla bubbla är optimal, även om de ännu inte har fastställt att det är det enda optimala klustret.

Milman och Neemans arbete är "ett helt nytt tillvägagångssätt snarare än en förlängning av tidigare metoder", skrev Morgan i ett mejl. Det är troligt, förutspådde Maggi, att detta tillvägagångssätt kan drivas ännu längre - kanske till kluster med mer än fem bubblor, eller till fall av Sullivans gissningar som inte har spegelsymmetri.

Ingen förväntar sig att ytterligare framsteg kommer lätt; men det har aldrig avskräckt Milman och Neeman. "Från min erfarenhet," sa Milman, "alla de viktigaste sakerna som jag hade turen att kunna göra krävde bara att inte ge upp."