Matematiker upptäcker ett nytt sätt för sfärer att "kyssa"

Tycka om
Gillade

Datum:

Nod: 4219816

I maj 1694, i en föreläsningssal vid University of Cambridge, började Isaac Newton och astronomen David Gregory fundera över stjärnornas natur, bara för att sluta med ett matematikpussel som skulle bestå i århundraden.

Detaljerna i deras samtal var dåligt registrerade och är möjligen apokryfiska - det hade något att göra med hur stjärnor av varierande storlek skulle kretsa runt en central sol. Vad man minns idag är den mer allmänna frågan den inspirerade: Med tanke på en central sfär, hur många identiska sfärer kan arrangeras så att de rör vid den utan att överlappa varandra?

I tre dimensioner är det trivialt att placera 12 sfärer runt en central så att var och en vidrör den vid en enda punkt. Men detta arrangemang lämnar luckor mellan sfärerna. Skulle du kunna klämma in en 13:e i det överblivna utrymmet? Gregory trodde att du kunde. Det gjorde inte Newton.

"Kysss"-problemet, som det kom att kallas - en referens till när biljardbollar slår, eller kysser - har visat sig relevant för att analysera atomära strukturer, konstruera felkorrigerande koder och mer.

Det har också formats till att vara en ganska matematisk utmaning. Det tog matematiker fram till 1952 att bevisa att Newton hade rätt: I våra välbekanta tre dimensioner, maximalt antal "kyssar" är 12.

Men kyssproblemet kan frågas om sfärer av vilken dimension som helst. I två dimensioner är svaret tydligt sex: Lägg en slant på ett bord, och du kommer att upptäcka att när du arrangerar ytterligare sex slantar runt det, passar de tätt in i ett tusenskönamönster.

I högre dimensioner blir problemet svårare.

Det har varit löst i dimension fyra, samt i dimensionerna 8 och 24, där matematiker har kunnat packa sfärer optimalt till vackert symmetriska gitterstrukturer. Men i alla andra dimensioner, där mer utrymme uppstår mellan sfärerna, förblir problemet öppet. Matematiker har istället kommit med uppskattningar av kysstalet och beräknat övre och nedre gränser som ofta kan ligga ganska långt ifrån varandra. I dessa fall handlar frågan inte längre om huruvida du kan lägga till en enda extra sfär, utan om du kan lägga till hundratals, tusentals eller till och med miljoner.

För att förbättra dessa uppskattningar följer matematiker vanligtvis samma intuition som gav dem lösningar i dimensioner som 8 och 24: De letar efter sätt att ordna sfärer så symmetriskt som möjligt. Men det finns fortfarande en möjlighet att de bästa arrangemangen kan se mycket konstigare ut. "Det kan finnas strukturer utan någon symmetri alls," sa Gabriele Nebe vid RWTH Aachen University i Tyskland. "Och inget bra sätt att hitta dem."

Sedan, våren 2022, utsågs en grundutbildning i matematik vid Massachusetts Institute of Technology Anqi Li bestämde mig för att leta efter de där konstigare strukturerna. När hon arbetade med ett klassprojekt kom hon på en bedrägligt enkel idé som nu har gjort det möjligt för henne och hennes professor, Henry Cohn, Till förbättra uppskattningarna av antalet kyssar i ett särskilt utmanande kluster av dimensioner: 17 till 21. Arbetet markerar det första framstegen med problemet i dessa dimensioner sedan 1960-talet – och visar upp fördelarna med att injicera mer oordning i potentiella lösningar.

"Vanligtvis arbetar du med ett mycket starkt symmetriskt gitter," sa Oleg Musin från University of Texas, Rio Grande Valley, som visade det optimala kysstalet i dimension fyra 2003. "Vad de föreslår är något annat."

Faktum är att deras bevis är det senaste i en rad nya sfärförpackningsresultat som bara var möjliga eftersom matematiker avvek från konventionella tillvägagångssätt. "Saker och ting stagnerade med kyssningsproblemet, men det var inte för att vi konvergerade på sanningen," sa Cohn. "Vi var bara fast." För att lossna, visade det sig, var de tvungna att bryta några outtalade regler.

Från koder till kyssar

Sedan mitten av 20-talet har matematiker förlitat sig på informationsteoris matematik och felkorrigering för att göra framsteg med problem relaterade till att arrangera sfärer.

En felkorrigerande kod låter dig skicka ett meddelande som är förståeligt för mottagaren även om delar av det blir förvrängt eller korrupt under överföringen. Koden består i huvudsak av en uppsättning "kodord" - en ordbok över möjliga meddelanden - som mottagaren kan använda som nyckel för att återställa det ursprungliga meddelandet. Dessa kodord måste väljas noggrant: De måste vara tillräckligt distinkta för att mottagaren ska veta vilket kodord som ska användas för att korrigera fel.

Anqi Li började arbeta med kyssningsproblemet medan hon studerade vid MIT. Hennes forskning ledde till spännande framsteg i flera fall av det.

Thea Rossman

Matematiker visualiserar ofta detta problem i termer av sfärer. Du kan tänka på varje kodord som en högdimensionell punkt i mitten av en sfär. Om ett felfyllt meddelande (när det representeras som en högdimensionell punkt) lever inuti en given sfär, vet du att kodordet i sfärens mitt var det avsedda meddelandet. Du vill inte att dessa sfärer ska överlappa varandra – annars kan ett mottaget meddelande tolkas på mer än ett sätt. Men sfärerna ska inte vara för långt ifrån varandra heller. Att packa sfärerna tätt innebär att du kan kommunicera mer effektivt.

Bättre koder har lett till bättre sfärförpackningar och vice versa. 1967, till exempel, använde matematikern John Leech en otroligt effektiv kod – känd för sin senare användning av NASA för att kommunicera med sina Voyager-sonder – för att konstruera ett gitter av punkter som nu bär hans namn. Femtio år senare bevisade Cohn och flera andra matematiker att du kan använda detta galler till packa sfärerna så tätt som möjligt in i ett 24-dimensionellt utrymme. Gallret ger också det bästa kyssarrangemanget: Varje sfär berör 196,560 XNUMX grannar. "Leech gittret är ett mirakel av matematik, hur saker passar ihop," sa Cohn.

Gittret gav också matematiker sina bästa uppskattningar av kyssande tal i dimensionerna 17 till 23. De tog helt enkelt skivor av gittret för att få lägre dimensioner, ungefär som du kan skära en 3D-sfär för att få en 2D-cirkel.

Men detta innebar också att Leech-gallret "kastade en enorm skugga" på kyssproblemet i dessa dimensioner, sa Cohn. Oavsett hur matematiker försökte, kunde de inte hitta en struktur som gav dem bättre uppskattningar - även om de misstänkte att det inte var rätt väg till en lösning att ta skivor av Leech-gallret.

Going Rogue

Li letade från början inte efter en ny väg när hon började arbeta med sitt projekt 2022. Först föreslog Cohn att hon skulle fokusera på kyssproblemet i dimensioner högre än 24. I dessa dimensioner, de nuvarande bästa uppskattningarna av kysstalen är mycket grövre. Att förbättra dem handlar ofta om att göra beräkningsmässiga framsteg snarare än att hitta ett kreativt nytt tillvägagångssätt. Cohn kände till andra studenter som redan hade gjort framsteg i sådana högre dimensionella fall med hjälp av datorbaserade metoder. Han trodde att Li kunde också.

Men hon tyckte att arbetet var frustrerande. "Jag hade den här hemska känslan av att mina händer var bundna," sa hon. "Det var omöjligt att föreställa sig." Så istället blev hon lite skurk.

Hon siktade in sig på dimensionerna 17 till 23. "Jag sa till henne att hon fortfarande kunde få ett A om hon undersökte möjliga förbättringar och ingenting fungerade”, mindes Cohn. Hade hon varit en av hans doktorander, skulle han ha ansträngt sig mer för att övertyga henne att arbeta med något annat. "Om de arbetar med något hopplöst, kommer det att vara dåligt för deras karriär," sa han.

Men resultatet av hennes ansträngningar, tillade han, "visade sig vara mycket mer spännande."

Hon började med att titta på dimension 16. Där kom det bästa kyssarrangemanget från "Barnes-Wall-gittret", som hade upptäckts på 1950-talet med hjälp av en elegant felkorrigerande kod. (Det visade sig också vara en bit av Leech-gallret, som inte skulle upptäckas på ett decennium till.)

Koden består av bara två olika typer av punkter, som var och en uppfyller ett visst mönster av koordinater.

Hur dessa punkter definieras leder till en egenhet: I Barnes-Wall-gittret (och alla högre dimensionella skivor av Leech-gittret) har den vanligaste typen av punkt, eller sfärcentrum, alltid ett jämnt antal minustecken i dess koordinater. Detta hjälper till att säkerställa att det finns tillräckligt med avstånd mellan punkterna och resulterar i en symmetrisk struktur som är särskilt lätt att arbeta med.

Men, tänkte Li, tänk om hon använde ett udda antal tecken i de punkterna istället? Om hon var försiktig skulle det inte nödvändigtvis leda till överlappande sfärer. Såvitt hon vet hade ingen brytt sig om att prova det tidigare. "Jag tror inte att någon av oss verkligen trodde att det spelade någon roll," sa Cohn. Men Li misstänkte att det fanns en chans att hon, genom att ändra några av punkterna i gittret på detta sätt, skulle kunna förvränga det precis tillräckligt för att rymma fler sfärer.

När hon byggde sin "udda" version av Barnes-Wall-gittret i dimension 16, gav det inget utrymme för extra sfärer, även om det inte gjorde något värre heller. Men när hon limmade ihop kopior av den till lager för att skapa en 17-dimensionell struktur, fanns det tydligt luckor där nya punkter kunde läggas till - hål där det, när hon beräknade avståndet till befintliga sfärer i strukturen, var tydligt att nya sfärer kunde passa. Först kunde hon inte tro det. Hon kände sig orolig, inte upprymd. "Jag minns att jag sa till mina vänner, jag är säker på att jag gjorde några grundläggande aritmetiska fel," sa hon.

Cohn skämde bort sin skepsis till en början - det är lätt att göra ett litet misstag i den här typen av beräkningar, särskilt när önsketänkande kan vara inblandat. Så de kontrollerade hennes nya arrangemang av poäng på en dator. Det fungerade: Alla sfärer passade rätt.

Den sommaren gick Li till jobbet med Cohn som praktikant på Microsoft Research, där paret noggrant förfinade de felkorrigerande koder de använde så att de kunde fortsätta lägga till kompatibla sfärer till Lis "udda" 17-dimensionella struktur. Till slut kunde de lägga till 384 nya sfärer till den Leech-baserade uppskattningen från 1967, vilket gav den nedre gränsen för kysstalet till 5,730 XNUMX.

De tillämpade sedan liknande tekniker för att förbättra kysstalet i dimensionerna 18 till 21. Men i dimensionerna 22 och 23 misslyckades deras strategi. Det verkade som om de hade uttömt sin skyltflicka.

Parets nya konfigurationer är troligen inte optimala. I dimension 17, till exempel, är den uppskattade övre gränsen 10,978 XNUMX; även om det anses vara en grov överskattning av den verkliga lösningen, tyder det på att det fortfarande finns betydande utrymme för att förbättra den nedre gränsen.

Men matematiker är mer intresserade av hur Cohn och Li uppnådde sina vinster. Deras nya strukturer ser väldigt annorlunda ut än de mycket symmetriska som inspirerats av Leech-gallret. De kodbaserade metoderna de använde för att lägga till sfärer gav dem mer oregelbundna konfigurationer - något helt nytt.

Ett nytt sätt framåt

Det är inte klart varför byte av skyltar skapar tillräckligt med utrymme för fler sfärer. Det bara gör det. "Jag är fortfarande nervös över det nu," sa Cohn. Men arbetet visar hur en "till synes obetydlig förändring öppnar eller stänger av möjligheten", tillade han. Det avslöjar, i den meningen, hur lite matematiker faktiskt vet om kyssproblemet.

När man bygger nya felkorrigerande koder och sfärförpackningar förlitar sig matematiker i allmänhet på symmetri. Det var vad Leech gjorde. Detta gör byggprocessen enklare, mer intuitiv. Men det kan också stänga av möjligheter, vilket gör det svårt att se bortom en vacker lösning till andra strukturer - sådana som kan ha mer oordning eller involvera mindre intuitiva former av symmetri. "Kanske vi inte kommer nära sanningen eftersom den helt enkelt inte har en mänskligt tillgänglig beskrivning," sa Cohn.

Flera nya resultat stöder löftet om dessa mindre tillgängliga möjligheter. Under de senaste åren har matematiker kommit på smarta nya konstruktioner i dimensionerna 5, 10 och 11 genom att böja eller bryta de vanliga symmetrireglerna.

Cohn var särskilt förvånad över arbetet med Ferenc Szöllősi, en ungersk matematiker som avsiktligt började med ett suboptimalt arrangemang av sfärer i dimension fyra och byggde på det för att matcha den bästa befintliga uppskattningen i dimension fem. I decennier fanns det två strukturer som genererade den uppskattningen; de flesta matematiker trodde att det inte kunde finnas några andra. Plötsligt var här Szöllősi med en trea. "Det visade att du kunde bli överraskad", sa Cohn, som sedan blev inspirerad att arbeta med en annan av sina elever för att hitta en fjärde.

Varje ovanlig struktur de upptäcker ger dem "små tips och ledtrådar till vad sanningen kan vara", tillade han. "Kyssproblemet är fortfarande fullt av mysterier."

Relaterade artiklar

plats_img

Senaste artiklar

plats_img