Oktobra je načrtovana izstrelitev rakete Falcon Heavy iz Cape Canaveral na Floridi, ki bo nosila Nasino misijo Europa Clipper. 5 milijard dolarjev vredna misija je namenjena odkrivanju, ali Evropa, Jupitrova četrta največja luna, lahko podpira življenje. Toda ker je Evropa nenehno bombardirana z intenzivnim sevanjem, ki ga ustvarja Jupitrovo magnetno polje, vesoljsko plovilo Clipper ne more krožiti okoli same lune. Namesto tega bo zdrsnil v ekscentrično orbito okoli Jupitra in zbiral podatke tako, da bo večkrat zanihal ob Evropi – skupaj 53-krat – preden se bo umaknil pred najhujšim sevanjem. Vsakič, ko vesoljsko plovilo obkroži Jupiter, bo njegova pot nekoliko drugačna, kar bo zagotovilo, da bo lahko fotografiralo in zbiralo podatke od polov Evrope do njenega ekvatorja.

Za načrtovanje zapletenih tur, kot je ta, načrtovalci poti uporabljajo računalniške modele, ki natančno izračunajo pot korak za korakom. Načrtovanje upošteva na stotine zahtev misije, podkrepljeno pa je z desetletji matematičnih raziskav o orbitah in o tem, kako jih združiti v zapletena potovanja. Matematiki zdaj razvijajo orodja, za katera upajo, da jih bo mogoče uporabiti za ustvarjanje bolj sistematičnega razumevanja, kako so orbite povezane ena z drugo.

»Kar imamo, so prejšnji izračuni, ki smo jih opravili, ki nas vodijo pri trenutnih izračunih. Vendar to ni popolna slika vseh možnosti, ki jih imamo,« je dejal Daniel Scheeres, vesoljski inženir na univerzi Colorado, Boulder.

"Mislim, da je bila to moja največja frustracija, ko sem bil študent," je dejal Dayung Koh, inženir v Nasinem Laboratoriju za reaktivni pogon. "Vem, da so te orbite tam, vendar ne vem, zakaj." Glede na stroške in zapletenost misij na luni Jupitra in Saturna je težava nevedenje, zakaj so orbite tam, kjer so. Kaj pa, če obstaja popolnoma druga orbita, ki bi lahko opravila delo z manj sredstvi? Kot je rekel Koh: »Sem jih vse našel? Ali jih je več? Tega ne morem povedati.”

Ko je leta 2016 doktorirala na Univerzi v Južni Kaliforniji, se je Koh začela zanimati, kako je mogoče orbite katalogizirati v družine. Jovianove orbite, ki so daleč od Evrope, tvorijo takšno družino; tako tudi orbite blizu Evrope. Toda druge družine so manj očitne. Na primer, za kateri koli dve telesi, kot sta Jupiter in Evropa, obstaja vmesna točka, kjer se gravitacijski učinki obeh teles uravnovesijo in ustvarijo stabilne točke. Vesoljska plovila lahko krožijo okoli te točke, čeprav v središču orbite ni ničesar. Te orbite tvorijo družino, imenovano orbite Ljapunova. Dodajte malo energije v takšno orbito z vžigom motorja vesoljskega plovila in sprva boste ostali v isti družini. Toda dodajte dovolj in prestopili boste v drugo družino - recimo tisto, ki vključuje Jupiter v svojih orbitah. Nekatere orbitalne družine morda potrebujejo manj goriva kot druge, ostanejo ves čas na sončni svetlobi ali imajo druge uporabne funkcije.

Leta 2021 je Koh naletel na članek, ki je razpravljal o tem, kako se spoprijeti s kaotičnimi orbitami z vidika simplektične geometrije, abstraktnega področja matematike, ki je na splošno daleč stran od neurejenih podrobnosti iz resničnega sveta. Začela je sumiti, da ima lahko simplektična geometrija orodja, ki jih potrebuje za boljše razumevanje orbit, in stopila je v stik z Agustin Moreno, avtorica prispevka. Moreno, takrat podoktorski sodelavec na Univerzi Uppsala na Švedskem, je bil presenečen in vesel, ko je slišal, da se nekdo v Nasi zanima za njegovo delo. "Bilo je nepričakovano, vendar je bilo tudi precej zanimivo in hkrati nekako motivirajoče," je dejal.

Začela sta sodelovati in si prizadevala uporabiti Morenove abstraktne tehnike za sistem Jupiter-Evropa ter za Saturn in njegovo luno Enceladus, ki bi tako kot Evropa morda imela življenje v svojem podzemnem oceanu. V preteklem letu sta skupaj z drugimi sodelavci napisala vrsto prispevkov, ki ustvarite okvir za kataloške orbite. Januarja je Moreno, zdaj profesor na univerzi v Heidelbergu, dokončal zgodnji osnutek, ki je njegovo anketno nalogo spremenil v knjiga na to temo. S knjigo želi narediti abstraktno področje simplektične geometrije uporabno za inženirje, ki poskušajo načrtovati vesoljske misije. Če mu bo uspelo, bo ponovno združil področja raziskovanja, ki so se skozi stoletja razhajala.

Ni kraljeve poti do geometrije

Simplektična geometrija ima svoje korenine v fiziki. Za preprost primer si predstavljajte nihalo. Njegovo gibanje lahko opišemo z dvema parametroma: kotom in hitrostjo. Če je hitrost dovolj nizka, bo nihalo nihalo naprej in nazaj. Če je hitrost višja, se vrti v krogu. V idealiziranem nihalu brez trenja, ko izberete začetni kot in hitrost, je obnašanje sistema določeno za ves čas.

Ustvarite lahko graf s kotom kot x-os in hitrost kot y-os. Ker pa vas potovanje za 360 stopinj pripelje nazaj na začetek, lahko sešijete navpične črte, kjer x je nič stopinj in kje x je 360 ​​stopinj. To naredi valj. Valj ne odraža neposredno fizične realnosti - ne prikazuje poti, ki jih sledi nihalu - temveč vsaka točka na njem predstavlja določeno stanje nihala. Cilinder skupaj z zakoni, ki določajo poti, ki jim lahko sledi nihalo, tvori simplektični prostor.

Od začetka 17. stoletja, ko je Johannes Kepler oblikoval svoje zakone, so fiziki in matematiki trdno razumeli, kako opisati gibanje dveh teles, ki sta podvrženi gravitaciji. Glede na to, kako hitro se gibljejo, njihove poti tvorijo elipso, parabolo ali hiperbolo. Ustrezni simplektični prostori so bolj zapleteni kot prostori za nihalo, vendar še vedno sledljivi. Toda uvedba tretjega predmeta onemogoča izračun natančnih analitičnih rešitev. In še bolj se zaplete, če modelu dodaš več teles. "Brez tega analitičnega vpogleda skoraj vedno, na neki ravni, streljaš v temo," je dejal Scheeres.

Vesoljsko plovilo, ki se lahko prosto giblje v kateri koli smeri - od desne proti levi, gor in dol ter od spredaj nazaj - potrebuje tri koordinate za opis svojega položaja in tri dodatne za opis njegove hitrosti. To naredi šestdimenzionalni simplektični prostor. Za opis gibanja treh teles, kot so Jupiter, Evropa in vesoljsko plovilo, potrebujete 18 dimenzij: šest na telo. Geometrija prostora ni opredeljena le s številom dimenzij, ki jih ima, temveč tudi s krivuljami, ki kažejo, kako se fizični sistem, ki ga opisujemo, razvija skozi čas.

Moreno in Koh sta delala na "omejeni" različici problema treh teles, kjer je eno od teles (vesoljsko plovilo) tako majhno, da nima vpliva na drugi dve (Jupiter in Evropa). Da bi stvari še poenostavili, so raziskovalci domnevali, da je lunina orbita popolnoma krožna. Njegovo krožno orbito lahko vzamete kot stabilno ozadje, na katerem lahko upoštevate pot vesoljske sonde. Simplektični prostor mora upoštevati samo položaj in hitrost vesoljskega plovila, saj je gibanje Jupitra in Evrope mogoče zlahka opisati. Namesto da bi bil 18-dimenzionalen, je ustrezen simplektični prostor šestdimenzionalen. Ko pot v tem šestdimenzionalnem prostoru tvori zanko, predstavlja periodično orbito vesoljskega plovila skozi sistem planet-luna.

Ko je Koh stopila v stik z Moreno, so jo zanimali primeri, ko dodajanje le majhne količine energije povzroči, da orbita vesoljskega plovila preskoči iz ene družine v drugo. Te stične točke med družinami orbit imenujemo bifurkacijske točke. Pogosto se veliko družin sreča na eni točki. Zaradi tega so še posebej uporabni za načrtovalce poti. "Razumevanje bifurkacijske strukture vam daje načrt, kje so zanimive trajektorije, ki bi jih morali pogledati," je dejal Scheeres. Koh je želel vedeti, kako prepoznati in predvideti bifurkacijske točke.

Po zaslišanju s Kohom je Moreno vključil nekaj drugih geometrov: Urs Frauenfelder Univerze v Augsburgu, Cengiz Aydin Univerze v Heidelbergu in Otto van Koert Nacionalne univerze v Seulu. Frauenfelder in van Koert sta dolgo preučevala problem treh teles z uporabo simplektične geometrije, celo razkritje potencialno novo družino orbit. Čeprav so inženirji, ki načrtujejo misije vesoljskih plovil, uporabili nešteto matematičnih orodij, jih je v zadnjih desetletjih prestrašila vse večja abstrakcija simplektične geometrije.

V naslednjih mesecih so inženir in štirje matematiki počasi spoznavali področja drug drugega. "Ko opravljaš interdisciplinarno delo, traja nekaj časa, da recimo premagaš jezikovne ovire," je dejal Moreno. "Toda ko opravite potrpežljivo delo, se začne obrestovati."

Zbirka orodij

Ekipa je sestavila številna orodja, za katera upajo, da bodo koristna načrtovalcem misij. Eno od orodij je število, imenovano Conley-Zehnderjev indeks, ki lahko pomaga ugotoviti, kdaj dve orbiti pripadata isti družini. Da bi ga izračunali, raziskovalci pregledajo točke, ki so blizu - vendar ne na - orbiti, ki jo želijo preučiti. Predstavljajte si na primer, da vesoljsko plovilo sledi eliptični orbiti okoli Jupitra, na katero vpliva gravitacija iz Evrope. Če ga potisnete s poti, bo njegova nova tirnica posnemala prvotno orbito, a le grobo. Nova pot se bo spirala okoli prvotne orbite in se vrnila na nekoliko drugačno točko, ko bo obkrožila Jupiter. Conley-Zehnderjev indeks je merilo za to, koliko se spiralizira.

Presenetljivo je, da Conley-Zehnderjev indeks ni odvisen od posebnosti, kako potisnete vesoljsko plovilo - to je številka, povezana s celotno orbito. Še več, enako je za vse orbite v isti družini. Če izračunate Conley-Zehnderjev indeks za dve orbiti in dobite dve različni številki, ste lahko prepričani, da sta orbiti iz različnih družin.

Drugo orodje, imenovano Floerjeva številka, lahko namiguje na neodkrite družine orbit. Recimo, da več družin trči na točki bifurkacije, ko energija doseže določeno število, in več družin se odcepi od te točke bifurkacije, ko je energija višja. To tvori mrežo družin, katerih osrednje središče je bifurkacija.

Floerjevo število, povezano s to bifurkacijsko točko, lahko izračunate kot preprosto funkcijo Conley-Zehnderjevih indeksov, povezanih z vsako ustrezno družino. To funkcijo lahko izračunate tako za vse družine, ki imajo energijo le malo manjšo od točke bifurkacije, kot za družine, katerih energija je večja. Če se Floerjevi številki razlikujeta, je to namig, da obstajajo skrite družine, povezane z vašo bifurkacijsko točko.

"Kar počnemo, je zagotavljanje orodij, s katerimi inženirji testirajo svoje algoritme," je dejal Moreno. Nova orodja so v prvi vrsti zasnovana tako, da pomagajo inženirjem razumeti, kako se družine orbit ujemajo, in jih spodbujajo k iskanju novih družin, kjer je to upravičeno; ni mišljeno kot nadomestilo za tehnike iskanja poti, ki so bile izpopolnjene v desetletjih.

Leta 2023 je Moreno delo predstavil na konferenci, ki jo je organiziral “Odbor za mehaniko vesoljskih poletov,« in bil je v stiku z inženirji, ki raziskujejo vesoljske trajektorije, vključno z nekaterimi v JPL in Scheeresovem laboratoriju v Boulderju. Scheeres je pozdravil prepletanje polj: že dolgo je vedel za simplektični pristop k gibanju planetov, vendar je matematično čutil iz svojih globin. "Bilo je res vznemirljivo videti matematike, ki poskušajo prenesti svoje strokovno znanje na inženirsko plat," je dejal. Scheeresova skupina zdaj dela na bolj zapletenem sistemu, ki vključuje štiri telesa.

Ed Belbruno, svetovalec za načrtovanje poti (in nekdanji orbitalni analitik JPL), ki je delal s Frauenfelderjem, opozarja, da aplikacije niso neposredne. "Čeprav lahko matematična tehnika, kot je simplektična geometrija, ustvari trajektorije, ki so res kul, in jih dobite cel kup, je morda tako zelo, zelo malo, če sploh, zadosti omejitvi", ki bi jo morda potrebovala prava misija , rekel je.

Čeprav so poti Clipperja že v veliki meri določene, se Moreno ozira na naslednji planet: Saturn. Svojo raziskavo je že predstavil načrtovalcem misije pri JPL, ki upajo, da bodo poslali vesoljsko plovilo na Saturnovo luno Enceladus. Moreno upa, da bo simplektična geometrija "postala del standardnega orodja za vesoljske misije."