Razpršite tri točke v ravnini, nato izmerite razdalje med vsakim parom. Po vsej verjetnosti boste našli tri različne razdalje. Če pa točke razporedite v enakostranični trikotnik, potem je vsaka razdalja enaka. V ravnini je to s štirimi točkami nemogoče narediti. Najmanjše število razdalj, ki jih lahko izračunate, je 2 — robovi in ​​diagonale kvadrata.

Toda če dvignete eno od točk navzgor nad ravnino, da ustvarite piramido, katere vsaka stranica je enakostranični trikotnik, boste imeli niz štirih točk, ki so ločene z eno samo razdaljo – dolžino ene strani trikotnik.

Če imate veliko točk, postanejo ti vzorci še bolj izraziti. Sto naključno razpršenih točk v ravnini bo verjetno določilo 4,950 različnih razdalj v paru. Toda če razporedite 100 točk v ravno kvadratno mrežo, bo vsak par točk ločen z eno od samo 50 možnih razdalj. Dvignite točke v tridimenzionalno mrežo in to število lahko še zmanjšate.

Odgovarjanje na vprašanja o številu razdalj med točkami se morda sliši kot ezoterična vaja. Toda v desetletjih dolgem iskanju reševanja takšnih problemov so matematiki razvili orodja, ki imajo širok nabor drugih aplikacij, od teorije števil do fizike.

"Ko so ljudje poskušali rešiti problem," je rekel Pablo Šmerkin Univerze British Columbia, "so začeli odkrivati ​​povezave, ki so bile presenetljive in nepričakovane."

Najnovejši razvoj je prišel konec lanskega leta, ko je prišlo do sodelovanja štirih matematikov dokazal novo razmerje med geometrijo množic točk in razdaljami med njimi.

Seznam različnih razdalj, določenih z nizom točk, imenujemo njegov niz razdalj; preštejte, koliko števil je na tem seznamu, in dobili boste velikost nabora razdalj. Leta 1946 je plodoviti matematik Paul Erdős domneval, da za veliko število točk nastavljena razdalja ne more biti manjša od tiste, ki jo dobite, ko točke razporedite v mrežo. Problem, čeprav na prvi pogled preprost, se je izkazal za izjemno globokega in težkega. Tudi v dveh dimenzijah še vedno ni povsem dokazano, čeprav sta leta 2010 dva matematika tako blizu da se zdaj šteje za dejansko poravnano; ostaja odprta v višjih dimenzijah.

Matematiki so medtem oblikovali tudi nove različice domneve. Ena najpomembnejših med njimi je nastala v a Papir 1985 by Kenneth Falconer, matematik na Univerzi St. Andrews na Škotskem. Falconer se je spraševal, kaj lahko rečemo o različnih razdaljah med neskončnim številom točk.

Če imate neskončno veliko točk, preprosto štetje ni več zelo koristno. Toda matematiki imajo druge načine za definiranje velikosti. Falconerjeva domneva predpostavlja razmerje med geometrijo množice točk — označeno s številom, imenovanim fraktalna dimenzija — in velikostjo niza razdalj, označeno s številom, imenovanim mera.

Fraktalna dimenzija se ujema z običajno intuicijo o dimenzijah. Tako kot pri bolj znanem konceptu dimenzije ima segment črte fraktalno dimenzijo 1, medtem ko ima kvadrat (z zapolnjeno notranjostjo) fraktalno dimenzijo 2. Toda če zbirka točk tvori bolj zapleten fraktalni vzorec — kot krivulja, kjer se mikroskopski zasuki pojavljajo ne glede na to, kako daleč približate — njegova fraktalna dimenzija morda ni celo število. Na primer, spodaj prikazana Kochova krivulja snežinke, ki ima neskončno vrsto vedno manjših trikotnih izboklin, ima dimenzijo približno 1.26.

Na splošno ima neskončna zbirka točk fraktalno dimenzijo, ki je v grobem odvisna od tega, kako razpršena je. Če je razpršen po ravnini, bo njegova fraktalna dimenzija blizu 2. Če je videti bolj kot črta, bo njena fraktalna dimenzija blizu 1. Enake vrste struktur je mogoče definirati za nize točk v tridimenzionalnem prostoru , ali še v višjih dimenzijah.

Na drugi strani Falconerjeve domneve je mera množice razdalj. Mera je neke vrste matematična posplošitev pojma dolžine. Posamezno število, ki ga lahko predstavimo kot točko na številski premici, ima ničelno mero. Toda tudi neskončne množice imajo lahko ničelno mero. Na primer, cela števila so tako redko razpršena med realnimi števili, da nimajo skupne "dolžine" in tako tvorijo niz mere nič. Po drugi strani pa imajo realna števila med, na primer, 3/4 in 1 mero 1/4, ker je tako dolg interval.

Mera daje način za karakterizacijo velikosti niza različnih razdalj med neskončno številnimi točkami. Če je število razdalj "majhno", to pomeni, da bo nabor razdalj imel mero nič: obstaja veliko podvojenih razdalj. Če pa ima nabor razdalj mero, ki je večja od nič, to pomeni, da obstaja veliko različnih razdalj.

V dveh dimenzijah je Falconer dokazal, da ima vsaka množica točk s fraktalno dimenzijo, večjo od 1.5, razdaljo, ki ni ničelna. Toda matematiki so hitro prišli do prepričanja, da to velja za vse množice s fraktalno dimenzijo, večjo od 1. »Poskušamo razrešiti to vrzel 1/2,« je rekel Yumeng Ou z Univerze v Pensilvaniji, eden od soavtorjev novega prispevka. Poleg tega se Falconerjeva domneva razširi na tri ali več dimenzij: za točke, razpršene v d-dimenzionalni prostor, navaja, da če je fraktalna dimenzija točk večja od d/2, potem mora biti mera nastavljene razdalje večja od 0.

Leta 2018 je Ou skupaj s sodelavci je pokazala, da je domneva velja v dveh dimenzijah za vse množice s fraktalno dimenzijo večjo od 5/4. Zdaj Ou — skupaj z Xiumin Du Northwestern University, Ruixiang Zhang Univerze v Kaliforniji, Berkeley, in Kevin Ren Univerze Princeton - so dokazali, da je v višjih dimenzijah prag za zagotavljanje razdalje, nastavljen z neničelno mero, malo manjši od d/2 + 1/4. "Meje v višjih dimenzijah so v tem dokumentu prvič doslej boljše kot v dimenziji 2," je dejal Shmerkin. (V dveh dimenzijah je prag natančno d/2 + 1/4.)

Ta najnovejši rezultat je le eden izmed val nedavnega napredka on Falconerjeva domneva. Dokaz je izpopolnil tehnike v harmonični analizi – na videz oddaljenem področju matematike, ki se ukvarja s predstavljanjem poljubno zapletenih funkcij v smislu preprostih valov – za okrepitev meje. Toda nekatere od teh tehnik so bile najprej razvite za reševanje te iste težave.

To vprašanje o razdaljah med točkami "je služilo kot igrišče za nekatere največje zamisli v harmonični analizi," je dejal Alex Iosevič Univerze v Rochesterju.

Čeprav so zapolnili le polovico vrzeli, ki jo je pustil Falconer v svojem dokumentu iz leta 1985, matematiki vidijo nedavni val dela kot dokaz, da je popolna domneva morda končno dosegljiva. Medtem bodo težavo še naprej uporabljali kot poligon za svoja najbolj izpopolnjena orodja.