Бросьте кубик льда в стакан с водой. Вы, наверное, можете себе представить, как он начинает таять. Вы также знаете, что какую бы форму он ни принял, вы никогда не увидите, чтобы он превратился во что-то вроде снежинки, состоящей повсюду из острых краев и мелких выступов.

Математики моделируют этот процесс плавления с помощью уравнений. Уравнения работают хорошо, но потребовалось 130 лет, чтобы доказать, что они соответствуют очевидным фактам о реальности. Теперь в газета опубликована в марте, Алессио Фигалли и Хоаким Серра Швейцарского федерального технологического института Цюриха и Ксавье Рос-Отон из Университета Барселоны установили, что уравнения действительно соответствуют интуиции. Снежинки в модели не могут быть невозможными, но они крайне редки и совершенно мимолетны.

«Эти результаты открывают новую перспективу в этой области», - сказал Мария Коломбо Швейцарского федерального технологического института в Лозанне. «Раньше не было такого глубокого и точного понимания этого явления».

Вопрос о том, как лед тает в воде, называется проблемой Стефана в честь физика Йозефа Стефана, который поставленный это в 1889 году. Это наиболее важный пример задачи о «свободной границе», где математики рассматривают, как процесс, подобный диффузии тепла, заставляет границу двигаться. В этом случае граница проходит между льдом и водой.

В течение многих лет математики пытались понять сложные модели этих эволюционирующих границ. Чтобы добиться прогресса, новая работа черпает вдохновение из предыдущих исследований другого типа физической системы: мыльных пленок. Он основан на них, чтобы доказать, что вдоль развивающейся границы между льдом и водой острые точки, такие как бугорки или края, редко образуются, и даже когда они появляются, они немедленно исчезают.

Эти острые точки называются сингулярностями, и оказывается, что они столь же эфемерны в свободных границах математики, как и в физическом мире.

Тающие песочные часы

Снова рассмотрим кубик льда в стакане воды. Эти два вещества состоят из одних и тех же молекул воды, но вода находится в двух разных фазах: твердой и жидкой. Граница существует там, где встречаются две фазы. Но когда тепло от воды переходит в лед, лед тает и граница перемещается. В конце концов лед - и граница вместе с ним - исчезают.

Интуиция может сказать нам, что эта граница плавления всегда остается гладкой. Ведь вы не порежетесь об острые края, когда вытащите кусок льда из стакана воды. Но проявив немного воображения, легко придумать сценарии, в которых появляются острые пятна.

Возьмите кусок льда в форме песочных часов и погрузите его в воду. По мере таяния льда пояс песочных часов становится все тоньше и тоньше, пока жидкость полностью не съедает. В тот момент, когда это происходит, то, что когда-то было гладкой талией, становится двумя заостренными выступами или сингулярностями.

«Это одна из тех проблем, в которых естественным образом проявляются особенности», - сказал Джузеппе Минджоне Пармского университета. «Об этом говорит физическая реальность.

Однако реальность также говорит нам, что сингулярности находятся под контролем. Мы знаем, что бугорки не должны длиться долго, потому что теплая вода должна быстро их растопить. Возможно, если вы начали с огромного ледяного блока, целиком состоящего из песочных часов, могла бы образоваться снежинка. Но это все равно длилось не больше секунды.

В 1889 году Стефан подверг проблему математическому анализу, составив два уравнения, описывающих тающий лед. Один описывает диффузию тепла из теплой воды в холодный лед, который сжимает лед, вызывая расширение области воды. Второе уравнение отслеживает изменение границы раздела между льдом и водой в процессе таяния. (Фактически, уравнения также могут описывать ситуацию, когда лед настолько холоден, что вызывает замерзание окружающей воды - но в настоящей работе исследователи игнорируют эту возможность.)

«Важно понять, где две фазы решают перейти с одной на другую», - сказал Коломбо.

Прошло почти 100 лет, прежде чем в 1970-х годах математики доказали, что эти уравнения имеют прочную основу. Учитывая некоторые начальные условия - описание начальной температуры воды и начальной формы льда - можно запускать модель бесконечно, чтобы точно описать, как температура (или тесно связанная величина, называемая совокупной температурой) изменяется со временем.

Но они не нашли ничего, что могло бы помешать модели прийти к невероятно странным сценариям. Уравнения могут описывать границу ледяной воды, которая образует, например, лес из выступов, или острую снежинку, которая остается совершенно неподвижной. Другими словами, они не могли исключить возможность того, что модель может выдавать ерунду. Проблема Стефана превратилась в проблему демонстрации того, что особенности в этих ситуациях на самом деле хорошо контролируются.

В противном случае это означало бы, что модель таяния льда была впечатляющим провалом, который заставил поколения математиков поверить в то, что она более надежна, чем есть на самом деле.

Мыльное Вдохновение

За десять лет до того, как математики начали понимать уравнения таяния льда, они добились огромного прогресса в математике мыльных пленок.

Если окунуть два проволочных кольца в мыльный раствор, а затем разделить их, между ними образуется мыльная пленка. Поверхностное натяжение будет максимально натягивать пленку, придавая ей форму, называемую катеноидом - своего рода вдавленный цилиндр. Эта форма формируется, потому что она соединяет два кольца с наименьшей площадью поверхности, что делает ее примером того, что математики называют минимальная поверхность.

Мыльные пленки моделируются с помощью собственной уникальной системы уравнений. К 1960-м годам математики достигли прогресса в их понимании, но они не знали, насколько странными могут быть их решения. Как и в случае с проблемой Стефана, решения могут быть неприемлемо странными, описывая мыльные пленки с бесчисленными особенностями, которые не имеют ничего общего с гладкими пленками, которых мы ожидаем.

В 1961 и 1962 годах Эннио Де Джорджи, Венделл Флеминг и другие изобрели элегантный метод определения того, была ли ситуация с сингулярностями настолько плохой, как предполагалось.

Предположим, у вас есть решение уравнений мыльной пленки, которое описывает форму пленки между двумя граничными поверхностями, как набор двух колец. Сфокусируйтесь на произвольной точке на поверхности пленки. Как выглядит геометрия около этой точки? Прежде чем мы узнаем что-либо об этом, у него может быть любая особенность, которую только можно вообразить - от острого выступа до гладкого холма. Математики изобрели метод увеличения точки, как если бы у них был микроскоп с бесконечной мощностью. Они доказали, что при увеличении масштаба все, что вы видите, - это плоская плоскость.

"Всегда. Вот и все, - сказал Рос-Отон.

Эта плоскостность означала, что геометрия вблизи этой точки не могла быть сингулярной. Если бы точка была расположена на острие, математики увидели бы нечто большее, чем клин, а не плоскость. А поскольку они выбрали точку случайным образом, они могли сделать вывод, что все точки на пленке должны выглядеть как гладкая плоскость, когда вы смотрите на них с близкого расстояния. Их работа установила, что весь фильм должен быть гладким - без особенностей.

Математики хотели использовать те же методы для решения проблемы Стефана, но вскоре они поняли, что со льдом все не так просто. В отличие от мыльных пленок, которые всегда выглядят гладкими, тающий лед действительно демонстрирует особенности. И пока мыльная пленка остается на месте, линия между льдом и водой всегда находится в движении. Это создало дополнительную проблему, которую позже решит другой математик.

От фильмов до льда

В 1977 году Луис Каффарелли заново изобрел математическую лупу для решения проблемы Стефана. Вместо того, чтобы увеличивать мыльную пленку, он придумал, как увеличить масштаб границы между льдом и водой.

«Это была его великая интуиция», - сказал Мингионе. «Он смог перенести эти методы из теории минимальных поверхностей де Джорджи в более общую ситуацию».

Когда математики приблизились к решениям уравнений мыльной пленки, они увидели только плоскостность. Но когда Каффарелли увеличивал изображение замерзшей границы между льдом и водой, он иногда видел нечто совершенно иное: замороженные пятна, почти полностью окруженные более теплой водой. Эти точки соответствовали ледяным куспидам - ​​сингулярностям, которые становились затруднительными из-за отступления границы плавления.

Каффарелли доказал, что в математике таяния льда существуют особенности. Он также разработал способ оценки их количества. В точном месте ледяной сингулярности температура всегда равна нулю градусов по Цельсию, потому что сингулярность сделана изо льда. Это простой факт. Но примечательно то, что Каффарелли обнаружил, что по мере удаления от сингулярности температура увеличивается по четкой схеме: если вы переместитесь на одну единицу расстояния от сингулярности в воду, температура повысится примерно на одну единицу температуры. Если отодвинуть две единицы, температура повысится примерно на четыре.

Это называется параболической зависимостью, потому что если вы построите график температуры как функции расстояния, вы получите примерно форму параболы. Но поскольку пространство трехмерно, вы можете изобразить температуру в трех разных направлениях, ведущих от сингулярности, а не только в одном. Таким образом, температура выглядит как трехмерная парабола, форма, называемая параболоидом.

В целом понимание Каффарелли дало ясный способ оценить особенности вдоль границы ледяной воды. Сингулярности определяются как точки, в которых температура равна нулю градусов Цельсия, а параболоиды описывают температуру в сингулярности и вокруг нее. Следовательно, везде, где параболоид равен нулю, есть сингулярность.

Так сколько же мест, где параболоид может равняться нулю? Представьте себе параболоид, состоящий из последовательности парабол, уложенных бок о бок. Подобные параболоиды могут принимать минимальное значение - нулевое значение - по всей линии. Это означает, что каждая из особенностей, наблюдаемых Каффарелли, может быть размером с линию, бесконечно тонкую ледяную кромку, а не просто одну ледяную точку. А поскольку многие линии могут быть соединены вместе, чтобы сформировать поверхность, его работа оставила открытой возможность того, что набор сингулярностей может заполнить всю граничную поверхность. Если бы это было правдой, это означало бы, что особенности в проблеме Стефана полностью вышли из-под контроля.

«Это было бы катастрофой для модели. Полный хаос », - сказал Фигалли, который выиграл медаль Филдса, высшая награда в области математики в 2018 году.

Однако результат Каффарелли был лишь наихудшим сценарием. Он установил максимальный размер потенциальных сингулярностей, но ничего не сказал о том, как часто сингулярности на самом деле встречаются в уравнениях или как долго они сохраняются. К 2019 году Фигалли, Рос-Отон и Серра придумали замечательный способ узнать больше.

Несовершенные узоры

Чтобы решить проблему Стефана, Фигалли, Рос-Отон и Серра нужно было доказать, что особенности, которые возникают в уравнениях, находятся под контролем: их не так много, и они недолговечны. Для этого им требовалось всестороннее понимание всех возможных типов сингулярностей.

Каффарелли продвинулся в понимании того, как возникают сингулярности по мере таяния льда, но в этом процессе была особенность, которую он не знал, как исправить. Он понял, что температура воды вокруг сингулярности соответствует параболоидному паттерну. Он также признал, что это не совсем точно соответствует этой схеме - есть небольшое отклонение между идеальным параболоидом и фактической температурой воды.

Фигалли, Рос-Отон и Серра переместили микроскоп на это отклонение от параболоидной картины. Когда они увеличили масштаб этого маленького несовершенства - шепота прохлады, разлетающегося от границы, - они обнаружили, что у него есть свои собственные типы паттернов, которые порождают различные типы сингулярностей.

«Они выходят за рамки параболического масштабирования», - сказал Сандро Сальса Политехнического университета Милана. «Что потрясающе».

Им удалось показать, что все эти новые типы сингулярностей быстро исчезли - так же, как и в природе, - за исключением двух, которые были особенно загадочными. Их последней задачей было доказать, что эти два типа также исчезают, как только появляются, исключая возможность того, что что-то вроде снежинки может выстоять.

Исчезающие куспиды

Первый тип сингулярности возник раньше, в 2000 году. Математик по имени Фредерик Альмгрен исследовал ее в устрашающей статье на 1,000 страниц о мыльных фильмах, которую опубликовала только его жена Джин Тейлор, еще один эксперт по мыльным фильмам, после Он умер.

В то время как математики показали, что мыльные пленки всегда гладкие в трех измерениях, Альмгрен доказал, что в четырех измерениях может появиться новый вид «ветвящейся» сингулярности, что делает мыльные пленки странным образом острыми. Эти особенности являются глубоко абстрактными, и их невозможно четко визуализировать. Тем не менее Фигалли, Рос-Отон и Серра осознали, что очень похожие сингулярности образуются вдоль границы таяния льда и воды.

«Связь немного загадочная, - сказал Серра. «Иногда в математике все развивается неожиданным образом».

Они использовали работу Альмгрена, чтобы показать, что лед вокруг одной из этих ветвящихся сингулярностей должен иметь конический узор, который выглядит так же, как и при увеличении масштаба. И в отличие от параболоидного узора для температуры, который подразумевает, что сингулярность может существовать вдоль всей линии. , конический узор может иметь резкую особенность только в одной точке. Используя этот факт, они показали, что эти особенности изолированы в пространстве и времени. Как только они образуются, они исчезают.

Второй вид сингулярности был еще более загадочным. Чтобы понять это, представьте, что вы погружаете тонкий ледяной покров в воду. Он будет сжиматься и сжиматься, а потом внезапно исчезнет. Но как раз перед этим моментом он сформирует сингулярность, похожую на лист, двумерную стену, острую, как бритва.

В определенные моменты исследователям удалось увеличить масштаб, чтобы найти аналогичный сценарий: два фронта льда обрушиваются к точке, как если бы они находились внутри тонкого слоя льда. Эти точки не были точными сингулярностями, это были места, где должна была образоваться сингулярность. Вопрос заключался в том, рухнули ли два фронта около этих точек одновременно. Если бы это произошло, сингулярность, похожая на лист, образовалась бы всего на один идеальный момент, прежде чем исчезнет. В конце концов, они доказали, что именно так сценарий разыгрывается в уравнениях.

«Это как-то подтверждает интуицию», - сказал он. Даниэла Де Сильва Барнард-колледжа.

Показав, что экзотические ветвления и листовые особенности встречаются редко, исследователи смогли сделать общее утверждение, что все особенности для проблемы Стефана редки.

«Если вы выберете время случайным образом, то вероятность увидеть особую точку будет равна нулю», - сказал Рос-Отон.

Математики говорят, что на усвоение технических деталей работы потребуется время. Но они уверены, что результаты заложат основу для продвижения по множеству других проблем. Задача Стефана - это основополагающий пример целого подполя математики, в котором меняются границы. Но что касается самой проблемы Стефана и математики того, как кубики льда тают в воде?

«Это закрыто», - сказала Сальса.