Распределите три точки на плоскости, затем измерьте расстояния между каждой парой из них. По всей вероятности, вы найдете три разных расстояния. Но если расположить точки в равностороннем треугольнике, то все расстояния будут одинаковыми. В плоскости это невозможно сделать с четырьмя точками. Наименьшее количество расстояний, которые вы можете сконструировать, равно 2 — краям и диагоналям квадрата.

Но если вы поднимете одну из точек над плоскостью и создадите пирамиду, каждая сторона которой представляет собой равносторонний треугольник, вы получите набор из четырех точек, разделенных единственным уникальным расстоянием — длиной одной стороны. треугольник.

Если у вас много очков, эти закономерности становятся еще более выраженными. Сотня случайно разбросанных точек на плоскости, вероятно, определит 4,950 различных парных расстояний. Но если вы расположите 100 точек в плоской квадратной сетке, любая пара точек будет разделена одним из 50 возможных расстояний. Поднимите точки в трехмерную сетку, и вы сможете еще больше уменьшить это число.

Ответы на вопросы о количестве расстояний между точками могут показаться эзотерическим упражнением. Но в течение десятилетий поисков решения таких проблем математики разработали инструменты, которые имеют широкий спектр других приложений — от теории чисел до физики.

«Когда люди пытались решить проблему», — сказал Пабло Шмеркин из Университета Британской Колумбии «они начали обнаруживать удивительные и неожиданные связи».

Последнее событие произошло в конце прошлого года, когда совместная работа четырех математиков доказал новые отношения между геометрией множества точек и расстояниями между ними.

Список различных расстояний, определяемый набором точек, называется его набором расстояний; посчитайте, сколько чисел в этом списке, и вы получите размер набора расстояний. В 1946 году выдающийся математик Пол Эрдеш предположил, что для большого количества точек заданное расстояние не может быть меньше того, которое вы получаете, располагая точки в сетке. Проблема, хотя и простая на первый взгляд, оказалась чрезвычайно глубокой и сложной. Даже в двух измерениях это до сих пор не до конца доказано, хотя в 2010 году два математика подошёл так близко что теперь этот вопрос считается фактически решенным; он остается открытым в более высоких измерениях.

Тем временем математики сформулировали и новые версии гипотезы. Один из наиболее важных из них возник в 1985 бумага by Кеннет Фалконер, математик из Университета Сент-Эндрюс в Шотландии. Фальконер задался вопросом, что можно сказать о различных расстояниях между бесконечным числом точек.

Если у вас бесконечно много очков, простой подсчет уже не очень полезен. Но у математиков есть другие способы определения размера. Гипотеза Фальконера постулирует связь между геометрией множества точек, характеризуемой числом, называемым фрактальной размерностью, и размером множества расстояний, характеризуемым числом, называемым мерой.

Фрактальное измерение соответствует обычным представлениям о измерениях. Как и в случае с более знакомым понятием измерения, отрезок линии имеет фрактальную размерность 1, а квадрат (с заполненной внутренней частью) имеет фрактальную размерность 2. Но если набор точек образует более сложный фрактальный узор — как кривая, на которой продолжают появляться микроскопические изгибы и повороты, независимо от того, насколько сильно вы увеличиваете масштаб — ее фрактальное измерение может не быть целым числом. Например, показанная ниже кривая снежинки Коха, имеющая бесконечную серию все меньших треугольных выступов, имеет размерность около 1.26.

В общем, бесконечная совокупность точек имеет фрактальную размерность, которая примерно зависит от того, насколько она рассредоточена. Если он распространяется по плоскости, его фрактальная размерность будет близка к 2. Если он больше похож на линию, его фрактальная размерность будет близка к 1. Такие же типы структур можно определить для множества точек в трехмерном пространстве. , или даже в более высоких измерениях.

На другой стороне гипотезы Фальконера находится мера множества расстояний. Мера — это своего рода математическое обобщение понятия длины. Единственное число, которое можно представить в виде точки на числовой прямой, имеет нулевую меру. Но даже бесконечные множества могут иметь нулевую меру. Например, целые числа настолько тонко разбросаны среди действительных чисел, что не имеют коллективной «длины» и образуют набор нулевой меры. С другой стороны, действительные числа между, скажем, 3/4 и 1 имеют меру 1/4, потому что именно такой длины является интервал.

Эта мера позволяет охарактеризовать размер множества различных расстояний между бесконечным числом точек. Если количество расстояний «небольшое», это означает, что набор расстояний будет иметь нулевую меру: имеется много повторяющихся расстояний. С другой стороны, если набор расстояний имеет меру больше нуля, это означает, что существует много разных расстояний.

В двух измерениях Фальконер доказал, что любой набор точек с фрактальной размерностью больше 1.5 имеет набор расстояний с ненулевой мерой. Но математики быстро пришли к выводу, что это верно для всех множеств с фрактальной размерностью больше 1. «Мы пытаемся устранить этот разрыв в 1/2», — сказал он. Юмэн Оу из Пенсильванского университета, один из соавторов новой статьи. Более того, гипотеза Фальконера распространяется на три или более измерений: для точек, разбросанных в dВ многомерном пространстве говорится, что если фрактальная размерность точек превышает d / 2, то мера заданного расстояния должна быть больше 0.

В 2018 году Оу вместе с коллегами показал, что гипотеза выполняется в двух измерениях для всех множеств с фрактальной размерностью больше 5/4. Теперь Оу — вместе с Сюмин Ду Северо-Западного университета, Руйсян Чжан Калифорнийского университета в Беркли и Кевин Рен из Принстонского университета — доказали, что в более высоких измерениях порог обеспечения набора расстояний с ненулевой мерой немного меньше, чем d/2 + 1/4. «Оценки в более высоких измерениях в этой статье впервые лучше, чем в измерении 2», — сказал Шмеркин. (В двух измерениях порог точно равен d/2 + 1/4.)

Этот последний результат является лишь одним из волна последних достижений on Гипотеза Фальконера. Доказательство усовершенствовало методы гармонического анализа — казалось бы, далекой области математики, которая занимается представлением произвольно сложных функций в виде простых волн — для усиления оценки. Но некоторые из этих методов были впервые разработаны для решения той же самой проблемы.

Этот вопрос о расстояниях между точками «служил площадкой для реализации некоторых из самых важных идей в гармоническом анализе», сказал он. Алексей Иосевич Университета Рочестера.

Хотя они закрыли лишь половину пробела, оставленного Фальконером в его статье 1985 года, математики видят в недавнем всплеске работ свидетельство того, что полная гипотеза, наконец, может быть достижима. Тем временем они будут продолжать использовать эту проблему в качестве испытательного полигона для своих самых сложных инструментов.