У математиков и компьютерных ученых был захватывающий год прорывов в теории множеств, топологии и искусственного интеллекта, помимо сохранения исчезающих знаний и пересмотра старых вопросов. Они добились нового прогресса в фундаментальных вопросах в этой области, отметили связи, охватывающие далекие области математики, и увидели рост связей между математикой и другими дисциплинами. Но многие результаты были лишь частичными ответами, а некоторые многообещающие направления исследований оказались тупиками, оставив работу будущим (и нынешним) поколениям.

Топологи, у которых уже был напряженный год, этой осенью увидели выпуск книги, в которой наконец-то всесторонне представлена ​​важная работа 40-летней давности, которая могла быть потеряна. Геометрический инструмент, созданный 11 лет назад, получил новую жизнь в другом математическом контексте, преодолев разрозненные области исследований. А новая работа в области теории множеств приблизила математиков к пониманию природы бесконечности и того, сколько на самом деле существует действительных чисел. Это был лишь один из многих вопросов по математике, заданных десятилетиями давности, на которые в этом году были даны какие-то ответы.

Но математика не существует в вакууме. Этим летом, Quanta покрыл растущую потребность в математическом понимании квантовой теории поля, одной из самых успешных концепций в физике. Точно так же компьютеры становятся все более незаменимыми инструментами для математиков, которые используют их не только для выполнения вычислений, но и для решения невозможных в противном случае проблем и даже для проверки сложных доказательств. И поскольку машины стали лучше решать проблемы, в этом году также произошел новый прогресс в понимании того, как они стали так хороши в этом.

Заманчиво думать, что математическое доказательство, однажды обнаруженное, останется навсегда. Но основополагающий результат топологии 1981 года находился под угрозой исчезновения в безвестности, поскольку немногие оставшиеся математики, которые понимали его, стали старше и ушли из этой области. Доказательство Майклом Фридманом четырехмерной гипотезы Пуанкаре показало, что определенные формы, которые в чем-то похожи (или «гомотопически эквивалентны») четырехмерной сфере, должны быть похожи на нее и в других отношениях, что делает их «гомеоморфными». (Топологи есть свои пути определения того, когда две формы идентичны или похожи.) К счастью, новая книга под названием Теорема вложения диска устанавливается на почти 500 страницах неизбежная логика удивительного подхода Фридмана и твердо закрепляет открытие в математическом каноне.

Другой недавний важный результат в топологии связан с гипотезой Смейла, которая спрашивает, являются ли основные симметрии четырехмерной сферы, в основном, всеми симметриями, которые она имеет. Тадаюки Ватанабэ доказал что ответ отрицательный - существует больше видов симметрии - и, поступая так, он начал их поиск, и совсем недавно, в сентябре, появились новые результаты. Также два математика разработали «Флоер Морава K-теория, ”Каркас, сочетающий симплектическую геометрию и топологию; эта работа устанавливает новый набор инструментов для решения проблем в этих областях и, почти мимоходом, доказывает новую версию проблемы десятилетней давности, называемой гипотезой Арнольда. Quanta также исследовал происхождение самой топологии с помощью столбец в январе и объяснитель, посвященный родственный предмет гомологии.

Независимо от того, помогают ли они математикам заниматься математикой или анализируют научные данные, глубокие нейронные сети, форма искусственного интеллекта, построенного на слоях искусственных нейронов, становятся все более изощренными и мощными. Они также остаются загадочными: традиционная теория машинного обучения утверждает, что их огромное количество параметров должно приводить к переобучению и невозможности обобщения, но очевидно, что должно происходить что-то еще. Оказывается, старые и более понятные модели машинного обучения, называемые машинами ядра, математически эквивалентный к идеализированным версиям этих нейронных сетей, предлагая новые способы понимания и использования преимуществ цифровых черных ящиков.

Но были и неудачи. Связанные виды ИИ, известные как сверточные нейронные сети, переживают очень тяжелые времена. различать похожие и разные объекты, и есть хороший шанс, что так будет всегда. Аналогичным образом, недавняя работа показала, что градиентный спуск - алгоритм, полезный для обучения нейронных сетей и выполнения других вычислительных задач - является принципиально сложная проблема, что означает, что некоторые задачи могут быть навсегда недоступны для него. Квантовые вычисления, несмотря на свои обещания, также потерпели серьезную неудачу в марте, когда крупный документ описание того, как создавать устойчивые к ошибкам топологические кубиты, было отказано, заставив некогда обнадеживающих ученых понять, что такая машина может быть невозможной. (Скотт Ааронсон подчеркнул: в колонке и видео, почему с квантовыми компьютерами так сложно работать и даже говорить о них.)

Сколько существует реальных чисел? Это был провокационный и нерешенный вопрос более века, но в этом году основные достижения в направлении ответа. Дэвид Асперо и Ральф Шиндлер опубликовали в мае доказательство, которое объединило две ранее антагонистические аксиомы: вариация одной из них, известная как максимум Мартина, подразумевает другую, названную (*) (произносится «звезда»). Результат означает, что обе аксиомы с большей вероятностью будут верны, что, в свою очередь, предполагает, что количество действительных чисел больше, чем предполагалось изначально, что соответствует кардинальному числу $ latexboldsymbol {aleph} _ {2} $, а не меньшему (но все же бесконечный) $ latexboldsymbol {aleph} _ {1} $. Это нарушит гипотезу континуума, согласно которой не существует бесконечности между $ latexboldsymbol {aleph} _ {0} $, соответствующим набору всех натуральных чисел, и континуумом действительных чисел. Но не все с этим согласны, включая Хью Вудина, первоначального создателя (*), который опубликовал новую работу, которая предполагает, что гипотеза континуума в конце концов верна.

Это была не единственная проблема, возникшая несколько десятилетий назад, к которой были обращены современные решения. В 1900 году Дэвид Гильберт задал 23 нерешенных важных вопроса, а в этом году математики опубликовали неполные ответы на 12-ю задачу о строительные блоки определенных систем счисления, а 13-й - о решения многочленов седьмой степени. В феврале также было объявлено, что гипотеза о единицах неверна, что означает, что мультипликативные инверсии на самом деле существуют в более сложных структурах, чем думали математики. А в январе Алексей Конторович исследовал, возможно, величайшую нерешенную проблему математики - гипотезу Римана. эссе и видео.

Часто большой математический прогресс не только дает ответ на главный вопрос, но и открывает новые возможности для исследования других проблем. Примерно в 2010 году Лоран Фарг и Жан-Марк Фонтен создали новый геометрический объект, который помог их собственному исследованию. Но в сочетании с идеями Питера Шольце о перфектоидных пространствах, кривая Фарга-Фонтена приобрела более широкое значение, далее соединяющие теорию чисел и геометрию в рамках многолетней программы Ленглендса. «Это своего рода червоточина между двумя разными мирами», - сказал Шольце.

Другие размышления о программе Ленглендса включали интервью с Аной Караиани, чья работа помогла укрепить и улучшить аналогичные связи между разрозненными областями математики, а также изучение группы Галуа симметрий, лежащих в основе исходных гипотез Ленглендса.

Реальные системы общеизвестно сложны, и уравнения в частных производных (УЧП) помогают исследователям описывать и понимать их. Но известно, что PDE также сложно решить. Два новых типа нейронных сетей - DeepONet и нейронный оператор Фурье - появились, чтобы облегчить эту работу. Оба обладают способностью приближать операторы, которые могут преобразовывать функции в другие функции, эффективно позволяя сетям отображать бесконечномерное пространство на другое бесконечномерное пространство. Новые системы решают существующие уравнения быстрее, чем традиционные методы, и они также могут помочь предоставить PDE для систем, которые ранее были слишком сложными для моделирования.

Фактически, в этом году компьютеры оказались полезными математикам по-разному. В январе, Quanta сообщил о новых алгоритмах для квантовых компьютеров, которые позволят им обрабатывать нелинейные системы, в которых взаимодействия могут влиять на самих себя, сначала аппроксимируя их как более простые, линейные. Компьютеры также продолжали продвигать математические исследования, когда группа математиков использовала современное оборудование и алгоритмы, чтобы доказать, что существуют больше нет типов специальных тетраэдров чем те, которые были обнаружены 26 лет назад, и, что еще более важно, когда помощник по цифровому доказательству по имени Лин проверил правильность непостижимое современное доказательство.

Физика и математика всегда пересекались, вдохновляя и продвигая друг друга. Концепция квантовой теории поля - уловка, которую физики используют для описания структур, включающих квантовые поля, - оказалась чрезвычайно успешной, но она опирается на шаткую математическую основу. Придание математической строгости квантовой теории поля помогло бы физикам работать в этой структуре и расширить ее, но это также дало бы математикам новый набор инструментов и структур для игры. В серии из четырех частей, Quanta рассмотрены основные проблемы в настоящее время встает на пути математиков, исследовал история успеха меньшего масштаба в двух измерениях обсудили возможности с Специалист QFT Натан Зайберг, и объяснил в видео самый известный QFT из всех: Стандартная модель.