În octombrie, o rachetă Falcon Heavy este programată să fie lansată de la Cape Canaveral din Florida, transportând misiunea Europa Clipper a NASA. Misiunea de 5 miliarde de dolari este concepută pentru a afla dacă Europa, a patra lună ca mărime a lui Jupiter, poate susține viața. Dar pentru că Europa este bombardată în mod constant de radiații intense create de câmpul magnetic al lui Jupiter, sonda spațială Clipper nu poate orbita luna însăși. În schimb, va aluneca într-o orbită excentrică în jurul lui Jupiter și va aduna date prin balansarea în mod repetat de Europa - de 53 de ori în total - înainte de a se retrage de la cea mai gravă radiație. De fiecare dată când nava spațială ocolește Jupiter, calea sa va fi ușor diferită, asigurându-se că poate face fotografii și aduna date de la polii Europei până la ecuatorul său.

Pentru a planifica tururi complicate ca acesta, planificatorii de traiectorie folosesc modele computerizate care calculează meticulos traiectoria pas la un moment dat. Planificarea ține cont de sute de cerințe ale misiunii și este susținută de zeci de ani de cercetare matematică asupra orbitelor și a modului de a le uni în tururi complicate. Matematicienii dezvoltă acum instrumente care speră că pot fi folosite pentru a crea o înțelegere mai sistematică a modului în care orbitele se relaționează între ele.

„Ceea ce avem sunt calculele anterioare pe care le-am făcut, care ne ghidează pe măsură ce facem calculele curente. Dar nu este o imagine completă a tuturor opțiunilor pe care le avem”, a spus Daniel Scheeres, inginer aerospațial la Universitatea din Colorado, Boulder.

„Cred că asta a fost cea mai mare frustrare a mea când eram student”, a spus Dayung Koh, inginer la Laboratorul de propulsie cu reacție al NASA. „Știu că aceste orbite sunt acolo, dar nu știu de ce.” Având în vedere costurile și complexitatea misiunilor către lunile lui Jupiter și Saturn, a nu ști de ce orbitele sunt acolo unde se află este o problemă. Ce se întâmplă dacă există o orbită complet diferită care ar putea face treaba cu mai puține resurse? După cum a spus Koh: „Le-am găsit pe toate? Mai sunt? Nu pot spune asta.”

După ce și-a luat doctoratul de la Universitatea din California de Sud în 2016, Koh a devenit interesată de modul în care orbitele pot fi catalogate în familii. Orbitele joviene care sunt departe de Europa formează o astfel de familie; la fel și orbitele apropiate de Europa. Dar alte familii sunt mai puțin evidente. De exemplu, pentru oricare două corpuri, cum ar fi Jupiter și Europa, există un punct intermediar în care efectele gravitaționale ale celor două corpuri se echilibrează pentru a crea puncte stabile. Navele spațiale pot orbita în acest punct, chiar dacă nu există nimic în centrul orbitei. Aceste orbite formează o familie numită orbite Lyapunov. Adaugă puțină energie unei astfel de orbite pornind un motor de navă spațială și la început vei rămâne în aceeași familie. Dar adăugați suficient și veți trece într-o altă familie - să zicem, una care include Jupiter în orbitele sale. Unele familii de orbite ar putea necesita mai puțin combustibil decât altele, să rămână în lumina soarelui în orice moment sau să aibă alte caracteristici utile.

În 2021, Koh a dat peste o lucrare care discuta cum să se confrunte cu orbitele haotice din perspectiva geometriei simplectice, un domeniu abstract al matematicii care este în general departe de detaliile dezordonate din lumea reală. A început să bănuiască că geometria simplectică ar putea avea instrumentele de care avea nevoie pentru a înțelege mai bine orbitele și a luat legătura cu Agustin Moreno, autorul lucrării. Moreno, pe atunci postdoctoral la Universitatea Uppsala din Suedia, a fost surprins și încântat să audă că cineva de la NASA era interesat de munca lui. „A fost neașteptat, dar a fost și destul de interesant și destul de motivant în același timp”, a spus el.

Cei doi au început să lucreze împreună, căutând să aplice tehnicile abstracte ale lui Moreno la sistemul Jupiter-Europa și la Saturn și luna sa Enceladus, care, la fel ca Europa, ar putea avea viață în oceanul său subteran. În ultimul an, împreună cu alți colaboratori, au scris o serie de lucrări care creează un cadru pentru catalogarea orbitelor. În ianuarie, Moreno, acum profesor la Universitatea Heidelberg, a finalizat o schiță timpurie care a transformat lucrarea sa de sondaj într-un carte pe subiect. Cu această carte, el vrea să facă domeniul abstract al geometriei simplectice util inginerilor care încearcă să planifice misiuni spațiale. Dacă va reuși, va reuni domeniile de anchetă care s-au despărțit de-a lungul secolelor.

Fără drum regal către geometrie

Geometria simplectică își are rădăcinile în fizică. Pentru a lua un exemplu simplu, imaginați-vă un pendul. Mișcarea sa poate fi descrisă prin doi parametri: unghi și viteză. Dacă viteza este suficient de mică, pendulul va oscila înainte și înapoi. Dacă viteza este mai mare, se va învârti într-un cerc. Într-un pendul ideal, fără frecare, odată ce ați ales unghiul de pornire și viteza, comportamentul sistemului este determinat pentru tot timpul.

Puteți crea un grafic cu unghiul ca x-axa și viteza ca y-axă. Dar, deoarece călătoria la 360 de grade te readuce la început, poți coase împreună liniile verticale unde x este zero grade și unde x este de 360 ​​de grade. Aceasta face un cilindru. Cilindrul nu reflectă în mod direct realitatea fizică - nu arată căile pe care le urmărește pendulul - mai degrabă, fiecare punct de pe el reprezintă o anumită stare a pendulului. Cilindrul, împreună cu legile care determină căile pe care le poate urma pendulul, formează un spațiu simplectic.

De la începutul secolului al XVII-lea, când Johannes Kepler și-a formulat legile, fizicienii și matematicienii au avut o înțelegere fermă a modului de a descrie mișcarea a două corpuri supuse gravitației. În funcție de cât de repede se mișcă, căile lor formează o elipsă, parabolă sau hiperbolă. Spațiile simplectice corespunzătoare sunt mai complicate decât cele pentru un pendul, dar încă tratabile. Dar introducerea unui al treilea obiect face ca soluțiile exacte, analitice, imposibil de calculat. Și devine mai complicat doar dacă adaugi mai multe corpuri modelului. „Fără această perspectivă analitică, aproape întotdeauna, la un anumit nivel, trageți în întuneric”, a spus Scheeres.

O navă spațială care se poate mișca liber în orice direcție - de la dreapta la stânga, în sus și în jos și din față în spate - are nevoie de trei coordonate pentru a-și descrie poziția și încă trei pentru a-și descrie viteza. Asta face un spațiu simplectic cu șase dimensiuni. Pentru a descrie mișcarea a trei corpuri, cum ar fi Jupiter, Europa și o navă spațială, aveți nevoie de 18 dimensiuni: șase pe corp. Geometria spațiului este definită nu numai de numărul de dimensiuni pe care le are, ci și de curbele care arată modul în care sistemul fizic descris evoluează în timp.

Moreno și Koh au lucrat la o versiune „restrânsă” a problemei celor trei corpuri, în care unul dintre corpuri (nava spațială) este atât de mic încât nu are niciun impact asupra celorlalte două (Jupiter și Europa). Pentru a simplifica lucrurile și mai mult, cercetătorii au presupus că orbita lunii era perfect circulară. Puteți lua orbita sa circulară ca pe un fundal stabil pe care să luați în considerare traseul sondei spațiale. Spațiul simplectic trebuie să țină cont doar de poziția și viteza navei spațiale, deoarece mișcarea lui Jupiter și a Europei poate fi ușor descrisă. Deci, în loc să fie 18-dimensional, spațiul simplectic corespunzător este șase-dimensional. Când o cale în acest spațiu cu șase dimensiuni formează o buclă, aceasta reprezintă o orbită periodică a navei spațiale prin sistemul planetă-lună.

Când Koh l-a contactat pe Moreno, ea a fost curioasă de cazurile în care adăugarea doar a unui pic de energie face ca orbita unei nave spațiale să sară de la o familie la alta. Aceste puncte de întâlnire între familiile de orbite se numesc puncte de bifurcație. Adesea multe familii se vor întâlni la un singur punct. Acest lucru le face deosebit de utile pentru planificatorii de traiectorie. „Înțelegerea structurii bifurcației vă oferă o foaie de parcurs cu privire la unde există traiectorii interesante pe care ar trebui să le priviți”, a spus Scheeres. Koh a vrut să știe cum să identifice și să prezică punctele de bifurcație.

După ce a auzit de la Koh, Moreno a înrolat alți câțiva geometri: Urs Frauenfelder de la Universitatea din Augsburg, Cengiz Aydin de la Universitatea Heidelberg și Otto van Koert de la Universitatea Națională din Seul. Frauenfelder și van Koert au studiat de multă vreme problema celor trei corpuri folosind geometria simplectică, chiar descoperind o potențială nouă familie de orbite. Dar deși inginerii care planifică misiuni de nave spațiale au folosit o multitudine de instrumente matematice, în ultimele decenii au fost descurajați de abstracția din ce în ce mai mare a geometriei simplectice.

De-a lungul lunilor următoare, inginerul și cei patru matematicieni au învățat încet unul despre domeniile celuilalt. „Este nevoie de ceva timp când faci o muncă interdisciplinară pentru, să spunem, să treci peste barierele lingvistice”, a spus Moreno. „Dar după ce ai făcut munca de pacient, începe să dau roade.”

Setul de instrumente

Echipa a reunit o serie de instrumente care speră că vor fi utile planificatorilor de misiune. Unul dintre instrumente este un număr numit indicele Conley-Zehnder, care poate ajuta la determinarea când două orbite aparțin aceleiași familii. Pentru a-l calcula, cercetătorii examinează punctele care sunt aproape de - dar nu pe - orbita pe care doresc să o studieze. Imaginați-vă, de exemplu, că o navă spațială urmează o orbită eliptică în jurul lui Jupiter, influențată de gravitația din Europa. Dacă îl îndepărtezi, noua sa traiectorie va imita orbita originală, dar numai grosolan. Noua cale va spirala în jurul orbitei originale, revenind într-un punct ușor diferit după ce ocolește Jupiter. Indicele Conley-Zehnder este o măsurătoare a cât de multă spirală are loc.

În mod surprinzător, indicele Conley-Zehnder nu depinde de specificul modului în care deplasați nava spațială - este un număr asociat cu întreaga orbită. În plus, este același pentru toate orbitele din aceeași familie. Dacă calculezi indicele Conley-Zehnder pentru două orbite și obții două numere diferite, poți fi sigur că orbitele provin din familii diferite.

Un alt instrument, numit numărul Floer, poate sugera familii nedescoperite de orbite. Să presupunem că mai multe familii se ciocnesc la un punct de bifurcație atunci când energia atinge un anumit număr și mai multe familii se ramifică din acel punct de bifurcație atunci când energia este mai mare. Aceasta formează o rețea de familii al căror centru central este bifurcația.

Puteți calcula numărul Floer asociat cu acest punct de bifurcare ca o simplă funcție a indicilor Conley-Zehnder asociați fiecărei familii relevante. Puteți calcula această funcție atât pentru toate familiile care au energie puțin mai mică decât punctul de bifurcare, cât și pentru familiile a căror energie este mai mare. Dacă cele două numere Floer diferă, acesta este un indiciu că există familii ascunse legate de punctul tău de bifurcare.

„Ceea ce facem este să oferim instrumente împotriva cărora inginerii își testează algoritmii”, a spus Moreno. Noile instrumente sunt concepute în primul rând pentru a ajuta inginerii să înțeleagă cum se potrivesc familiile de orbite și pentru a-i determina să caute noi familii acolo unde este justificat; nu este menit să înlocuiască tehnicile de găsire a traiectoriei care au fost perfecționate de-a lungul deceniilor.

În 2023, Moreno a prezentat lucrarea la o conferință organizată de „Comitetul de mecanică a zborului spațial”, și a fost în contact cu ingineri care cercetează traiectorii spațiale, inclusiv unii de la JPL și laboratorul lui Scheeres din Boulder. Scheeres a salutat amestecarea câmpurilor: știa de mult despre abordarea simplectică a mișcării planetare, dar se simțea din profunzime matematic. „A fost foarte interesant să-i văd pe matematicieni încercând să-și aducă experiența în domeniul ingineriei”, a spus el. Grupul lui Scheeres lucrează acum la un sistem mai complex care implică patru organisme.

Ed Belbruno, un consultant de planificare a traiectoriei (și fost analist orbital JPL) care a lucrat cu Frauenfelder, avertizează că aplicațiile nu sunt directe. „Deși o tehnică matematică, cum ar fi geometria simplectică, poate veni cu traiectorii care sunt cu adevărat interesante și obțineți o mulțime de ele, este posibil ca foarte, foarte puține, dacă există, să satisfacă constrângerea” de care ar putea avea nevoie o misiune reală. , el a spus.

Deși traiectoriile Clipper sunt deja în mare parte stabilite, Moreno se uită către următoarea planetă: Saturn. El și-a prezentat deja cercetările planificatorilor de misiuni de la JPL, care speră să trimită o navă spațială pe luna Enceladus a lui Saturn. Moreno speră că geometria simplectică va „deveni parte a setului de instrumente standard al misiunii spațiale”.