O que Aristóteles começou há mais de 2,000 anos, uma equipe de 30 alunos de graduação do Instituto de Tecnologia de Massachusetts continua. Eles estão capitalizando em um avanço matemático recente que injetou nova vida em uma busca de milênios para identificar formas que podem preencher perfeitamente, ou ladrilhar, o espaço tridimensional.

“É muito emocionante, mas ao mesmo tempo um pouco intimidador saber que algumas das maiores mentes estão trabalhando neste tópico”, disse Yuyuan Luo, um aluno do primeiro ano do MIT que participa do trabalho organizado pelo professor do MIT Bjorn Poonen. (Poonen recebe financiamento da Fundação Simons, que também financia esta publicação editorial independente.)

O interesse de Aristóteles pela questão surgiu como uma repreensão a Platão, seu professor.

Em seu diálogo de 360 ​​aC Timeu, Platão discutiu a antiga teoria de que o mundo era feito de quatro elementos: terra, água, ar e fogo. Ele conjecturou que cada um desses elementos era feito de partículas com uma forma única correspondente a um dos cinco sólidos regulares: uma partícula de terra tinha a forma de um cubo, uma partícula de água como o icosaedro de 20 lados, uma partícula de ar como o octaedro e uma partícula de fogo como o tetraedro piramidal pontiagudo de quatro lados (porque o fogo é espinhoso).

Aristóteles objetou com base em sua presunção (que agora sabemos ser falsa) de que as partículas desses elementos deveriam ser capazes de preencher o espaço completamente. Ou seja, ele pensou que onde houvesse água, você precisaria ser capaz de organizar cópias da partícula de água icosaédrica de forma que o icosaedro ocupasse perfeitamente a totalidade do espaço aquoso sem se sobrepor.

E aí, pensou Aristóteles, estava o problema. Ele explicou em seu tratado de 350 aC Nos Céus que as cópias de um icosaedro “não conseguirão preencher o todo”. Portanto, ele argumentou, as partículas de água não podem ter essa forma. Ele duvidava, pela mesma razão, que partículas de ar pudessem ter a forma de um octaedro. Mas ele permitiu que as cópias de um cubo (terra) e de um tetraedro (fogo) preenchessem o espaço, então ele deixou a teoria de Platão representar esses dois elementos.

Milhares de anos depois, descobriu-se que Aristóteles também estava parcialmente errado.

Já em 1400, os cientistas começaram a suspeitar que o tetraedro regular – no qual todas as quatro faces da pirâmide são triângulos equiláteros – também não pode ser usado para preencher o espaço. Por volta de 1600, eles o estabeleceram com certeza. Isso é algo que Aristóteles também poderia ter reconhecido, se ao menos tivesse tentado descobrir por si mesmo.

“Se Aristóteles tivesse feito modelos de tetraedros regulares, ele teria colocado vários em torno de uma aresta pegando um tetraedro e ajustando outro diretamente a ele. Dentro de cinco ele teria visto que há uma pequena lacuna que não pode ser preenchida por outro tetraedro”, disse Marjorie Senechal do Smith College.

Se o tetraedro regular não ladrilhar o espaço, a pergunta se torna: Algum tetraedro o faz?

Em 1923, Duncan Sommerville confirmou os primeiros exemplos disso. Ao todo, os matemáticos encontraram agora dois tetraedros individuais e três famílias infinitas de tetraedros que preenchem o espaço. As famílias apresentam um parâmetro que pode ser ajustado infinitamente de várias maneiras para tornar alguns ângulos internos menores e outros proporcionalmente maiores, mantendo a capacidade de ladrilhar o espaço. Os matemáticos não encontraram nenhum outro. Eles não têm ideia de quantos podem existir.

“Não sei se este é um problema que terá uma solução teórica além de apenas encontrar essas coisas”, disse Senechal.

O fato é que a maioria das formas tridimensionais não ladrilha o espaço. “Não apreciamos o quão difícil é ladrilhar o espaço tridimensional”, disse Inna Zakharevich da Universidade de Cornell. “Eu acho que qualquer coisa que faz é muito legal.”

Isso significa que procurar por essas formas é uma caça às cegas. Felizmente, a busca por tetraedros que possam ladrilhar o espaço tridimensional é auxiliada por uma elegante correspondência entre o problema e duas outras questões relacionadas.

A primeira questão relacionada é: duas formas de lados planos do mesmo volume sempre podem ser particionadas com cortes retos e remontadas entre si? David Hilbert perguntou isso em 1900, e naquele mesmo ano seu ex-aluno, Max Dehn, forneceu uma parte importante da resposta.

Dehn mostrou que é possível usar os ângulos de qualquer forma poliédrica – como um tetraedro ou um cubo – para calcular uma única quantidade, agora chamada de invariante de Dehn. Ele provou que para duas formas serem “tesoura congruente”- o que significa que eles podem ser cortados e remontados um ao outro - eles devem ter o mesmo invariante de Dehn. Dehn usou sua nova medida para provar que o tetraedro regular não é uma tesoura congruente a um cubo, pois seus invariantes de Dehn diferem.

No final do século, os matemáticos provaram dois outros fatos importantes que uniam a congruência da tesoura e o ladrilho. Em 1965, Jean-Pierre Sydler provou que quaisquer duas formas com o mesmo volume e a mesma invariante de Dehn são congruentes em tesoura. Além disso, em 1980, Hans Debrunner mostrou que qualquer tetraedro que ladrilha o espaço deve ter uma invariante de Dehn de 0 - o mesmo que um cubo. O resultado dessas descobertas é que um tetraedro deve ser uma tesoura congruente a um cubo para ter uma chance de ladrilhar o espaço.

Se você receber um tetraedro, é relativamente fácil calcular se ele tem uma invariante de Dehn igual a 0 e, portanto, tem o potencial de dividir o espaço. No entanto, encontrar todos os tetraedros que possuem um invariante de Dehn igual a 0 não é uma tarefa fácil.

É aí que entra a segunda questão relacionada.

Um tetraedro contém seis ângulos “diédricos” formados ao longo das arestas onde os pares de faces se encontram. Em 1976, John H. Conway e Antonia J. Jones perguntaram: É possível identificar todos os tetraedros nos quais as medidas de grau de todos os seis desses ângulos diedros são números racionais, o que significa que podem ser escritos claramente como frações? É uma questão moderna com toques de Aristóteles.

“Gosto de dizer que esse problema poderia ter sido questionado nos tempos antigos, mas não foi até onde eu sei”, disse Kiran Kedlaya da Universidade da Califórnia em San Diego. Kedlaya, Poonen e dois outros co-autores provaram que exatamente 59 exemplos isolados mais duas famílias infinitas de tetraedros têm ângulos diedros racionais. Quanta cobriu recentemente este resultado em nossa história “Soluções de tetraedro finalmente comprovadas décadas após pesquisa de computador. "

E, crucialmente, qualquer tetraedro com ângulos diedros racionais tem uma invariante de Dehn de 0, o que significa que é uma tesoura congruente a um cubo e tem chance de ladrilhar o espaço.

Isso leva ao que os alunos de graduação do MIT têm trabalhado, juntamente com Poonen - investigar quais desses candidatos cumprem seu potencial como ladrilhos tridimensionais.

Em meados de janeiro, o grupo comprovou que um dos tetraedros racionais isolados não preenche espaço. O resultado deles marca a primeira vez que alguém encontrou um exemplo de tetraedro que é uma tesoura congruente a um cubo, mas não ladrilha o espaço. É também a última reviravolta em uma trança intelectual que começou há muito tempo com uma curiosidade antiga.